Ae = Ψ

TERCERA SERIE DE ESTRUCTURA DE LA MATERIA
Tema: Solución de la ecuación de Schrödinger en sistemas simples.
1.
Demuestra que la siguiente función es una buena solución de la ecuación de
Schrödinger para una partícula libre (con V = 0):
Ψ = Ae
i 2 mE x
!
2. Demuestra que la función anterior es propia del operador de la cantidad de movimiento
d
en la dirección x, pˆ x = −i! , con valor propio 2mE .
dx
3.
Demuestra que la función Ψ(x) = A sen(8π2mE/h2)1/2x es una buena solución de la
ecuación de Schroedinger en un espacio unidimensional con energía potencial igual a cero,
por ejemplo en el intervalo [0,a]. Aplica entonces la condición a la frontera Ψ(a) = 0 y
obtén la función de onda que la satisfaga.
4.
Demuestra que las dos primeras funciones de onda del electrón en una caja de
potencial unidimensional:
Ψ1 (x) = (2/a)1/2 sen (πx/a)
Ψ2 (x) = (2/a)1/2 sen (2πx/a)
son ortogonales, o sea, que la integral de su producto en todo el espacio, [0, a], vale cero.
5.
Un electrón se encuentra confinado dentro de una molécula cuya longitud es de 1.0
nm. Utilizando la aproximación de una caja de potencial unidimensional, calcula:
a) ¿Cuál es el mínimo valor de la energía para este electrón?
b) ¿Cuál es el valor de la energía para el primer estado excitado?
c) ¿Qué longitud de onda se emitiría con un fotón cuando el electrón baje del primer nivel
excitado al estado basal?
6.
Para una partícula libre confinada en una caja de potencial unidimensional, la
energía está cuantizada y vale E = n2h2/8ma2, con valores de n = 1, 2, 3….. Calcula la
diferencia de energía entre los niveles n = 2 y n = 3, así como la longitud de onda de un
fotón capaz de inducir esta transición, para:
a) un electrón en una caja de 6 Å.
b) un electrón en una caja de 6 cm.
c) una canica de 0.5 g. en una caja de potencial de 6 cm. de longitud.
7.
Para una partícula en una caja cúbica de potencial tridimensional de lado a.
¿Cuántos estados tienen energías entre el intervalo de 0 a 14h2/8ma2?
8.
A) Calcula cuál es la densidad de electrones libres para el litio, si su densidad es de
0.53 g/cm3 y su masa atómica 6.941 uma.
B) ¿Cuál sería la energía de Fermi, con límite en la cual se alcanzarían a tener 4.6 × 1022
electrones libres/cm3, la cual es la densidad electrónica del litio?
9.
10.
11.
Determina la máxima probabilidad de encontrar a una partícula en una caja
unidimensional de longitud L y en el estado n=5.
Considera una partícula en una caja de potencial cúbica. ¿cuál será la degeneración
para aquel nivel cuya energía es 14/3 la energía más baja?
Escribe los postulados de la mecánica cuántica.