Investigación sobre procesos de resolución de problemas en un

Investigación sobre procesos de resolución de problemas
en un entorno de juegos de estrategia
Investigación sobre procesos de resolución de problemas en un entorno
de juegos de estrategia
Edo, M., Deulofeu, J., y Baeza, M.
Dept. de Didàctica de les Matemàtiques, Universitat Autònoma de Barcelona
Resumen
En esta comunicación se presentan los primeros resultados de una investigación en
curso, cuyo fin principal es encontrar evidencias empíricas de la utilidad de los juegos
de estrategia como herramienta metodológica para desarrollar habilidades de resolución
de problemas en alumnos de primaria.
PALABRAS CLAVE: resolución de problemas, juegos de estrategia, matemáticas en
primaria
1. Introducción
Este estudio se centra en el potencial de los juegos matemáticos de estrategia (Edo,
2002) para desarrollar habilidades de resolución de problemas (Pólya, 1979) y el posible
paralelismo entre ambas actividades. Para ello estudiamos los procesos implicados en la
práctica y resolución de un juego de estrategia. En un estudio preliminar se constató que
existían unas fases comunes que se repetían a lo largo del desarrollo del juego sin un
orden lineal estricto (Edo, Baeza, Deulofeu y Badillo, 2008). Para estudiar con más
profundidad estos procesos y buscar evidencias del posible paralelismo presente en
ambas actividades, se ha elaborado un instrumento de análisis contextualizado a la
situación de juego, pero manteniendo la esencia de los procesos presentes en la
resolución de problemas (Schoenfeld, 1985).
Esta comunicación se centra en la elaboración de un instrumento de análisis para
estudiar los procesos de resolución de un juego de estrategia y su relación con los
procesos de resolución de problemas matemáticos. Para ello se han determinado un
conjunto de episodios presentes en un entorno de juego de estrategia vinculados a
procesos de resolución de problemas. Para cada episodio se han identificado y
ejemplificado un conjunto de indicadores que lo caracterizan.
2. Algunos referentes teóricos
2.1 Juego y matemáticas
Los resultados de distintas investigaciones que relacionan los juegos con las
matemáticas señalan que determinados juegos en el aula de matemáticas permiten el
desarrollo del razonamiento lógico, numérico y aritmético (Kamii y Kato, 2005), el
desarrollo de habilidades y destrezas de la resolución de problemas (Corbalán, 1997;
Edo, 2002; Mallart, 2008), el aumento de la cooperación entre compañeros, de la
autoestima de los alumnos (Edo, 2002; Topping y otros, 2003), una actitud positiva
hacia las matemáticas y el desarrollo de lenguaje matemático (Topping y otros, 2003).
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A la luz de los resultados de estos estudios podemos ver que el juego no es una simple
actividad lúdica, si no que puede ser una herramienta metodológica adecuada y eficiente
para iniciar a los alumnos desde tempranas edades en el aprendizaje de las matemáticas
y en particular en la resolución de problemas.
Entendemos el juego matemático como una actividad escolar de naturaleza matemática,
basada en unas reglas públicas asumidas por todos los participantes. El objetivo del
juego determina la finalidad de la actividad y permite crear un entorno de resolución de
problemas relacionados con la consecución del objetivo. Este entorno debe permitir a
los alumnos: explorar, discutir y buscar diversos caminos para la resolución del juego.
Concordamos con Corbalán (1994) que en el marco escolar se requiere además el uso de
materiales concretos como tableros y fichas, aunque también puede ser adecuado el uso
de lápiz y papel puesto que es importante disponer de materiales que permitan registrar
los procesos de resolución del problema matemático implicado en el juego.
Por juego de estrategia entendemos aquellos en los que no hay intervención del azar. En
ellos es posible, al menos teóricamente, determinar una forma de jugar que permita
ganar siempre (o no perder) a uno de los jugadores. En un juego de estrategia utilizado
en el aula de matemáticas los participantes tratan de descubrir procedimientos que
favorezcan sus posibilidades de ganar y, cuando es posible, determinar estrategias que
resuelvan el juego, es decir, una manera de jugar para ganar siempre (Corbalán y
Deulofeu, 1996; Edo, Deulofeu y Badillo, 2007).
2.2 Juegos de estrategia y resolución de problemas
La importancia de la resolución de problemas en la actualidad se ve reflejada en los
actuales currículos matemáticos, que a menudo presentan la resolución de problemas
como eje transversal de la actividad matemática escolar, “lo que ha llevado a considerar
los juegos de estrategia como elementos claves en este proceso y a usarlos, no sólo para
introducir contenidos, sino también, y muy especialmente, para favorecer distintos
aspectos (procesos, fases…) de la resolución de problemas; así pues constituyen un
instrumento metodológico importante para su enseñanza” (Gómez Chacón, 1992. p.7).
Es aquí donde los juegos de estrategia en el aula se potencian como instrumento
metodológico para la creación de un ambiente de resolución de problema que permita al
alumnado desarrollar heurísticas propias de la resolución de problemas.
Para Schoenfeld (1989) “la enseñanza de las matemáticas debe centrarse en el desarrollo
de aptitudes para: entender conceptos y métodos matemáticos; discernir relaciones
matemáticas; razonar lógicamente; aplicar conceptos, métodos y relaciones matemáticas
para resolver una variedad de problemas no-rutinarios”. (op.cit., p.146).
Para que cada individuo se sienta motivado a buscar una solución a los problemas debe
hacerlos propios, buscando su propio camino de solución. Además, debemos considerar
que no todas las tareas son problemas para todos, esto depende de los conocimientos de
cada uno y que debemos diferenciar las tareas destinadas a ejercitar algoritmos de las
designadas realmente la resolución de problemas. En este sentido, el juego de estrategia
puede ser una tarea que plantee un reto motivador para el resolutor.
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Otros autores que relacionan los juegos de estrategia con la resolución de problemas son
Corbalán (1994), Gómez-Chacón (1992) y Guzmán (2005). Estos autores tienen una
idea común acerca de la potencialidad del juego como herramienta metodológica para el
desarrollo de habilidades de resolución de problemas. Por lo mismo, las fases de
resolución de un juego de estrategia deben ser tratadas y estudiadas con la misma
seriedad y cuidado que la resolución de un problema típicamente matemático.
3. Metodología de la investigación
3.1 Población
Este estudio toma los datos de tres grupos de cuatro alumnos de un centro de primaria y
secundaria, religioso y concertado, ubicado en el área metropolitana de Barcelona. Los
datos fueron tomados en dos cursos consecutivos: 2006-2007 (estudio piloto) y 20072008 (segunda fase). Todos los alumnos que participan en este estudio cursaban quinto
de primaria.
La actividad que se analizó formaba parte del trabajo que se realiza regularmente en este
centro. Concretamente, se enmarca en las sesiones de cálculo mental y resolución de
problemas que realizan todos los alumnos de primaria una hora a la semana. La
programación de estas sesiones contiene tres juegos de mesa en cada curso. En quinto
de primaria uno de los juegos es “cerrar quinces” (actividad seleccionada para el
estudio) que se realiza durante el segundo trimestre del curso. Los alumnos, en grupos
de cuatro, dedican 3 sesiones a realizar tareas relacionadas con este juego.
Los grupos seleccionados para el estudio fueron propuestos por la maestra de
matemáticas teniendo en cuenta que los integrantes tuvieran ciertas habilidades
comunicativas y motivación para participar activamente en las discusiones de grupo.
En el estudio participaron dos adultos, la maestra de matemáticas y la investigadora. A
continuación se presenta la organización de los grupos, el período en el que fueron
registrados los datos y los adultos que intervinieron con cada grupo.
Curso académico
Grupo 1:
2006-2007
Grupo 2:
2007-2008 (5º A)
Grupo 3:
2007-2008 (5º B)
Tabla 1. Participantes en el estudio
Alumnos
Adultos que intervienen
Pareja 1: Katerin y Marc
Maestra de matemáticas
Pareja 2: Marta y Cristian
Pareja 3: Mónica y Oriol
Maestra de matemáticas
Pareja 4: Jazmina y Pau
Pareja 5: Miriam y Aleix
Investigadora
Pareja 6: Martina y Paul
3.2 Tarea y Materiales
El juego de estrategia seleccionado para el estudio es “Cerrar quinces”; cuyas
características se presentan a continuación.
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Tabla 2. Juego Cerrar quinces
“CERRAR QUINCE”
Nivel:
Quinto, sexto de primaria.
Material:
Un tablero de 3 x 3, y un juego de 9 cartones con cifras del 1 al 9.
1
1
2
1
3
1
4
6
7
8
9
1
5
Número de
jugadores:
4 jugadores (juegan por parejas).
Reglas y objetivo:
Se dejan todos los cartones boca arriba, cada jugador escoge uno
por turno.
Cada jugador en su turno coloca un solo cartón sobre el tablero,
donde quiera.
El primer jugador que al colocar un cartón consigan sumar "15" ya
sea de manera vertical, horizontal o diagonal gana el juego.
Estrategia ganadora: El juego presentado es un juego sin intervención del azar y debe
ser analizado para descubrir una estrategia ganadora.
a) La estrategia más directa para ganar es la siguiente: Si el primer jugador coloca el 5
en el centro del tablero puede ganar a la siguiente jugada.
El 5 en esta posición ocupa todas las direcciones del tablero:
horizontal, vertical y dos diagonales. Todas las fichas restantes (1, 2,
3, 4, 6, 7, 8, 9) se pueden emparejar de forma que sumen 10; 1+9,
2+8, 3+7, 4+6. Esta estrategia permite ganar al primer jugador en la
segunda jugada, ya que, el segundo jugador coloca cualquier número
y el primero cierra con el complementario a 10.
5
También la colocación del cinco en cualquier otra casilla, permite obtener una estrategia
ganadora para el primer jugador.
b) Colocar el 5 en uno de los vértices.
5
x
x
En esta posición el 5 ocupa tres direcciones: una horizontal, una
diagonal y una vertical desde el 5. El segundo jugador para evitar
perder puede colocar algún número en las casillas “x”, en este caso,
el primer jugador pone el complementario a 10 en la otra casilla “x”.
Cualquier otra posible jugada del segundo jugador lo coloca en la
misma situación de la estrategia a). Por lo tanto, esta estrategia
permite ganar al primer jugador a la tercera jugada.
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c) Situar el 5 en el centro de un lado del tablero.
x
x
x
x
5
En esta posición, el 5 ocupa dos direcciones: una vertical y una
horizontal desde el 5. Siguiendo la misma pauta que en la estrategia
b), el segundo jugador coloca algún número en las casillas “x” y el
primer jugador va cerrando cada columna con el complementario a
10. Esta estrategia permite ganar al primer jugador en la cuarta
jugada.
d) Existe también la posibilidad de hallar una estrategia ganadora, para el primer
jugador, colocando una ficha en el centro del tablero distinta del cinco. En efecto, si
colocamos, por ejemplo, el 4 en el centro, quedan emparejadas las fichas: 9-2, 8-3, 6-5
(que suman 11 y con el 4 hacen 15), y quedan sin aparejar sólo el 1 y el 7. El segundo
jugador debe jugar uno de estos dos números, si no quiere perder inmediatamente, y el
primero puede jugar el otro, cerrando una línea que no suma 15, pero obligando al
segundo jugador a poner uno de los números restantes, con lo cual el primero ganará la
partida jugando el otro número del par. Lo mismo sucede para cualquier otro número
distinto de 5, por lo que es posible asegurar que este juego admite diversas estrategias
ganadoras para el primer jugador, ya sea iniciando el juego con un 5 en cualquier
casilla, o bien jugando cualquier otro número en la casilla central.
3.3 Recogida de datos
Se grabaron las tres sesiones de juego de cada grupo. Para el presente estudio se
seleccionó la segunda sesión de juego de cada grupo, en la cual los participantes se
centran en el objetivo de buscar la manera de ganar siempre o de no perder, que nos
permite observar los procesos implicados en la resolución del juego “Cerrar quinces”.
Es necesario precisar que a partir del análisis de las sesiones del primer curso (20062007) se consideró oportuno elaborar una pauta didáctica que guiara la gestión del aula
por parte del docente para intentar optimizar la actividad. Esta pauta incluye la
organización de las tres sesiones de juego e indicaciones de cómo guiar a los alumnos
sin dar ayudas innecesarias para favorecer el descubrimiento de estrategias dentro de un
auténtico trabajo de resolución de problemas. Esta pauta fue utilizada por los dos
docentes durante el curso escolar 2007-2008. Se adjunta (ver anexo) la pauta que fue
utilizada para la segunda sesión de juego, ya que es la sesión elegida para el análisis.
Para el análisis de los datos se procedió a la transcripción de los datos audiovisuales
generando el protocolo de análisis, que según Schoenfeld (1981) es la producción de los
registros realizados, son rastros de una secuencia de las acciones tomadas por los
individuos en el proceso de resolución de un problema.
4. Análisis de los datos
Hemos definido nuestros episodios de análisis a partir de los episodios de Schoenfeld
(1985). Adaptando el sistema de categorías al contexto de juego de estrategia en el nivel
de primaria y de acuerdo a las intervenciones observadas.
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Nos hemos centrado en identificar y describir nuestros episodios obteniendo el siguiente
esquema a partir de los protocolos (Artzt, Armour-Thomas, 1992) analizados y de los
referentes teóricos estudiados.

Episodio de “Apropiación de reglas y objetivos”.

Episodio de “Exploración y análisis”.

Episodio de “Planificación e implementación”.

Episodio de “Argumentación y verificación “.

Momentos de transición.
En este estudio cada episodio cuenta con una serie de indicadores que lo describen e
identifican. El procedimiento para llegar a la definición de cada episodio consistió en
analizar nuestros registros observando semejanzas y diferencias con los episodios de
Schoenfeld (1985). Así logramos formular los objetivos específicos:

Caracterizar el proceso de resolución de un juego de estrategia, en relación a los
procesos de resolución de problemas.

Caracterizar cada parte del proceso de resolución de un juego de estrategia a partir
de la descripción de indicadores.
Los episodios de Shoenfeld han sido modificados y delimitados dentro del contexto de
juego, sin olvidar que el proceso de resolución de un juego de estrategia se asemeja al
de resolución de un problema en cuanto al entorno de resolución que genera y a las
heurísticas comunes en el proceso de resolución. Por lo tanto, en ambas situaciones
didácticas estamos en un ambiente de resolución, en el cual se debe analizar una
situación problemática y descubrir los diferentes caminos de resolución mediante
heurísticas.
Para que los episodios sean considerados como tales, deben contar con uno o más de los
indicadores descritos para cada uno de ellos. También se identificaron los Momentos de
transición, que no poseen características suficientes para ser considerados episodio, tales
como: brevedad, función de enlace, etc. A continuación, se presentan los episodios con
sus respectivos indicadores.
Tabla 3. Episodios presentes en la resolución de un juego de estrategia con sus respectivos
identificadores
EPSIODIOS
INDICADORES
Episodio de apropiación
de reglas y objetivos
(R.O.)
R.O.1. El adulto explica las normas y objetivos del juego.
R.O.2. El alumno realiza preguntas o aclaraciones relacionadas con las
normas del juego.
R.O.3. El alumno realiza preguntas que le permitan comprender mejor el
objetivo del juego.
R.O.4. El alumno realiza preguntas o aclaraciones relacionadas con la
utilización del material de juego (tablero, fichas, hoja).
E.A.1. El alumno realiza jugadas de ensayo y error (en el tablero y/o con
lápiz y papel).
E.A.2. El alumno analiza el resultado de algunas jugadas realizadas en fases
Episodio de exploración
y análisis (A.E.)
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Episodio de
planificación e
implementación (P.I.)
Episodio de
Argumentación y
Verificación (V.A.)
Momento de transición
(T)
de ensayo y error para decidir si continúa o rechaza el tipo de jugada
realizada.
E.A.3. El alumno se pregunta así mismo, pregunta a su pareja o a otros
participantes acerca de las estrategias que está/n utilizando o sugiere nuevas
formas de exploración.
E.A.4. El alumno identifica información importante a partir de los resultados
obtenidos de sus movimientos durante el juego.
E.A.5. El alumno describe los movimientos realizados por él o el oponente
en función de los resultados obtenidos anteriormente.
P.I.1. El alumno describe un plan general que cree que lo puede llevar a
ganar el juego.
P.I.2. El alumno realiza una serie de jugadas teniendo un plan relacionado
con una estrategia.
P.I.3. El alumno afirma tener una estrategia para ganar, la describe y lleva a
cabo mediante un ejemplo, ya sea con el material de juego o con lápiz y
papel.
A.V.1. El alumno verbaliza algún descubrimiento que ha realizado o
comprendido durante o al final de la sesión.
A.V.2. El alumno ejemplifica verbalmente, a través de la manipulación del
material de juego o de explicaciones utilizando lápiz y papel, por qué ciertos
movimientos lo llevan o pueden llevar a ganar la partida.
A.V.3. El alumno identifica condiciones necesarias para que una estrategia
sea ganadora.
A.V.4. El alumno describe y/o argumenta una estrategia ganadora.
A.V.5. El alumno explica a sus compañeros por qué una estrategia es
ganadora.
T.1. La maestra orienta a los alumnos mediante peticiones o sugerencias a
que desarrollen un nuevo proceso durante el desarrollo del juego.
T.2. La maestra realiza preguntas que llevan a los alumnos a analizar, tomar
en cuenta una nueva información, argumentar o salir de un bloqueo.
T.3. El alumno reconoce una información nueva, anteriormente inadvertida,
también puede generar el cambio de dirección de un episodio dando lugar a
la transición hacia otro episodio.
5. Resultados
Los resultados del análisis de cada uno de los tres protocolos son los siguientes:
5.1 Resultados Protocolo 1
Tabla 4. Protocolo 1. Duración y frecuencia de cada episodio durante una sesión de juego.
Episodios
Duración
% Tiempo
Frecuencia
Apropiación de reglas y objetivos
3’ 19”
8%
5
Exploración y análisis
11’ 40”
30%
6
Planificación e implementación
2’ 58”
8%
2
Argumentación y verificación
5’ 23”
14%
6
Momentos de transición
15’ 14”
40%
14
Total
38’ 36”
100%
33
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Figura 1. Episodios y duración de los mismos del Protocolo 1
En la tabla 4 y la figura 1, se observan los siguientes resultados de la sesión del
Protocolo 1: Curso: 2006-2007, maestra de matemáticas, sin pauta didáctica.
En el Gráfico 1, podemos apreciar las apariciones de los cuatro episodios durante la
sesión (eje horizontal); y el tiempo de duración de cada uno de ellos (eje vertical). Con
la línea punteada se vincula cada aparición de episodio con la siguiente aparición del
mismo. Los momentos de transición, tanto por su brevedad como por su función, no son
enlazados con la línea discontinua.
La mayor parte de tiempo en esta sesión se ha destinado a: exploración y análisis (30%)
y a momentos de transición (40%).
5.2 Resultados Protocolo 2
Tabla 5. Protocolo 2. Duración y frecuencia de cada episodio durante una sesión de juego
Episodios
Duración
% Tiempo
Frecuencia
Apropiación de reglas y objetivos
3’ 10”
6%
6
Exploración y análisis
15’ 25”
29%
12
Planificación e implementación
7’ 48”
14%
7
Argumentación y verificación
18’18”
34%
8
Momentos de transición
8’ 53”
16%
24
Total
53’ 57”
100%
57
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Figura 2. Episodios y duración de los mismos del Protocolo 2
En la tabla 5 y figura 2, se observan los resultados de la sesión del Protocolo 2: Curso:
2007-2008, maestra de matemáticas, con pauta didáctica.
La mayor parte de tiempo en esta sesión se ha destinado a: exploración y análisis (29%)
y argumentación y verificación (34%).
5.3 Resultados Protocolo 3
Tabla 6. Protocolo 3. Duración y frecuencia de cada episodio durante una sesión de juego
Episodios
Duración
% Tiempo
Frecuencia
Apropiación de reglas y objetivos
1’56”
5%
2
Exploración y análisis
16’47”
43%
6
Planificación e implementación
2’29”
6%
4
Argumentación y verificación
16’10”
41%
6
Momentos de transición
1’52”
5%
13
Total
39’14”
100%
31
Figura 3. Episodios y duración de los mismos del Protocolo 3
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En la tabla 6 y figura 3, se observan los resultados de la sesión del Protocolo 3: Curso:
2007-2008, investigadora, con pauta didáctica.
La mayor parte de tiempo en esta sesión se ha destinado a los episodios de: Exploración
y análisis (43%) y Argumentación y verificación (41%).
5.4 Comparación de los tres Protocolos
A partir de los datos de cada protocolo realizamos una visión comparativa de las tres
sesiones. La intención es revisar la validez del instrumento de análisis creado, con los
episodios identificados y sus respectivos indicadores, para determinar si es una
herramienta útil para comprender mejor lo que sucede durante las sesiones de juegos de
estrategia y su relación con los procesos de resolución de problemas.
Las sesiones que se analizan contienen semejanzas y diferencias. El juego siempre es el
mismo pero, en los protocolos 1 y 2 actúa la misma profesora, con la diferencia que en
el primer caso lo hizo sin una pauta mientras que en el segundo actúa guiada por una
pauta didáctica. En los protocolos 2 y 3 actúan dos profesoras distintas pero guiadas por
la misma pauta. Aunque los alumnos son distintos en cada grupo todos corresponden al
mismo curso y han tenido la misma formación.
Una revisión de los tres protocolos, a partir de los datos registrados en las tablas 4, 5 y
6; y los gráficos 1, 2 y 3, nos ha permitido hallar similitudes y diferencias entre ellos.
5.5 Similitudes y diferencias entre las sesiones
En relación a las semejanzas podemos observar que el episodio de Apropiación de
reglas y objetivos siempre aparece al inicio de la sesión, aunque su duración y
reaparición varía de un protocolo a otro. En cambio, el episodio de Exploración y
análisis está presente en el desarrollo de todas las sesiones, y siempre ocupa una
proporción de tiempo importante.
Por otra parte, el episodio de Planificación e implementación aparece, en los tres
protocolos, al final del primer tercio y durante todo el segundo tercio de la sesión. El
episodio de Argumentación y verificación se encuentra presente de forma importante en
los tres protocolos; siempre aparece desde la mitad del primer tercio hasta el final de la
sesión y se le destina un tiempo importante, aunque con diferencias relevantes que se
mostrarán en el siguiente punto.
Los Momentos de transición cumplen su función de enlazar episodios en los tres
protocolos analizados.
También existen diferencias relevantes en los tres protocolos: el episodio de
Planificación e implementación aparece en el Protocolo 1 sólo en dos ocasiones,
mientras que en el Protocolo 2 aparece siete veces en la parte central de la sesión y en el
Protocolo 3 cuatro veces desde el final del primer tercio hasta el final de la sesión.
El episodio de Argumentación y verificación, en el Protocolo 1, aparece repetidamente a
lo largo de la sesión, pero sólo se le destina un tiempo importante en una ocasión, en el
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primer tercio de la sesión. Por el contrario, en los protocolos 2 y 3, además de aparecer a
lo largo de toda la sesión, incrementa notablemente el tiempo en sus apariciones al final
de la sesión. Estos datos reflejan que la pauta didáctica ha permitido una mejor
distribución en el tiempo de este episodio. Al final de la sesión los alumnos tienen más
conocimientos para poder argumentar y verificar.
Los Momentos de transición en el Protocolo 1 ocupan el mayor tiempo de la sesión
(40%), mientras que en los Protocolos 2 y 3, aunque siguen presentándose en numerosas
ocasiones, sus apariciones son de corta duración (16% y 5% respectivamente). Una vez
más vinculamos estos resultados a la utilización de la pauta didáctica, ya que
consideramos que los momentos de transición cumplen una función de enlace, pero si la
duración de los mismos es muy alta, indican interrupciones o desconexiones de los
alumnos de la tarea principal.
6. Conclusiones
El análisis de los protocolos nos ha permitido modificar y contextualizar los episodios
de Schoenfeld (1985) a una situación de juego. La tarea de describir cada episodio y
delimitar su inicio y final se basó en las características de los episodios de Schoenfeld,
lo que muestra que los episodios de resolución de un problema y los de resolución de un
juego de estrategia en su esencia comparten procesos similares.
Los indicadores, en cambio, fueron definidos a partir de las acciones comunes que se
repetían en los episodios presentes en los tres protocolos. Por lo tanto, hemos diseñado
un instrumento para estudiar procesos de resolución de juegos de estrategia ligados a los
procesos de resolución de problemas, pero contextualizados a una situación de juego, lo
que implica un apoyo para estudiar estos procesos.
La identificación y caracterización de los episodios a través de sus indicadores nos
permiten observar y describir las diferencias entre las sesiones analizadas. Se observa
claramente la distinta gestión de la actividad realizada por la misma maestra, antes y
después de utilizar la pauta didáctica. Se observa también las diferencias personales de
gestión de una sesión cuando la actividad la dirige una u otra profesora.
La pauta didáctica aplicada en este estudio ha permitido obtener favorables cambios en
la organización de la sesión de juego y en el aprovechamiento del tiempo destinado a la
resolución del juego. En efecto, si nos centramos en los Protocolos 1 y 2 gestionados
por la misma maestra de Matemáticas, podemos observar que la pauta didáctica
permitió que la sesión de juego del segundo año se centrara más en los episodios de
resolución del juego que en los Momentos de transición.
Como mencionamos anteriormente, la primera y principal conclusión de nuestro estudio
es de carácter metodológico y se refiere al proceso de análisis en sí mismo, es decir, la
caracterización de los procesos de resolución del juego de estrategia “Cerrar quinces”,
proceso que partiendo de los episodios de Shoenfeld (1985) fueron reinterpretados para
que se ajustaran a los procesos de resolución del juego observado.
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En cuanto al primer objetivo específico de nuestro estudio, “Caracterizar el proceso de
resolución de un juego de estrategia, en relación a los procesos de resolución de
problemas”, podemos concluir que:
A partir de los resultados obtenidos en el análisis hemos identificado los siguientes
episodios: Apropiación de reglas y objetivos, Exploración y análisis, Planificación e
implementación, Argumentación y verificación y los enlaces entre episodios
denominados Momentos de transición. Estos episodios coinciden de forma reagrupada
con los episodios de resolución de problemas de Schoenfeld (1985), por lo tanto
podemos afirmar que en la resolución de un juego de estrategia se presentan procesos
similares a los procesos de resolución de un problema matemático.
A la luz de los resultados podemos concluir que el juego de estrategia “Cerrar quince”
es un juego que permite el desarrollo de habilidades similares a las de resolución de
problemas, ya que en su resolución encontramos procesos comunes.
Los episodios de resolución de un juego de estrategia se presentan de manera repetida e
intermitente a lo largo de las tres sesiones estudiadas, tienen un inicio y un final
identificables y poseen características propias que permiten diferenciar un episodio de
otro.
Los episodios de Exploración y análisis y Argumentación y verificación son los que
ocupan mayor cantidad de tiempo durante el desarrollo del juego y se encuentran
presentes durante toda sesión. El episodio de Argumentación y verificación cobra mayor
importancia hacia el final de la sesión de juego. La identificación de la presencia
destacada de estos episodios es importante para una futura investigación, ya que
podemos enfocarnos en ellos y diseñar una pauta didáctica que permita sacarles el
mayor provecho posible en el desarrollo de la resolución de un juego de estrategia.
Los resultados coinciden con otras investigaciones (Pólya, 1979, Schoenfeld, 1985,
Corbalán, 1994 y Mallart, 2008) sobre uno de los aspectos más importantes del proceso
de resolución de un problema: la reflexión y verificación del proceso llevado a cabo.
Corbalán (1997) señala que es de suma importancia la formulación de hipótesis y su
posterior comprobación, y añade que el juego es una actividad que permite desarrollar
estos procesos de una manera natural para todas las edades.
En cuanto a nuestro segundo objetivo de estudio: Caracterizar el proceso de resolución
de un juego de estrategia, en relación a los procesos de resolución de problemas,
podemos concluir que los indicadores observados en los protocolos, y posteriormente
descritos, nos permiten identificar los episodios dentro del proceso de resolución del
juego. Por lo tanto, el instrumento diseñado puede ser aplicado para analizar el proceso
de resolución de otros juegos de estrategias similares.
En síntesis, un instrumento de análisis como el generado en el presente estudio, nos
permite estudiar el desarrollo de las habilidades de resolución de un juego ligado a los
procesos de resolución de un problema con alumnos de distintas edades y de distintos
contextos, ya que se observan que los tres grupos estudiados presentan similares
procesos durante la resolución del juego.
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Otro aspecto importante es la aplicación de la pauta didáctica: una orientación en la
gestión del adulto ha provocado notorios cambios en la gestión de la maestra de
matemáticas que estuvo a cargo de dos grupos en dos períodos académicos distintos. En
el primer año, no hubo ninguna pauta didáctica orientativa y la sesión perdió tiempo en
asuntos que no estaban relacionados con el proceso de resolución del juego; sin
embargo, en el segundo año, la pauta generó una mejor organización de la gestión del
adulto y por lo tanto, provocó cambios positivos en cuanto al aprovechamiento del
tiempo destinado a la resolución del juego y sobreentendemos que esto permitió a los
alumnos avanzar paso a paso en la resolución, sin intervenir en su forma personal de
resolver el juego planteado.
7. Perspectivas de investigación
El instrumento de análisis elaborado nos permitirá en una futura investigación
centrarnos en otros aspectos importantes del proceso de resolución de cualquier juego
de estrategia, o de cualquier juego de mesa que no sea exclusivamente de azar, desde
una perspectiva matemática, ligado a los procesos de resolución de problemas.
Tanto los estudios mencionados (Corbalán, 1997; Edo, 2002; Mallart, 2008) como
nuestra investigación, aportan indicios de la similitud de los procesos de resolución de
un juego de estrategia y los procesos de resolución de un problema matemático, ya que
en ambos se presentan procesos comunes. Sin embargo, estas evidencias son
insuficientes. Es necesaria una mayor indagación en torno a los juegos de estrategia y su
impacto en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en lo que respecta a la
resolución de problemas tanto en primaria como en secundaria.
Por ello, en un futuro estudio nos centraremos en buscar mayores evidencias sobre la
relación entre los procesos de resolución de problemas y de juegos de estrategia y en la
descripción de las estrategias matemáticas presentes en cada uno de estos procesos.
En un segundo plano, estudiaremos también la gestión del adulto y la necesidad de
disponer de una pauta didáctica que permita organizar y orientar la tarea del docente, de
modo que los alumnos se sientan guiados hacia un objetivo, pero con la libertad
suficiente para encontrar sus propios caminos de resolución.
Las percepciones de los alumnos respecto a este tipo de tarea escolar también es un
punto importante: ¿ven la resolución de juegos de estrategia como un reto estimulante a
resolver?, ¿perciben la resolución de los juegos de estrategia como un problema?, ¿qué
procesos aparecen durante la resolución de los juegos?, ¿utilizan estos mismos procesos
en la resolución de un problema?
8. Anexo
Pauta didáctica

Se recordarán las normas del juego y se explicará el objetivo de la sesión: encontrar
la manera de ganar siempre o de no perder.
XIV JAEM Girona 2009
Investigación sobre procesos de resolución de problemas
en un entorno de juegos de estrategia

Después de dos o tres partidas se entregará una hoja con unas cuadrículas para que
los alumnos puedan ensayar jugadas y buscar estrategias. En este momento se
introduce el término de estrategia ganadora.

Cuando el grupo o una pareja diga que ha encontrado la estrategia ganadora (o que
saben cómo ganar) el profesor jugará con los alumnos, dejandoles escoger si quieren
empezar, o no, y si empieza él utilizará una de las estrategias ganadoras
(exceptuando el 5 en el centro). Tanto si los alumnos ganan como si no, el profesor
les preguntará qué ha sucedido y les dará tiempo para que respondan.

Si los alumnos encuentran la estrategia ganadora, les propondremos encontrar otra,
procediendo en el siguiente orden: “No poner el cinco en el centro”, “Colocar el
cinco en otra posición del tablero”, “Poner cualquier otro número en el centro”.
Estas dos últimas opciones sólo se propondrán en caso que los alumnos se
encuentren atascados o hayan encontrado las otras estrategias.

No incidiremos con ayudas ni interrupciones durante las jugadas a menos que el
grupo diga que ha encontrado la estrategia ganadora, tengan alguna duda respecto a
las normas del juego o quieran argumentar algún descubrimiento.

Cuando acaban de verbalizar es importante preguntarles si tienen todo claro, si
alguno lo hubiera explicado de otra manera o si alguien quiere agregar algo más a lo
dicho.

Cuando, después de 20 minutos, los alumnos no pueden avanzar podemos
preguntarles qué han descubierto hasta ese momento y jugar con ellos utilizando una
de las estrategias ganadoras (por ejemplo, poniendo el 5 no en el centro) y volver a
preguntarles qué han descubierto en las nuevas partidas realizadas.
9. Bibliografía
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Bellaterra: Universitat Autònoma de Barcelona.
Edo, M. (2002). Jocs, interacció i construcció de coneixements matemàtics. Tesis
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Investigación sobre procesos de resolución de problemas
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Enseñanza de las Matemáticas, Granada.
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fases de resolución de un juego y las fases de resolución de un problema. UNIÓN,
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