Apuntes

©2004 Bernardí Cabrer
Econometría Empresarial II · Tema 10
ECONOMETRÍA EMPRESARIAL II
ADE
TEMA 10
MODELOS LINEALES CON ESTACIONALIDAD
Valencia, Marzo 2004
Bernardí Cabrer Borrás
(Análisis Económico)
©2004 Bernardí Cabrer
Econometría Empresarial II · Tema 10
10. MODELOS LINEALES CON ESTACIONALIDAD
10.1 Modelos integrados estacionales simples (SARISMA)
10.2 Modelos estacionales simples (SAR, SMA y SARSMA)
10.1.1 Modelo autoregresivo estacional de primer orden. Modelo
SAR(1)
10.1.2 Modelo de medias móviles estacionales de primer orden. Modelo
SMA(1)
10.3 Modelos mixtos regulares y estacionales ARIMA*SARISMA
10.4 Identificación, estimación, validación y predicción de modelos mixtos
regulares y estacionales
10.5 Práctica con el TRAMO: estimación y validación de una serie con
estacionalidad
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MODELOS INTEGRADOS ESTACIONALES SIMPLES.
(MODELOS ESTACIONALES).
La modelización de las series temporales mediante la metodología ARIMA se
aplican a series de alta frecuencia, generalmente se tratan de datos trimestrales o bien a
datos mensuales, es decir, a la predicción a corto plazo. En las de series de frecuencia
inferior al año (datos trimestrales o mensuales generalmente) y en estos casos la
modelización de la estacionalidad ocupa un papel central.
Los modelos ARIMA estacionales se representan por ARIMAs( P , D , Q ) o bien
SARISMA( P , D , Q ), donde P es el orden de la parte autoregresiva, D es el número
de diferencias estacionales y Q es el orden de la parte de medias móviles.
En general, se dice que una serie se dice que una serie temporal Yt admite una
representación autoregresiva integrada y de medias móviles estacionales de ordenes P ,
D y Q respectivamente, y se denota por SARISMA( P , D , Q ), si es susceptible de ser
modelizada a través de la ecuación:
( 1- Ls ) D Yt = Φ 1 Yt − s + Φ 2 Yt − 2 s + ... + Φ P Yt − Ps + ε t - Θ1 ε t − s - Θ 2 ε t − 2 s - .... - ΘQ ε t − Qs
o bien, utilizando el operador retardo, se tiene:
(1- Φ 1 Ls - Φ 2 L2 s - ... - Φ P LPs ) ( 1- Ls ) D Yt =(1- Θ1 Ls - Θ 2 L2 s - ...- ΘQ LQs ) ε t
(10.1)
donde:
Yt , Yt − s , ... , Yt − Ps son variables aleatorias concebidas como realizaciones de un
proceso estocástico en distintos momentos del tiempo t, t-1, t-2,... , que se
caracterizan por E( Yt ) = E( Yt − s ) = E( Yt − 2 s ) = ... = E( Yt − Ps )
s
es la frecuencia estacional, en el caso de datos trimestrales
mientras que para datos mensuales s =12
s =4,
Φ 1 , Φ 2 , ... , Φ P , Θ1 , Θ 2 , ... , ΘQ junto con la varianza del proceso σ ε2 son
los parámetros que definen el modelo (que deben ser estimados),
εt
es un proceso constituido por variables aleatorias independientes e
igualmente distribuidas (iid) que cumplen:
la esperanza de ε t es nula; E( ε t )= 0
la varianza de ε t es constante; E( ε t ε t + s ) = σ ε2
∀s = 0
las autocovarianzas de ε t son nulas; E( ε t ε t + s ) = 0
∀s ≠ 0
además, la variable ε t se distribuye según una función normal
la variable aleatoria que reúne estas características se denomina, en este
contexto, variable aleatoria ruido blanco.
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Los modelos estacionales más frecuentes son los SARISMA(1,1,0),
SARISMA(0,1,1) y SARISMA(1,1,1) cuyas ecuaciones para datos mensuales ( s =12 )
son:
SARISMA(1,1,0)
( 1- L12 ) Yt = Φ 1 Yt −12 + ε t
SARISMA(1,1,0)
( 1- L12 ) Yt = ε t - Θ1 ε t −12
SARISMA(1,1,1)
( 1- L12 ) Yt = Φ 1 Yt −12 + ε t - Θ1 ε t −12
10.2. MODELOS ESTACIONALES SIMPLES.
Con el fin de profundizar en el análisis de la estacionalidad se van a estudiar las
principales características de los modelos estacionarios (no integrados) más sencillos
SAR(1) y SMA(1). Que se caracterizan por una recurencia en los valores de la serie
cada s periodos temporales.
10.2.1. Modelo autorregresivo estacional de primer orden: Modelo SAR (1).
Se dice que una serie temporal Yt admite una representación autoregresiva
estacional de primer orden, y se denota por SAR(1), si es susceptible de ser modelizada
a través de la ecuación1:
Yt = Φ 1 Yt − s + ε t
(10.2)
donde:
Yt , Yt −1 , ... , Yt − s , ... son variables aleatorias concebidas como realizaciones de
unproceso estocástico en los momentos del tiempo t , t-1 , t-2 , ... , que se
caracterizan por E( Yt ) = E( Yt −1 ) = E( Yt −2 ) = ... valor finito
Φ 1 , junto con la varianza del proceso σ ε2 , son los parámetros que definen el
modelo (que deben ser estimados)
εt
es un proceso constituido por variables aleatorias independientes e
igualmente distribuidas que cumplen:
la esperanza de ε t es nula; E( ε t )= 0
la varianza de ε t es constante; E( ε t ε t + s ) = σ ε2
∀s = 0
las autocovarianzas de ε t son nulas; E( ε t ε t + s ) = 0
∀s ≠ 0
además la variable ε t se distribuye según una normal
la variable aleatoria que reúne estas características se denomina, en este
contexto, variable aleatoria ruido blanco.
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En el modelo propuesto no se considera el término independiente, lo que no afecta en general a la
explicación que se va a desarrollar.
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Condición de estacionariedad.
La modelización de una serie a través de un modelo SAR exige que el modelo
sea estacionario en media y varianza. La condición de estacionariedad en media exige
que la E( Yt ) no sea función del tiempo y, además, la E( Yt ) debe ser finita y
determinada. En el caso presente se tiene:
Yt = Φ 1 Yt − s + ε t
o bien sustituyendo de forma reiterada se obtiene:
t
Yt = ε t + Φ 1 ε t − s + Φ 12 ε t − 2 s + Φ 13 ε t −3s + .... + Φ 1 s Y0
si se supone que Y0 es igual a cero se tiene que la esperanza de Yt es:
E( Yt ) = 0
dado que E( ε t )=0
Así pues la condición de estacionariedad en media exige que la
E( Yt ) no sea función del tiempo y, además, la E( Yt ) debe ser finita y determinada. En
este caso como la esperanza de Yt lo cumple.
El requisito de estacionariedad en varianza para un modelo SAR es que la
varianza sea finita e independiente del tiempo. Una forma de comprobar que el modelo
Yt = Φ 1 Yt − s + ε t es estacionario en varianza es estudiando las raíces del polinomio
característico, que en módulo, deben ser menores de la unidad. Con el fin de comprobar
si el modelo es estacionario en varianza se van a calcular las raíces del polinomio
característico del modelo, para ello se iguala a cero la parte autorregresiva del modelo:
Yt - Φ 1 Yt − s = 0
si ahora, se sustituye Yt por λt se obtiene la ecuación:
λt - Φ 1 λt − s = 0
dividiendo por λt − s se tiene:
λs - Φ 1 = 0
la solución de la ecuación o raíz del polimonomio es:
λ1 =
s
Φ1
Las raíces del polimonomio en modulo deben ser menor que la unidad:
|| λ1 || < 1
o bien en nuestro caso:
| Φ1 | < 1
Así pues, si el modelo especificado para representar la serie Yt = Φ 1 Yt − s + ε t
cumple la condición
| Φ 1 |<1, el modelo es estacionario en media y varianza.
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Condición de invertibilidad.
Invertir un modelo SAR consiste en transformarlo en su
equivalente. En el caso de un modelo SAR(1) se tiene:
modelo SMA
Yt = Φ 1 Yt − s + ε t
o bien
Yt - Φ 1 Yt − s = ε t
utilizando el operador retardo
Yt - Φ 1 Ls Yt = ε t
sacando factor común Yt se tiene:
(1 - Φ 1 Ls ) Yt = ε t
despejando Yt se obtiene:
Yt =
(
1 - Φ 1 Ls
)−1 ε t =
= ( 1 + Φ 1 Ls + Φ 12 L2 s + Φ 13 L3s + ... ) ε t =
= ε t + Φ 1 ε t − s + Φ 12 ε t − 2 s + Φ 13 ε t −3s + Φ 14 ε t − 4 s + ...
Así pues, el modelo SAR(1) estacionario se ha transformado en un modelo de
medias móviles de orden infinito SMA( ∞ ). La condición de invertibilidad en los
modelos autorregresivos estacionales de un número finito de términos se cumple
siempre de forma automática.
Caracterización del modelo SAR(1).
La caracterización de un modelo SAR se efectúa a través de la función de
autocovarianza, la función de autocorrelación (AC) y la función de autocorrelación
parcial (PAC). En primer lugar se va a estudiar la función de autocovarianza, en
segundo lugar la AC y por último la PAC.
Función de autocovarianza.
Se entiende por función de autocovarianza a las sucesivas covarianzas de
distintos órdenes de una variable con ella misma desfasada diferentes órdenes o
períodos. La función de autocovarianza se define como:
γ τ = cov( Yt Yt −τ ) = E[( Yt -E( Yt ))( Yt −τ -E( Yt −τ ))]
En el caso presente, dado que E( Yt ) = E( Yt −τ ) = 0, la función de autocovarianza se
puede expresar como:
γ τ = cov( Yt Yt −τ ) = E( Yt Yt −τ )
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Para el valor τ =0 , la autocovarianza de orden cero es realmente la varianza.
Autocovarianza de orden cero (varianza):
γ 0 = E( Yt Yt ) = E ( Φ 1 Yt − s + ε t
)2
= E( Φ 12 Yt 2− s + ε t2 + 2 Φ 1 Yt − s ε t ) =
= Φ 12 E( Yt 2− s ) + E( ε t2 ) + 2 Φ 1 E( Yt − s ε t ) =
= Φ 12 γ 0 + σ ε2
Despejando se obtiene la varianza o autocovarianza de orden cero:
γ0 =
1
σ ε2
2
1 − Φ1
Autocovarianza de orden uno:
γ 1 =E( Yt Yt −1 ) =E(( Φ 1 Yt − s + ε t ) Yt −1 ) = 0
Autocovarianza de orden dos:
γ 2 =E( Yt Yt −2 ) =E(( Φ 1 Yt − s + ε t ) Yt −2 ) = 0
Autocovarianza de orden tres:
γ 3 = E( Yt Yt −3 )=E(( Φ 1 Yt − s + ε t ) Yt −3 ) = 0
...
Autocovarianza de orden s :
γ s =E( Yt Yt − s )=E(( Φ 1 Yt − s + ε t ) Yt − s )= Φ 1 γ 0
Autocovarianza de orden s +1:
γ s +1 =E( Yt Yt −( s +1) )=E(( Φ 1 Yt − s + ε t ) Yt −( s +1) )=0
...
Autocovarianza de orden 2 s :
γ 2 s =E( Yt Yt − 2 s )=E(( Φ 1 Yt − s + ε t ) Yt − 2 s )= Φ 1 γ s
...
Autocovarianza de orden 3 s :
γ 3 s =E( Yt Yt −3 s )=E(( Φ 1 Yt − s + ε t ) Yt −3 s )= Φ 1 γ 2 s
...
Procediendo de forma análoga, se deduce la función de autocovarianza para un
modelo SAR(1), que es:
γτ
=
1
σ ε2
2
1 − Φ1
para τ = 0
Φ 1τ s γ 0
para τ = s, 2 s, 3s, 4 s, ....
0
para el resto de los casos
La limitación principal de la función de autocovarianza es que depende de las
unidades de medida de las distintas series objeto del análisis. Con el fin de superar esta
limitación se utiliza en su lugar la función de autocorrelación.
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Función de autocorrelación (AC).
Se entiende por AC a los sucesivos coeficientes de correlación de distintos
órdenes de una variable con ella misma desfasada diferentes órdenes o períodos. La AC
se define como:
ρτ =
cov(Yt Yt −τ )
E (Yt Yt −τ )
=
var(Yt )
E (Yt ) 2
La AC proporciona información sobre la relación lineal entre la misma serie
separadas por τ unidades temporales, en el caso de un modelo SAR(1) se tiene:
La AC de orden uno:
ρ1 =
E (Yt Yt −1 )
=0
E (Yt ) 2
La AC de orden dos:
ρ2 =
E (Yt Yt −2 )
=0
E (Yt ) 2
La AC de orden tres:
ρ3 =
E (Yt Yt −3 )
=0
E (Yt ) 2
La AC de orden s :
ρs =
E (Yt Yt − s )
= Φ1
E (Yt ) 2
La AC de orden s +1:
ρ s +1 =
...
E (Yt Yt −( s +1) )
E (Yt ) 2
=0
...
ρ 2s =
La AC de orden 2 s :
E (Yt Yt − 2 s )
= Φ 12
2
E (Yt )
...
Procediendo de forma análoga, se deduce la función de autocorrelación para un
modelo SAR(1), que es:
para τ = 0
1
ρτ
=
τ s
Φ1
para τ = s, 2 s, 3s, 4 s, ....
0
para el resto de los casos
Función de autocorrelación parcial (PAC).
Se entiende por la PAC de una serie temporal a la sucesión formada por: Φ 11
Φ 22 Φ 33 Φ 44 ....... Φ ττ ....... En donde cada uno de los valores de la PAC por ejemplo
el de orden τ , es decir, Φ ττ se define como la interrelación entre las variables Yt e Yt −τ
, eliminando los efectos lineales de las variables: Yt −1 ; Yt − 2 ; Yt −3 ; ... ; Yt −τ +1
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En el caso particular de un modelo SAR(1) el único modelo autoregresivo que
tiene sentido especificar es el de orden s :
Yt = Φ ss Yt − s + ε t
En este caso, la función de autocorrelación parcial (PAC) tiene el valor de orden
s distinto de cero y el resto de valores son iguales a cero. Así se tiene:
Φ ττ = Φ ss = Φ 1 = ρ s
para τ =1
Φ ττ = 0
para τ ≠ 1
Correlograma.
Es la representación gráfica de la función de autocorrelación y de la función de
autocorrelación parcial, que se acostumbra representar por las iniciales en inglés AC y
PAC respectivamente. En el Gráfico 10.1 y Gráfico 10.2 se representan los
correlogramas (AC y PAC) de modelos estacionales con datos trimestrales ( s =4)
Correlograma del modelo Yt = 0,7 Yt − 4 + ε t
Gráfico 10.1
Autocorrelation
|
|
|
|
|
|
|***** |
|
|
|
|
|
|
|**** |
|
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|
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|
|
|*** |
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|** |
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|***** |
|
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|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AC
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
0.00
0.00
0.00
0.70
0.00
0.00
0.00
0.49
0.00
0.00
0.00
0.35
0.00
0.00
0.00
0.22
0.00
PAC
0.00
0.00
0.00
0.70
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
Q-Stat
Prob
1.5267
2.2014
4.0441
3934.7
3935.2
3936.4
3940.1
5824.2
5824.2
5825.9
5828.1
6721.7
6722.4
6727.2
6727.7
7129.2
7129.4
0.217
0.333
0.257
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
Correlograma del modelo Yt = -0,7 Yt − 4 + ε t
Gráfico 10.2
Autocorrelation
|
|
|
*****|
|
|
|
|****
|
|
Partial Correlation
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Partial Correlation
|
|
|
*****|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
AC
PAC
Q-Stat
Prob
0.00
0.00
0.00
-0.70
0.00
0.00
0.00
0.49
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
-0.70
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
1.5267
2.2014
4.0441
3934.7
3935.2
3936.4
3940.1
5824.2
5824.2
5825.9
0.217
0.333
0.257
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
8
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|
***|
|
|
|
|**
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
11
12
13
14
15
16
17
0.00
-0.35
0.00
0.00
0.00
0.22
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
0.00
5828.1
6721.7
6722.4
6727.2
6727.7
7129.2
7129.4
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
En el Gráfico 10.3 y Gráfico 10.4 se representan los correlogramas (AC y PAC)
de modelos estacionales con datos mensuales ( s =12)
Correlograma del modelo Yt = 0,6 Yt −12 + ε t
Gráfico 10.3
Autocorrelation
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|****
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|***
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|*
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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|
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Partial Correlation
|
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|
|
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|
|
|****
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AC
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
PAC
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.600 0.600
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.360 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 -0.003
0.216 -0.004
Q-Stat
Prob
0.7689
2.2455
4.2821
4.3713
6.2620
6.5536
10.765
10.918
11.938
12.386
13.138
2597.2
2597.3
2600.7
2602.8
2603.0
2603.6
2604.2
2607.3
2608.4
2608.4
2610.2
2610.4
3422.9
3423.4
3428.5
3428.9
3429.6
3430.1
3430.2
3435.7
3437.6
3437.9
3437.9
3438.8
3686.5
0.381
0.325
0.233
0.358
0.282
0.364
0.149
0.206
0.217
0.260
0.284
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
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Correlograma del modelo Yt = -0,6 Yt −12 + ε t
Gráfico 10.4
Autocorrelation
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Partial Correlation
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**** |
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AC
PAC
1 0.000 0.000
2 0.000 0.000
3 0.000 0.000
4 0.000 0.000
5 0.000 0.000
6 0.000 0.000
7 0.000 0.000
8 0.000 0.000
9 0.000 0.000
10 0.000 0.000
11 0.000 0.000
12 -0.600 -0.600
13 0.000 0.000
14 0.000 0.000
15 0.000 0.000
16 0.000 0.000
17 0.000 0.000
18 0.000 0.000
19 0.000 0.000
20 0.000 0.000
21 0.000 0.000
22 0.000 0.000
23 0.000 0.000
24 0.360 0.000
25 0.000 0.000
26 0.000 0.000
27 0.000 0.000
28 0.000 0.000
29 0.000 0.000
30 0.000 0.000
31 0.000 0.000
32 0.000 0.000
33 0.000 0.000
34 0.000 0.000
35 0.000 -0.003
36 -0.216 -0.004
Q-Stat
Prob
0.7689
2.2455
4.2821
4.3713
6.2620
6.5536
10.765
10.918
11.938
12.386
13.138
2597.2
2597.3
2600.7
2602.8
2603.0
2603.6
2604.2
2607.3
2608.4
2608.4
2610.2
2610.4
3422.9
3423.4
3428.5
3428.9
3429.6
3430.1
3430.2
3435.7
3437.6
3437.9
3437.9
3438.8
3686.5
0.381
0.325
0.233
0.358
0.282
0.364
0.149
0.206
0.217
0.260
0.284
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
10.2.2. Modelo de medias móviles estacional de primer orden: Modelo SMA(1).
Se dice que una serie temporal Yt admite una representación de medias móviles
estacionales (SMA) de primer orden, y se denota por SMA(1), si es susceptible de ser
modelizada a través de la ecuación2:
Yt =
ε t - Θ1 ε t − s
(10.3)
donde:
Yt
es una variable aleatoria concebida como una realización de un proceso
estocástico en los momentos del tiempo t ; t-1 ; t-2; ...
2
En el modelo propuesto no se considera el término independiente, lo que no afecta en general a la
explicación que se va a desarrollar.
10
©2004 Bernardí Cabrer
Econometría Empresarial II · Tema 10
2
Θ1 , junto con la varianza del proceso σ ε , son los parámetros que definen el
modelo (que deben ser estimados),
εt
es un proceso constituido por variables aleatorias independientes e
igualmente distribuidas que cumplen:
la esperanza de ε t es nula; E( ε t )= 0
la varianza de ε t es constante; E( ε t ε t + s ) = σ ε2
∀s = 0
las autocovarianzas de ε t son nulas; E( ε t ε t + s ) = 0
∀s ≠ 0
además la variable ε t se distribuye según una función normal
la variable aleatoria que reúne estas características se denomina, en este
contexto, variable aleatoria ruido blanco.
Condición de estacionariedad.
La modelización de una serie a través de un modelo SMA exige que el modelo
sea estacionario en media y varianza. La condición de estacionariedad en media exige
que la E( Yt ) no sea función del tiempo y, además, la E( Yt ) debe ser finita y
Yt = ε t - Θ1 ε t − s
determinada. En el caso presente se tiene:
mientras que la esperanza de Yt es:
E( Yt ) = E ( ε t - Θ1 ε t − s ) = 0
Dado que E( ε t )=0 , la condición de estacionariedad en media exige que la
E( Yt ) no sea función del tiempo y, además, la E( Yt ) debe ser finita y determinada. En
el presente caso se cumple la condición de estacionario en media.
El requisito de estacionariedad en varianza para un modelo SMA finito se
cumple automáticamente ya que la varianza de un SMA finito será siempre finita. Así
pues, el modelo especificado para representar la serie Yt = ε t - Θ1 ε t − s cumple la
condición de estacionario en media y varianza.
Condición de invertibilidad.
Invertir un modelo SMA consiste en transformarlo en su modelo SAR
equivalente. El requisito para que se pueda invertir un modelo SMA es que las raíces
del polinomio característico, en módulo, sean menores que la unidad. Con el fin de
comprobar si el modelo es invertible se van a calcular las raíces del polinomio
característico del modelo. Para ello se iguala a cero la parte de medias móviles del
modelo:
ε t - Θ1 ε t − s = 0
si ahora, se sustituye ε t por λt se obtiene la ecuación:
λt - Θ1 λt − s = 0
dividiendo por λt −1 se tiene:
λ s - Θ1 = 0
la solución de la ecuación es:
λ1 =
s
Θ1
11
©2004 Bernardí Cabrer
Econometría Empresarial II · Tema 10
La condición de invertibilidad es que las raíces en modulo deben ser menores que la
unidad:
|| λ1 || < 1
o bien en nuestro caso:
| Θ1 | < 1
Así pues, si Θ1 , en valor absoluto, es menor que la unidad el modelo
Yt = ε t - Θ1 ε t − s es invertible.
En el caso de un modelo SMA(1), la inversión del modelo, esto es, su
conversión en el modelo SAR equivalente, da como resultado:
Yt = ε t - Θ1 ε t − s
utilizando el operador retardo
Yt = ε t - Θ1 Ls ε t
sacando factor común ε t se tiene:
Yt = (1 - Θ1 Ls ) ε t
despejando ε t se obtiene:
εt =
(
1 - Θ1 Ls
) −1
Yt =
= Yt + Θ1 Yt − s + Θ12 Yt − 2 s + Θ13 Yt −3 s + Θ14 Yt − 4 s + ...
Así pues, el modelo SMA(1) invertible se ha transformado en un modelo
autorregresivo de orden infinito SAR( ∞ ). La condición de invertibilidad en los modelos
de medias móviles requiere que las raíces del polinomio característico, en módulo, sean
menores que la unidad.
Caracterización del modelo SMA(1).
La caracterización de un modelo SMA se efectúa a través de la función de
autocovarianza, la función de autocorrelación (AC) y la función de autocorrelación
parcial (PAC). En primer lugar se va a estudiar la función de autocovarianza, en
segundo lugar la AC y por último la PAC.
Función de autocovarianza.
Se entiende por función de autocovarianza a las sucesivas covarianzas de
distintos órdenes de una variable con ella misma desfasada diferentes órdenes o
períodos. La función de autocovarianza se define como:
γ τ = cov( Yt Yt −τ ) = E[( Yt -E( Yt ))( Yt −τ -E( Yt −τ ))]
En el caso presente, dado que E( Yt ) = E( Yt −τ ) = 0, la función de autocovarianza se
puede expresar como:
γ τ = cov( Yt Yt −τ ) = E( Yt Yt −τ )
Para el valor τ =0 , la autocovarianza de orden cero que es realmente la varianza.
Autocovarianza de orden cero (varianza):
γ 0 = E( Yt Yt ) = E ( ε t - Θ1 ε t − s
)2
= E( ε t2 + Θ12 ε t2− s - 2 Θ1 ε t ε t − s ) =
12
©2004 Bernardí Cabrer
Econometría Empresarial II · Tema 10
= E( ε t2 ) + Θ12 E( ε t2− s )- 2 Θ1 E( ε t ε t −1 ) = σ ε2 + Θ12 σ ε2 = (1 + Θ12 ) σ ε2
Autocovarianza de orden cero:
γ 0 = (1 + Θ12 ) σ ε2
Autocovarianza de orden uno:
γ 1 =E( Yt Yt −1 )= E( ε t - Θ1 ε t − s )( ε t −1 - Θ1 ε t −( s +1) )=0
Autocovarianza de orden dos:
γ 2 = E( Yt Yt −2 ) = 0
Autocovarianza de orden tres:
γ 3 = E( Yt Yt −3 ) = 0
.....
.....
γ 3 = E( Yt Yt − s )= E( ε t - Θ1 ε t − s )( ε t − s - Θ1 ε t −2s ) ) =
Autocovarianza de orden s :
= - Θ1 σ ε2
Autocovarianza de orden s +1:
γ s +1 =E( Yt Yt −( s +1) ) = 0
...
Autocovarianza de orden 2 s :
γ 2 s =E( Yt Yt − 2 s ) = 0
...
Autocovarianza de orden 3 s :
γ 3 s =E( Yt Yt −3 s ) =0
...
Procediendo de forma análoga, se deduce la función de autocovarianza para un
modelo SMA(1), que es:
γτ
=
(1 + Θ12 )σ ε2
para τ = 0
− Θ1 σ ε2
para τ = s
0
para el resto de los casos
La limitación principal de la función de autocovarianza es que depende de las
unidades de medida de las distintas series objeto del análisis. Con el fin de superar esta
limitación se utiliza en su lugar la función de autocorrelación.
Función de autocorrelación (AC).
Se entiende por AC a los sucesivos coeficientes de correlación de distintos
órdenes de una variable con ella misma desfasada diferentes órdenes o períodos. La AC
se define como:
13
©2004 Bernardí Cabrer
Econometría Empresarial II · Tema 10
ρτ =
cov(Yt Yt −τ )
E (Yt Yt −τ )
=
var(Yt )
E (Yt ) 2
La AC proporciona información sobre la relación lineal entre la misma serie
separadas por τ unidades temporales, en el caso de un modelo SMA(1) se tiene:
La AC de orden uno:
ρ1 =
E (Yt Yt −1 )
=0
E (Yt ) 2
La AC de orden dos:
ρ2 =
E (Yt Yt − 2 )
=0
E (Yt ) 2
La AC de orden tres:
ρ3 =
E (Yt Yt −3 )
=0
E (Yt ) 2
La AC de orden s :
ρs =
E (Yt Yt − s )
− Θ1
=
2
E (Yt )
1 + Θ12
La AC de orden s +1:
ρ s +1 =
...
E (Yt Yt −( s +1) )
E (Yt ) 2
=0
...
...
ρ 2s =
La AC de orden 2 s :
E (Yt Yt − 2 s )
=0
E (Yt ) 2
...
Procediendo de forma análoga, se deduce la función de autocorrelación para un
modelo SMA(1), que es:
1
ρτ
=
− Θ1
1 + Θ12
0
para τ = 0
para τ = s
para el resto de los casos
Función de autocorrelación parcial (PAC).
Se entiende por la PAC de una serie temporal a la sucesión formada por: Φ 11
Φ 22 Φ 33 Φ 44 ....... Φ ττ ....... En donde cada uno de los valores de la PAC por ejemplo
el de orden τ , es decir, Φ ττ se define como la interrelación entre las variables Yt e
Yt −τ , eliminando los efectos lineales de las variables: Yt −1 ; Yt − 2 ; Yt −3 ; ... ; Yt −τ +1
14
©2004 Bernardí Cabrer
Econometría Empresarial II · Tema 10
En el caso particular de un modelo SMA(1) invertible (se puede obtener el
modelo SAR( ∞ ) equivalente) se pueden plantear infinitos modelos autoregresivos:
Yt = φ11 Yt −1 + ε t
Yt = φ 21 Yt −1 + φ 22 Yt − 2 + ε t
Yt = φ 31 Yt −1 + φ 32 Yt − 2 + φ 33 Yt −3 + ε t
.....
.....
Yt = φ s1 Yt −1 + φ s 2 Yt − 2 + φ s 3 Yt −3 + ...... + φ ss Yt − s + ε t
...
En este caso, la función de autocorrelación parcial se define a través del siguiente
sistema:
1
1 + Θ12
φττ =
para τ = s
para τ = 2 s, 3s, 4 s,5s, ....
≠0
0
para el resto de los casos
Correlograma.
Es la representación gráfica de la función de autocorrelación y de la función de
autocorrelación parcial, que se acostumbra representar por las iniciales en inglés AC y
PAC respectivamente. En el Gráfico 10.5 y Gráfico 10.6 se representan los
correlogramas (AC y PAC) de modelos estacionales con datos trimestrales ( s =4)
Correlograma del modelo Yt = ε t - 0.8 ε t − 4
Gráfico 10.5
Autocorrelation
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****|
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Partial Correlation
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****|
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**|
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**|
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*|
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AC
PAC
1 0.000 0.000
2 0.000 0.000
3 0.000 0.000
4 -0.488 -0.488
5 0.000 0.000
6 0.000 0.000
7 0.000 0.000
8 0.000 -0.315
9 0.000 0.000
10 0.000 0.000
11 0.000 0.000
12 0.000 -0.219
13 0.000 0.000
14 0.000 0.000
15 0.000 0.000
16 0.000 -0.162
17 0.000 0.000
Q-Stat
Prob
0.3215
0.4372
3.1164
1915.7
1916.1
1916.8
1919.4
1919.6
1919.6
1920.6
1920.6
1920.9
1922.0
1922.0
1922.3
1922.4
1922.5
0.571
0.804
0.374
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
15
©2004 Bernardí Cabrer
Econometría Empresarial II · Tema 10
Correlograma del modelo Yt = ε t + 0.8 ε t − 4
Gráfico 10.6
Autocorrelation
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|**** |
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Partial Correlation
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|**** |
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|
**|
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|
|
|
|
|** |
|
|
|
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|
*|
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AC
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
PAC
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.488 0.488
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 -0.315
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.219
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 -0.162
0.000 0.000
Q-Stat
Prob
0.3215
0.4372
3.1164
1915.7
1916.1
1916.8
1919.4
1919.6
1919.6
1920.6
1920.6
1920.9
1922.0
1922.0
1922.3
1922.4
1922.5
0.571
0.804
0.374
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
En el Gráfico 10.7 y Gráfico 10.8 se representan los correlogramas (AC y PAC)
de modelos estacionales con datos mensuales ( s =12)
Correlograma del modelo Yt = ε t - 0.9 ε t −12
Gráfico 10.7
Autocorrelation
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****|
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Partial Correlation
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|
****|
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|
|
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***|
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**|
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AC
PAC
1 0.000 0.000
2 0.000 0.000
3 0.000 0.000
4 0.000 0.000
5 0.000 0.000
6 0.000 0.000
7 0.000 0.000
8 0.000 0.000
9 0.000 0.000
10 0.000 0.000
11 0.000 0.000
12 -0.491 -0.490
13 0.000 0.000
14 0.000 0.000
15 0.000 0.000
16 0.000 0.000
17 0.000 0.000
18 0.000 0.000
19 0.000 0.000
20 0.000 0.000
21 0.000 0.000
22 0.000 0.000
23 0.000 0.000
24 0.000 -0.341
25 0.000 0.000
26 0.000 0.000
27 0.000 0.000
28 0.000 0.000
29 0.000 0.000
30 0.000 0.000
31 0.000 0.000
32 0.000 0.000
33 0.000 0.000
34 0.000 0.000
35 0.000 0.000
36 0.000 -0.230
Q-Stat
Prob
0.1289
0.4236
1.5030
1.5259
3.6119
4.6451
7.3762
7.5092
8.0215
8.1055
9.6799
1959.7
1960.3
1960.9
1961.6
1961.6
1961.6
1964.0
1965.2
1966.2
1966.2
1967.7
1967.9
1970.7
1970.7
1975.2
1975.2
1975.8
1975.8
1977.5
1980.1
1983.4
1984.1
1984.2
1984.2
1989.0
0.720
0.809
0.682
0.822
0.607
0.590
0.391
0.483
0.532
0.619
0.559
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
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©2004 Bernardí Cabrer
Gráfico 10.7
Econometría Empresarial II · Tema 10
Correlograma del modelo Yt = ε t + 0.9 ε t −12
Autocorrelation
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Partial Correlation
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|** |
AC
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
PAC
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.491 0.490
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 -0.341
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.000
0.000 0.230
Q-Stat
Prob
0.1289
0.4236
1.5030
1.5259
3.6119
4.6451
7.3762
7.5092
8.0215
8.1055
9.6799
1959.7
1960.3
1960.9
1961.6
1961.6
1961.6
1964.0
1965.2
1966.2
1966.2
1967.7
1967.9
1970.7
1970.7
1975.2
1975.2
1975.8
1975.8
1977.5
1980.1
1983.4
1984.1
1984.2
1984.2
1989.0
0.720
0.809
0.682
0.822
0.607
0.590
0.391
0.483
0.532
0.619
0.559
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
El estudio de los modelos estacionarios estacionales se ha centrado en los
modelos SAR(1) y SMA(1) que son en la realidad los más habituales, sin embargo el
análisis se podría generalizar a los modelos SAR(2), SMA(2) y SARSMA(1,1).
Además se tiene que tener en cuenta que las series temporales con estacionalidad no son
estacionarios lo que exige para su modelización una transformación previa mediante la
diferenciación. En estos casos nos encontramos ante los modelos SARISMA. Una de las
posibles fuentes de la no estacionariedad en este tipo de series puede provenir de la
estacionalidad no rígida, lo que provocan puntas de estacionalidad se agudicen con el
trascurso del tiempo.
10.3. MODELOS MIXTOS REGULARES Y ESTACIONALES.
En el análisis de las series temporales es frecuente encontrar modelos que
son el resultado del producto entre un modelo regular y un modelo estacional, esto es:
ARMA(p,q)*SARSMA(P,Q) o bien el caso de que la serie no sea estacionaria, lo más
usual, el modelo adecuado seria el siguiente: ARIMA(p,d,q)*SARISMA(P,D,Q).
El modelo general ARIMA(p,d,q)*SARISMA(P,D,Q) se corresponde con la
siguiente ecuación:
17
©2004 Bernardí Cabrer
Econometría Empresarial II · Tema 10
(1- ... - φ p Lp )(1- ...- Φ P LPs ) ( 1- L ) d ( 1- Ls ) D Yt = (1- ...- θ q Lq ) (1- ...- ΘQ LQs ) ε t
Con el fin de comprobar las caracteristicas generales de los modelos mixtos se
presentan la AC y la PAC de los modelos mixtos regulares y estacionales que sean
estacionarios. En estos casos los modelos más habituales que son los siguientes:
ARMA(0,1)*SARSMA(0,1); ARMA(1,0)*SARSMA(1,0) y ARMA(0,1)*SARSMA(1,0). En
estos modelos se va a representar la función de autocorrelación (AC) y la función de
autocorrelación parcial (PAC) de diversos modelos..
El modelo ARMA(0,1)*SARSMA(0,1) se puede escribir como:
Yt = (1- θ 1 L ) (1- Θ1 Ls ) ε t
o bien operando se tiene:
Yt = (1- θ 1 L - Θ1 Ls + θ 1 Θ1 Ls +1 ) ε t
Yt = ε t - θ 1 ε t −1 - Θ1 ε t − s + θ 1 Θ1 ε t − ( s +1)
para el caso de datos mensuales s =12 la ecuación se puede escribir como:
Yt = ε t - θ 1 ε t −1 - Θ1 ε t −12 + θ 1 Θ1 ε t −13
es decir:
Gráfico 10.7 Correlograma del modelo:
Yt = ε t -0.7 ε t −1 -0.9 ε t −12 +0.63 ε t −13
Autocorrelation
****|
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|**
****|
|**
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Partial Correlation
****|
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*|
*|
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**|
**|
*|
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*|
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*|
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1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
Gráfico 10.8 Correlograma del modelo:
Yt = ε t +0.7 ε t −1 +0.9 ε t −12 +0.63 ε t −13
AC
PAC
-0.463
-0.007
0.000
0.003
0.000
-0.013
0.023
-0.009
0.006
-0.019
0.244
-0.483
0.209
0.011
-0.001
0.000
-0.008
0.024
-0.036
0.018
-0.019
0.039
-0.012
-0.021
0.020
-0.003
-0.012
0.023
-0.010
-0.014
0.033
-0.021
0.021
-0.030
0.005
0.011
-0.463
-0.282
-0.186
-0.123
-0.082
-0.075
-0.031
-0.020
-0.004
-0.024
0.328
-0.283
-0.191
-0.136
-0.096
-0.070
-0.053
-0.025
-0.038
-0.019
-0.035
-0.004
0.234
-0.172
-0.114
-0.078
-0.080
-0.021
-0.025
-0.022
0.002
0.000
0.006
0.001
0.166
-0.126
Autocorrelation
|**** |
|
|
|
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|** |
|**** |
|** |
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Partial Correlation
|****
**|
|*
*|
|*
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|***
|**
*|
|*
*|
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**|
*|
|*
*|
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|*
|*
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1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
AC
PAC
0.469
-0.010
-0.015
0.000
0.021
0.027
0.022
0.001
-0.008
0.006
0.245
0.491
0.224
0.000
-0.004
-0.001
0.011
0.023
0.015
-0.005
0.003
0.017
0.003
-0.017
0.000
0.022
0.006
-0.008
0.005
0.024
0.015
-0.007
-0.002
0.000
-0.013
-0.025
0.469
-0.294
0.181
-0.114
0.102
-0.047
0.049
-0.043
0.025
-0.004
0.360
0.263
-0.172
0.136
-0.091
0.058
-0.045
0.041
-0.038
0.023
0.000
0.005
-0.251
-0.167
0.132
-0.080
0.046
-0.040
0.045
-0.013
0.023
-0.027
0.009
-0.022
0.184
0.092
En el Gráfico 10.9 y Gráfico 10.10 se representan las AC y las PAC de dos
modelos ARMA(0,1)*SARSMA(0,1) en las que se puede observar valores elevados de
18
©2004 Bernardí Cabrer
Econometría Empresarial II · Tema 10
los primeros valores de ambas funciones y en los valores próximos a los ordenes
estacionales (orden 12, 24 y 36)
El modelo ARMA(1,0)*SARSMA(1,0) se puede escribir como:
(1- φ1 L ) (1- Φ 1 Ls ) Yt = ε t
(1- φ1 L - Φ 1 Ls + θ 1 Φ 1 Ls +1 ) Yt = ε t
o bien operando se tiene:
Yt = φ1 Yt −1 + Φ 1 Yt − s - θ 1 Φ 1 Yt −( s +1) + ε t
para el caso de datos mensuales s =12 la ecuación se puede escribir como:
Yt = φ1 Yt −1 + Φ 1 Yt −12 - θ 1 Φ 1 Yt −13 + ε t
es decir:
Gráfico 10.9 Correlograma del modelo:
Gráfico 10.10 Correlograma del modelo:
Yt = 0.3 Yt −1 + 0.5 Yt −12 -0.15 Yt −13 + ε t
Autocorrelation
|**
|*
|
|
|
|
|
|
|
|
|*
|****
|*
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|*
|**
|*
|
|
|
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|
|
|
|*
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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Partial Correlation
|**
|
|
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|
|
|*
|***
*|
|
|
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|
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AC
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
0.300
0.090
0.027
0.008
0.002
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.155
0.492
0.143
0.050
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.034
0.076
0.231
0.075
0.041
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.024
0.098
Yt = -0.3 Yt −1 -0.5 Yt −12 +0.15 Yt −13 + ε t
PAC
Autocorrelation
0.300
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.141
0.453
-0.159
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.009
-0.013
-0.012
0.021
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.002
-0.007
*****|
|
|**** |
***|
|
|** |
*|
|
|
|
|
|
*|
|
|** |
***|
|
|**** |
******|
|
|***** |
****|
|
|*** |
**|
|
|*
|
*|
|
|
|
|*
|
*|
|
|** |
***|
|
|**** |
*****|
|
|**** |
****|
|
|*** |
**|
|
|*
|
|
|
|
|
|*
|
**|
|
|** |
***|
|
Partial Correlation
*****|
|
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|*
*|
|*
**|
|**
****|
|*
|
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|
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1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
AC
PAC
-0.669
0.465
-0.322
0.208
-0.110
0.024
0.064
-0.145
0.242
-0.362
0.514
-0.751
0.708
-0.553
0.404
-0.282
0.170
-0.074
0.000
0.089
-0.177
0.282
-0.394
0.568
-0.637
0.583
-0.470
0.357
-0.238
0.136
0.000
0.000
0.120
-0.211
0.302
-0.437
-0.669
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.086
-0.089
0.141
-0.198
0.289
-0.547
0.148
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.014
0.021
-0.005
-0.006
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.003
-0.013
-0.016
El modelo ARMA(0,1)*SARSMA(1,0) se puede escribir como:
(1- Φ 1 Ls ) Yt =(1- θ 1 L ) ε t
o bien operando se tiene:
Yt = Φ 1 Yt − s + ε t - θ 1 ε t −1
para el caso de datos mensuales s =12 la ecuación se puede escribir como:
Yt = Φ 1 Yt −12 + ε t - θ 1 ε t −1
19
©2004 Bernardí Cabrer
Econometría Empresarial II · Tema 10
Gráfico 10.11 Correlograma del modelo:
Yt = +0.3 Yt −12 + ε t - 0.5 ε t −1
Autocorrelation
Partial Correlation
***|
|
|
|
|
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1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
Gráfico 10.12 Correlograma del modelo:
Yt = -0.3 Yt −12 + ε t + 0.5 ε t −1
AC
PAC
Autocorrelation
Partial Correlation
-0.395
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
-0.108
0.299
-0.134
0.015
-0.011
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
-0.031
0.069
-0.034
0.019
-0.009
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
-0.001
0.011
-0.395
-0.186
-0.099
-0.057
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
-0.142
0.238
0.097
0.059
0.026
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.016
-0.016
-0.005
0.012
0.010
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
-0.006
-0.009
|***
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*|
**|
*|
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**|
|*
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**|
|*
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1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
AC
PAC
0.409
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
-0.119
-0.297
-0.138
-0.013
-0.011
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.047
0.082
0.049
0.019
0.018
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
-0.030
-0.034
0.409
-0.192
0.096
-0.043
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
-0.137
-0.237
0.101
-0.056
0.016
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
-0.011
-0.003
0.011
0.007
0.006
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
-0.002
-0.009
En la practica nos encontramos que la mayoría de las series temporales
económicas son no estacionarias y en este caso la modelización se debe efectuar
mediante un modelo mixto regular y estacional no estacionario. Es decir mediante un
modelo ARIMA(p,d,q)*SARISMA(P,D,Q). Al igual que en el caso de los modelos
regulares la forma de convertir una serie no estacionaria en estacionaria es mediante
diferenciación ordinaria y/o mediante diferencias estacionales. En otros casos la
transformación adecuada de la serie original es la logarítmica para posteriormente
diferenciarla.
20
©2004 Bernardí Cabrer
Econometría Empresarial II · Tema 10
10.4. IDENTIFICACIÓN, ESTIMACIÓN, VALIDACIÓN Y PREDICCIÓN DE
LOS MODELOS MIXTOS REGULARES Y ESTACIONALES.
Al igual que en los modelos regulares las fases o etapas a cubrir en la
identificación (especificación), estimación y predicción de la modelización de los
modelos mixtos regulares y estacionales ARIMA(p,d,q)*SARISMA(P,D,Q) son las
siguientes:
1.
2.
3.
4.
Planteamiento del problema y recogida de datos
Representación gráfica de serie
Transformación previa (logaritmo neperiano)
Tratamiento de la estacionariedad (Se convierte la serie en estacionaria mediante la
diferenciación )
5. Inclusión o no de componente estacional
6. Inclusión o no de componente irregular (outlier, efecto calendario laboral, efecto
Pascua, ...)
7. Identificación o especificación del modelo
8. Estimación de los parámetros (incluida la media)
9. Contraste de significabilidad de los coeficientes del modelo (t-Student)
10. Contraste de significabilidad del modelo (análisis de la estacionariedad e
invertibilidad, AIC-Akaike, BIC, función objetivo)
11. Contraste las hipótesis del modelo especificado a partir de los residuos (normalidad,
no autocorrelación, aleatoriedad, y homoscedasticidad,)
12. Selección del modelo más adecuado
13. Predicción
En la práctica se recomienda tratar conjuntamente algunas de las fases o etapas e
incluso el orden de las etapas aconsejar. En el presente caso se va a estructurar la
exposición agrupando los comentarios según la presentación de los resultados (la salida)
del programa3 TRAMO para una serie que presenta estacionalidad que consiste en las
siguientes etapas:
3
La especificación del modelo ARIMA en el programa TRAMO es la siguiente:
(1+ φ1 L + φ 2 L2 + ... + φ p L p ) ( 1- L ) d Yt =(1+ θ 1 L + θ 2 L2 + ... + θ q L p ) ε t
21
©2004 Bernardí Cabrer
Econometría Empresarial II · Tema 10
1. Presentación de la serie original.
TIME SERIES REGRESSION MODELS WITH ARIMA ERRORS, MISSING VALUES AND OUTLIERS.
BETA VERSION (*)
BY
VICTOR GOMEZ & AGUSTIN MARAVALL
with the programming assistance of G. CAPORELLO
(*) Copyright : V. GOMEZ, A. MARAVALL (1994,1996)
SERIES TITLE=evtramo
SINCE LONGER FORECAST FUNCTION IS REQUIRED
BY SEATS, NPRED CHANGED TO (24)
ORIGINAL SERIES
NUMBER OF OBSERVATIONS: 135
YEAR
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
JAN
99.6
85.5
89.5
102.6
102.6
104.8
108.9
111.8
116.5
125.2
124.3
FEB
101.7
91.2
94.8
102.2
103.9
102.4
114.9
116.3
126.8
122.0
122.7
MAR
APR
105.2
99.3
103.7
116.7
107.5
106.5
122.0
126.7
139.5
134.5
118.9
98.5
90.2
96.7
97.3
98.3
116.9
113.5
116.2
115.6
116.1
127.8
MAY
JUN
100.3
94.0
102.6
111.9
108.6
112.1
118.7
124.1
134.6
134.3
130.4
JUL
102.9
97.1
104.6
112.3
105.0
114.8
123.9
129.0
135.1
131.4
123.8
AUG
106.0
98.3
102.0
108.1
112.6
121.2
128.9
131.3
129.7
131.7
135.2
54.3
53.1
59.8
64.1
62.2
66.9
72.3
76.1
80.3
84.0
79.8
SEP
100.1
97.5
104.9
105.2
106.4
116.4
121.9
126.8
125.7
123.6
125.5
OCT
NOV
113.3 107.4
101.7
97.1
96.8
99.7
103.2 108.5
107.6 109.5
115.1 108.5
125.5 116.4
125.2 122.4
124.7 129.9
127.5 134.0
134.1 128.9
137.8 127.1
DEC
96.8
86.9
89.9
97.4
92.5
97.0
105.2
109.1
115.1
108.9
104.3
107.2
2. Parámetros control para la especificación del modelo a través de los cuales se
definen las distintas alternativas del modelo.
SEATS CANNOT BE RUN WITH AIO=0
AIO CHANGED TO 2
MODEL PARAMETERS
---------------MQ= 12
IMEAN= 1
LAM= -1
D= 1
BD= 1
P= 0
BP= 0
Q= 1
BQ= 1
IREG= 2
ITRAD= 2
IEAST= 0
IDUR= 0
M= 36
QM= 24
INCON= 0
NBACK= 0
NPRED= 24
INTERP= 2 INIT= 0
IFILT= 2
IDENSC= 1
IROOT= 2
INIC= 3
ICONCE= 1
ICDET= 1
IATIP= 1
IMVX= 0
IDIF= 3
PG= 0
AIO= 2
INT1= 1
INT2= 135
RSA= 0
SEATS= 2
VA= 3.50
TOL= 0.100E-03
PC= 0.143E+00
NOADMISS= 1
BIAS= 1
SMTR= 0
THTR= -0.400
RMOD= 0.500
MAXBIAS= 0.500
TH =
BTH =
-0.10
-0.10
NUMBER OF INITIAL OBS. =
13
22
©2004 Bernardí Cabrer
Econometría Empresarial II · Tema 10
3. Estudiar la estacionariedad de la serie y la transformación más adecuada.
3.1. Contraste para analizar la significabilidad de la media o termino constante.
MEAN IS NOT SIGNIFICANT:
IMEAN CHANGED TO 0
3.2. Estudio de la conveniencia de transformar la serie mediante logaritmos
neperianos y diferencias. El test utilizado es el de rango-media.
TRANSFORMED SERIES (LOGARITHMS OF THE DATA)
YEAR
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
JAN
4.601
4.449
4.494
4.631
4.631
4.652
4.690
4.717
4.758
4.830
4.823
FEB
MAR
APR
4.622
4.513
4.552
4.627
4.643
4.629
4.744
4.756
4.843
4.804
4.810
4.656
4.598
4.642
4.760
4.677
4.668
4.804
4.842
4.938
4.902
4.778
4.590
4.502
4.572
4.578
4.588
4.761
4.732
4.755
4.750
4.754
4.850
MAY
4.608
4.543
4.631
4.718
4.688
4.719
4.777
4.821
4.902
4.900
4.871
JUN
JUL
AUG
SEP
4.634
4.576
4.650
4.721
4.654
4.743
4.819
4.860
4.906
4.878
4.819
4.663
4.588
4.625
4.683
4.724
4.797
4.859
4.877
4.865
4.881
4.907
3.995
3.972
4.091
4.160
4.130
4.203
4.281
4.332
4.386
4.431
4.380
4.606
4.580
4.653
4.656
4.667
4.757
4.803
4.843
4.834
4.817
4.832
OCT
4.730
4.622
4.573
4.637
4.678
4.746
4.832
4.830
4.826
4.848
4.899
4.926
NOV
4.677
4.576
4.602
4.687
4.696
4.687
4.757
4.807
4.867
4.898
4.859
4.845
DEC
4.573
4.465
4.499
4.579
4.527
4.575
4.656
4.692
4.746
4.690
4.647
4.675
4. Identificación automática de la serie.
4.1. Determinación de los ordenes de la parte autoregresiva, diferenciación y de
medias móviles del modelo regular ARIMA(p,d,q) y los ordenes de la parte
autoregresiva, diferenciación y de medias móviles del modelo estacional
SARISMA(P,D,Q). En el presente caso se ha seleccionado como modelo más
adecuado ARIMA(0,1,2)*SARISMA(0,1,1).
AUTOMATIC MODEL IDENTIFICATION BEGINS
MODEL FINALLY CHOSEN:
(0,1,2)(0,1,1)
4.2. Inclusión o no del término independiente o constante en el modelo. Teniendo
en cuenta el resultado obtenido d el punto 3.1.
WITHOUT MEAN
4.3. Inclusión o no de efectos calendario, observaciones atípicas y del posible análisis
de intervención realizado. Informando además de las características de las
observaciones atípicas. En el presente caso, la serie analizada no presenta
observaciones atípicas.
WITH TRADING DAY CORRECTION
WITHOUT EASTER CORRECTION
OUTLIERS
67 AO
127 AO
( 4 1997)
( 4 2002)
23
©2004 Bernardí Cabrer
126 TC
Econometría Empresarial II · Tema 10
( 3 2002)
5. Estimaciones de los parámetros del modelo ARIMA así como el valor del ratio “t”
bajo la hipótesis nula de no significabilidad.
METHOD OF ESTIMATION: EXACT MAXIMUM LIKELIHOOD
PARAMETER
ESTIMATE
MA1
MA1
MA2
-.38801
0.98765E-01
-.33403
1
2
1
STD ERROR
T RATIO
0.93842E-01
0.95204E-01
0.93371E-01
-4.13
1.04
-3.58
LAG
1
2
12
6. Validación del modelo estimado.
6.1. Análisis de la estacionariedad e invertibilidad del modelo estimado a través del
estudio de las raíces del polinomio característico . En el presente caso dado que las
raíces en modulo son inferiores a la unidad el modelo estimado es estacionario.
REGULAR MA INVERSE ROOTS ARE
NO.
REAL P.
IMAG.P.
1
0.1940054 -0.2472385
2
0.1940054
0.2472385
SEASONAL MA INVERSE ROOTS ARE
NO.
REAL P.
IMAG.P.
1
0.33403
0.0000
MODULUS
0.3142689
0.3142689
MODULUS
0.33403
ARGUMENT
-51.8791070
51.8791070
ARGUMENT
0.0000
PERIOD
-6.9392097
6.9392097
PERIOD
-
6.2. Análisis de la correlación entre los parámetros estimados del modelo estimado.
CORRELATIONS OF THE ESTIMATES
1.0000
-0.3443
0.0145
-0.3443
1.0000
-0.0262
0.0145
-0.0262
1.0000
6.3. Criterios para analizar la significabilidad conjunta del modelo estimado. Los
criterios utilizados son: AIC (AIC de Akaike), BIC (Bayesian Information Criterium)
y la función objetivo.
AIC
-565.3547
BIC
-7.3010
FINAL VALUE OF OBJECTIVE FUNCTION:
0.60867E-01
ITERATIONS:
2
NUMBER OF FUNCTION EVALUATIONS:
9
24
©2004 Bernardí Cabrer
Econometría Empresarial II · Tema 10
7. Estimaciones de los parámetros de los efectos calendario y outliers así como el valor
del ratio “t” bajo la hipótesis nula de no significabilidad.
ESTIMATES OF REGRESSION PARAMETERS
CONCENTRATED OUT OF THE LIKELIHOOD
PARAMETER
TRAD
1
TRAD
2
OUT 1 ( 67)
OUT 2 (127)
OUT 3 (126)
VALUE
0.73057E-02
0.25996E-01
0.12577
0.12517
-.96275E-01
(
(
(
(
(
ST. ERROR
0.00047)
0.00954)
0.01540)
0.01974)
0.02181)
T VALUE
15.50
2.73
8.17
AO
6.34
AO
-4.41
TC
( 4 1997)
( 4 2002)
( 3 2002)
COVARIANCE MATRIX OF ESTIMATORS
0.222E-06
-0.772E-07
-0.486E-06
-0.149E-05
0.111E-05
-0.772E-07
0.909E-04
-0.663E-05
-0.119E-05
-0.105E-04
-0.486E-06
-0.663E-05
0.237E-03
0.534E-05
-0.166E-05
-0.149E-05
-0.119E-05
0.534E-05
0.390E-03
-0.119E-03
0.111E-05
-0.105E-04
-0.166E-05
-0.119E-03
0.476E-03
8. Validación de las hipótesis del modelo a partir del análisis de los residuos.
8.1. Presentación de los residuos del modelo estimado
NUMBER OF WHITE NOISE RESIDUALS
117
WHITE NOISE RESIDUALS
-0.0035
0.0305
0.0302
-0.0564
-0.0266
0.0128
0.0228
-0.0372
0.0292
0.0095
0.0232
0.0031
-0.0265
-0.0345
-0.0098
0.0194
0.0299
-0.0026
-0.0014
-0.0024
0.0050
0.0364
-0.0088
-0.0310
0.0204
0.0007
-0.0098
0.0063
0.0368
-0.0069
0.0144
0.0070
-0.0121
0.0183
-0.0179
0.0279
0.0257
0.0545
-0.0288
-0.0056
-0.0116
-0.0303
0.0073
0.0251
0.0342
0.0104
0.0053
0.0232
-0.0093
0.0068
-0.0168
0.0167
0.0053
-0.0048
0.0029
0.0519
0.0278
-0.0143
0.0082
-0.0228
0.0064
0.0501
0.0377
0.0172
-0.0252
-0.0107
0.0312
0.0037
-0.0013
-0.0062
-0.0268
-0.0179
0.0528
0.0245
-0.0267
0.0202
-0.0051
0.0265
-0.0394
0.0063
-0.0018
-0.0213
-0.0152
0.0169
-0.0040
-0.0221
0.0177
-0.0201
-0.0035
0.0112
0.0065
-0.0308
-0.0299
0.0212
0.0062
0.0190
-0.0317
-0.0142
-0.0242
0.0039
-0.0080
-0.0035
-0.0244
0.0235
-0.0077
0.0302
-0.0065
0.0119
-0.0358
0.0087
0.0025
-0.0116
0.0066
-0.0278
-0.0075
-0.0512
0.0110
8.2. Test de la normalidad Jarque-Bera a partir de los residuos del modelo estimado
TEST-STATISTICS ON RESIDUALS
MEAN=
ST.DEV.=
OF MEAN
T-VALUE=
0.0014461
0.0020908
0.6916
NORMALITY TEST=
0.5652
SKEWNESS=
KURTOSIS=
0.0075
2.6598
( CHI-SQUARED(2) )
( SE =
( SE =
0.2265 )
0.4529 )
25
©2004 Bernardí Cabrer
SUM OF SQUARES=
Econometría Empresarial II · Tema 10
0.6008786E-01
8.3. Test de Durbin-Watson para analizar la autocorrelación de primer orden.
DURBIN-WATSON= 2.0236
8.4. Suma de los cuadrados de los residuos, desviación típica y varianza del modelo
estimado.
SUM OF SQUARES=
0.6008786E-01
STANDARD ERROR=
OF RESID.
MSE OF RESID.=
0.2295836E-01
0.5270865E-03
8.5. Función de autocorrelación (AC) y de autocorrelación parcial (PAC) de los
residuos, para analizar la existencia de autocorrelación de orden superior. Se incluye
el test de Ljung-Box.
AUTOCORRELATIONS
-0.017 -0.012 0.087 -0.083
SE 0.092 0.092 0.092 0.092
Q
0.04
0.06
0.98
1.84
PV -1.00 -1.00 -1.00
0.18
SE
Q
PV
0.042
0.092
2.07
0.36
0.0949
0.0925
3.19
0.36
0.057
0.092
3.62
0.46
0.021
0.092
3.68
0.60
0.142 -0.071
0.092 0.092
6.30
6.96
0.39
0.43
0.012
0.092
6.98
0.54
0.0423
0.0925
7.21
0.62
-0.120 0.145 -0.062 -0.104 -0.021 -0.0884 0.065 -0.089 -0.094 -0.027 0.007 -0.1499
0.0925 0.092 0.092 0.092 0.092 0.0925 0.092 0.092 0.092 0.092 0.092 0.0925
9.14 11.99 12.53 14.04 14.10 15.20
15.81 16.97 18.25 18.37 18.38 21.74
0.52
0.36
0.40
0.37
0.44
0.44
0.47
0.46
0.44
0.50
0.56
0.41
0.088 -0.029 -0.125 -0.027 0.030 -0.033
SE 0.0925 0.092 0.0925 0.092 0.092 0.092
Q 22.91 23.05 25.50 25.62 25.76 25.95
PV 0.41
0.46
0.38
0.43
0.48
0.52
0.144 0.0566 0.0670 0.046 -0.042 -0.0489
0.092 0.0925 0.092 0.092 0.092 0.0925
29.32 29.84 30.59 30.95 31.26 31.67
0.40
0.42
0.44
0.47
0.50
0.53
LJUNG-BOX Q VALUE OF ORDER 24 IS
21.74 AND IF RESIDUALS ARE
RANDOM IT SHOULD BE DISTRIBUTED AS CHI-SQUARED(21)
PARTIAL AUTOCORRELATIONS
SE
-0.017 -0.0130 0.086 -0.081
0.092 0.0925 0.092 0.092
SE
-0.1033 0.116 -0.094 -0.095 -0.065 -0.084
0.0925 0.0925 0.092 0.092 0.0925 0.092
SE
0.123 -0.051 -0.021 -0.108
0.092 0.0925 0.092 0.092
0.043
0.092
0.114
0.092
0.087
0.092
0.015
0.092
0.076
0.0925
0.012
0.092
0.140 -0.066
0.092 0.092
0.016
0.092
0.0066
0.0925
0.0943 -0.123 -0.094
0.0925 0.092 0.092
0.006
0.092
0.006 -0.1073
0.092 0.0925
0.1443
0.0925
0.012
0.092
0.032 -0.0796
0.092 0.0925
0.071
0.092
0.113
0.092
8.6. Análisis de la aleatoriedad a través del test de rachas aplicados sobre los residuos
y sobre la función de autocorrelación.
APPROXIMATE TEST OF RUNS ON RESIDUALS
------------------------------------NUM.DATA= 117
NUM.(+)= 59
NUM.(-)= 58
NUM.RUNS= 57
T-VALUE= -0.3714
APPROXIMATE TEST OF RUNS ON AUTOCORRELATION FUNCTION
---------------------------------------------------NUM.DATA= 36
NUM.(+)= 18
26
©2004 Bernardí Cabrer
NUM.(-)=
NUM.RUNS=
T-VALUE=
Econometría Empresarial II · Tema 10
18
19
0.0000
8.7. Función de autocorrelación (AC) de los residuos elevados al cuadrado, con el fin
estudiar la homoscedasticidad (varianzas condicionales constantes). Se incluye el test
de Ljung-Box.
SQUARED RESIDUALS:
------------------
AUTOCORRELATIONS
----------------0.034 0.005 0.017
SE 0.092 0.092 0.092
Q
0.15
0.15
0.19
PV -1.00 -1.00 -1.00
SE
Q
PV
0.124 -0.035 -0.063 -0.044
0.092 0.092 0.092 0.092
2.08
2.24
2.75
3.00
0.15
0.33
0.43
0.56
-0.034 -0.050 -0.083 -0.036
0.092 0.092 0.092 0.092
4.73
5.08
6.02
6.20
0.91
0.93
0.91
0.94
0.056
0.092
6.65
0.95
0.020 -0.058 -0.051 -0.074 -0.0038
0.092 0.092 0.092 0.092 0.0925
3.05
3.50
3.84
4.57
4.57
0.69
0.74
0.80
0.80
0.87
0.008 -0.125
0.092 0.092
6.66
8.89
0.97
0.92
0.081 -0.090 -0.010 -0.066 -0.1046
0.092 0.092 0.092 0.092 0.0925
9.84 11.02 11.03 11.68 13.32
0.91
0.89
0.92
0.93
0.90
0.073 -0.010 0.028 -0.048 -0.010 -0.058 -0.017 0.001 -0.044 0.176 0.061 0.0452
SE 0.092 0.092 0.092 0.092 0.092 0.092 0.092 0.092 0.092 0.092 0.092 0.0925
Q 14.14 14.16 14.28 14.64 14.66 15.20 15.25 15.25 15.58 20.78 21.43 21.78
PV 0.90
0.92
0.94
0.95
0.96
0.97
0.98
0.98
0.99
0.92
0.92
0.93
LJUNG-BOX Q VALUE OF ORDER 24 IS
13.32 AND IF RESIDUALS ARE
RANDOM IT SHOULD BE DISTRIBUTED AS CHI-SQUARED(21)
9. Predicción. Se presenta la predicción puntual y su desviación típica, tanto de la
serie transformada como en la serie original, con el fin de obtener la predicción por
intervalos.
ORECASTS:
ORIGIN:
OBS
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
135 NUMBER:
FORECAST
STD ERROR
(TR. SERIES)
4.81973
0.229619E-01
4.80330
0.269369E-01
4.87015
0.350285E-01
4.78686
0.383436E-01
4.88322
0.399241E-01
4.87427
0.427012E-01
4.92077
0.455513E-01
4.36565
0.483959E-01
4.86574
0.509573E-01
4.91814
0.534736E-01
4.82111
0.559671E-01
4.70568
0.582369E-01
4.79554
0.662848E-01
4.81252
0.716429E-01
4.92222
0.777285E-01
4.78739
0.821540E-01
4.85790
0.858042E-01
4.89990
0.896967E-01
4.89512
0.936582E-01
4.39105
0.974618E-01
4.86551
0.101144
4.86673
0.104801
4.87194
0.108178
4.70535
0.111541
24
ACTUAL
RESIDUAL
FORECAST
STD ERROR
( ORIGINAL SERIES)
123.931
2.84608
121.912
3.28452
130.341
4.56705
119.924
4.60000
132.055
5.27426
130.878
5.59121
137.108
6.24867
78.700
3.81102
129.767
6.61687
136.749
7.31768
124.102
6.95109
110.574
6.44493
120.970
8.02728
123.041
8.82635
137.307
10.6888
119.988
9.87413
128.754
11.0680
134.276
12.0684
133.637
12.5437
80.725
7.88637
129.737
13.1557
129.895
13.6505
130.573
14.1666
110.537
12.3678
27