λ λ BA BA = . A A 1 1 5 1 10 1 50 23.2 3 1 24.2 4 1 28.2 8 )3( 1 )4( 1

Matemáticas II
Junio 2002
EJERCICIO B
PROBLEMA 1. Para cada número real
λ , M (λ )
4 3 λ 


M (λ ) =  2 1 2 
 λ λ − 1


es la matriz
Se pide:
Obtener el determinante de la matriz M (λ ) , y justificar que para cualquier número real λ existe la matriz
M (λ ) −1 inversa de M (λ ) . (1,3 puntos).
Calcular la matriz M(0)-1 (1 punto)
Si A=M(8), B=M(4) y C=M(3), calcúlese, razonadamente el determinante de la matriz producto A B-1 C-1 .
(1 punto)
i)
ii)
iii)
Solución:
i)
4
3
λ
M (λ ) = 2
1
2 = −4 + 2λ2 + 6λ − λ2 − 8λ + 6 = λ2 − 2λ + 2
λ λ −1
Veamos para que valores de
λ2 − 2λ + 2 = 0 → λ =
λ
M (λ ) = 0
2 ± 4 − 4 .1. 2
2 .1
Es decir que para cualquier valor de
=
λ ∈ℜ
2± −4
2
no tiene soluciones
M (λ ) ≠ 0
reales
por lo que
∀λ ∈ ℜ ∃ M (λ ) −1
ii)
4 3 0 


M (0) =  2 1 2 
 0 0 − 1


M (0) = 0 2 − 2 . 0 + 2 = 2
1

0
4 3 0 

 αi j  3
 
 2 1 2  →
0
 0 0 − 1
 3



 1

→ M (0) −1
2
2
2
−1
0
0 −1
4 0
−1
0
0 −1
4 0
2
2 2
 −1
6  
−1 3
  2
1
=  2 − 4 − 8 =  1
2
0
2   0
0

2 1

0 0
0 
6 
 −1 − 2 0 
−1 2
−1 3
 Ai j 
 Aj i 

4 3 
 =  − 3 − 4 0  →
  3 − 4 0  →
  2 − 4 − 8
0 0 
 6 − 8 − 2
0
6
8 − 2 
0
2 



4 3 

2 1 
3

3 
2

− 2 − 4
0 − 1 

iii)
A. B = A B
Aplicando que
y que
A . B −1 . C −1 = A B −1 C −1 = A
(8
2
−2.8+ 2
)4
1
2
A −1 =
1 1
1
1
= M (8)
=
B C
M (4) M (3)
1
2
1
A
− 2. 4+ 2 3 − 2.3+ 2
= 50
1 1
=1
10 5