Anexo A Introducción al Cálculo de Variaciones A.1. Funcionales y delta de Dirac Las ideas que se exponen en esta Sección han sido tomadas de [2] y [23]. Un funcional es una función cuyo dominio es un espacio vectorial de funciones y su imagen un conjunto de números reales o complejos. Por ejemplo, en el conjunto de funciones reales continuas de una variable real (que es un espacio vectorial sobre R) podemos definir el funcional żb Jpf q “ f pxqdx (A.1) a que asocia a cada función f su integral en el intervalo ra, bs. Formalmente, si Cppc, dq, Rq representa el espacio vectorial (de dimensión infinita) de las funciones continuas en el intervalo abierto pc, dq con valores en R y ra, bs Ă pc, dq entonces J : Cppc, dq, Rq ÝÑ ÞÑ f żb a R f pxqdx Muchos funcionales de interés, como J de (A.1), vienen definidos mediante integrales y ese es el caso de los que aparecen en la Teorı́a de Control Óptimo. No 159 160 Introducción al cálculo de variaciones obstante, se pueden definir funcionales de muchas otras formas. Por ejemplo, si consideramos el conjunto de las funciones de variable real con valores reales o complejos que están definidas en x “ 3, el funcional Jpf q “ f p3q está perfectamente definido. De hecho es un funcional lineal. En efecto, el conjunto de las funciones definidas en x “ 3 es un espacio vectorial sobre C y si f y g son dos de tales funciones y α, β son números complejos arbitrarios entonces con h “ αf `βg tenemos Jphq “ hp3q “ αf p3q ` βgp3q “ αJpf q ` βJpgq; es decir, J es una aplicación lineal entre el espacio de funciones reales definidas en x “ 3 y C. La delta de Dirac es un funcional que se define de una forma muy similar a la de este último ejemplo. Sea Cb pRq el conjunto de las funciones continuas en R y acotadas. Es decir, f P Cb pRq si f es continua en R y para todo x P R existe un número real K ą 0 tal que |f pxq| ď K. Si f pxq P C entonces |f pxq| representa el módulo o valor absoluto del número complejo f pxq. Definición A.1 δ es el funcional: δ : Cb pRq Ñ C f ÞÑ f p0q (A.2) i.e., para cada f P Cb pRq, δpf q ” f p0q. Escribiremos también δ “ δ0 dado que la definición especifica el valor 0 de f . De forma parecida definimos la delta de Dirac δa en a P R como δa : Cb pRq Ñ C f ÞÑ f paq (A.3) Ası́ pues, aunque coloquialmente se habla de la función delta de Dirac, δ no es una función en sentido clásico (y en realidad no fué descubierta por Dirac), sino un funcional. Nuestro objetivo es dar sentido a la expresión lı́m dT,a ptq “ δptq T Ñ8 ası́ como ż `8 ´8 f puqδpt ´ uqdu “ ż `8 ´8 f pt ´ uqδpuqdu “ f ptq. A.1 Funcionales y delta de Dirac Recordemos que dT,a ptq es la función función rampa; i.e., $ ’ & dT,a ptq “ ’ % 161 (ahora sı́ en el sentido clásico) derivada de la 0, t ă a 1 , aătăa`T T 0, t ą a ` T. e identificamos dT ptq :“ dT,0 ptq. También queremos relacionar la delta de Dirac con la función de Heaviside (salto unidad). Para empezar, recordemos que " * żb 1 Lloc pRq “ f : R Ñ C : @a ă b, |f ptq| dt ď 8 a y * " ż `8 |f ptq| dt ď 8 L pRq “ f : R Ñ C : }f }L1 pRq :“ 1 ´8 denotan los espacios de funciones localmente integrables y de funciones integrables en R, respectivamente. Aunque de forma natural las integrales que aparecen en la definición de estos conjuntos son integrales de Lebesgue, para nuestro desarrollo se puede pensar sin problemas en integrales Riemann. Recordemos también que L8 pRq es el espacio de las funciones que son acotadas excepto quizás en un conjunto de medida cero. Para f P L8 pRq, }f }L8 pRq es intuitivamente el supremo de |f | en R. Técnicamente }f }L8 pRq “ ı́nftM : |tt P R : |f ptq ą M u| “ 0u, aunque para funciones infinitamente diferenciables, }f }L8 pRq “ supt|f ptq| : t P Ru. Definición A.2 Una identidad aproximada es una familia de funciones integrables en R tkλ : R Ñ C, λ ą 0u Ď L1 pRq con las siguientes propiedades: a) @λ ą 0, ż `8 ´8 kλ ptq dt “ 1; b) DK tal que @λ ą 0, c) @η ą 0, lı́m ż λÑ8 |t|ěη ż `8 ´8 |kλ ptq| dt ď K; |kλ ptq| dt “ 0. 162 Introducción al cálculo de variaciones Proposición A.3 La familia tkT ptq “ d1{T ptq, T ą 0u es una identidad aproximada. Demostración.- Ya hemos visto ż `8que para cada T ą 0, kT ptq es una función integrable (por ser escalonada) y kT ptq dt “ 1. Además kT ptq ě 0 para todo ´8 t P Rzt0u por lo que de a) se deduce b). Para el apartado c) tomamos η ą 0 y, teniendo en cuenta que kT ptq “ 0 para t ă 0 y que kT ptq ě 0 para todo T ą 0, calculamos ż ż |t|ěη |kT ptq| dt “ `8 η kT ptqdt. Pero para cada T ą 0, kT ptq “ 0 si t ą 1{T . Por lo tanto, ż `8 η |kT ptq| dt “ ż 1{T η kT ptqdt. Ahora bien, para T suficientemente grande (en particular para T ą 1{η), 1{T ă η de modo que ż 1{T żη kT ptqdt “ ´ kT ptqdt “ 0, η 1{T porque, ż como hemos dicho, kT ptq “ 0 si t ą 1{T . Queda demostrado entonces que lı́m |kT ptq| dt “ 0. T Ñ8 |t|ěη Otra familia de funciones que es una identidad aproximada es la familia de dilataciones u homotecias: tkλ ptq “ λkpλtq, λ ą 0u. La demostración es similar a la de la Porposición A.3. Recordemos que la convolución de dos funciones f, g P L1 pRq se define de la siguiente manera: pf ˚ gqptq “ ż `8 ´8 f pt ´ uqgpuqdu “ Se puede demostrar que f ˚ g P L1 pRq. ż `8 ´8 f puqgpt ´ uqdu. (A.4) Las siguientes propiedades de las identidades aproximadas son importantes para lo que se discutirá posteriormente. A.1 Funcionales y delta de Dirac 163 Teorema A.4 (a) Sea f P L1 pRq. Si tkλ : λ ą 0u Ď L1 pRq es una identidad aproximada, entonces lı́m }f ´ f ˚ kλ }L1 pRq “ 0. λÑ8 (b) Sea f P L8 pRq una función continua en R. Si tkλ : λ ą 0u Ď L1 pRq es una identidad aproximada, entonces @t P R, lı́m pf ˚ kλ qptq “ f ptq λÑ8 Demostración.- Usamos la propiedad ż `8 ´8 }f ´ f ˚ kλ }L1 pRq kλ ptqdt “ 1 para el siguiente cálculo: ˇ ż `8 ˇ ż `8 ż `8 ˇ ˇ ˇf ptq ˇ dt “ k puqdu ´ k puqf pt ´ uqdu λ λ ˇ ˇ ´8 ´8 ´8 ˇ ż `8 ˇż `8 ż `8 ˇ ˇ ˇ “ f ptqkλ puqdu ´ kλ puqf pt ´ uqduˇˇ dt ˇ ´8 ´8 ˆż `8 ˙ ż´8 `8 |kλ puq| |f ptq ´ f pt ´ uq|dt du. ď ´8 ´8 Apelamos ahora a la siguiente propiedad fundamental de L1 pRq: @ ą 0 existe η “ ηpq tal que si |u| ă η entonces }f ´ τu f }L1 pRq ă donde pτu f qptq “ f pt ´ uq como función de t. Con esta propiedad en mente, fijamos un ą 0 y sean 1 ą 0, 2 ą 0 tales que 1 ` 2 ă . Aplicando la propiedad anterior con 1 , existe η “ ηp1 q tal que @|u| ă η, }f ´ τu f }L1 pRq ă 1 {K, donde }kλ }L1 pRq ď K; garantizado por la definición de identidad aproximada. Ası́ pues, por una parte ż ż |kλ puq|}f ´ τu f }L1 pRq du ď 2}f }L1 pRq |kλ puq|du; |u|ěη y por otra |u|ěη ż ż 1 |kλ puq|}f ´ τu f }L1 pRq du ă |kλ puq|du. K |u|ďη |u|ďη ż Por lo tanto, teniendo en cuenta que |kλ puq|du ď }kλ }L1 pRq ď K, concluimos |u|ďη }f ´ f ˚ kλ }L1 pRq ď 2}f }L1 pRq ż |u|ěη |kλ puq|du ` 1 . 164 Introducción al cálculo de variaciones Ahora bien, por ser tkλ : λ ą 0u una identidad aproximada se tiene lı́m ż λÑ8 |u|ěη ż 0. Esto significa que para el 2 ą 0 fijado y para λ suficientemente grande |kλ puq|du “ |u|ěη |kλ puq|du ă 2 }f }L1 pRq {2. En conclusión, para el ą 0 fijado y para λ suficientemente grande }f ´ f ˚ kλ }L1 pRq ă 1 ` 2 ă , lo cual demuestra el apartado (a). ż `8 kλ puqdu “ 1, se sigue La demostración del apartado (b) es parecida. De ´8 que para cada t P R ˇ ˇż `8 ˇ ˇ ˇ kλ puqpf ptq ´ f pt ´ uqqduˇˇ |f ptq ´ pf ˚ kλ qptq| “ ˇ ´8 ż `8 ď |kλ puq| |pf ptq ´ f pt ´ uqq|du. ´8 Procedemos ahora como en la demostración del apartado (a). Sea ą 0 y 1 ą 0, 2 ą 0 tales que 1 ` 2 ă . Por ser f continua, existe η ą 0 tal que si 0 ď |u| ă η entonces |f ptq ´ f pt ´ uq| ă 1 {K, donde }kλ }L1 pRq ď K. Por otra parte, como f P L8 pRq |f ptq ´ f pt ´ uq| ď 2}f }L8 pRq para todo t, u P R. Ası́ ż |f ptq ´ pf ˚ kλ qptq| ď 1 ` 2}f }L8 pRq |kλ puq|du. |u|ěη La demostración se concluye como en el apartado (a). El teorema A.4 da una idea de por qué a la familia tkλ : λ ą 0u se le llama identidad aproximada; es como si tkλ u se aproximara a una función que juega el papel de la unidad respecto a la convolución en L1 pRq. Es decir, si existiera tal función, digamos δ, deberı́a cumplir f ˚ δ “ f para toda f P L1 pRq, o lo que es lo mismo, para toda f P L1 pRq ż `8 δpuqf pt ´ uqdu “ f ptq, @t P R. (A.5) ´8 Sin embargo, se puede demostrar (ver [2, Cap. 2]) que tal función no existe; es decir, L1 pRq no posee una unidad para la convolución. Por lo tanto, no existe ninguna función δ en L1 pRq para la que se cumpla (A.5). A pesar de ello, a esta expresión se le puede dar un sentido. Éste se desprende del siguiente resultado. Proposición A.5 Sea tkλ u Ď L1 pRq una identidad aproximada. Entonces ż `8 @f P Cb pRq, lı́m kλ ptqf ptqdt “ δt pf q λÑ8 ´8 donde δt es la delta de Dirac en t; i.e., δt pf q “ f ptq. A.1 Funcionales y delta de Dirac 165 La demostración de esta Proposición es muyżparecida a la del Teorema A.4. `8 Antes de proceder, hacemos observar que si lı́m kλ ptqf ptqdt “ f p0q entonces para cada t P R se tiene que lı́m λÑ8 ´8 ż `8 λÑ8 ´8 kλ puqf pt ´ uqdu “ f ptq. En efecto, definiendo gpuq “ f pt ´ uq (para t P R fijo) tendrı́amos lı́m ż `8 λÑ8 ´8 kλ puqf pt ´ uqdu “ lı́m ż `8 λÑ8 ´8 kλ puqgpuqdu “ gp0q “ f ptq. Es en este sentido en el que debemos entender la expresión (A.5): escribiremos ż `8 ´8 como equivalente de lı́m δpuqf pt ´ uqdu “ δt pf q “ f ptq ż `8 λÑ8 ´8 kλ puqf pt ´ uqdu “ f ptq, para cualquier identidad aproximada tkλ u. En particular, como tkT ptq “ d1{T ptq, T ą 0u (la familia de funciones derivada de la función rampa unidad) es una identidad aproximada, podemos escribir la expresión (A.5) como equivalente de lı́m ż `8 T Ñ8 ´8 d1{T puqf pt ´ uqdu “ f ptq. Demostración de la Proposición A.5.- Teniendo en cuenta que ż `8 1 podemos escribir ˇż `8 ˇ ˇż `8 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ “ ˇ ˇ k ptqf ptqdt ´ f p0q k puqpf puq ´ f p0qqdu λ λ ˇ ˇ ˇ ˇ ´8 ´8 ż `8 ď |kλ puq| |f puq ´ f p0q|du. ´8 kλ puq “ ´8 Sea ą 0 y 1 ą 0, 2 ą 0 números reales tales que 1 ` 2 ă . Como f es continua, existe η ą 0 tal que si 0 ď |u| ă η entonces |f puq´f p0q| ă K1 donde }kλ }L1 pRq ď K. Como f está acotada en R tiene un supremo. Sea M “ suptf ptq, t P Ru. 166 Introducción al cálculo de variaciones Entonces ż `8 ż |kλ puq| |f puq´f p0q|du ď ´8 |u|ăη ż 1 |kλ puq|du` K ż |uěη 2M |kλ puq|du ď 1 `2M ż ż |u|ěη |kλ puq|du, |kλ puq|du ď }kλ }L1 pRq ď K. Además, como lı́m |kλ puq|du “ λÑ8 |u|ěη ż 2 |kλ puq|du ă 0, para λ suficientemente grande . En consecuencia, para λ 2M |u|ěη suficientemente grande ˇż `8 ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ ă , k ptqf ptqdt ´ f p0q λ ˇ ˇ donde se ha usado que |u|ăη ´8 que es lo que se querı́a demostrar. A pesar de que δ es un funcional y por lo tanto su dominio es un espacio de funciones, a veces se escribe δptq en vez de δt . En tal caso se suele reemplazar la notación δt pf q por la, aparentemente más confusa de δptqpf ptqq. La razón de hacer esto es que se quiere pensar en δ como si fuera una función ordinaria que se puede aproximar por funciones ordinarias como la d1{T ptq o, en general, por aproximaciones de la unidad. Es en este sentido en el que podemos decir que δ es una ż función que vale 0 en todo R excepto en 0 donde es tan grande como para que `8 ´8 δpuqdu “ 1. Esta forma de pensar nos permite dar sentido, por ejemplo, a expresiones δpat ` bq. En efecto, con la interpretación que venimos manteniendo: ż `8 ż `8 δpat ` bqpf ptqq “ δpat ` bqf ptqdt “ lı́m kλ pat ` bqf ptqdt. λÑ8 ´8 ´8 Ahora bien, ż `8 ´8 1 kλ pat ` bqf ptqdt “ |a| ż `8 ´8 kλ puqf ˆ u´b a que por la Proposición A.5 ˆ ˙ ˆ ˙ ż `8 u´b b du “ f ´ . lı́m kλ puqf λÑ8 ´8 a a ˙ du, A.1 Funcionales y delta de Dirac 167 Entonces 1 δpat`bqpf ptqq “ lı́m |a| λÑ8 ż `8 ´8 kλ puqf ˆ u´b a ˙ 1 du “ f |a| ˆ b ´ a ˙ “ 1 1 δ´ b pf q “ δ b ptqpf ptqq. a |a| |a| ´ a Es decir, δpat ` bq “ 1 1 δ´ b ptq “ pτ b δqptq, a |a| |a| ´ a donde, como en la demostración del Teroema A.4, pτu δqptq “ δpt ´ uq. A.1.1. Distribuciones El funcional δ de la Definición A.1 es un ejemplo de distribución cuando el dominio se restringe al conjunto Cc8 pRq que pasamos a definir. En primer lugar C 8 pRq denota el espacio de funciones infinitamente diferenciables definidas en R y con valores complejos. Si f : R ÝÑ C es una función compleja de variable real, el soporte de f , que denotaremos por supp f , se define como la adherencia del conjunto de puntos donde no se anula f . En sı́mbolos supp f “ tx P R : f pxq ‰ 0u. Y en palabras, es el menor conjunto cerrado fuera del cual se anula f . Finalmente, Cc8 pRq es el subconjuto de C 8 pRq con soporte compacto (recordemos que los conjuntos compactos de R son los cerrados y acotados). Es fácil ver que Cc8 pRq es un subespacio vectorial. Hablando de forma laxa, las distribuciones son elementos del espacio vectorial dual de Cc8 pRq que cumplen ciertas propiedades de convergencia. Enseguida daremos la definición formal. Antes, quizá sea conveniente presentar algunos ejemplos de funciones en Cc8 pRq. Sea φptq :“ " e1{t , si t ă 0 , 0, si t ě 0 y definamos f ptq “ cφp|t|2 ´ 1q. Se tiene que f es infinitamente diferenciable y f ptq “ 0 para |t| ě 1 de ż modo que supp f “ r´1, 1s. Habitualmente, la constante c se elige de forma que 8 ´8 f ptqdt “ 1. Se puede demostrar además que si g P L1 pRq tiene soporte compacto, con la función f recién definida, se tiene que la convolución (cf. (A.4)) f ˚ g P Cc8 pRq. Se pueden generar de esta manera muchos otros ejemplos de funciones con soporte compacto. 168 Introducción al cálculo de variaciones Definición A.6 Una distribución o función generalizada es una función lineal T : Cc8 pRq ÝÑ C f ÞÑ T pf q con la propiedad: lı́m T pfn q “ 0 para toda sucesión de funciones tfn u Ď Cc8 pRq que nÑ8 satisfaga las siguientes condiciones: (i) DK Ď R, compacto, tal que @n, supp fn Ď K. (ii) @k ě 0, lı́m }fnpkq }L8 pRq “ 0, siendo fnpkq la k-ésima derivada de fn . nÑ8 Las condiciones de la definición garantizan que el espacio de las distribuciones sobre R, que denotaremos como D1 pRq, es el dual topológico de Cc8 pRq cuando en este conjunto se considera la topologı́a definida por la siguiente convergencia: Dada una sucesión tfn u Ă Cc8 pRq diremos que fn Ñ f P Cc8 pRq si se cumplen la condición (i) de la Definición A.6 y (ii’) la sucesión fn converge uniformemente a f en K y las sucesiones de todas las derivadas de orden finito de fn convergen también uniformemente en K a la respectiva derivada de orden finito de f . Ese tipo de convergencia convierte al espacio vectorial Cc8 pRq en un espacio topológico D “ pCc8 pRqq, T q cuyo dual topoólgico (i.e., el espacio de las funciones lineales continuas, con esta topolgı́a, Cc8 pRq ÝÑ C) es D1 pRq. Ası́ pues, las distribuciones son las funciones continuas respecto a dicha convergencia (o equivalentemente la topologı́a generada). Es decir, si T es una distribución se cumplirá que: D D1 pRq fn ÝÑ f ðñ T pfn q ÝÑ T pf q. Debe notarse que D1 pRq es un espacio vectorial sobre C. En efecto, si T1 , T2 P D1 pRq y c1 , c2 P C entonces c1 T1 ` C2 T2 es la distribución definida por la regla: @f P Cc8 pRq, pc1 T1 ` c2 T2 qpf q “ c1 T1 pf q ` c2 T2 pf q. Un ejemplo caracterı́stico de distribuciones es el siguiente. Ejemplo A.7 Sea g P L1loc pRq una función localmente integrable. Definamos el funcional: Tg : Cc8 pRq ÝÑ C ż `8 f ÞÑ Tg pf q “ gptqf ptqdt ´8 A.1 Funcionales y delta de Dirac 169 Veamos que Tg P D1 pRq. En efecto, supongamos tfn u Ă Cc8 pRq tal que @n, supp fn Ď K para algún compacto K y lı́m }fnpkq }L8 pRq “ 0 para todo k ě 0. Como K es comnÑ8 pacto, fn es continua en todo R y fn pxq “ 0 para todo x R K, cada fn está acotada en K. Sea kn “ supt|fn ptq| : t P Ku “ supt|fn ptq : t P Ru “ }fn }L8 pRq que converge a 0 cuando n Ñ 8. Ası́ pues ż ż ż ż |gptq| |fn ptq|dt ď |gptq|kn dt “ kn |gptq|dt. |Tg pfn q| ď |gptq| |fn ptq|dt “ R K K K Además, como K es compacto, es acotado por lo que existen a, b P R tales que K Ď ra, bs. Entonces, teniendo en cuenta que g es localmente integrable, existe r P R, r ě 0, tal que żb |Tg pfn q| ď kn |gptq|dt ď rkn . a Como kn Ñ 0 cuando n Ñ 8, concluimos que lı́m Tg pfn q “ 0. nÑ8 Otro ejemplo importante de distribución es la delta de Dirac cuando su dominio de definición se restringe a Cc8 pRq: δ : Cc8 pRq Ñ C f ÞÑ δpf q “ f p0q (A.6) En este caso, es fácil ver que δ ası́ definida es una distribución. En efecto, hay que probar que tfn p0qu converge a 0 cuando n Ñ 8 para toda sucesión de funciones tfn u Ă Cc8 pRq para las que existe un compacto K Ď R tal que supp fn Ď K y lı́m }fn pkq}L8 pRq “ 0. Sea pues tfn u una tal sucesión de funciones. Si 0 R K entonces nÑ8 fn p0q “ 0. Y si 0 P K entonces |fn p0q| ď }fn pkq}L8 pRq . Como esta última converge a 0, fn p0q Ñ 0 cuando n Ñ 8. En cualquier caso lı́m δpfn q “ lı́m fn p0q “ 0. nÑ8 1 nÑ8 1 La derivada distribucional T de T P D pRq es otra distribución que se define por la fórmula: @f P Cc8 pRq, T 1 pf q “ ´T pf 1 q. Se puede ver sin dificultad que T 1 P D1 pRq. Esta propiedad se deriva del hecho de que supp f 1 Ď supp f y por lo tanto tfn1 u cumple las condiciones de convergencia (i) y (ii) de la Definición A.6. Para concluir esta sección demostraremos que la derivada de la función salto unidad (Función de Heaviside) es, en el sentido distribucional, la delta de Dirac. Para ello, definimos la distribución de Heaviside como el funcional del Ejemplo A.7 aplicado a la función salto unidad: " 0 si t ă 0 γptq “ 1 si t ą 0 170 Introducción al cálculo de variaciones Podemos, en efecto, aplicar la definición del Ejemplo A.7 porque γ P L1loc pRq: ż8 γptqf ptqdt, @f P Cc8 pRq. Tγ pf q “ ´8 Como γptq “ 0 para t ă 0 y γptq “ 1 para t ą 0 tenemos ż8 f ptqdt, @f P Cc8 pRq. Tγ pf q “ 0 Ası́ pues, para f P Cc8 pRq Tγ1 pf q 1 “ ´Tγ pf q “ ´ ż8 0 f 1 ptqdt “ f p0q porque f ptq “ 0 para t suficientemente grande por tener f soporte compacto (K Ă ra, bs y f pbq “ 0). Ahora bien, f p0q “ δpf q de donde deducimos que Tγ1 pf q “ δpf q para toda f P Cc8 pRq. En definitiva, Tγ1 “ δ en el sentido de la derivada distribucional. Es interesante observar que γ 1 ptq “ 0 para t P Rzt0u de modo que γ 1 P L1loc pRq. Sin embargo, Tγ 1 “ 0 ­“ Tγ1 . En general es cierto que si g es una función localmente absolutamente continua entonces Tg1 “ Tg1 pero, como acabamos de ver, esta propiedad no es verdadera para todas las funciones g P L1loc pRq, localmente integrables. Una función F : ra, bs ÝÑ C se dice que es absolutamente continua (F P ACpra, bsq) si @, Dδ “ δpq tal que para toda familia finita de subintervalos pxj , yj q Ď ra, bs, j “ 1, . . . , n se tiene que n ÿ pyj ´ xj q ă δ ùñ j“1 n ÿ j“1 |F pyj q ´ F pxj q| ă . Y una función F : R ÝÑ C es localmente absolutamente continua (F P ACloc pRq) si F P ACpra, bsq para cada intervalo ra, bs Ď R. Una caracterización de las funciones absolutamente continuas nos la da el Teorema Fundamental del Cálculo: Teorema A.8 (Teorema Fundamental del Cálculo) La función F : ra, bs ÝÑ C es absolutamente continua en ra, bs si y sólo si existe f P L1 pra, bsq tal que żt @t P ra, bs, F ptq ´ F paq “ f puqdu. a