SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES

I.E.P. MARÍA DE NAZARET Piensa en grande, piensa en ti.
TERCER GRADO – GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO
RAZONAMIENTO Y DEMOSTRACIÓN
Calcula razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.
Demuestra identidades trigonométricas elementales
Demuestra identidades trigonométricas elementales.
COMUNICACIÓN MATEMÁTICA
Representan ángulos trigonométricos
Interpreta el significado de las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Resuelve problemas que involucran razones trigonométricas de ángulos agudos o notables.
Resuelve problemas de su entorno usando ángulos de elevación y depresión
PARA SER TRABAJADO DEL 18 DE OCTUBRE AL 08 DE NOVIEMBRE DEL 2011
 Razones trigonométricas DE un ángulo
agudo de un triángulo
Observamos la figura:


Ángulo agudo B, cateto opuesto lado b, cateto adyacente lado c, hipotenusa lado a
Ángulo agudo C, cateto opuesto lado……, cateto adyacente lado……….., hipotenusa lado.........
Si ABC es un triángulo rectángulo, recto en “A”, las razones trigonométricas del ángulo B son:
Seno
Seno del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa.
Se denota por sen B.
Coseno
Coseno del ángulo B: es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa.
Se denota por cos B.
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Tangente
Tangente del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo.
Se denota por tg B.
Cosecante
Cosecante del ángulo B: es la razón inversa del seno de B.
Se denota por cosec B.
Secante
Secante del ángulo B: es la razón inversa del coseno de B.
Se denota por sec B.
Cotangente
Cotangente del ángulo B: es la razón inversa de la tangente de B.
Se denota por cotg B.
RESUMIENDO PODEMOS DECIR (OBSERVA FIGURA 4):
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AHORA TÚ:
¿Cuáles son las razones trigonométricas del otro ángulo agudo del triángulo ACB en la figura 4?

Seno

Coseno

Tangente

Cosecante

Secante

Cotangente
IMPORTANTE: No olvides que es importante para solucionar triángulos rectángulos, también utilizaR
teorema de Pitágoras, según sea el caso.
EJEMPLO:
1. Hallar las 6 razones trigonométricas del ángulo “C” de un triángulo rectángulo ABC, recto en B. Sabiendo
que: a= 5, b=14
2.
Hallar Csc ѳ
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3.
Dada la figura; hallar Cos
4
1
θ
x
4.
5.
Si
Hallar M
M = 4 tg / sec 
Hallar las 6 razones trigonométricas del ángulo “B” de un triángulo rectángulo ABC, recto en C. Sabiendo
que: a= 3, b=4
6.
Hallar: 3Csc
7.
ѳ-
8 tg
ѳ
Dada la figura; hallar 3 Cos
ѳ .sec ѳ + tg ѳ
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4
1
θ
x
8.
Si
Hallar M
M= tg
ѳ. ctg ѳ - ½ sec ѳ
APLICO LO QUE APRENDÍ
1.
Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos en los siguientes triángulos:
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a)
b)
c)
2.
Halla las razones trigonométricas de los ángulos agudos:
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3.
En la figura, calcular ctgθ.
41
x
θ
40
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4.
En el triangulo rectángulo ABC, recto en “C”; si
Hallar el valor de “ctg B - tg B”.
B
10
x
A
4
5.
6.
En el triángulo rectángulo ABC, recto en B, si
, hallar el valor de
En el triángulo rectángulo ABC, recto en C, se sabe,
Hallar el valor de
7.
C
+ cos B - tg B
En el triángulo rectángulo ABC, recto en B, se sabe que,
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Hallar el valor de:
8.
En el triángulo rectángulo ACB, recto en C se sabe
9.
En el triángulo rectángulo ABC, recto en B se sabe
Hallar Sen C / csc C - tg C .ctg C
+ cos C . sec C
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IMPORTANTE:
ANGULOS NOTABLES
300
1
450
1
5K
37
2K
600
K
530
3K
4K
Valores de los ángulos de 80 y 820 (aproximadamente).
C’
820
A’
80
7
1
B’
EJEMPLO:
1.
Hallar el valor de las siguientes razones trigonométricas:
a. Sen 30
b. Tg 45
c. Csc 53
d. Sec 37
e. Cos 60
f. Cos 37
g. Ctg 45
h. Sen 53
i. Sec 60
j. Sec 53
k. Cos 82
l. Sen 87
m. Tag 82
n. Ctg 8
o. Sec 8
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2.
Calcular “E” sabiendo que:
3.
Calcula el área de un triángulo rectángulo, en el cuál un ángulo mide 30º y la hipotenusa mide 4.
4.
Calcula el área de un triángulo rectángulo, en el cuál un ángulo mide 45 º y el cateto 5.
5.
Calcula el área de un triángulo rectángulo, en el cuál un ángulo mide 53 º y la hipotenusa mide 25.
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PARA SER TRABAJADO DEL 15 AL 22 DE NOVIEMBRE DEL 2011
IMPORTANTE:
ÁNGULO DE ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN
EJEMPLO:
1.
¿Cuán larga es la sombra que proyecta un mástil de 10 m de altura cuando el sol tiene un ángulo de
elevación de 60º?
2.
Un topógrafo observa con un teodolito la cima de un edificio con un ángulo de elevación de 19º.
Si el teodolito mide 1,40m y se encuentra a 45m del edificio. Halla la altura del edificio.
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3.
Desde lo alto de un acantilado de 400m de altura sobre el nivel del mar, el ángulo de depresión con que
se observa un barco es 45º. ¿a que distancia se encuentra el barco del pie del acantilado?
4.
Calcula la altura a la que se encuentra un barrilete si el ángulo que forma el hilo, de 35cm de longitud
con la horizontal, es de 30º y la mano del niño que sostiene el hilo está a 80 cm del suelo
5.
Para medir la altura de una torre nos situamos en un punto del suelo y vemos el punto más alto de la
torre bajo un ángulo de 60º. Nos acercamos 5 metros a la torre en línea recta y el ángulo es de 80º. Halla
la altura de la torre.
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6.
Pablo y Luis están situados cada uno a un lado de un árbol, como indica la figura:
a Calcula la altura del árbol.
b ¿A qué distancia está Pablo del árbol?
Un poquito más:
I.
Un mástil de 5 metros se ha sujetado al suelo con un cable como muestra la figura:
Halla el valor de c y la longitud del cable.
II.
III.
Halla los valores de x, y, h en el siguiente triángulo:
David observa la cúspide de un obelisco con un ángulo de elevación de 67º. Si él se encuentra a 12,5m
del pie del obelisco. ¿Cuál es la altura del obelisco?
IV.
Halla la longitud de la sombra de un edificio de 14m de altura. Si el ángulo de elevación de los rayos del
sol sobre el horizonte es 17º.
V.
Desde lo alto de un acantilado de 200m de altura sobre el nivel del mar, el ángulo de depresión con que
se observa un barco es 15º. ¿a que distancia se encuentra el barco del pie del acantilado?
VI.
Desde el suelo vemos el punto más alto de un edificio con un ángulo de 60º. Nos alejamos 6 metros en
línea recta y este ángulo es de 50º. ¿Cuál es la altura del edificio?
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PARA SER TRABAJADO DEL 29 DE NOVIEMBRE AL 06 DE DICIEMBRE 2011
Identidades trigonométricas fundamentales
Para que una igualdad trigonométrica quede demostrada se debe llegar a:

una identidad, es decir, a algo igual a sí mismo; o bien

a cualquiera de las fórmulas trigonométricas.
Relación seno coseno
cos² α + sen² α = 1
Relación secant e tan gent e
sec² α = 1 + tg² α
Relac ión cos ec a nte c ota ngent e
cosec² α = 1 + cotg² α
Identidades inversas
Identidades pitagóricas
Tang x = senx / cosx
Cotg x = cosx / senx
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Demostrar que :
1) c o s ² α
= 1- s e n ² α
2) s e c ² α = 1 + t g ² α
3) c o s e c ² α = 1 + c o t g ² α
4) Sen20º.Csc20º = 1
5)
1 + 2sen x. cos x =( sen x + cos x )
2
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6)
7)
8)
sen x sec x = tan x
9)
tan 2 B.cos B  cos 2 B  1 


10)
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Aplico lo que aprendí
1) c o s e c ² α = 1 + c o t g ² α
2) sen x sec x = tan x
1.
sen κ · sec κ = tan κ
2.
sen x sec x = tan x
3) cos x csc x = cot x
4) Cos
2
β - sen2 β = a cos2 β – 1
5) Tg M. sec M .tg M = 1/ cos M
6)
7) Tg x + ctg x = csc x . csc x
8)
2
2
2
9) Cos x – sen x - 2 cos x = -1
2
2
10) (1 − sen γ )(1 + tan γ ) = 1
2
2
11) (1 – cos x) + 2 ctg x.sen x = 1 +cos x
12)
13)
14)
15)
2
2
2
2
16) tg (α) − sen (α) = tg (α) · sen (α)
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