La desigualdad de Minkowski de tipo débil y aplicaciones Consuelo Ramı́rez Torreblanca 2 Sean (X, M, µ), (Y, N , ν) dos espacios de medida. Sea T un operador que transforma funciones M-medibles en funciones N -medibles. 1. T es de tipo fuerte (p, q) con constante C ≥ 0 si µZ µZ ¶ 1q ¶ p1 q p ≤C |T f | dν |f | dµ Y X para toda función medible f . 2. T es de tipo débil (p, q) con constante C ≥ 0 si ¶ p1 µZ 1 C p q (ν({y ∈ Y : |T f (y)| > λ})) ≤ |f | dµ λ X para toda función medible f y todo λ > 0. 3. T es de tipo débil restringido (p, q) con constante C ≥ 0 si 1 1 C (ν({y ∈ Y : |T χE (y)| > λ})) q ≤ (µ(E)) p λ para todo conjunto medible E ⊂ X y todo λ > 0. 3 DESIGUALDAD INTEGRAL DE MINKOWSKI Sean (X, M, µ), (Y, N , ν) dos espacios de medida. Si p ≥ 1, entonces ° °Z ° ° ° f (·, y)dν(y)° ° ° Y Z ≤ p;dµ kf (·, y)kp,dµ dν(y). Y APLICACIÓN: Dar condiciones suficientes para que un operador integral Z K(x, y)f (y)dy T f (x) = p esté acotado en el espacio L . En efecto: µZ Z kT f kp ≤ kK(·, y)kp |f (y)|dy ≤ Rn Por tanto, si Rn R Rn 0 Rn 0 kK(·, y)kpp dy ¶ 10 p kf kp . kK(·, y)kpp dy < ∞ entonces T está acotado en Lp . 4 ¿Es posible dar una “ desigualdad de Minkowski de tipo débil”cuya aplicación permita dar condiciones suficientes para que el operador integral T sea de tipo débil (p, p)?. 5 DESIGUALDAD DE MINKOWSKI DE TIPO DÉBIL Sean (X, M, µ) e (Y, N , ν) espacios de medida σ-finitos. Sea f : X × Y → R medible en el espacio producto. Sea p > 1 y p0 su exponente conjugado. Entonces ° °Z Z ° ° 0 ° f (x, ·)dµ(x)° ≤p kf (x, ·)kp,∞;dν dµ(x). ° ° X p,∞;dν X 6 Si (X, M, µ) es un espacio de medida σ-finito y p ≥ 1, Lp,∞ (X) = {f : kf kp,∞;dµ < ∞} donde 1 kf kp,∞;dµ = sup λ(µ{x ∈ X : |f (x)| > λ}) p . λ>0 T es de tipo débil (p, p) con constante C si y sólo si kT f kp,∞ ≤ Ckf kp para toda f ∈ Lp . La función k · kp,∞;dµ no es una norma. Si p > 1, p0 = f y definimos p , p−1 f ∗ es el reordenamiento decreciente de la función kf k∗p,∞;dµ = sup t 1 −1 p t>0 Z t f ∗, 0 entonces k · k∗p,∞;dµ es una norma tal que k · kp,∞;dµ ≤ k · k∗p,∞;dµ ≤ p0 k · kp,∞;dµ y (Lp,∞ (X), k · k∗p,∞;dµ ) es un espacio de Banach de funciones. 7 Sea B la bola unidad cerrada de (Lp,∞ (X))0 , el espacio asociado de L (X). Entonces °Z °∗ ¯Z ¯ Z ° ° ¯ ¯ ° f (x, ·)dµ(x)° ¯ ¯ dν(y) = sup |h(y)| f (x, y)dµ(x) ° ° ¯ ¯ h∈B X X p,∞;dν ¶ ZY µZ ≤ sup |f (x, y)h(y)|dν(y) dµ(x) h∈Bµ X ZY ¶ Z sup |f (x, y)h(y)|dν(y) dµ(x) ≤ ZX h∈B Y = kf (x, ·)k∗p,∞;dν dµ(x). p,∞ X Finalmente, las desigualdades k · kp,∞;dν ≤ k · k∗p,∞;dν ≤ p0 k · kp,∞;dν dan el resultado. 8 Con la desigualdad de Minkowski de tipo débil, si p > 1 la condición Z 0 kK(·, y)kpp,∞ dy < ∞ Rn da el tipo débil (p, p) del operador integral T . En efecto: µZ Z 0 kK(·, y)kp,∞ |f (y)|dy ≤ p kT f kp,∞ ≤ p Rn 0 Rn 0 kK(·, y)kpp,∞ dy ¶ 10 p kf kp . 9 APLICACIONES Hemos aplicado la desigualdad de Minkowski de tipo débil anterior para: 1. Caracterizar desigualdades de tipo débil con pesos para operadores de Hardy modificados n-dimensionales y operadores geométricos n-dimensionales. 2. Dar condiciones suficientes para que determinados operadores de convolución verifiquen desigualdades de tipo débil mixto con pesos. 3. Desarrollar un método de rotaciones de tipo débil para p > 1. 10 DESIGUALDADES DE TIPO DÉBIL PARA OPERADORES DE HARDY EN DIMENSIÓN SUPERIOR A UNO Z x1 Z Z x2 T f (x1 , x2 , . . . , xn ) = h(x1 , x2 , . . . , xn ) xn ... 0 f. 0 0 Caracterizaremos la siguiente desigualdad: µZ u {(x1 ,x2 ,...,xn )∈(0,∞)n :T f (x1 ,x2 ,...,xn )>λ} en el caso 1 < p < q < ∞. ¶ 1q C ≤ λ µZ ∞ Z Z ∞ ∞ ... 0 0 f 0 p ¶ p1 (x1 , x2 , . . . , xn )Πni=1 vi (xi ) 11 ANTECEDENTES E. T. Sawyer, Weighted inequalities for the two-dimensional Hardy operator , Studia Math. (1985). E. Sawyer caracterizó los pares de pesos (u, v) para los que se verifica la desigualdad de tipo débil ÃZ ! 1q µZ ∞ Z ∞ ¶ p1 C p u ≤ f v R R λ 0 0 {(x,y)∈(0,∞)2 : 0x 0y f >λ} en el caso 1 < p ≤ q < ∞. 12 Teorema. Sean p, q ∈ R con 1 < p < q < ∞. Sea u una función no negativa en (0, ∞)n y sean v1 , v2 , · · · , vn funciones no negativas en (0, ∞). Sean s1 , s2 , . . . , sn ∈ (1, p). Las siguientes afirmaciones son equivalentes: (i) Existe C > 0 tal que la desigualdad µZ ¶ 1q u {(x1 ,x2 ,...,xn )∈(0,∞)n :T f (x1 ,x2 ,...,xn )>λ} µZ ∞ Z ∞ ¶ p1 Z ∞ C p n ≤ ... f (x1 , x2 , . . . , xn )Πi=1 vi (xi ) λ 0 0 0 se verifica para toda función positiva f y todo λ > 0. (ii) Bs1 ,s2 ,...,sn (p, q, u, v1 , v2 , . . . , vn , h) < ∞, donde Bs1 ,s2 ,...,sn (p, q, u, v1 , v2 , . . . , vn , h) = sup (t1 ,t2 ,...,tn )∈(0,∞)n Πni=1 Vi (ti ) si −1 p y kχΠni=1 (ti ,∞) hΠni=1 Vi (xi ) Z xi Vi (xi ) = 0 p−si p kq,∞;u 0 vi1−p . Más aún, si C es la mejor constante en la desigualdad de tipo débil, entonces ³ ´p p1 p ¶1 n n µ Y Y p−si p − 1 p0 ³ ´p Bs1 ,s2 ,...,sn Cp,q Bs1 ,s2 ,...,sn . ≤C≤ p p − si + 1 i=1 i=1 p−si si −1 13 Aplicaremos el siguiente lema, que es una consecuencia sencilla de la desigualdad de Minkowski de tipo débil. Lemma 1. Sea 1 < p < q < ∞ y sean g, f , u funciones no negativas en (0, ∞)n . Entonces ° µZ x1 Z x2 Z xn ¶ p1 ° ° °p ° ° ... f ° °g(x1 , x2 , . . . , xn ) ° ° 0 0 0 q,∞;u Z ∞Z ∞ Z ∞ ≤ Dp,q ... f (t1 , t2 , . . . , tn )kχΠni=1 (ti ,∞) gkpq,∞;u dt1 dt2 . . . dtn . 0 0 0 14 (i) ⇒ (ii) La condición (ii) se obtiene aplicando la desigualdad de tipo débil a la función g definida por: g= n µµ Y i=1 p p − si ¶p −si Vi (ti ) 1−p0 vi (xi ) −si χ(0,ti ) (xi ) + Vi (xi ) 1−p0 vi (xi ) ¶ χ(ti ,∞) (xi ) . 15 (ii) ⇒ (i) Sean g > 0 , λ > 0 y Z n Oλ = {x ∈ (0, ∞) : h(x) x1 Z Z x2 xn ... 0 0 0 1 − p1 g p Πni=1 vi > λ}. Si x ∈ Oλ , la desigualdad de Hölder da µZ x1 Z x2 µ ¶ 10 ¶ p1 Y Z xn n p p−si p − 1 si −1 n λ < h(x) . Vi (xi ) p ... gΠi=1 Vi p − si 0 0 0 i=1 16 Entonces, por la desigualdad de Minkowski de tipo débil n-dimensional y la definición de Bs1 ,s2 ,··· ,sn , tenemos µZ ¶ 1q ° µZ x1 Z x2 ¶ p1 Y µ ¶ 10 ° Z xn n ° ° p p−si p − 1 ° ° si −1 n p λ u ≤ °h(x) ... gΠi=1 Vi Vi (xi ) ° ° ° p − si Oλ 0 0 0 i=1 q,∞;u 1 ¶ µ n Y p − 1 p0 ≤ Cp,q p − si ¶ p1 µZ i=1 p−si n si −1 n p × g(t1 , t2 , . . . , tn )Πi=1 Vi (ti ) khΠi=1 χ(ti ,∞) Vi (xi ) p kq,∞;u dt1 dt2 · · · dtn (0,∞)n ¶ 1 µZ ∞ Z ∞ Z ∞ ¶ p1 n µ Y p − 1 p0 , ≤ Cp,q Bs1 ,s2 ,...,sn ... g p − s i 0 0 0 i=1 que es equivalente a (i). 17 OPERADOR DE MEDIAS GEOMÉTRICAS N -DIMENSIONAL µ Gn f (x1 , x2 , . . . , xn ) = exp 1 x1 x2 · · · xn Z x1 Z Z x2 ... 0 0 ¶ xn log f 0 ANTECEDENTES A. Wedestig, Weighted inequalities for the Sawyer two-dimensional Hardy operator and its limiting geometric mean operator , J. Inequalities Appl. (2005). 18 Theorem 1. Sean 0 < p < q < ∞. Sea u una función no negativa en (0, ∞)n y sea v una función positiva en (0, ∞)n . Sean s1 , s2 , . . . , sn > 1. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: (i) Existe C > 0 tal que la desigualdad µZ ¶ 1q µZ ∞ Z ∞ ¶ p1 Z ∞ C p u ≤ ... f v λ {(x1 ,x2 ,...,xn )∈(0,∞)n :Gn f (x1 ,x2 ,...,xn )>λ} 0 0 0 se verifica para toda función positiva f y todo λ > 0. (ii) Bexp,s1 ,s2 ,...,sn (p, q, u, v) < ∞, donde Bexp,s1 ,s2 ,...,sn = sup (t1 ,t2 ,...,tn )∈(0,∞)n 1 si −1 p Πni=1 ti kχ Πn i=1 (ti ,∞) −si p wΠni=1 xi kq,∞;u y w = Gn (v − p ). Más aún, si C es la mejor constante de la desigualdad de tipo débil, entonces ¶− p1 n µ Y si −1 e−si Bexp,s1 ,s2 ,...,sn 1+ ≤ C ≤ Πni=1 e p Cp,q Bexp,s1 ,s2 ,...,sn . si − 1 i=1 19 DESIGUALDADES DE TIPO DÉBIL MIXTO CON PESOS PARA CONVOLUCIONES µZ w {x:g(x)|T f (x)|>λ} ¶ 1q C ≤ λ µZ p |f | v ¶ p1 T es un operador que actúa sobre funciones medibles. Las funciones g, w y v son medibles y no negativas. 20 ANTECEDENTES 1. K. F. Andersen y B. Muckenhoupt, Weighted weak type Hardy inequalities with applications to Hilbert transforms and maximal functions, Studia Math. (1982). 2. E. T. Sawyer, A weighted weak type inequality for the maximal function, Proc. Amer. Math. Soc. (1985). 3. K. F. Andersen, Weighted inequalities for convolutions, Proc. Amer. Math. Soc. (1995). 4. F. J. Martı́n-Reyes, P. Ortega Salvador y M. D. Sarrión Gavilán, Boundedness of operators of Hardy type in Λp,q spaces and weighted mixed inequalities for singular integral operators, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A (1997). 5. D. Cruz-Uribe, J. M. Martell y C. Pérez, Weighted weaktype inequalities and a conjecture of Sawyer , Int. Math. Res. Not. (2005). 21 OPERADORES DE CONVOLUCIÓN EN (0, ∞) Consideremos el operador de convolución T definido sobre funciones medibles no negativas en (0, ∞) por Z ∞ µ ¶ x f (y) T f (x) = K dy, y y 0 donde K es una función no negativa, decreciente, continua por la derecha en (0, ∞) y tal que lim K(t) = 0. t→∞ 22 Teorema. Sean p y q con 1 ≤ p < ∞ y 1 < q < ∞. Sean w, v y g funciones medibles no negativas definidas en (0, ∞). Supongamos que g es monótona si q < p. Sea ϕ1 ≡ ϕ1(g,w,v) la función definida en (0, ∞) por ½ sups>0 kχ(0,st) gkq,∞;w ky −1 χ(s,∞) (y)v −1 (y)kp0 ;v si p ≤ q 1 ϕ(g,w,v) (t) = , kΦt kr,∞;w si q < p donde 1 r = 1 q Φt (x) = − 1 p y sup 0<c<x<d<∞ µZ ¶ p1 ÃZ d inf g(y) ∞ w y∈(c,d) c ! 10 p 0 0 v(y)1−p y −p dy d t Sea ΛK la medida de Lebesgue-Stieltjes asociada a la función K. Si Z ∞ B1 = ϕ1 (t)dΛK < ∞, 0 entonces existe Cp,q > 0 tal que µZ w {x∈(0,∞):g(x)T f (x)>λ} ¶ 1q Cp,q B1 ≤ λ µZ ∞ p f v 0 para todo λ > 0 y toda función f medible no negativa. ¶ p1 . 23 De acuerdo con Andersen ! ÃZ ! Z ∞ Z ∞ ÃZ ∞ dy dy T f (x) = = dΛK (t) f (y) f (y) dΛK (t) x y y 0 (x ,∞) 0 y t Z ∞ = At f (x)dΛK (t), 0 donde Z At f (x) = ∞ f (y) x t dy . y Como B1 < ∞, ϕ1 es finita en casi todo punto respecto de la medida ΛK , lo cual implica que los operadores At verifican kgAt f kq,∞;w ≤ Cp,q ϕ1 (t)kf kp;v para casi todo t (respecto de la medida ΛK ). 24 Entonces, la desigualdad de Minkowski de tipo débil nos da ° ° Z ∞ Z ∞ ° ° 0 ° ° kgT f kq,∞;w = °g(·) At f (·)dΛK (t)° ≤q kgAt f kq,∞;w dΛK (t) 0 q,∞;w µ0 Z ∞ ¶ ≤ q 0 Cp,q ϕ1 (t)dΛK (t) kf kp;v = q 0 Cp,q B1 kf kp;v . 0 25 OPERADORES DE CONVOLUCIÓN EN R Consideremos ahora el operador T definido sobre funciones no negativas en R por Z T f (x) = K(|x − y|)f (y)dy, R donde K es una función definida en (0, ∞), no negativa, decreciente, continua por la derecha y tal que lim K(t) = 0. t→∞ 26 Teorema. Sean p y q tales que 1 ≤ p < ∞ y 1 < q < ∞. Sean w, v y g funciones medibles no negativas definidas en R. Supongamos que g es monótona si q < p. Sea ϕ2 la función definida en (0, ∞) por ½ A(t) si p ≤ q 2 ϕ (t) = , kΨt kr,∞;w si q < p donde 1 r = 1 q − p1 , A(t) está definida por A(t) = sup x<y;y−t≤x+t kχ(x,y) gkq,∞;w kχ(y−t,x+t) v −1 kp0 ,v y Ψt es la función definida en R por µZ Ψt (x) = sup inf g(y) {c≤x≤d;d−t≤c+t} y∈(c,d) Si Z ∞ B2 = entonces existe Cp,q > 0 tal que µZ ¶ p1 µZ d c+t v w 1−p0 d−t c ϕ2 (t)dΛK < ∞, 0 w {x∈R:g(x)T f (x)>λ} ¶ 1q Cp,q B2 ≤ λ µZ p f v R para todo λ > 0 y toda función f medible no negativa. ¶ p1 ¶ p10 . 27 MÉTODO DE ROTACIONES DE TIPO DÉBIL PARA p > 1 Sea T un operador unidimensional. Sea n > 1 y sea f : Rn −→ R. Si u ∈ S n−1 y x⊥u definimos fux : R −→ R por: fux (t) = f (tu + x). Si x ∈ Rn definimos Tu f (x) por Tu f (x) = T (fux )(t), donde x = tu + x siendo x⊥u. Sea Ω ∈ L1 (S n−1 ) y TΩ el operador n-dimensional definido por Z TΩ f (x) = Ω(u)Tu f (x)dσ(u), S n−1 donde σ es la medida de Lebesgue normalizada en S n−1 . Teorema. Sea p ≥ 1 y sea T un operador unidimensional de tipo fuerte (p, p) con constante Cp . Sea n > 1 y Ω ∈ L1 (S n−1 ). Entonces TΩ es de tipo fuerte (p, p) con constante Cp kΩk1 . 28 Teorema. Sea p > 1 y sea T un operador unidimensional de tipo débil (resp. tipo débil restringido) (p, p) con constante Cp . Sea n > 1 y Ω ∈ L1 (S n−1 ). Entonces TΩ es de tipo débil (resp. tipo débil restringido) (p, p) con constante p0 Cp kΩk1 . 29 Primero demostramos que los operadores Tu son de tipo débil (p, p) con constante Cp usando que T es de tipo débil (p, p) con constante Cp . Z n χ{x∈Rn :|Tu f (x)|>λ} (x)dx |{x ∈ R : |Tu f (x)| > λ}| = Rn ¶ ¶ Z µZ Z µZ = χ{(t,x):|Tu f (t,x)|>λ} (t, x)dt dx = χ{t∈R:|T (fux )(t)|>λ} (t)dt dx L⊥ R L⊥ R uZ u ¶ µ Z Z Cpp Cpp ≤ p |f |p . |fux (t)|p dt dx = p λ L⊥u λ n R R Por último aplicamos la desigualdad de Minkowski de tipo débil y el tipo débil (p, p) uniforme de los operadores Tu . kTΩ f kp,∞ °Z ° =° ° ° Z ° 0 ° Ω(u)Tu f (·)dσ(u)° ≤p |Ω(u)|kTu f kp,∞ dσ(u) S n−1 S n−1 p,∞ Z ≤ p0 Cp kf kp |Ω(u)|dσ(u) = p0 Cp kΩk1 kf kp . S n−1 Si T es de tipo débil restringido (p, p), la demostración es similar, teniendo en cuenta que si E es un subconjunto medible de Rn entonces (χE )xu = χEux , donde Eux = {t ∈ R : tu + x ∈ E}. 30 UNA APLICACIÓN El método de rotaciones de tipo débil para p > 1 permite obtener resultados que no se pueden obtener con el método de rotaciones de tipo fuerte. Si T es un operador unidimensional que es de tipo débil o tipo débil restringido (p0 , p0 ), p0 > 1, y no es de tipo fuerte (p0 , p0 ), entonces el operador TΩ , es de tipo débil o tipo débil restringido (p0 , p0 ) aplicando el método de rotaciones de tipo débil, pero este resultado no se puede obtener con el método de rotaciones de tipo fuerte. 31 Consideremos el operador maximal de convolución à ! ¶α µ Z 1 1 kx − yk Mα,β,h f (x) = sup n n |f (y)| + h logβ kx−yk dy, R R>0 h R +h B(x,hR) R donde −1 < ¡α¢ < 0, β ≤ 0 y h es un número tal que 0 < h < 1 y ϕ(t) = tα logβ 1t decrece en (0, h). Cambiando a coordenadas polares, vemos que µ µ ¶ ¶ Z Z Rh ³ρ ´α 1 1 β sup Mα,β,h f (x) ≤ |f (x + ρu)| + h log dρ dσ(u) ρ R +h ZS n−1 R>0 Rh 0 R = Tu f (x)dσ(u), S n−1 donde T es el operador maximal de convolución definido por µ ¶ ¶α µ Z Rh t 1 1 β |g(s + t)| T g(s) = sup + h log dt. t R +h R>0 Rh 0 R 32 A. L. Bernardis y F. J. Martı́n-Reyes han demostrado que si α ≤ β, 1 1 entonces T es de tipo débil restringido ( 1+α , 1+α ) y no es de tipo débil 1 1 ( 1+α , 1+α ). Entonces, aplicando el Teorema anterior, obtenemos inmediatamente el siguiente resultado: Teorema. Sea −1 < α < 0 y β ≤ 0 con α ≤ β. Entonces Mα,β,h es de tipo 1 1 , 1+α ). débil restringido ( 1+α