Análisis probabilístico de velocidades medias horarias de viento

Análisis probabilístico de velocidades medias horarias
de viento atmosférico en un año de registro
De Bórtoli, Mario E. - Wittwer, Adrián R. - Marighetti, Jorge O. - Natalini, Mario. B.
Facultad de Ingeniería - UNNE.
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El viento atmosférico es un escurrimiento turbulento y su comportamiento es aleatorio. Los parámetros que caracterizan
a este fenómeno son obtenidos por medio de conceptos de estadística y probabilidad. La dificultad que presenta el
análisis de las velocidades medias horarias de viento medidas en un lugar, se debe principalmente a la duración de los
registros, que generalmente es inferior a un año, y a la falta de información respecto a las condiciones en que fueron
realizados. En este trabajo se analiza la variación de la velocidad, a partir de un nivel de probabilidad fijo, modificando
el tiempo de registro de las velocidades medias horarias y utilizando el análisis probabilístico de registros cortos. Los
datos utilizados para el análisis, son los obtenidos en el Aeropuerto Schiphol (Alemania) por el "Royal Netherlands
Meteorological Institute" y disponibles en Internet.
ANTECEDENTES
Para establecer las características del viento en una región se utilizan anemómetros especialmente diseñados, que miden
la velocidad a determinada altura y del procesamiento de la señal correspondiente, se obtienen las propiedades
estadísticas que caracterizan el viento medido. Estas propiedades se visualizan en el espectro de Van der Hoven, que
expresa las variaciones de la velocidad en función de las frecuencias y permite separar las regiones que constituyen la
macro y micro meteorología. La primera describe las propiedades de las masas de aire con escalas de cientos de
kilómetros en proyección horizontal, en tanto que la segunda describe las propiedades que transmiten al flujo las
rugosidades superficiales naturales y artificiales. Esto sucede en la región de la atmósfera denominada capa límite
atmosférica. El flujo turbulento dentro de esta capa límite tiene un comportamiento aleatorio, de manera que la
descripción de sus características se realiza mediante parámetros estadísticos medios de muestras obtenidos de registros
representativos del fenómeno y estadísticamente independientes. La primera condición exige que la duración de las
muestras sea mayor al tiempo de promediado de las propiedades que se desean obtener, en tanto que la segunda requiere
que los fenómenos físicos que definen el comportamiento de la variable y que están presentes en las muestras, no
influyan en las muestras siguientes.
En un proyecto de Ingeniería de Vientos, el principal inconveniente es conocer la velocidad media del viento en un sitio
determinado. Usualmente, el tiempo disponible para evaluar la velocidad del viento está limitado a unos pocos meses, o
en su defecto, se utilizan datos disponibles en la zona, desconociendo el grado de confiabilidad de estos. En ambos
casos, la velocidad del viento así determinada introducirá errores en la evaluación del parámetro donde interviene esta
variable. Además, en una predicción probabilística anual de la velocidad del viento atmosférico hecha con registros
cortos (dos o tres meses) los valores de velocidad serán distintas a la velocidad media disponible en el lugar, pues el
viento atmosférico es afectado por las estaciones climáticas producidas durante el año.
En este trabajo se analiza la variación de la velocidad media horaria, a partir de un nivel de probabilidad de excedencia
constante, modificando el tiempo de registro de las velocidades medias horarias y utilizando el análisis probabilístico.
Los registros utilizados disponibles en Internet (http://www.knmi.nl/samenw/hydra/register/index.html), corresponden
al Aeropuerto Schiphol y son datos brindados por el "Royal Netherlands Meteorological Institute".
ESCALAS DEL VIENTO ATMOSFERICO
La menor altura donde el viento no es afectado por la rugosidad de la superficie terrestre es la altura gradiente. La capa
límite es una región de flujo turbulento entre la superficie de la Tierra y la altura gradiente. Autores como J. Cook
(1985) la estiman en 2.500 m para vientos atmosféricos fuertes.
Los registros de velocidades se obtienen mediante anemómetros montados a una altura de 10 metros del suelo (Cogliati
y Mazzeo, 1999). Los datos adquiridos contienen información desde la macrometeorología hasta la micrometeorología.
Debido a las diferencias entre las escalas normalmente los vientos correspondientes a ambas regiones se separan para su
estudio (Sequi et al., 1999). El primer espectro de las velocidades de viento, en el dominio de las frecuencias, fue
presentado por Van der Hoven (Fig. 1) en Brookhaven, USA, (Cook, 1985).
El mayor pico (pico macrometeorológico), 0.01 ciclo/hora, corresponde a un periodo de cuatro días. El segundo pico
(pico micrometeorológico) se ubica en el rango correspondiente a periodos de 10 minutos a 3 segundos y está asociado
con la turbulencia de la capa límite. Entre ambos picos se define un valle en el espectro que indica bajos contenidos de
energía por fluctuaciones de viento, confirmando la escasa interacción entre el clima de viento (macrometeorología) y la
turbulencia de la capa límite (micrometeorología).
Fig. 1: Espectro meteorológico de Van der Hoven
VIENTO EN LA CAPA LÍMITE ATMOSFÉRICA
En la capa límite atmosférica el viento es afectado por la superficie terrestre. Aún para velocidades muy bajas, el
número de Reynolds característico del flujo en la capa límite atmosférica es elevado, y el flujo de viento es siempre
turbulento (Tennekes & Lumley , 1994). La hipótesis de Reynolds considera a la velocidad del flujo turbulento como la
adición de una velocidad media y otra velocidad instantánea (Blessmann, 1986, Blessmann, 1994):
U
(t )
=U +u
(t )
(1)
donde U(t) es la velocidad del viento instantáneo (Fig. 2.), U la velocidad media y u(t) las fluctuaciones de velocidad
instantánea en torno a la velocidad media.
Fig. 2: Registro de velocidades de viento atmosférico: registro de viento, velocidades medias horarias y
cociente entre las velocidades instantáneas y la velocidad media horaria.
FUNCIÓN DE DENSIDAD Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VELOCIDADES MEDIAS
HORARIAS ANUALES DEL VIENTO ATMOSFÉRICO
La función de Weibull describe la densidad de probabilidad de velocidades medias horaria de viento. La expresión
dada por Weibull (Bendat and Piersol, 1967) corresponde a una familia de curvas, expresadas por la siguiente función:
p x = ckx k −1e− cx
k
(2)
donde x es la variable, c es un parámetro de dispersión y k un parámetro de forma.
Las curvas de la distribución de Weibull se limitan a valores positivos de la variable y tienen la propiedad de convergir
en una curva asintótica exponencial para grandes valores de la variable.
La probabilidad de que una observación adquiera un valor menor a un valor preestablecido (x) está dado por la integral
de la ecuación anterior entre los rangos -∞ y el valor en cuestión x, siendo el valor de la integral menor a la unidad. Su
expresión es:
P = ∫−x∞ px dx
(3)
Esta integral representa la suma de valores de probabilidad menores al valor de la variable indicada (área izquierda del
valor de x). La función de distribución acumulativa de Weibull está dada por:
Px = 1 − e −cx
k
(4)
que representa la probabilidad de que una variable de referencia no sea superada ante la ocurrencia de un nuevo evento.
La función de Weibull tiene dos casos especiales, la función Exponencial (k=1) y la de Rayleigh (k=2). La función de
distribución de Rayleigh para el análisis de viento medio horario anual está descripta por la siguiente expresión:
P = 1− e
V
2
( −V 2 / 2V ' )
(5)
donde, V’ es la desviación estándar de V y k=2.
Los registros de velocidades de vientos están correlacionados entre horas adyacentes, debido a los picos de bajas
frecuencias del espectro de Van der Hoven. En esa frecuencia, el viento posee alto contenido de energía, provocando
variaciones en las velocidades del viento atmosférico.
La frecuencia 0.1 ciclo/hora indica que cada 12 horas se producen variaciones en las velocidades medias y como el
pico en el espectro no es brusco, las velocidades medias se incrementan paulatinamente en horas cercanas. Entonces,
para lograr la independencia estadística, deberían desecharse las velocidades medias horarias inmediatas anteriores y
posteriores a ese evento característico. En este trabajo se consideran todas las velocidades medias horarias
correspondientes a un año como un registro continuo, por lo que rigurosamente las muestras no son estadísticamente
independientes.
Al promediar las velocidades sobre un intervalo de una hora, las fluctuaciones de alta frecuencia correspondientes al
pico derecho del espectro son eliminadas. La independencia estadística para las muestras horarias no está afectada por
las fluctuaciones de alta frecuencia.
METODOLOGIA Y RESULTADOS
Las muestras horarias continuas de la velocidad de viento media horaria, registros del año 1999, se dividieron en 3, 6, 9,
12 y 24 meses respectivamente, presentados en forma de histograma. En la Figura 3 se muestran los histogramas y las
probabilidades acumuladas para las muestras respectivas.
1.2
0.18
1
Probabilidad
0.14
Probabilidad Acumulada
0.16
1mes
3meses
6meses
9meses
1año
0.12
0.1
0.08
0.06
0.8
1mes
3meses
6meses
9meses
1año
0.6
0.4
0.2
0.04
0.02
0
0
0
0
50
100
150
200
50
100
150
200
250
Velocidades Medias Horaria (0.1m/s)
250
Velocidades Medias Horaria (0.1m/s)
Fig. 3: Histograma de velocidades medias horarias de tiempo de adquisición variables y la curva de
Distribución de las velocidades medias horarias
El histograma de distribución se ajustó a una función derivada de la expresión de distribución de Weibull,
determinándose las constantes c y k en la expresión (4). Aplicando logaritmo y despejando la velocidad, finalmente se
obtiene:
ln V = − ln c +
1
k
ln[− ln(1 − P)]
(6)
Las constantes obtenidas de esta forma se muestran en la Tabla 1.
Tabla 1: Valores de las varianzas y las constantes c y k de las muestras obtenidas por ajuste de curva.
Duración de los registros de las velocidades medias horarias (año 1999)
1 mes
3 meses
6 meses
9 meses
12 meses
K
2.09
1.98
1.92
1.87
1.96
C
69.29
69.98
62.17
57.20
60.77
Varianza
31.40
32.88
30.38
28.49
29.75
En la Figura 4, a la izquierda, se presentan las probabilidades acumuladas obtenidas de los histogramas de las muestras
y las funciones de distribución de la expresión de Rayleigh (5) para registros de 1 mes y 1 año respectivamente. A la
derecha, en la misma figura, se presentan tres histogramas correspondientes a los años 1998, 1999 y 2000 donde se
observa la regularidad de las probabilidades acumuladas y la convergencia hacia la curva propuesta por Rayleigh.
1.2
1.2
1
0.8
Probabilidad Acumulada
Probabilidad Acumulada
1
expr. mat. 1 mes
histograma 1 mes
0.6
expr. mat. 12 meses
histograma 12 meses
0.4
0.8
2000
1999
1998
0.6
0.4
0.2
0.2
0
0
50
100
150
200
Velocidades Medias Horaria (0.1m/s)
250
0
0
50
100
150
200
250
Velocidades Medias Horaria (0.1m/s)
Fig.4: Probabilidades acumuladas de los registros y de la expresión de Rayleigh para muestras de 1 y 12 meses, y la de
los años 1998, 1999 y 2000.
En la Tabla 2, se muestran las velocidades medias horarias obtenidas con una probabilidad del 95% de no ser excedida.
Tabla 2: Velocidades medias horarias con un nivel de probabilidad fijo de 95%.
Duración de los registros de las velocidades medias horarias (año 1999)
Probabilidad 95 %
1 mes
3 meses
6 meses
9 meses
12 meses
Velocidades(m/s)
11.7
12.18
11.02
10.3
10.65
DISCUSION DE RESULTADOS Y CONCLUSIONES
Se realizó un análisis estadístico y probabilístico de velocidades medias horarias anuales de viento atmosférico
mediante registros de 1, 3, 6, 9 y 12 meses de duración. Para demostrar la convergencia de los valores experimentales a
la expresión teórica de Rayleigh, se analizaron muestras anuales de viento atmosférico correspondientes a 1998, 1999 y
2000. Además, se determinó la variación de los valores obtenidos al utilizar los registros de distinta duración y un
mismo un nivel de probabilidad de excedencia.
Se observa que cuando el tiempo de registro de velocidades supera los 6 meses, las constantes determinadas por el
método propuesto por Gumbel (Tabla 1), tienden a estabilizarse en torno al valor real dado por la muestra completa (12
meses). A la misma conclusión se arriba al predecir las velocidades con un nivel de probabilidad constante (Tabla 2).
En la Figura 4 se observa que para una velocidad media horaria de viento constante y tiempos de registros cortos, la
probabilidad de excedencia es mayor que la obtenida con registros más largos y que las expresiones propuestas por
Rayleigh sugieren probabilidades de excedencia mayores que las obtenidas de los registros.
La misma Figura, a la derecha, muestra la convergencia de las probabilidades acumuladas de las velocidades de viento
atmosférico para registros mayores a 1 año. Esto demuestra que para obtener resultados mediante análisis estadístico y
probabilístico es necesario disponer de muestras representativas del proceso aleatorio que se analiza.
De esto es posible inferir que cuando se necesita conocer la velocidad media horaria anual del viento atmosférico en un
lugar, el nivel de precisión estará asociado al tiempo de duración del registro. Por otro lado, cuando se informa el valor
de velocidad media anual correspondiente a un lugar, el mismo debe estar vinculado al nivel de probabilidad de
excedencia adoptado en su determinación.
REFERENCIAS
N. J. Cook, (1985). The designer’s guide to wind loading of building structures. Part 1: Background, damage survey,
wind data and structural classification. Building Research Establishment. 1985, Londres, Inglaterra.
Julius S. Bendat, Allan G. Piersol, (1967). Measurement and Analysis of Random Data, 1967, John Wiley & Sons, Inc.,
EEUU.
Joaquim Blessmann, (1986). O vento na Engenharia Estrutural, 1ª Parte. Curso de Pós-graduação em engenharia civil,
Universidad Federal do Rio Grande do Sul, Escola de Engenharia, 1986, Porto Alegre, Brasil.
Joaquim Blessmann, (1994).O vento na Engenharia Estrutural, 2ª Parte. Curso de Pós-graduação em engenharia civil,
Universidad Federal do Rio Grande do Sul, Escola de Engenharia, 1994, Porto Alegre, Brasil.
H. Tennekes and J. L. Lumley, (1994). A first course in turbulence. The MIT Press, Cambridge, 1994.
Juan R Sequi, Rafael R. Herrera, Carlos D. Rodríguez, Juan C. Marchioli, Alberto D. Fernández (1999). Disponibilidad
eólica en Los Varela - Dpto. Ambato- Catamarca. ASADES Vol. N 3, 1999. Pág. 6.01-6.04.
Marisa Cogliati, Nicolás A. Mazzeo (1999). Climatología del viento en el Alto Valle del Río Negro. ASADES Vol. N 3,
1999. Pág. 6.13-6.16.