,µ (z)= , , , , y ε µ µ µ ε ˆ ˆ y y ε ε

REVISTA COLOMBIANA DE FÍSICA, VOL. 36, No. 1. 2004
PROPAGACIÓN DE ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS A TRAVÉS DE UN
SISTEMA PERIÓDICO DE MULTICAPAS DIELÉCTRICAS ELÉCTRICAMENTE
ANISÓTROPAS UNIÁXICAS
Rugeles Perez A., Segovia Chaves F. A.
Universidad de Nariño
RESUMEN
Se examina la propagación de ondas electromagnéticas en un sistema periódico de multicapas
dieléctricas eléctricamente anisótropas uniáxicas con los ejes ópticos en dirección perpendic ular a las capas. Desarrollando un método matricial se construye la matriz característica del sistema y las curvas de reflectancia y transmitancia vs. periodo del sistema y ángulo de incidencia.
ABSTRACT
The propagation of flat monocromatic electromagnetic waves throughout a one-axis electricanisotropic dielectric system with one-dimensional periodic variation of the permittivity is described. Applying a matrix method, the characteristic matrix of the system and the curves of reflectance and transmittance vs. spatial period of the permittivity are obtained.
Planteamiento del problema. Se analiza un sistema periódico de multicapas dieléctricas
eléctricamente anisótropas uniáxicas con los ejes ópticos en dirección perpendicular a las
capas (eje z). La permitividad y la permeabilidad son:
ε e

ε (z)= εˆ1

εˆ2
ε
s
donde ε e , µe ,
z<0
z j < z < z j +1
z j +1 < z < z j +2
z > NL
,µ
ε
0 
 µe z < 0
 1,2 ⊥ 0


(z)=  µ1 z j < z < z j +1 , εˆ =  0 ε
0 .
1, 2


1,2 ⊥
 µ 2 z j +1 < z < z j + 2


0
0 ε

 µ z > NL
1
,
2
//


 s
(1)
µ1 , µ2 , ε s y µ s son escalares,εˆ1 y εˆ2 son tensores, N es un número entero
par dado, j es un número par que varia entre 0 y N. Utilizando unas coordenadas x,y,z ligadas a los ejes principales del tensor de permitividad se tiene para capas uniáxicas que los
valores principales de la permitividad en x y y son iguales a ε1,2 ⊥ y el valor principal en z
es ε1,2 // [1]. Se examinará la propagación de una onda electromagnética monocromática
plana con el vector eléctrico:
r i (κr . rr - ϖt
Ei e i
),
(2)
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r
r
que incide sobre el sistema en z=0; Ei es la amplitud, κ i el vector de onda y ω la frecuencia. Se aplicará un método matricial que permite calcular la reflectancia y la transmitancia
del sistema como también la polarización de la onda transmitida.
Relaciones principales. En un medio isótropo homogéneo se propagan ondas planas polarizadas linealmente en cualquier dirección con el módulo del vector de onda dado por la relación de dispersión:
κ
2
2
= ϖ µε ,
(3)
Por el contrario, en un medio eléctricamente anisótropo uniáxico para cada dirección definir
da por el vector unitario u =  u , u , u  , se propagan sólo dos ondas planas polarizadas
 x y z
ro
linealmente en direcciones diferentes y fijas [2]: una ordinaria con κ
re
con κ que obedecen a las relaciones:
κ
o2
2
2
= ϖ µε ,
y otra extraordinaria
2
2
κ ex + κ ey
κe
2
+ z =ϖ µ ,
ε //
ε⊥
(4)
respectivamente.
Las componentes del vector eléctrico de la onda extraordinaria cumplen las relaciones [2]:
E
E
e
y
e
x
u
=-
u
κe
y
x
,
E
e
z
E
e
x
u
=-
ϖ 2µ
u
z
κe
2
ϖ 2µ
2
-ε
-ε
⊥
,
(5)
x
//
Las dos direcciones de polarización lineal son propias del medio y los vectores de desplazamiento de las ondas son ortogonales entre sí [3]:
ro re
D .D =0.
(6)
Cálculo de los vectores de onda. La onda incidente (3) genera en el sistema las siguientes
r
ondas planas: en z<0 una onda reflejada con κ r ; entre 0<z<NL en cada capa (n=1,2), debido
r
r
κ no y otra extraordinaria κ ne , y las corresro
re
r
r'
κ
y
κ
κ
y
κ
nr
nr
s
s provepondientes ondas reflejadas
. En z>NL dos ondas transmitidas
a la doble refracción, dos ondas: una ordinaria
nientes de las ondas ordinaria y extraordinaria. El cálculo de los vectores de onda implicados
se realiza utilizando las leyes de la reflexión y refracción (el plano XOZ es el plano de inc i127
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dencia) y las relaciones (3) y (4), obteniendo que las componentes en y son nulas y las componentes en x son iguales entre sí:
o
e
κ ix = κ rx = κ nxo = κ nrx
=κ nxe = κ nrx
=κ
sx
=κ sx' .
(7)
También se obtienen los módulos de los vectores de onda:
'
o
κ i = κ r = ϖ ε e µe , κ s = κ = ϖ ε e µe , κ n = ϖ ε n ⊥ µn ,
s


κ n = ω 2ε n ⊥ µn + 1 e
ε n⊥  2
κ .
ε n//  ix
(8)
Ondas ordinaria y extraordinaria. Ya que los vectores de onda se encuentran en el plano
re r e
XOZ, de (5) y Di = ε ij E j , i, j = x, y , z , se obtiene que en la onda extraordinaria E y D son
ro r
paralelos a XOZ. De (7) se concluye que E y D o de la onda ordinaria son perpendiculares
a XOZ.
r
El vector E i de (3) se descompone en E i ? perpendicular y E i // paralela a XOZ. Exigiendo
la continuidad de las componentes tangenciales de los campos eléctrico y magnético en cada
frontera del sistema, se encuentra que E i ? origina una onda refractada ordinaria y E i // una
onda refractada extraordinaria. En la región z>NL se propagan dos ondas en direcciones
diferentes y con las mismas polarizaciones de las ondas ordinaria y extraordinaria; así el
sistema funciona como polarizador.
Relación entre las amplitudes de la onda incidente, la onda reflejada y las ondas transmitidas. Los vectores de campo de las ondas planas en el sistema son de la for-
ma Eei(κ x x + κ Z z - ωt ) . Para establecer la relación entre las amplitudes de la onda incidente con
las amplitudes de las ondas transmitidas se aplica la condición de continuidad de las componentes tangenciales de los campos eléctrico y magnético en las fronteras entre las capas utilizando para esto un formalismo matricial. Se obtiene el siguiente resultado:
r
 Ei⊥ 
H 
E
H


o  s ⊥  (onda ordinaria) ,  i ⊥ 
e  s ⊥  (onda extraord.) ,
=M 
=M 
 E 
 H 
0 
0





 r⊥ 
 r⊥ 
(9)
donde E i ⊥ , E r ⊥ , H i ⊥ , H r ⊥ son amplitudes de campo evaluadas z=0 y E s ⊥ , H s ⊥ son amo
e
plitudes de campo evaluadas z=NL, M y M son las matrices características del sistema
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para las ondas ordinaria y extraordinaria. De
N −1
(10)
M = De1 PD
D2 s ,
1 12 P2 M 1
donde para las ondas ordinaria y extraordinaria se tiene:
1 1
2 + 2
D j, j+1 = 
1 1
 −
2 2

µ jκ j+1, z
µ j+1κ jz
µ jκ j+1, z
µ j+1κ jz
manera
 1 1 ε j ⊥κ j +1, z
1 1 µ jκ j+1, z 
−
 +

2 2 ε j+1, ⊥κ jz
2 2 µ j+1κ jz  ,
D j , j +1 = 
.
1 1 ε j ⊥κ j +1, z
1 1 µ j κ j +1, z 
 −

+


2 2 µ j+1κ jz 
 2 2 ε j+1,⊥κ jz
unificada
se
1 1 ε j⊥κ j +1,z 
−

2 2 ε j +1,⊥κ jz 
.
1 1 ε j ⊥κ j +1,z 

+
2 2 ε j+1,⊥κ jz 
escribe:
(11)
Estas son expresiones unificadas para las matrices de transmisión que intervienen en
(12): De1 - matriz de transmisión del medio e (z<0) a la primera capa 1 (0<z< l1 ), D12 –
matriz de transmisión de la capa 1 a la capa 2, D2 s - matriz de transmisión de la capa 2 al
 −iΨ j

0  , Ψ = κ o, el , (j=1,2), (12) son matrices de
medio s (z>NL). En (11) Pj =  e
jz j
j


iΨ
0 e j 


propagación. Las matrices en (11) y (12) se calculan utilizando (1), (7) y (8).
Reflectancia y transmitancia. Representando la matriz característica del sistema
como M =  M11 M12  , la reflectancia R y la transmitancia T del sistema, según (9) y (12),
M

 21 M 22 
están dadas por:
 M 21
R = 

2
2
κ M

 .
 , T = sz  21

M 
M
κ 
11 
11 
iz
(13)
Resultados y conclusiones. Con los resultados (10) - (13), se calcula R y T cuando la capa 1
es cuarzo ( ε ⊥ = 2.38 , ε // =2.35) y la capa 2 rutilo ( ε ⊥ = 6.84 , ε // =8.42); siendo estos
valores principales del tensor de permitividad relativos al vacío y para λ = 589nm . Se
escoge N=50, l1 = l 2 = l , en z<0 y z>NL el medio es el vacío. En la Fig.1 (a) se muestran las
curvas de R y T vs.
l
para E i ? (onda ordinaria), y en la Fig. 1 (b) para E i // (onda extraorλ
dinaria), las cuales presentan máximos y mínimos periódicos (estructura cercana a bandas o
brechas de frecuencia) producidos por la reflexión de Bragg. Se cumple que R + T =1 de
acuerdo con la ley de la conservación de la energía.
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a)
b)
Figura 1. (a) Curvas de R (línea continua gruesa) y T (línea discontinua delgada) para E i ? . (b) Curvas
de R y T para E i // . La conservación de la energía R+T=1 esta dada por la recta indic ada con línea
discontinua gruesa.
En la Figura 2 se muestran las curvas de R vs. ángulo de incidencia para E i ? y E i // .En el
segundo caso, R alcanza un mínimo igual a cero para un ángulo de incidencia de aproximadamente 1.2 rad. que corresponde al ángulo de Brewster.
Figura 2. Curvas de R vs. ángulo de incidencia (radianes) para E i ? (línea continua) y E i // (línea
discontinua).
REFERENCIAS
1. BORN M. Principles of optics. New York: Pergamon Press, 1968.
2. CABRERA J. y López F. Optica electromagnética, Vol, 2. Madrid: Adisson-Wesley, 1998.
3. LANDSBERG G.S. Principles of optics. Moscú: Mir, 1976.
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