Polígonos: triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares

Polígonos: triángulos,
cuadriláteros y
polígonos regulares
ÍNDICE DE
CONTENIDOS
E
sta unidad didáctica trata del estudio de los polígonos (del griego polys= mucho y gonia=ángulo).
Aun siendo el triángulo la figura más sencilla, ya que es el polígono de menor número de lados,
es la más importante, puesto que los polígonos de cualquier número de lados, incluidos los cuadriláteros,
se pueden descomponer en triángulos. De esta forma, pueden utilizarse las construcciones de estos en
1 Triángulos.
2 Cuadriláteros.
3 Polígonos regulares.
la resolución tanto de cuadriláteros como de polígonos.
Cúpula del British Museum.
56
5. Polígonos: triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares
Desarrollo de contenidos
1
A
TRIÁNGULOS
Cevianas
1.1. Rectas y puntos notables de un triángulo
Además de los elementos básicos, vértices, lados y ángulos (estudiados
el curso anterior), se deben conocer los siguientes elementos notables:
• Cevianas.
• Mediatrices. Circuncentro.
• Bisectrices interiores. Incentro.
• Bisectrices exteriores. Exincentros.
• Medianas. Baricentro.
• Alturas. Ortocentro.
B
C
Fig. 1
Cevianas (Fig. 1)
Son los segmentos que unen un vértice con un punto cualquiera del
lado opuesto.
A
Mediatrices
Son las mediatrices de los lados. Se cortan en un mismo punto denominado circuncentro (Cc), que es el centro de la circunferencia circunscrita. Dependiendo del tipo de triángulo, el circuncentro se encuentra en el interior si el triángulo es acutángulo (Fig. 2), en el punto medio de la hipotenusa si es rectángulo (Fig. 3), o en el exterior
si es obtusángulo (Fig. 4).
Cc
C
B
Fig. 2
A
B
Cc
C
Cc
A
B
Fig. 3
C
Fig. 4
5. Polígonos: triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares
57
A
Tb
Bisectrices
• Interiores (wa, wb, wc ) (Fig. 5).
Las bisectrices de los ángulos interiores del triángulo se cortan en
el punto I, incentro, que es el centro de la circunferencia inscrita.
Los segmentos de bisectriz desde el vértice hasta el punto de corte
con el lado opuesto se designan por wa=AWa, wb=BWb y wc=CWc.
Wb
Wc
I
Tc
wc
wa
wb
B
Ta
C
Wa
Fig. 5
• Exteriores (Fig. 6).
Las bisectrices de los ángulos exteriores del triángulo se cortan,
dos a dos, en los puntos Ia, Ib e Ic, centros de las circunferencias
tangentes a un lado y a la prolongación de los otros dos. A estas
circunferencias se les denomina exinscritas, de radios Ra, Rb y Rc.
Ib
A
R
Ic
b
Rc
C
B
Ra
Ia
Fig. 6
A
AG=2/3 m a , GMa=1/3 m a
BG=2/3 m b , GMb=1/3 m b
ma
Mb
Mc
CG=2/3 m c , GMc=1/3 m c
G
mb
mc
C
B
Ma
Fig. 7
Medianas (ma , mb , mc ) (Fig. 7)
Son los segmentos que unen un vértice con el punto medio del lado
opuesto. Se cortan en G, llamado baricentro, que es el centro de
gravedad, del triángulo. El baricentro divide a las medianas en dos
partes, una doble que la otra.
Alturas (ha , hb , hc )
Altura es la distancia desde un vértice al lado opuesto del triángulo.
Las alturas se dibujan trazando las perpendiculares desde cada vértice
al lado opuesto. Las tres alturas se cortan en un punto (H) denominado
ortocentro (Fig. 8). Obsérvese que si el triángulo es rectángulo
(Fig. 9), el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto, y si
el triángulo es obtusángulo (Fig. 10), el ortocentro es exterior al
triángulo.
B
A
B
ha
hb
ha
hc
H
ha
c=h b
C
hb
A
C
B
C
Fig. 8
58
H=A
hc
b=h c
Fig. 9
5. Polígonos: triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares
H
Fig. 10
1.2. Relaciones métricas en los triángulos
B
Relación de los segmentos determinados por los puntos de
tangencia de la circunferencia inscrita con los lados del triángulo
Partimos de la circunferencia inscrita al triángulo ABC (Fig. 11), cuyos
puntos de tangencia son Ta, Tb y Tc. Los seis segmentos en que los
puntos de tangencia dividen a los lados, son iguales dos a dos y suman el perímetro del triángulo, 2p.
ATc=ATb, BTc=BTa, CTb=CTa
p-
b
Ta
Tc
I
A
La suma de tres distintos sumarán el semiperímetro p.
p=ATb+CTb+BTa, como ATb+CTb=b, p=b+BTa, BTa=BTc=p-b
Ib
p-a
C
p-c
Fig. 11
Análogamente:
ATc=ATb=p-a, CTb=CTa=p-c
C'
p
pc
Relación de los segmentos determinados por los puntos de
tangencia de las circunferencias exinscritas con los lados del
triángulo
Tengamos ahora en cuenta la circunferencia exinscrita al lado a, cuyos
puntos de tangencia son A', B' y C' (Fig. 12). Se puede observar que
AB'=AC', donde AC'=c+BC' y AB'=b+CB'. Como BC'=BA' y CB'=CA'
se puede poner AC'+AB'=(BA'+CA')+b+c= a+b+c=2p. Por tanto,
AC'=AB'=p. Un análisis similar se puede hacer con los otros dos lados
y sus circunferencias exinscritas.
c
A'
«La distancia desde un vértice hasta los puntos de tangencia de la
circunferencia exinscrita al lado opuesto, en la prolongación de los
otros dos, es igual al semiperímetro p»
Segmentos determinados por los puntos de tangencia de las
circunferencias inscrita y exinscritas en los lados del triángulo
En la figura 13 se han dibujado el triángulo ABC y sus circunferencias
inscrita y exinscritas, con sus respectivos puntos de tangencia. Además
de las relaciones estudiadas en los puntos anteriores, se cumplen las
siguientes:
• Distancia entre los puntos de tangencia de circunferencias exinscritas
sobre las prolongaciones de un mismo lado:
MK=a+b, GJ=a+c, DF=b+c
Ia
B
A
C
b
p
Fig. 12
M
Ib
G
A
Ic
L
• Distancia entre los puntos de tangencia de las circunferencias inscrita y exinscrita sobre un mismo lado:
LTc=a-b, HTb=a-c, ETa=b-c
Tb
Tc
H
I
.
Ta
• Distancia entre dos puntos de tangencia contiguos de circunferencias
exinscritas sobre un lado y su prolongación:
ML=GH=a, DE=KL=b, JH=FE=c
o distancia entre dos puntos de tangencia contiguos, uno de una
circunferencia exinscrita en la prolongación de un lado y otro de
la inscrita sobre el mismo lado:
JTb=KTc=a, FTa=MTc=b, DTa=QTb=c
B'
p-b
E
B
D
F
C
J
K
Ia
.
Fig. 13
5. Polígonos: triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares
59
Relación entre las bisectrices y los lados
En el triángulo ABC (Fig. 14) se ha llevado sobre la prolongación del
lado b un segmento CM=a. También se han dibujado la bisectriz del
ángulo C (wc) y el segmento BM. El triángulo BCM es isósceles, sus
^ por tanto, los segmentos BM y CWc son
ángulos iguales valen C/2,
paralelos. Aplicando el teorema de Tales, se establece:
AWc/BWc=AC/MC o AWc/BWc=b/a
a
B
Wc
A
C^/2
C^/2
wc
M
C
b
«La bisectriz de un triángulo divide al lado opuesto en dos segmentos
proporcionales a los lados concurrentes con ella»
a
Fig. 14
Relación entre los segmentos de bisectrices (Wa, Wb,Wc), los
lados y la circunferencia circunscrita
La bisectriz de un ángulo de un triángulo corta a la circunferencia
circunscrita en el punto medio del arco que abarca el lado opuesto.
^ corta al arco BC en su punto
En la figura 15, la bisectriz del ángulo A
medio M. La mediatriz del lado a también pasa por M. Si se establece
una inversión en la que el lado BC y la circunferencia circunscrita sean
figuras inversas, el centro de inversión es el punto M y la potencia
de inversión es MB=MC. Los puntos A y Wa son inversos.
MWa • MA=MC • MC
A
wa
Cc
Esta propiedad se emplea para la construcción de algunos casos de
^ a.
triángulos, como a,A,W
Wa
C
B
x
M
Fig. 15
a
+AW
a
O
wa
M
W
A=M
Si se conocen la bisectriz y la potencia, se pueden hallar los segmentos
MWa y MA por aplicación de potencia del punto F respecto de la
circunferencia de diámetro Wa (Fig. 16). Para su construcción, dibujar
dos segmentos perpendiculares de valores x y wa con un origen
común J. Dibujando la circunferencia de diámetro wa y uniendo F
con el centro O, se obtienen los segmentos MWa y MA.
a
MW
F
J
x
Fig. 16
60
5. Polígonos: triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares
1.3. Triángulos órtico, complementario y suplementario
A
El triángulo órtico de otro ABC dado, es aquel que tiene por vértices
los pies de las alturas (Ha, Hb y Hc) del primero (Fig. 17). Si el triángulo
es acutángulo, las bisectrices del órtico coinciden sobre las alturas
del triángulo ABC. En este caso, el ortocentro del triángulo coincide
con el incentro de su órtico.
Hc
Hb
H
Ha
C
B
Fig. 17
Se denomina triángulo complementario de otro ABC dado, al que
resul-ta de unir los puntos medios Ma, Mb y Mc de los lados de aquel
(Fig. 18). Los lados del complementario son paralelos a los del primero, y de valor la mitad.
A
MaMb=c/2
MaMc=b/2
Se denomina triángulo suplementario de otro dado al que se obtiene dibujando paralelas a los lados por los vértices opuestos respectivos.
En la figura 18, el triángulo ABC es suplementario del MaMbMc. Por
tanto, si un triángulo es complementario de otro, este es suplementario del primero.
MbMc=a/2
Mc
Mb
C
B
Ma
Fig. 18
A
1.4. Segmento y circunferencia de Euler
GCc=1/3HCc
En el triángulo ABC (Fig. 19) se han dibujado su circuncentro (Cc),
su baricentro (G) y su ortocentro (H).
GH=2/3HCc
El segmento de Euler tiene por extremos el ortocentro H y el
circuncentro Cc. Contiene siempre al baricentro G, de tal forma que
GCc=1/3 HCc.
La circunferencia de Euler tiene por centro el punto medio (O) del
segmento de Euler, y su radio es la mitad del de la circunferencia circunscrita. La circunferencia de Euler también es conocida con el
nombre de circunferencia de los nueve puntos, por contener a
los pies de las alturas (Ha, Hb y Hc), a los puntos medios de los lados
(Ma, Mb y Mc) y a los puntos medios de los segmentos que unen los
vértices con el otocentro (Fa, Fb y Fc).
Hc
Fa
Mb
Mc
G
Hb
H
Cc
O
Fc
Fb
C
Ha
Ma
B
Fig. 19
5. Polígonos: triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares
61
A
1.5. Construcción de triángulos
Para construir un triángulo se necesitan tres datos. Si el triángulo tiene una condición particular (isósceles o rectángulo) un dato es implícito, y si tiene dos condiciones particulares (equilátero o rectángulo
isósceles), son dos los datos implícitos.
hc
hc
B^
a
C
B
Fig. 20
A
Arco capaz Aº sobre a
R
A^
Los casos que se estudian en este curso incluyen elementos notables;
por tanto, es necesario conocerlos, así como sus propiedades y saber
aplicarlas.
Como en todo ejercicio de geometría, a la hora de resolver un triángulo, es conveniente hacer una figura de análisis en la que se suponga
el problema resuelto, identificar los datos y deducir el procedimiento
geométrico que lleva a la solución.
Equivalencias de datos
Algunas parejas de datos son equivalentes para construir un triángulo.
0
Algunos ejemplos son los siguientes:
• a, b = a+b, a-b = a+b, a:b. En todos los casos se pueden deducir
a y b.
^ hc (Fig. 20).
• a, B^ = a, hc = B,
^
^
• a, A = a, R = A, R (Fig. 21).
^ b:c = A,
^ B^ (Fig. 22).
• A,
a
B
C
Fig. 21
En triángulos rectángulos:
• a = 2ma = 2R (Fig. 23).
• B^ = b:c (Fig. 24).
A
A^
^
B
B'
C'
^
B
B
C
^ y dos lados proporcionales a b y c, se obtiene un triánguDibujando el ángulo A
lo AB'C' semejante al buscado.
Fig. 22
B
A
B'
^B
ma
B
R
0
C^
C
n
a
A
C'
m
C
Si la relación es b:c=m:n, se puede dibujar un triángulo AB'C' semejante al
pedido, con lo cual se conocen los ángulos agudos.
Fig. 23
62
Fig. 24
5. Polígonos: triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares
Construcción de triángulos escalenos
• Datos: a, c, hb (Fig. 25).
• Datos: a, c, mc (Fig. 28)
Dibujar el lado a=BC. Con centro en C y radio 2 mc, y con centro
en B y radio c, se dibujan dos arcos que se cortan en P. CBPA es
un romboide de lados a y c. Por paralelas se halla A.
B
2m
A
P
c
hb
a
c
c
Mc
a
A
C
B
C
Fig. 25
Fig. 28
^ mc (Fig. 26).
• Datos: a, B,
^ Llevar mc desde C para obtener
Dibujar el lado a=BC y el ángulo B.
Mc. Por simetría, se halla A.
^ hb (Fig. 29).
• Datos: a, B,
Dibujar el lado a=BC y el arco capaz de 90º sobre BC. Con radio
hb y centro B se dibuja un arco que corta al arco capaz en Hb, pie
de la altura hb. La recta que une C con Hb pasa por A.
A
A
Hb
mc
Mc
B^
^
B
hb
a
a
C
B
C
B
Fig. 26
Fig. 29
• Datos: ma, mb, ha (Fig. 27)
Dibujar la altura ha. Con centro en A y radio ma se dibuja un arco
que pasa por Ma. Con centro A y radio 2ma/3 se halla el baricentro
G. Con centro en G y radio 2/3 mb, se obtiene B.
^ 2p (Fig. 30).
• Datos: a, B,
^ Llevando el semiperímetro p
Dibujar el lado a=BC y el ángulo B.
desde B sobre los lados del ángulo B^ se obtienen los puntos de
tangencia sobre la circunferencia exinscrita del lado b. Dibujarla.
La recta tangente desde C a esa exinscrita, contiene al lado AC.
A
Ib
ha
2/3
m
a
p
A
Ma
2/3
^
B
O
a
m
C
G
mb
B
C
a
B
p
Fig. 27
Fig. 30
5. Polígonos: triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares
63
^ ma, mb (Fig. 31).
• Datos: A,
Dibujar la mediana mb=BMb, y, sobre ella el arco capaz de Aº. El
arco de centro el baricentro G y radio 2ma/3, corta al arco capaz
en A. Hay dos posibles soluciones en un caso general.
Arco capaz Aº
A
• Datos: ma, mb, mc (Fig. 33).
En la figura de análisis se puede observar que haciendo una traslación paralela de dos medianas, se obtiene un triángulo de lados
iguales a las tres medianas. Dibujado el triángulo de lados ma, mb
y mc que tiene por vértices P, C y Mc, se puede obtener el baricentro
G del buscado. Deshaciendo la traslación paralela de las medianas
y llevando 2/3 de una, se obtiene otro vértice (A en este caso). El
vértice B se obtiene por simetría de A respecto de Mc.
ma
P
2/3
mb
A
Mc
O
mb
Mb
P
A
B
G
2/3
Mb
G
ma
A
ma
ma
C
Ma
B
2/3
Figura de análisis
mb
mb
mc
Mb
ma
G
Mc
mc
C
m
2/3
Dos soluciones
c
Ma
C
B
Fig. 31
Fig. 33
^ mb, mc (Fig. 32).
• Datos: A,
Dibujar la mediana mb=BMb y sobre ella el arco capaz de Aº. La
circunferencia homotética de la del arco capaz, con centro de homotecia B y razón 1/2, es el lugar geométrico de los puntos medios
del lado AB. La distancia desde el baricentro G a Mc es mc/3.
• Datos: ha, hb, hc (Fig. 34).
Dibujando tres segmentos con el mismo origen P, de longitudes
iguales a las alturas dadas (PM=ha, PR=hb y PS=hc) y la circunferencia
que pasa por sus extremos M, R y S, se obtienen los puntos N, Q
y T en los tres segmentos o en sus prolongaciones. Por potencia
del punto P respecto de la circunferencia se puede escribir PM•PN
= PQ•PR = PS•PT. Como el área del triángulo es igual a la mitad
del producto del lado por su altura, y es constante para cada lado
y su correspondiente altura (a•ha=b•hb=c•hc), los segmentos PN, PQ
y PT son proporcionales a los lados. Dibujar un triángulo A'B'C' de
lados PN, PQ y PT. Por semejanza se obtiene el pedido.
A
Arco capaz Aº
1/3 m
c
Mc
N
M
P
O'
G
A
B
m
2 /3
T
S
A'
b
ha
Mb
R
Q
O
PT=A'B'
PQ=C'A'
PN=C'B'
PQ
ha'
PT
PN
C
B'
C=C'
Fig. 32
64
Fig. 34
5. Polígonos: triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares
B
^ ma, ha (Fig. 35).
• Datos: A,
Dibujar una recta horizontal y sobre una perpendicular a ella llevar
ha, obteniendo A. Con centro en A y radio ma se dibuja un arco
que pasa por Ma (punto medio del lado a). Si se dibuja otra vez
ma a continuación de AMa, se obtiene A'. ABA'C es un romboide,
cuyo ángulo en C^ vale 180º-Aº. El arco capaz de 180º-Aº pasa por
C. Por simetría, se halla B.
• Datos: a, A, Ra (Fig. 37).
Dibujar dos semirrectas que formen Aº. En la bisectriz de ese ángulo
estarán I, centro de la circunferencia inscrita e Ia, centro de la circunferencia exinscrita de radio Ra que se puede dibujar. Llevando desde B' la distancia a se obtiene Tb, punto de tangencia de la circunferencia inscrita sobre el lado b. Dibujar la inscrita de centro I. La
recta tangente común a las circunferencias inscrita y exinscrita dibujadas, contiene al lado a del triángulo.
A
Arco capaz
180º-Aº
ma
ha
Ia
B
C
B
Ra
Ma
ma
I
A
Tb
a
C
B'
p
A'
Fig. 35
Fig. 37
• Datos: mc, ha, hb (Fig. 36).
El romboide ACBP tiene los lados AP y BC separados ha, la diagonal
CP es 2mc y la distancia entre los lados AC y BP es hb. Dibujar
dos rectas paralelas horizontales separadas ha. Situar el vértice C
en un punto arbitrario de una de ellas. Dibujando un arco de centro
C y radio 2mc, se tiene P. Dibujar la circunferencia de radio hb y
centro C. La tangente a ella desde P contiene al lado BP del rombo,
así obtenemos B. El lado CA se obtiene por paralelismo.
• Datos: ha, ma, a=2b (Fig. 38).
Dibujar una recta horizontal y sobre una perpendicular a ella llevar
ha, obteniendo A. Con centro en A y radio ma se dibuja un arco
que pasa por Ma. La mediatriz de AMa pasa por C (b=CMa=a/2).
A
A
P
b
ha
Mc
ha
hb
2mc
h
ma
b
B
C
B
Fig. 36
C
Ma
Fig. 38
5. Polígonos: triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares
65
Construcción de triángulos isósceles
• Datos: hc, hb (Fig. 42).
Dibujar dos rectas paralelas (s, t) separadas hb y su paralela media
(u). Tomar un punto C arbitrario en una de las paralelas, haciendo
centro en él y con radio hc se dibuja un arco que corta a la paralela
media en Hc. La perpendicular a hc por Hc contiene al lado AB.
a=b‡c
^ ^‡C^
A=B
C
B
t
hb
Hc
u
hb / 2
hc
s
B
A
A
C
Fig. 39
Fig. 42
^ hb (Fig. 43).
• Datos: B,
Dibujar dos rectas que formen Bº. Con centro en el punto B, vértice
de ese ángulo, dibujar el arco de radio hb. La tangente a este,
paralela a r, contiene al lado AC.
• Datos: b, hc (Fig. 40).
C
C
hb
b
hc
r
B^
B
^
B
A
B
A
Fig. 40
Fig. 43
• Datos: hc, 2p (Fig. 41).
Dibujar una horizontal y levantar un segmento perpendicular HcC
de valor la altura. Medir p sobre la horizontal desde Hc, se obtiene
M. La mediatriz de CM pasa por A.
• Datos: mb, hb (Fig. 44).
Dibujar el segmento mb=BMb. Medir 2/3 de su valor desde B para
hallar el baricentro G. El arco capaz de 90º sobre mb contiene al
pie de la altura, Hb. La perpendicular a hb por Hb contiene al
lado AC. Llevando 2/3 mb desde el baricentro sobre esa perpendicular, se tiene el vértice A. C es el simétrico de A respecto de Mb.
C
A
hb
hb
/
2mb
hc
B
Hc
B
mb
G
2mb /
3
3
Mb
M
A
p
Fig. 41
66
Hb
Fig. 44
5. Polígonos: triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares
C
• Datos: a, mb (Fig. 45).
Una vez dibujado el lado a=BC, se dibuja su mediatriz para hallar Ma.
Con centro en C y radio el lado a, y con centro en Ma y radio mb, se
dibujan dos arcos que se cortan en A.
^ mb (Fig. 48).
• Datos: B,
Dibujar un triángulo BA'C' semejante al buscado. Dibujar su mediana
y compararla con la dada.
C
m
b
A
mb
C'
Mb
^
B
a
Ma
C
B
A'
B
A
a
Fig. 45
Fig. 48
• Datos: r, hb (Fig. 46).
Dibujar dos rectas paralelas (s y t) distantes hb y su paralela media
(u). Dibujar una circunferencia de centro I y radio r tangente a una
de las paralelas exteriores. El punto de interseción Mc, de la circunferencia inscrita con la paralela media, es el punto medio del lado
desigual. La recta McI contiene al vértice C. La tangente a la inscrita
en Mc contiene al lado desigual.
• Datos: b, ha (Fig. 49).
Sobre el cateto b se dibuja el arco capaz de 90º. Llevar la altura ha
hasta obtener Ha. La recta CHa pasa por B.
Ha
B
t
Mc
ha
hb
u
B
hb / 2
I
b
C
A
s
C
A
Fig. 46
Fig. 49
Construcción de triángulos rectángulos
• Datos: a, mb (Fig. 50).
Dibujar la hipotenusa y su arco capaz de 90º. La semicircunferencia
de diámetro CMa es el lugar geométrico de los puntos medios del
lado b. El arco de centro B y radio mb corta en Mb a la semicircunferencia anterior. Uniendo C con Mb se tiene el lado b.
a= hipotenusa
b, c= catetos
C
A
Mb
R
a
A
B
B
Fig. 47
Ma
mb
C
Fig. 50
5. Polígonos: triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares
67
• Datos: ha, mb (Fig. 51).
Dibujar dos rectas paralelas separadas ha y su paralela media. Tomar un punto B arbitrario en una de las paralelas, haciendo centro
en él, y con radio mb se dibuja un arco que corta a la paralela media en Mb. El arco capaz de 90º sobre BMb pasa por A (dos soluciones).
• Datos: c, wa (Fig. 53).
Dibujar el lado AB=c y una perpendicular por A. Trazar la bisectriz
del ángulo de 90º y medir sobre ella wa, teniendo Wa. Uniendo
B con Wa, se dibuja la hipotenusa.
C
A
A
Wa
ha / 2
ha
Mb
wa
B
C
mb
C
c
B
A
Fig. 51
Fig. 53
• Datos: Rb, 2p (Fig. 52).
Dibujar dos rectas perpendiculares que se cortan en A y trazar la
circunferencia de radio Rb tangente a ambas. Desde el punto Tc,
llevar el semiperímetro p, se obtiene B. Midiendo p desde B hasta
la circunferencia exinscrita, se tiene Ta. La tangente BTa contiene
a la hipotenusa BC.
• Datos: b, wc (Fig. 54).
Se dibuja la bisectriz wc=CWc. Dibujar el arco capaz de 90º sobre
wc y trazar con centro C un arco de radio b, que pasa por A y por
su simétrico X respecto a wc. Las rectas AWc y CX se cortan en B.
A
b
Ta
C
p
C
wc
Wc
R
b
Ib
Tc
X
A
p
B
B
Fig. 52
68
Fig. 54
5. Polígonos: triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares
2
CUADRILÁTEROS
Como un cuadrilátero se puede descomponer en dos triángulos, las
propiedades y construcciones de triángulos se pueden aplicar a la
construcción de cuadriláteros.
C
D
2.1. Construcción de paralelogramos
• Dibujar un rectángulo conociendo su perímetro 2p, y el ángulo
que forman sus diagonales, α (Fig. 55).
1º El ángulo que forman la diagonal AC
y el lado AB es δ=90º-α/2.
2º Dibujar AM=p y por M una recta que forme 45º, la cual corta
en C a la que forma δ con AB.
α
0
45º
δ=90- α /2
A
M
B
p
Fig. 55
• Dibujar un rombo conociendo su lado l y el ángulo agudo A (Fig. 56).
1º Dibujar dos semirrectas de origen A, que formen Aº.
2º Llevando el lado desde A se tienen los vértices B y D.
3º Por paralelismo se obtiene el vértice C.
D
I
C
A^
B
A
Fig. 56
Arco capaz α
BC
• Dibujar un romboide conociendo sus lados AB y BC, y el ángulo
que forman sus diagonales, α (Fig. 57).
1º Dibujar el arco capaz de α sobre AM=2 AB.
2º Desde el vértice B, punto medio de AM, se traza el arco de
radio BC, que corta al arco capaz en C.
3º Por paralelas, se obtiene D.
D
C
α
α
A
M
B
2AB
Fig. 57
Arco capaz D
• Dibujar un romboide conociendo las dos diagonales AC y BD, y el
^ (Fig. 58).
ángulo obtuso D
1º Dibujar el arco capaz de D sobre la diagonal AC.
2º Con centro en O, punto medio de AC, se traza el arco de
^
radio BD/2, que corta al arco capaz en D.
3º Por paralelas, se obtiene B.
D
BD/2
0
C
A
AC
B
Fig. 58
5. Polígonos: triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares
69
• Dibujar un romboide conociendo h=distancia entre AB y CD, la
diagonal AC y el ángulo α que forman las diagonales (Fig. 59).
1º Dibujar dos rectas paralelas separadas h.
2º Haciendo centro en un punto A arbitrario de una de las rectas, se dibuja un arco de radio la diagonal que corta a la otra
recta en C.
3º Dibujar por 0, punto medio de AC, una recta que forme αº
con AC que pase por B y por D.
C
D
h
0
α
A
B
AC
Fig. 59
2.2. Construcción de trapecios
• Dibujar un trapecio rectángulo circunscriptible, conociendo su base
mayor AB y el radio de la circunferencia inscrita, r (Fig. 60).
1º Dibujar una circunferencia de radio r.
2º Dibujar tres rectas tangentes a ella, dos horizontales y otra
vertical, que se cortan en los vértices A y D.
3º Medir la base mayor para obtener B.
4º La tangente a la circunferencia inscrita desde B contiene al
lado oblicuo BC.
C
D
r
I
A
B
Fig. 60
M
D
C
2
r
2
p/
p/
0
A
• Dibujar un trapecio isósceles circunscriptible dados, el perímetro
2p, y el radio de la circunferencia inscrita, r (Fig. 61).
1º En un cuadrilátero circunscriptible son iguales las sumas de
lados opuestos; por tanto, cada lado no básico mide p/2.
2º Dibujar dos paralelas separadas 2r y una circunferencia tangente a ellas.
3º Dibujando dos segmentos de valor p/2 con extremos en ambas paralelas, y trazando tangentes a la circunferencia,
paralelas a ellos, se obtienen los cuatro vértices del trapecio.
B
N
Fig. 61
D
C
BC
h
R
0
A
R
B
• Dibujar un trapecio conociendo el radio R de la circunferencia circunscrita, el lado no básico BC y la altura h (distancia entre bases)
(Fig. 62).
1º Dibujar dos rectas paralelas separadas h.
2º Con centro en un punto cualquiera C de una de ellas, dibujar
el arco de radio BC, se obtiene el vértice B.
3º Para hallar el centro de la circunferencia circunscrita, hacer
centros en B y C con radio R; se cortan en 0.
4º La circunferencia circunscrita pasa por los otros dos vértices
A y D.
5º Por ser inscriptible, el trapecio es isósceles.
Fig. 62
70
5. Polígonos: triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares
2.3. Construcción de trapezoides
M
D
En la figura 63, partiendo del trapezoide ABCD, haciendo una doble traslación paralela de la diagonal AC y una traslación paralela de
la diagonal BD, se obtiene el paralelogramo BNMD, en el cual los
segmentos que unen C con sus vértices son los lados del trapezoide
(BC y CD) o iguales a ellos (CM=AD y CN=AB).
AD
D
α
0
A
C
A
C
Los ángulos que forman estos segmentos entre sí son iguales a los
del trapezoide ABCD. Esta transformación se utiliza para resolver algunos casos de trapezoides.
B
α
AB
N
B
Fig. 63
• Dibujar un trapezoide dadas las diagonales, el ángulo α que forman
y dos lados contiguos AB y BC (Fig. 64).
1º Dibujar el paralelogramo ANMC de lados las diagonales y
ángulo α.
2º Dibujar el triángulo ABC del que se conocen los tres lados.
3º Haciendo una traslación paralela del segmento AN=diagonal BD,
se tiene esa diagonal en posición, y, con ella, el vértice D.
C
M
BC
0
D
B
α
AB
A
N
Fig. 64
^ B,
^ C,
^
• Dibujar un trapezoide conocidos el lado AB, los ángulos A,
y el perímetro (Figs. 65 y 66).
En la figura 65 se hace un análisis del problema.
Si se llevan CB y DA en la prolongación de CD, se tiene la suma de
los tres lados, diferencia 2p-AB.
^ y D/2
^ respectivaLos ángulos que forman MB y NA con MN son C/2
mente.
D
AD
C
D/
2
^
^
C/2
A
M
B
Figura de análisis
Fig. 65
BC+CD+AD
C
D
N
^A
AB
M
^ /2
C
^
C
^D
D^/2
^ y D/2.
^
1º En la figura 66 se dibujan los datos MN, C/2
2º A continuación se dibujan dos semirrectas que formen ángulos
^
iguales a C^ y D.
3º Dibujar un ángulo A^ en paralelo a su posición final y llevar
JK=AB.
4º Haciendo una traslación paralela de JK se tienen los vértices
A y B.
5º Por último, por paralelas, se obtienen los vértices C y D.
BC+C
D+
N
K
J
B
A
Fig. 66
5. Polígonos: triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares
71
3
D
72
E
POLÍGONOS REGULARES
Las propiedades de los polígonos regulares, así como las construcciones
(inscritos en la circunferencia, dado el lado y estrellados), se trataron
en el libro Dibujo Técnico I.
º
C
Propiedades especiales de algunos polígonos regulares
0
M
«El lado de un pentágono regular es áureo de su diagonal» (Fig. 67).
36º
36
º
Los segmentos AC=BD=...=d son diagonales.
Los lados son AB=BC=CD=...=l
Los triángulos MBC y ABC son semejantes. Se puede escribir:
36º
72
º
36º
A
B
AC
BC
Fig. 67
=
BC
MB
;
d
l
=
l
MB
El triángulo AMB es isósceles, AB=AM e iguales a MD.
Como MB=BD-MD=AC-AM=d-l:
G
d= l
;
l
MB
F
d= l
l
(d-l)
forma de la proporción áurea.
E
72
36º
0
D
14
4º
I
«El lado de un decágono regular inscrito en una circunferencia es
áureo del radio de esta» (Figs. 68 y 69).
Los segmentos 0A=0B=...=R son radios de la circunferencia circunscrita
y los lados son AB=BC=CD=...=l (Fig. 68).
En la figura 69 se dibuja un detalle del triángulo 0ED de la figura
68. Se ha dibujado también el segmento EM=ED.
Los triángulos 0DE y EDM son semejantes. Se puede escribir:
º
H
J
C
OD
A
ED
B
=
ED
MD
;
R
l
=
l
MD
Como el triángulo 0EM es isósceles, se cumple que 0M=ME iguales
a DE. Como MD=0D-MD=R-l:
Fig. 68
R= l
;
l
MD
R= l
l
(R-l)
E
que es la forma de la proporción áurea.
36
º
36º
72
º
36º
0
M
D
Fig. 69
72
5. Polígonos: triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares
Actividades complementarias
■ 1 Estudiar las formas del triángulo órtico de un triángulo rec-
■ 3 Estudiar las formas de la circunferencia y segmento de Euler
tángulo y otro obtusángulo (Figs. 70 y 71). ¿Qué relación hay entre los ortocentros e incentros de unos y otros?
en un triángulo rectángulo y en otro obtusángulo.
■ 4 En la figura 73 se representan un triángulo equilátero ABC,
un triángulo rectángulo isósceles ACD, y un pentágono regular
ADEFG. Se pide:
a) Deducir, sin recurrir al dibujo, el ángulo BAG.
b) Dibujar el conjunto sabiendo que el segmento AB=32 mm.
c) Dibujar la circunferencia que pasa por el ortocentro de ABC, el
baricentro de ACD y por el punto medio de la apotema del
pentágono correspondiente al lado FG.
C
A
C
B
Fig. 70
C
D
B
A
E
G
F
B
A
Fig. 71
Fig. 73
■ 2 Deducir la relación entre los lados de los cuadrados inscrito
^ B^ y C^ de un triángulo,
■ 5 Deducir, en función de los ángulos A,
y circunscrito a una misma circunferencia (Fig. 72).
los ángulos que forman las alturas, cuando:
a) Sea un triángulo acutángulo.
b) Sea un triángulo rectángulo.
c) Sea un triángulo obtusángulo.
L4'
A'
L4
A
B'
B
0
R
D
C
C'
D'
Fig. 72
5. Polígonos: triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares
73