Decisiones de Consumo Intertemporal

DECISIONES DE CONSUMO INTERTEMPORAL,
MERCADOS DE CAPITAL E INVERSIÓN
Raymundo C. Rodríguez Guajardo
Profesor Titular del Departamento de Economía
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Monterrey
Septiembre de 1996
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------INTRODUCCION
El modelo básico de maximización del bienestar sujeto a una restricción de presupuesto no
considera la dimensión tiempo en el análisis de decisión de la canasta óptima. Esto es, se
supone que para una fecha determinada, el consumidor dispone de un ingreso dado el cual
destina a la compra de bienes con el fin de maximizar su utilidad. No obstante, las decisiones
del consumidor en el presente están influenciadas por sus expectativas sobre precios e ingreso
en el futuro. En este sentido, el problema del consumidor es el de diseñar un plan de consumo a
través del tiempo que maximice su utilidad intertemporal. En este modelo de decisiones de
consumo intertemporal, el individuo dispone de un ingreso en la forma de dotaciones. Si, por
ejemplo, el consumidor decide sacrificar una unidad de su ingreso en el presente, puede
aprovechar el mercado de capital para ahorrar dicha unidad monetaria o bien puede destinarla a
la inversión física en la forma de llevar a cabo ciertos proyectos.
En este trabajo se caracteriza el problema de decisión del consumidor en un contexto
intertemporal. Primeramente se discute el caso donde no hay posibilidades de producción pero
sí existe un mercado de capital que le permite al individuo ahorrar o pedir prestado en el
presente. En el segundo caso el consumidor puede destinar parte de su dotación a la inversión
fisica productiva pero no dispone de un mercado de capital. Por último, en el tercer caso se
considera la decisión del consumidor cuando existen posibilidades de inversión tanto financiera
como física. De hecho, las decisiones más importantes del administrador financiero se refieren
a qué inversiones realizar y seleccionar los medios apropiados para financiarlas. El criterio es el
de seleccionar aquellos proyectos que maximicen el valor presente (de mercado) de la empresa.
El objetivo del presente trabajo es el de caracterizar las decisiones sobre consumo, ahorro e
inversión a través del tiempo y de cómo la introducción de un mercado de capital (e
instrumentos o valores financieros) mejoran el bienestar del consumidor (inversionista).
SUPUESTOS
1. Certidumbre total. No hay incertidumbre sobre la magnitud y tiempo en que deben hacerse
los pagos. En particular, todas las obligaciones financieras son pagadas en las cantidades y
plazos convenidos.
2. No Saciedad. Los individuos siempre prefieren más (dinero) que menos.
3. No hay Costos de Transacción. La tasa de interés (r) por préstamos es la misma que la tasa
de interés por ahorrar. Es decir, las tasas activa y pasiva son iguales. Este supuesto es
equivalente a establecer la existencia de mercados perfectos de capital.
4. Dos periodos. El horizonte de planeación del individuo está dividido en dos etapas: presente
(periodo 0) y futuro (periodo 1).
5. Tasa de Interés Paramétrica. La tasa de interés en un periodo dado es la misma
independientemente de la cantidad que pida prestado o ahorre. Esto es, las decisiones sobre
consumo - ahorro no afectan el nivel de la tasa de interés.
Raymundo C. Rodríguez G.
2
6. Dotaciones Paramétricas. El ingreso (Y) del consumidor está dado en la forma de
dotaciones: Y0 representa el valor de los bienes presentes que posee y Y1 representa el valor de
los bienes que recibirá en el futuro. Esto es, el ingreso es considerado como exógeno.
7. Preferencias Convexas. Cada consumidor tiene una función de utilidad bien comportada, la
cual expresa sus preferencias entre gasto en consumo presente, C0, y gasto en consumo
futuro,C1. La función de utilidad se denota por U = U ( C 0 ,C 1 ) . Puesto que ambos consumos
∂U ( C0 ,C1 )
∂U ( C0 ,C1 )
> 0 y U 1( C0 ,C1 ) ≡
> 0 . Se
son considerados bienes, U 0( C0 ,C1 ) ≡
∂C0
∂C1
supone que U = U( C0 ,C1 ) es estrictamente cóncava de tal forma que las curvas de
indiferencia intertemporal son estrictamente convexas al origen.
LA TASA MARGINAL DE SUSTITUCION
La pendiente de una curva de indiferencia se le conoce como la tasa marginal de sustitución.
Para obtener dicha pendiente, se toma el diferencial total de la función de utilidad
U = U ( C 0 ,C 1 ) . Esto es
dU = U 0 ( C 0 ,C 1 ) dC 0 + U 1 ( C 0 ,C 1 ) dC 1 = 0 . De donde
 dC1 


 dC0  U =
U 0 ( C 0 ,C 1 )
< 0 . Es decir, la función de utilidad genera tasas marginales de
U 1 ( C 0 ,C 1 )
U
sustitución intertemporal decrecientes en valor absoluto, como se aprecia en la Figura 1.
_
=−
Figura 1
Curvas de Indiferencia en el Plano Consumo Presente, Consumo Futuro
C1
U3>U2>U1
U2>U1
U1
C0
El objetivo del consumidor es maximizar la utilidad intertemporal sujeto a una o varias
restricciones de mercado. Las preferencias del consumidor representan la parte subjetiva del
problema de maximización. Con el fin de analizar la decisión óptima, ahora se considera la
parte objetiva (mercado) del problema. Para ello, se revisan tres casos. En el primero se
estudian las decisiones de consumo intertemporal en un mundo con intercambio pero sin
producción. Es decir, el consumidor puede utilizar el mercado de capital para ahorrar o pedir
prestado pero no es posible sacrificar consumo presente para invertirlo físicamente en
proyectos. En el segundo caso se considera la producción pero sin intercambio y en el tercero
se analizan las decisiones cuando se incluye tanto intercambio como producción.
Raymundo C. Rodríguez G.
3
CASO I : LA DECISION DE CONSUMO INTERTEMPORAL EN EL MERCADO DE
CAPITAL MAS SENCILLO: INTERCAMBIO PURO.
En este caso, se supone que no hay medios de producción. Es decir, no hay forma de utilizar los
bienes en el presente para producir bienes adicionales en el futuro. No obstante, suponga que sí
existe un mercado para intercambiar bienes en el presente por bienes en el futuro. Por ejemplo,
un ahorrador sería aquel individuo que se presentaría en el mercado y entregaría bienes
presentes a cambio de un documento o certificado el cual, a su vez, puede intercambiarse por
bienes en el futuro. Alternativamente, un individuo puede pedir prestado bienes en el presente
mediante la emisión de papeles que representan obligaciones que tiene que cubrir con bienes en
el futuro.
Suponga que el consumo presente es el bien numerario. Es decir, el precio de una unidad de
consumo en el presente es la unidad. El precio presente (P) por unidad de consumo futuro es la
cantidad de bienes presentes que deben sacrificarse para aumentar el consumo futuro en una
1
unidad. En un contexto intertemporal, este precio se escribe como P =
. Así, una
1+ r
unidad de bienes en el presente puede intercambiarse por (1+r) unidades de bienes en el futuro.
1
1
=
= 0 .91 unidades de consumo
Por ejemplo, si la tasa de interés es del 10%,
1+ r
1.10
presente deben dejar de ser consumidas con el fin de incrementar en una unidad el consumo
futuro. Alternativamente, una unidad de consumo futuro sacrificada le permite aumentar en
0.91 unidades su consumo presente.
La riqueza actual (W 0) es igual al valor presente de su dotación. Es decir,
Y1
1+ r
es igual al valor futuro de su dotación:
W 0 = Y 0 + PY 1 = Y 0 +
La riqueza futura (W 1)
W 1 = ( 1 + r )W 0
(1)
(2)
Sustituyendo (1) en (2), se tiene:
Y1 

W 1 = ( 1 + r ) Y 0 +


1+ r
W 1 = ( 1 + r )Y 0 + Y 1
(
)
Se supone que el consumidor selecciona la canasta C0* , C1* que maximiza U (C 0 , C 1) sujeto a
la restricción de presupuesto intertemporal, la cual toma la siguiente forma:
C0 + PC1 = W 0
(3)
Es decir, el valor actual del gasto en consumo presente y futuro es igual al valor presente de su
dotación. La expresión (3) representa la restricción de presupuesto desde una perspectiva de
valor presente. De manera equivalente, dicha restricción puede ser expresada desde un punto de
vista de valor futuro. Para ello, se multiplica (3) por (1 + r ) con lo que se obtiene:
( 1 + r )C 0 + C 1 = ( 1 + r )W 0
De esta ecuación, se despeja para C 1 :
C1 = ( 1 + r )W 0 − ( 1 + r )C0
Raymundo C. Rodríguez G.
4
Esta última expresión representa la ecuación de una recta donde la ordenada al origen es
dC1
= − (1 + r ) .
(1 + r )W 0 = W 1 y la pendiente es
dC0
En la canasta óptima C0* , C1* , la pendiente de la curva de indiferencia es igual a la pendiente
(
)
1
U0
, o bien
= (1 + r ). Es decir,
1
U1
1+ r
en la canasta óptima la tasa subjetiva a la que el individuo esta dispuesto a intercambiar
consumo presente por consumo futuro es la misma a la tasa que el mercado le permite hacer
dicho intercambio. La Figura 2 es la representación gráfica de esta situación.
de la línea de presupuesto intertemporal: −
U0
= −
U1
Figura 2
Decisión Optima de Consumo Intertemporal con Intercambio
C1
W1
pendiente = - (1+r)
C1*
U*
C0*
W0
C0
De manera formal, se desea maximizar U (C0 , C1 ) sujeto a la ecuación (3):
C1
Y1
= Y0 +
.
1+ r
1+ r
La función Lagrange para este caso se puede escribir como:
C1
Y1 

L(C 0 , C 1 ; r , Y 0 , Y 1) = U ( C 0 , C1 ) − λ C 0 +
− Y0 −
1+ r
1 + r 

Asumiendo la existencia de una solución interior, las condiciones de primer orden (CPO) son:
C0 +
L 0 = U 0 ( C 0 ,C 1 ) − λ = 0 ,
λ
L1 = U 1 ( C0 ,C1 ) −
= 0,
1+ r
C1
Y1
Lλ = − C0 −
+ Y0 +
= 0.
1+ r
1+ r
(4a)
(4b)
(4c)
Combinando (4a) y (4b) se obtiene
U 0 ( C0* ,C1* )
U 1( C0* ,C1* )
= ( 1 + r ),
(5)
lo que representa la condición de tangencia en la Figura 2. La condición de segundo orden
(CSO) es:
Raymundo C. Rodríguez G.
D≡
U 00
U 01
U 10
U 11
−1
 1 
− 

1+ r
5
−1
 1 
− 
 > 0
1+ r
(6)
0
∂Ui
≡ Uij . i = 0 ,1; j = 0 ,1 . En los desarrollos posteriores se supone que se cumple
∂Cj
(6), con lo que el problema de maximización queda resuelto.
donde
ESTATICA COMPARATIVA PARA CAMBIOS EN LA TASA DE INTERES
Una de las preguntas básicas en este modelo de decisiones de consumo intertemporal, es cómo
responden tanto el consumo presente como el consumo futuro cuando cambia la tasa de interés.
Con el fin de realizar este ejercicio de estática comparativa, recuerde que de las CPO se
obtienen las funciones de demanda (ordinarias) por consumo presente y futuro. Dichas
funciones tienen como argumentos los parámetros del modelo: dotaciones de ingreso (Y 0 , Y 1 )
y la tasa de interés (r). En cuanto a los pasos a seguir en un análisis de estática comparativa,
primero se sustituyen las funciones de demanda en las CPO y el sistema de ecuaciones
resultante se deriva con respecto al parámetro relevante. El siguiente paso es ordenar el sistema
de ecuaciones por lo que todo término que no tenga incógnitas se pasa al lado derecho de cada
una de las CPO. Después el sistema de ecuaciones se expresa en notación matricial para,
finalmente, utilizar la Regla de Cramer. En especial observe que, como resultado de haber
sustituido las funciones de demanda en las CPO, las funciones marginales (U 0 ,U 1 ) tienen
como argumentos las demandas ordinarias las que a su vez dependen de los parámetros del
modelo. Es por ello que las funciones U 0 , U 1, C 0 , C 1 y los parámetros Y 0 , Y 1 y r , se
encuentran relacionados entre sí. Note que la tasa de interés afecta las funciones marginales
(U 0 ,U 1 ) no en forma directa sino a través de su efecto en los consumos presente y futuro
como se muestra en el siguiente esquema:
C0(Y0,Y1,r)
U0(C0,C1), U1(C0,C1)
r
C1(Y0,Y1,r )
A continuación se realiza este ejercicio de estática comparativa para cambios en la tasa de
interés. Al sustituir las demandas en las CPO, dichas condiciones lucen como sigue:
[
]
λ Y ,Y ,r
[ C (Y ,Y ,r ),C (Y ,Y ,r )] − ( 1 + r ) =
L0 = U 0 C0 (Y 0 ,Y 1,r ),C1 (Y 0 ,Y 1,r ) − λ (Y 0 ,Y 1,r ) = 0 ,
L1 = U 1
0
0
0
1
Lλ = − C0 (Y 0 ,Y 1,r ) −
1
0
1
C1 (Y 0 ,Y 1,r )
1+ r
+ Y0 +
1
0,
Y1
= 0.
1+ r
La estática comparativa para cambios en la tasa de interés requiere de diferenciar totalmente las
CPO con respecto a r:
Raymundo C. Rodríguez G.
6
U 00
∂C0
∂r
+ U 01
∂C1
∂r
U 10
∂C 0
∂r
+ U 11
∂C 1
 1  ∂λ
− 
=

 1 + r  ∂r
∂r
−
∂C0
 1
− 
1+
∂r
−
∂λ
=
∂r
 ∂C1

r  ∂r
0
(7a)


1

− λ
 (1 + r )2 


= −
C1
(1 + r )
2
+
(7b)
Y1
(1 + r )
2
(7c)
Estas tres ecuaciones se pueden arreglar en forma matricial como sigue:

 U 00
U 01

 U 10
U 11

1
 −1 −


1+ r
−1
1
−
1+
0




r







 ∂C0 




∂
r
0




λ 
 ∂C1  =  −
2

 ∂r 
 (1 + r ) 
 ∂λ 
 (Y 1 − C1) 


 ∂r 

2 

 (1 + r ) 
(8)
Las derivadas parciales de las variables endógenas en este modelo representan el vector
∂C0
columna de incógnitas.Utilizando la Regla de Cramer en resolver para
se obtiene:
∂r
−
∂C0
=
∂r
=
1
D
= −
0
λ
U 01
(1 + r )2
(Y 1 − C1)
(1 + r ) 2
U 11
−1
1
−
1+ r
1
1+ r
−
0
D

3
( −1 )


−


λ
(1 + r )
3
D


2
+
r
1
( )
λ
+
U 01
1
−
1+ r
(Y 1 − C1)
(1 + r )2 D
−1
0
+ (− 1)
4
(Y 1 − C1)
(1 + r )2
1


U 01 + U 11 
−
 1+ r

U 01
U 11
−1
1
−
1+ r
(9)
De la restricción de presupuesto en (3) se observa que:
1
1
Y 1 − C1
C1 = Y 0 +
Y 1 , lo que se puede escribir como
= C0 − Y 0 . .
1+ r
1+ r
1+ r
Sustituyendo esta última expresión en (9) se obtiene:
∂C0
λ
(C0 − Y 0 )  − 1 U 01 + U 11
= −
+


3

∂r
(1 + r ) D  1 + r
(1 + r ) D
C0 +



Raymundo C. Rodríguez G.
∂C0
= −
∂r
λ
(1 + r )
3
D
7
(C 0 − Y 0 )
(1 + r ) D
−
 1

U 01 − U 11

 1+ r

Observe que de las CPO (relación 4a), λ > 0 . Además, de (6), D > 0 .
(9’)
Por otra parte
(1 + r )
3
> 0 ya que r > 0 . Por lo tanto, el primer término del lado derecho del igual en (9') es
negativo. De hecho, es posible demostrar que (9') se puede escribir como
∂C0
∂C0
=
∂r
∂r U =
_
U
−
(C 0 − Y 0 )
(1 + r )
 ∂C0 


 ∂Y 0 
(10)
La relación (10) es la ecuación de Slutsky con dotaciones en el modelo de decisiones de
∂C0
consumo intertemporal. En esta ecuación, el signo de
es negativo (efecto sustitución
∂r U = U_
negativo). El signo de la segunda expresión depende de:
a) Si el individuo ahorra en el presente, (C0 − Y 0 ) < 0 , o si pide prestado en el presente,
(C 0 −
Y 0) > 0 .
∂C0
∂C0
> 0 o si, por otra parte, C0 es un bien inferior,
< 0 . Por
∂Y 0
∂Y 0
ejemplo, considere un aumento en la tasa de interés (r) para el caso de un ahorrador en el
presente y donde C0 sea un bien normal. Vía efecto sustitución, el aumento en r hace que C0
disminuya. Pero, puesto que se trata de un ahorrador, el aumento en r significa mayor ingreso o
∂C0
riqueza en el futuro y (dado que C0 es normal) aumenta C0, por lo que el signo de
es
∂r
indeterminado. En cambio, para un individuo que pide prestado en el presente, el aumento en r
∂C0
disminuye su riqueza por lo que baja C0, reforzando al efecto sustitución, por lo que
<0.
∂r
El ahorro en el presente se representa por (Y 0 − C0 ) > 0 . Para un ahorrador que considere el
consumo en el presente como un bien normal, no es claro el efecto que tienen los cambios en la
tasa de interés sobre C 0 por lo que el efecto sobre el ahorro de un cambio en r es ambiguo. El
aumento en la tasa de interés produce un efecto sustitución que favorece el ahorro, pero
también provoca un efecto ingreso que reprime el ahorro. Para un individuo que inicialmente
pida prestado en el presente, el aumento en la tasa de interés provoca que pase de una situación
de pedir prestado a una de ahorrador (Ver adelante Figuras 3 y 4).
b) Si C0 es un bien normal,
A partir de la forma matricial (8), ahora considere el cambio en el consumo futuro con respecto
a una variación en la tasa de interés. Al utilizar nuevamente la Regla de Cramer para resolver el
∂C1
sistema de ecuaciones en (8) para
se tiene:
∂r
U 00
U 10
∂C1
=
∂r
−1
0
λ
−
( 1 + r )2
(Y 1 − C1)
(1 + r )2
D
−1
1
−
1+ r
0
Raymundo C. Rodríguez G.
8

U 00
−1
∂C1
1 
λ  U 00 − 1
4
5 (Y 1 − C 1)

1
=
−
1
−
+
−
1
(
)
(
)

2
2
U 10 −

−1
0
∂r
D 
r
+
1
+
r
1
(
)
(
)


+
1
r

(Y 1 − C1)  − 1 U 00 + U 10
∂C1
λ
=
−
(11)


2
2

∂r
(1 + r ) D (1 + r ) D  1 + r
De la restricción de presupuesto en (3) se observa que: C0 +
puede escribir como




1
1
C1 = Y 0 +
Y 1 , lo que se
1+ r
1+ r
Y 1 − C1
= C0 − Y 0 . Sustituyendo esta última expresión en (11) se
1+ r
obtiene:
∂C1
=
∂r
(C0 − Y 0 )  1 U 00 − U 10
λ
+


2

(1 + r ) D (1 + r ) D  1 + r
(11’)
El primer término del lado derecho de (11') es positivo. De hecho, es posible demostrar que
(11') puede escribirse como:
∂C1
∂r
=
(C0 − Y 0 )  ∂C1 
∂C1
+


_
∂r U = U
(1 + r )  ∂Y 0 
En la expresión (12), el signo de
(12)
∂C 1
es positivo. Es decir, el efecto sustitución es
∂r U = U
_
1 

positivo. Si aumenta la tasa de interés, disminuye el precio  P =
 del consumo futuro.

1+ r
Ello produce un efecto sustitución hacia menos consumo presente y más consumo futuro al
moverse a lo largo de una curva de indiferencia. La interpretación de (C0 − Y 0 ) es igual que
 ∂C 1 
 ∂C 1 
antes. Si 
 > 0 , entonces C1 es un bien normal. Si 
 < 0 , C1 es un bien inferior.
 ∂Y 0 
 ∂Y 0 
Note que para el caso de un individuo que pida prestado en el presente (C0 > Y 0 ) , un aumento
en r produce un incremento en C1, ello debido a que el aumento en r lleva a una disminución de
C0 (menor a Y0) y el ahorro le permite incrementar C1.
La estática comparativa para cambios en la tasa de interés puede ser ilustrada gráficamente
tanto para un individuo que pide prestado en el presente (Ver Figura 3a adelante) como para un
consumidor que ahorre en el presente (Ver Figura 3b adelante). En relación a la Figura 3a,
observe que el consumo óptimo en el presente es mayor que su dotación de ingreso en el
presente. Es decir, el consumidor pide prestado en el presente. El efecto de un incremento en la
tasa de interés sobre la restricción de presupuesto intertemporal es el de aumentar la pendiente
de la misma (Ver línea punteada en al Figura 3a), ya que cada unidad ahorrada produce un
mayor rendimiento. Sin embargo, la nueva restricción de presupuesto tiene que pasar por la
dotación inicial (Y0,Y1)ya que, independientemente de que el individuo participe en el mercado
de capital, su dotación es una canasta que está disponible antes y después del aumento en la
tasa de interés. Ahora la pregunta relevante es, de las nuevas canastas disponibles, cuál
selecciona el consumidor. Por supuesto, dicha elección depende de sus preferencias por
consumo presente y futuro. No obstante, sin incluir curva de indiferencia alguna, es posible
identificar un segmento de la nueva restricción de presupuesto en la que un consumidor
racional no se colocaría. Con base en un argumento de preferencia revelada, la región sobre la
Raymundo C. Rodríguez G.
9
nueva restricción de presupuesto pero abajo de la antigua restricción no es seleccionada por el
consumidor, ya que a la tasa de interés original, dichas canastas estaban disponibles y el
individuo no las escogió. Esto es, el consumidor reveló preferir (C0*, C1*) a dichas canastas.
Por lo tanto, suponiendo que el orden de preferencias no haya cambiado, o el individuo se pasa
a consumir su dotación o en el presente consume a la izquierda de Y0. En ambos casos, el
 ∂C

aumento en la tasa de interés resulta en una disminución del consumo presente  0 < 0  y en
 ∂r

 ∂C

un incremento del consumo futuro  1 > 0 . En otras palabras, este individuo que
 ∂r

inicialmente pide prestado, al aumentar la tasa de interés tiene incentivos para convertirse en un
ahorrador.
Figura 3a
Aumento en la Tasa de Interés y Consumo Intertemporal
Pide Prestado en el Presente
C1
Y1
C1*
Y0
C0*
C0
A continuación se considera la estática comparativa para el caso de un individuo que ahorra en
el presente (Ver Figura 3b). Es decir, inicialmente dicho consumidor se ubica a la izquierda de
Y 0 . Al aumentar la tasa de interés, la nueva restricción de presupuesto (Ver línea punteada en la
Figura 3b) toma mayor prendiente y pasa por la dotación original. Una vez más, con base en un
argumento de preferencia revelada, dicho individuo descarta todas aquellas canastas que pudo
haber comprado en la situación original. Sin embargo, es ambiguo el efecto de un aumento en la
tasa de interés sobre el consumo presente y futuro. Por ejemplo, en la Figura 3b, si el individuo
 ∂C

se coloca en A, la persona aumenta su consumo presente  0 > 0  y disminuye su consumo
 ∂r

 ∂C

futuro  1 < 0 . Si por otra parte selecciona la canasta B, su consumo presente no cambia
 ∂r

 ∂C0

 ∂C

= 0 pero aumenta su consumo futuro  1 > 0 . Por último, en C baja su consumo

 ∂r

 ∂r

∂C
∂C
presente  0 < 0 y aumenta su consumo futuro  1 > 0 .
 ∂r

 ∂r

Raymundo C. Rodríguez G.
10
Figura 3b
Aumento en la Tasa de Interés y Consumo Intertemporal
Ahorra en el Presente
C1
•C
•B
•A
C1*
Y1
C0*
Y0
C0
En el Cuadro 1 se presenta un resumen sobre la estática comparativa de un aumento en la tasa
de interés de acuerdo a si el consumo en el presente se considera un bien normal o inferior y
según que el individuo pida prestado o ahorre en el presente.
Cuadro 1
Estática Comparativa de un Aumento en la Tasa de Interés
El Consumo Presente (C0) es un bien:
Normal
Pide Prestado
(C0 - Y0)>0
∂C0
<0
∂r
∂C1
>0
∂r
∂C0
>0
∂ .Y0
Ahorra
(C0 - Y0)<0
∂C0
=?
∂r
∂C1
=?
∂r
Inferior
Pide Prestado
(C0 - Y0)>0
∂C0
=?
∂r
∂C1
=?
∂r
∂C0
<0
∂ .Y0
Ahorra
(C0 - Y0)<0
∂C0
<0
∂r
∂C1
>0
∂r
Si no existiera un mercado de capital que permita trasladar riqueza del futuro hacia el presente,
o bien ahorrar para consumir más en el futuro y sin la posibilidad de almacenar bienes para el
futuro, entonces no habría un problema de decisión y el individuo estaría forzado a consumir su
dotación ( C 0 = Y 0 , C 1 = Y 1 ). Ahora bien, su dotación no necesariamente representa su canasta
(
)
óptima C0* , C1* . En el caso donde su dotación no sea su canasta óptima ( C0* ≠ Y 0 , C1* ≠ Y 1 )
entonces el consumidor aumenta su bienestar como resultado de la creación de un mercado de
capital que le permita desplazar consumo a través del tiempo. Además, con la existencia de
dicho mercado, el consumidor no puede empeorar ya que siempre puede elegir consumir su
dotación ("autarky point", punto D en la Figura 4). Aun si existiera la posibilidad de almacenar
productos, en la ausencia de un mercado de capital, el consumo en el presente no puede ser
Raymundo C. Rodríguez G.
11
mayor a su dotación en el presente ( C0 ≤ Y 0 ). Es decir, dicho almacenamiento permite
"desplazar" bienes hacia adelante (futuro) en el tiempo, pero no permite mover bienes hacia el
presente. Observe que el consumidor representado en la Figura 4 aumenta su bienestar gracias a
la existencia de un mercado de capital.
Figura 4
Decisión Optima de Ahorro-Consumo
Intertemporal con Intercambio
C1
C1*
Y1
D
C0*
Y0
U*>U
U
C0
TASA SUBJETIVA DE PREFERENCIA INTERTEMPORAL O IMPACIENCIA POR
CONSUMO PRESENTE
Sea x una cantidad específica de consumo en el presente y y una cantidad específica de
consumo en el futuro. Se dice que un consumidor tiene preferencia intertemporal positiva
(δ>0) si para cada canasta (x,y) tal que y>x, U ( y , x ) > U ( x , y ) . No tiene preferencia
intertemporal δ=0 si U ( y , x ) = U ( x , y ) y tiene preferencia intertemporal negativa (δ>0) si
U ( y , x ) < U ( x , y ) . El parámetro δ representa la tasa subjetiva de preferencia intertemporal.
Dicho parámetro juega un papel similar al de la tasa de interés en cuanto a que esta última es
utilizada para descontar o trasladar a valor presente cantidades monetarias que ocurren en el
futuro. La tasa δ descuenta niveles de utilidad que tienen lugar en el futuro. Entre más grande
sea esta tasa, mayor es la preferencia por consumo en el presente y, por lo tanto, menor peso
tiene en el presente los niveles de utilidad que tienen lugar en el futuro. De manera más
específica, suponga que:
1
U ( C0 ,C1 ) = U ( C0 ) +
U ( C1 ) , U ′ > 0 , U ′ ′ < 0 , δ > 0 .
1+ δ
Si esta función de utilidad es maximizada sujeta a la restricción en (3), la función de Lagrange
se escribe como:
U ( C1 )
C
Y 

L ( C0 ,C1 ; r ,δ ,Y0 ,Y1 ) = U ( C0 ) +
− λ  C0 + 1 − Y0 − 1 
+
+
1+ δ
1
r
1
r

Suponiendo la existencia de una solución interior, las CPO son:
L0 = U ′ ( C0 ) − λ = 0 ,
(13a)
Raymundo C. Rodríguez G.
12
U ′ ( C1 )
λ
−
= 0,
1+ δ
1+ r
C1
Y1
Lλ = − C0 −
+ Y0 +
= 0.
1+ r
1+ r
L1 =
(13b)
(13c)
Combinando (13a) y (13b), se obtiene:
U ′ ( C0 )
1+ r
=
U ′ ( C1 )
1+ δ
(14)
Antes de continuar con el análisis, es importante notar que la concavidad de las funciones
U(C0) y U(C1) permite establecer una relación inversa entre U’(C0) y C0 , y U’(C1) y C1, como
la que aparece en la Figura 5.
Con base en la concavidad de la función de utilidad, de (14) se observa que:
Si δ=r entonces U’(C0)=U’(C1) por lo que C0=C1
Si δ>r entonces U’(C0)<U’(C1) por lo que C0>C1
Si δ<r entonces U’(C0)>U’(C1) por lo que C0<C1
Una forma intuitiva de interpretar estos resultados es que, para una persona con preferencia
intertemporal positiva(δ>0), la tasa δ representa el costo de esperar a consumir en el futuro
mientras que r es el beneficio de dicho sacrificio. Cuando el costo es igual al beneficio (δ=r), el
individuo termina consumiendo lo mismo en el presente que en el futuro (C0=C1). Cuando el
costo es mayor al beneficio (δ>r), la persona decide consumir más en el presente que en el
futuro (C0>C1). Por último, cuando el costo es menor al beneficio (δ<r), el individuo decide
consumir más en el futuro que en el presente (C0<C1).
Figura 5
Concavidad de la Función de Utilidad
U’
C0,C1
CASO II: LA DECISION DE CONSUMO INTERTEMPORAL EN UNA ECONOMIA
SIN INTERCAMBIO PERO CON PRODUCCION.
En este caso se suponen dotaciones: (Y0,Y1). Ahora no es posible el intercambio de unidades
monetarias de un periodo a otro a través del ahorro o la inversión financiera. Sin embargo, en
este caso II sí es posible realizar inversión física. De hecho, se puede usar parte de Y0 para
producir bienes para el futuro. Piense en que se dispone de "semillas" que pueden ser
Raymundo C. Rodríguez G.
13
consumidas hoy o plantadas (inversión física). Sin embargo, como no hay posibilidades de
intercambio, la producción física es la única forma de aumentar C1 por encima de Y1. La única
manera de producir es mediante el sacrificio de consumo presente. Es decir, si X0 denota la
cantidad invertida en producción, entonces
X 0 = Y0 − C0 ≥ 0
0 ≤ X 0 ≤ Y0
(15)
La tecnología disponible está descrita por una función de producción f , tal que X0 unidades
invertidas en el presente producen X1 unidades en el futuro. Es decir,
X 1 = f ( X 0 ) = f ( Y0 − C0 ).
(16)
Supuestos sobre la función de producción:
1) f ( 0 ) = 0 . Esto es, si en el presente consume toda su dotación de ingreso presente
( Y0 = C0 ), entonces no destina cantidad alguna a inversión física ( X 0 = 0 ) por lo que en el
futuro está destinado a consumir su dotación de ingreso futuro ( Y1 = C1 ) ya que X 1 = 0 .
df
2)
≡ f ′ ( X 0 ) > 0 . Es decir, se supone que la función de producción presenta productividad
dX 0
marginal positiva.
d2 f
3)
≤ 0 . Esto es, se supone una productividad marginal positiva pero no-creciente. Otra
dX 02
forma de expresar este resultado es que se supone que existen rendimientos a escala nocrecientes. Para el caso de rendimientos a escala decrecientes, la representación gráfica de la
Frontera de Posibilidades de Producción es como a continuación se muestra en la Figura 6.
Figura 6
Frontera de Posibilidades de Producción
X1
X1=f(X0)
(0≤X0≤Y0) X0
El nivel de la producción máxima en el futuro ( X 1max ) ocurre cuando toda la dotación de
ingreso en el presente ( Y0 ) se destina a inversión física ( X 0 = Y0 ). Es decir:
X 1max = f ( X 0 = Y0 ) . En este caso, el consumo en el presente es nulo ( C0 = 0 ).
Raymundo C. Rodríguez G.
14
Con el fin de trasladar el análisis al plano (C0 , C1 ) , observe que el nivel de inversión física es
lo que no es consumido en el presente. Por otra parte, el consumo en el futuro puede
representarse como: C1 = Y1 + X 1 . Al sustituir (16) en esta última expresión, se tiene:
C1 = Y1 + f (Y0 − C0 )
(17)
Esta última expresión representa la restricción tecnológica. Para
(Y0 − C0 ) ≥ 0
dicha
restricción describe la Frontera de Posibilidades de Consumo (Ver Figura 7 adelante). En la
situación extrema donde el individuo decida consumir su dotación en el presente ( Y0 = C0 ),
entonces está destinado a consumir su dotación en el futuro ( Y1 = C1 ). Debido a que no hay
intercambio (por lo tanto, no hay precios), la restricción es diferente a la del caso I.
El problema del consumidor para este caso II se puede plantear como uno de
maximizar U (C0 , C1 ) sujeto a C1 = Y1 + f (Y0 − C0 ) . Sin embargo, en lugar de plantear este
problema a través de la función Lagrange, se puede sustituir la restricción en la función
objetivo, de tal forma que ahora el problema sea el de maximizar:
[
]
U C0 , Y1 + f (Y0 − C0 ) con respecto a C0 .
(18)
Observe que C0 tiene dos efectos sobre U(.): Un efecto directo, ya que C0 es un argumento de
U(.), y un efecto indirecto vía su impacto en C1 y éste, a su vez, afecta a U(.), como se muestra
en el siguiente esquema:
U
C1
C0
Suponiendo que existe una solución interior, para el problema descrito en (18), la CPO es:
[
(
dU
= U 0 C0* , Y 1 + f Y 0 − C0*
dC0
)] − f ′ (Y
0
) [
(
− C0* U 1 C0* , Y 1 + f Y 0 − C0*
)]
= 0.
La solución de esta ecuación implica que:
( )
( C ,C )
U 0 C0* ,C1*
U1
*
0
*
1
( )
= f ′ X 0* .
(19)
Esto es, la pendiente de la curva de indiferencia (evaluada en la canasta óptima) es igual a la
pendiente de la curva de posibilidades de consumo. Note que una vez determinado el consumo
presente óptimo ( C0* ), la cantidad óptima a invertir en el presente ( X 0* ) y el consumo futuro
óptimo ( C1* ) quedan determinados como sigue:
( )
C1* = Y 1 + f X 0*
y
X 0* = Y 0 − C0* .
Observe que en este caso II, la expresión (19) indica que la cantidad óptima a invertir depende
de las preferencias y de la dotación de ingreso en el presente. Debido a que no hay intercambio,
Raymundo C. Rodríguez G.
15
el individuo no puede pedir prestado para consumir más que su dotación en el presente. Por lo
tanto, C 1 ≥ Y 1 y C 0 ≤ Y 0 , lo que genera un segmento vertical en la frontera de posibilidades de
consumo como se aprecia a continuación en la Figura 7.
Figura 7
Decisión Optima de Inversión-Consumo
Intertemporal con Producción
Y + f ( Y0 − C0 Y0 > C0
C1=  1
Y0 = C0
 Y1
C1
C1
Y1
C0*
Y0
(
C0
)
Observe que en la solución óptima, C0* , C1* , X 0* , X 0 no es una variable de decisión. Puesto
que no se puede pedir prestado, se tiene la restricción X 0 ( = Y 0 − C 0 ) . Una vez que selecciona
C0* , X 0* ( = Y 0 − C0* ) se obtiene por diferencia. Si hubiera posibilidades de intercambio, se
puede pedir prestado ya sea para consumir o invertir en el presente. En esta situación, X 0 sí
es una variable de decisión como se muestra en el siguiente caso.
CASO III: LA DECISION DE CONSUMO INTERTEMPORAL EN UNA ECONOMIA
CON PRODUCCION E INTERCAMBIO.
En esta situación se combinan los casos I y II de las secciones anteriores. Esto es, se suponen
dotaciones de ingreso exógeno (Y 0 ,Y 1) y la tecnología de producción, X 1 = f ( X 0 ) , es igual
que en el caso II. Respecto al mercado de capital, el precio presente del consumo futuro es
1
, igual que en el caso I. Bajo estas condiciones, la riqueza en valor presente ( W 0 ) se
P=
1+ r
expresa como:
W 0 = Y 0 + PY 1 + Pf ( X 0 ) − X 0
(20)
Respecto al lado derecho de (20), el término [Y 0 + PY 1] representa el valor presente de la
[
]
dotación de ingreso exógeno y Pf ( X 0 ) − X 0 representa el valor presente neto de operar su
tecnología de producción usando insumos iguales a X 0 . Es decir, compra insumos en el
presente con un valor de X 0 y recibe en el futuro f ( X 0 ) , lo cual tiene un valor presente de
Pf ( X 0 ) . Note que si X 0 = 0 , entonces el valor presente de la riqueza es W 0 = Y 0 + PY 1 , igual
que en el caso I. Además, a diferencia del caso I, W 0 depende de la decisión sobre el nivel de
X 0.
Raymundo C. Rodríguez G.
16
Al igual que en los casos I y II, el consumidor selecciona un plan de consumo - inversión,
( X 0 , C0 , C1) con el objetivo de maximizar U (C0 , C1) sujeto a la siguiente restrición de
presupuesto:
C 0 + PC 1 = W 0
(21)
Debido a la existencia de un mercado de capital, la restricción del caso II, X 0 = Y 0 − C 0 ≥ 0 , ya
no representa limitación alguna. Es decir, el consumidor puede pedir prestado (teniendo como
garantía su ingreso futuro) ya sea para consumir o invertir en producción física en el presente.
Combinando (20) y (21) se obtiene:
C 0 = Y 0 + PY 1 + Pf ( X 0 ) − X 0 − PC1.
(22)
Sustituyendo (22) en la función de utilidad, el problema de elección del consumidor en este
caso III consite en elegir tanto X 0 como C 1 para maximizar:
[
]
U Y 0 + PY 1 + Pf ( X 0 ) − X 0 − PC1, C1
Antes de pasar a las CPO, note que las relaciones entre las variables son como aparecen en el
siguiente esquema:
X0
U
C0
C1
Suponiendo que existe una solución interior, las CPO son:
(
(
) [ Pf ′ ( X ) − 1] = 0
) ( − P ) + U (C ,C )
dU
= U 0 C0* ,C1*
dX 0
dU
= U 0 C0* ,C1*
dC 1
*
0
1
*
0
*
1
(23a)
= 0
(23b)
Una vez obtenidos los valores óptimos ( X 0* y C1* ) para las variables de decisión, es posible
obtener el consumo presente óptimo ( C0* ) como sigue:
( )
C0* = Y 0 + PY 1 + Pf X 0* − X 0* − PC1* .
(
)
Con el fin de interpretar las CPO en (23a) y (23b) note que U 0 C0* ,C1* > 0 , por lo tanto la
ecuación (23a) se puede escribir como :
( )
f ′ X 0*
=
1
=
P
1
= 1 + r.
1
1+ r
(24)
La relación (24) se conoce como la condición de eficiencia ya que la cantidad óptima a invertir
en producción física, X 0* , no depende ni de las preferencias del consumidor ni de su dotación
Raymundo C. Rodríguez G.
17
( Y 0 ,Y 1 ) . Es decir, dos consumidores con preferencias totalmente diferentes por consumo
presente y futuro y con dotaciones también distintas, pero que enfrentan la misma tasa de
interés de mercado y con la misma tecnología de producción, seleccionan el mismo nivel de
inversión, X 0* .
A continuación se presenta una interpretación de la condición de eficiencia en (24),
( )
f ′ X 0* = 1 + r . De (20) note que W 0 es una función de X 0 : W 0( X 0 ) . Si X 0** denota la
cantidad de inversión física que maximiza la riqueza actual W 0 = Y 0 + PY 1 + Pf ( X 0 ) − X 0 ,
entonces X 0** es la solución al siguiente problema:
[Y
MAX
X0
0
+ PY 1 + Pf ( X 0 ) − X 0
]
La CPO es:
( )
dW 0
= Pf ′ X 0** − 1 = 0 , o bien
dX 0
( )
f ′ X 0**
= 1 + r.
(25)
Observe que la expresión (25) es idéntica a la condición de eficiencia en (24). Dado que la
solución de (24) no depende de las preferencias ni de las dotaciones, entonces X 0** = X 0* . Por
lo tanto, la condición de eficiencia se puede interpretar como sigue: "Seleccionar un nivel de
inversión que maximice el valor presente de la riqueza".
Respecto a la segunda ecuación (23b) de las CPO, esta condición se puede escribir como:
( )
( C ,C )
U 0 C0* ,C1*
U1
*
0
*
1
=
1
=
P
1
= 1 + r.
1
1+ r
(26)
Esta condición es idéntica a la del Caso I [ecuación (5)] si se usa como riqueza actual
( )
(
)
W0* ≡ Y 0 + PY 1 + Pf X 0* − X 0* . En resumen, se puede llegar al plan óptimo, X 0* , C0* , C1* , en
dos etapas:
1) Seleccionar el nivel óptimo de inversión, X 0* , que maximice el valor presente de la riqueza.
2) Utilizar el mercado de capital para prestar o pedir prestado (teniendo como garantía dicha
(
)
riqueza maximizada) con el fin de alcanzar la canasta de consumo C0* , C1* de máxima utilidad
intertemporal.
En un mercado de capital en el que los individuos enfrentan la misma tasa de interés (r) y
utilizando los dos resultados [relaciones (24) y (26)] de las CPO, la tasa marginal de sustitución
de todos los consumidores - inversionistas es igual a (1 + r ) lo que, a su vez, es igual a la tasa
( )
marginal de transformación (TMT) descrita como f ′ X 0* . Es decir, para los consumidores j e
i:
( )
TMSj = TMSi = (1 + r ) = TMT ≡ f ′ X 0* .
(27)
La separación de las decisiones sobre inversión (etapa I) de las decisiones sobre consumo
(etapa II) se le conoce en la literatura como el Teorema de Separación de Fisher: Si se tiene
un mercado de capital perfecto, la decisión de producción se rige únicamente por un criterio
Raymundo C. Rodríguez G.
18
objetivo de mercado (representado por la maximización de la riqueza presente), sin considerar
las preferencias (subjetivas) de los individuos, las cuales determinan sus decisiones de
consumo.
Antes de presentar la gráfica correspondiente al caso III, note que la restricción de presupuesto,
W 0 = C0 + PC1 sin considerar producción, se representa como
C1 = (1 + r )(W 0 − C0 ) = (1 + r )W 0 − (1 + r )C0 .
dC1
= − (1 + r ) . Mientras que cuando se incluye producción y se selecciona un
dC0
nivel X 0* : C 1 = (1 + r )W0* − (1 + r )C 0 , lo cual se representa en la siguiente gráfica como un
desplazamiento paralelo hacia mayores niveles tanto de consumo presente como de consumo
futuro.
En la Figura 8 se representa la canasta óptima en cada uno de los tres casos considerados a lo
largo de este trabajo. Así, en el caso I se alcanza un nivel U1 de utilidad intertemporal. Note que
la línea de presupuesto pasa por la dotación inicial. En el caso II cuando se incluye producción
pero sin intercambio, el consumidor alcanza un nivel de bienestar representado por U2. Por
último, al analizar la decisión óptima de consumo a través del tiempo cuando están disponibles
tanto un mercado de capital como posibilidades de producción, el individuo alcanza un nivel de
bienestar de U3. En la Figura 8 se supone que el consumidor ahorra en el presente.
Observe que la única manera en que un individuo puede convertir ingreso o producto futuro en
consumo presente es mediante la existencia de un mercado de capital. Utilizando dicho
mercado, se alcanza una curva de indiferencia más alta.
De aquí,
Raymundo C. Rodríguez G.
19
Figura 8
Decisión Optima de Inversión, Ahorro-Consumo
Intertemporal con Intercambio y Producción
C1*
U3
U2
U1
X1*
Y1
C0*
Y0
W0
W0*
C0
X0*
BIBLIOGRAFIA
Copeland, Thomas and Weston, J. Fred. Financial Theory and Corporate Policy.
Reading, Mass.: Addison- Wesley, 1988. Capítulo 1.
Henderson, James M. and Quandt, Richard E. Microeconomic Theory. A Mathematical
Approach. New York: McGraw - Hill, 1980. Capítulo 12.
Martin, John D., Cox, Samuel H. and MacMinn, Richard D. The Theory of Finance: Evidence
and Applications. Chicago: The Dryden Press, 1988. Capítulo 2.
Merton, Robert C. Finance Theory. Unpublished Manuscript. Sloan School of Management.
Massachusetts Institute of Technology. 1982.
Silberberg, Eugene. The Structure of Economics. New York: McGraw - Hill, 1990. Capítulo 12.
Raymundo C. Rodríguez G.
20
EJERCICIOS
1. Considere un consumidor con un horizonte de vida de dos períodos (presente y futuro).
Suponga que la función de utilidad es U ( C0 ,C1 ) = C0 C1 y que su dotación es Y0 = $10,000,
Y1 = $5,250. No hay inflación y la tasa de interés (r) es 5 %.
a. ¿Cuáles son las funciones de demanda por consumo presente y futuro? (Derive formalmente
y muestre procedimiento).
b. ¿Cuál es el valor numérico de la canasta óptima?
c. ¿Cuál es la función de ahorro ( Y0 − C0 ) en el presente?
d. ¿Cuánto ahorra (pide prestado) en el presente?
2. Considere una economía con un mercado de capital perfecto en donde únicamente los
consumidores ahorran y piden prestado. En dicho mercado existen 150 participantes y cada uno
tiene la misma función de utilidad para un horizonte de vida de dos períodos (presente y
futuro): U ( C0 ,C1 ) = C0 C1 . Del total de consumidores, 100 disponen de una dotación
(Y0,Y1)=($10,000, $8,400), mientras que los restantes 50 tienen ($8,000, $14,000).
a. Derive formalmente (muestre procedimiento) la función de demanda por consumo presente
para uno de los individuos.
b. ¿Cuál es la función de ahorro (préstamo) para uno de los individuos?
c. ¿Cuál es la condición para que exista equilibrio en el mercado de capital?
d. ¿Cuál es la tasa de interés (r) consistente con dicho equilibrio?
ln( C1 )
, δ > 0 , Y0 = Y1 = Y > 0
1+ δ
a. ¿Cuáles son las funciones de demanda por consumo presente y futuro?
(Derive formalmente y muestre procedimiento).
b. ¿En qué caso C0* = C1* , C0* > C1* , C0* < C1* ?
3. Suponga que U ( C0 ,C1 ) = ln( C0 ) +
4. En el siguiente diagrama se presentan las posibilidades de consumo de un inversionista que
no tiene dotación de ingreso ni en el presente ni en el futuro ( Y0 = Y1 = 0 ), pero que dispone de
oportunidades de inversión con un valor presente neto positivo. Puesto que no dispone de
ingreso, tiene que financiar la inversión mediante un préstamo (pasivo financiero) usando para
ello el mercado de capital en lugar de utilizar sus propios recursos (capital). En el futuro tiene
que pagar la deuda más los intereses. El costo de los fondos se representa por la tasa de interés
( r >0), la cual está implícita en la pendiente negativa de la línea recta que a parece en la
gráfica.
En el mismo diagrama se pide identificar claramente con las letras (A, B, C, etc.) cada una de
las siguientes distancias horizontales o verticales:
A. El nivel óptimo de inversión (préstamo inicial).
B. El valor futuro generado por la inversión.
C. El valor futuro de la deuda (préstamo más intereses).
D. El valor presente del valor futuro generado por la inversión.
E. El valor presente neto del valor futuro generado por la inversión.
F. El valor presente neto si hubiera seleccionado una inversión inicial de distancia 0 - Z.
G. Con base en el nivel óptimo de inversión, ¿ Cuáles son las posibilidades de consumo?
Raymundo C. Rodríguez G.
21
C1
Z
O
C0
Raymundo C. Rodríguez G.
22
Solución
Respuesta 1
a.
C
Y 

L( C0 , C1 ; r , Y0 , Y1 ) = C0 C1 − λ C0 + 1 − Y0 − 1 
1+ r
1+ r

∂L
= C1 − λ = 0
∂C0
∂L
λ
= C0 −
=0
1+ r
∂C1
∂L
C
Y
= −C0 − 1 + Y0 + 1 = 0
1+ r
1+ r
∂λ
Combinando las dos primeras ecuaciones:
C1
λ
=
= 1+ r
λ
C0
1+ r
C1* = C0* ( 1 + r ) , sustituir en restricción
C (1 + r )
Y
C0 + 0
= Y0 + 1
1+ r
1+ r
Y1
2C0 = Y0 +
1+ r
Y1 
1
C0 = Y0 +
2
( 1 + r) 
Respecto a la función de demanda por consumo futuro:
Y 
1
C1 = Y0 + 1 (1 + r )
2
1+ r 
1
C1 = (1 + r ) Y0 + Y1
2
b.
1
5 ,250 
C0* = 10 ,000 +
= 7,500
2
105
. 
C1* = 7 ,500 ( 1.05 ) = 7 ,875
[
]
c.
La función de ahorro en el presente es Y0 - C0 , donde C0 =
− C0 = -
1
2
Y0 - C0 = Y0 Y0 - C0 =
1
2
Y1 

Y0 + 1 + r  Por lo tanto,


Y1 

Y0 + 1 + r 


1
2
1
2
Y1 

Y0 + 1 + r 


Y1 

Y0 - 1 + r 


d.
Sustituyendo los parámetros correspondientes, el ahorro en el presente es:
1 
5 ,250 
Y0 - C0 =
10,000 = 2500

2 
1 + 0.05 
Raymundo C. Rodríguez G.
23
Ahorro en el presente: $2,500.
NOTA
Utilizar este ahorro en forma óptima. ¿Cómo?. Seleccionando un portafolio de inversión
eficiente.
Respuesta 2.
a y b: idénticos al ejercicio anterior.
c.Para toda la economía, Ahorros = Préstamos. Es decir, se requiere que para los dos grupos, la
demanda (agregada) en exceso (Y0 - C0) sea igual a cero.
d.
1 
 1 
8 ,400  
14 ,000  
100 
 =0
  + 50   8,000  10,000 


2
1
+
r
2
1 + r  



Despejar para r:
8,400 
14,000 


50 10,000 + 25 8,000 = 0

1 + r
1 + r 


30 ,800
= 1.10
28,000
r = 0.10 ó r = 10 %
1+ r =
Respuesta 3.
L = ln( C 0 ) +
ln( C 1 )
C1
Y 

− λ  C0 +
−Y −
1+ δ
1+ r
1 + r 

C.P.O.:
1
−λ =0
C0
λ
1  1
L1 =
=0
 −
1 + δ  C1  1 + r
C1
Y
Lλ = − C 0 −
+Y +
=0
1+ r
1+ r
L0 =
Combinando las dos primeras ecuaciones:
C1 1 + r
=
C0 1 + δ
Si δ = r entonces C 0 = C 1
Si δ > r entonces C 0 > C 1
Si δ < r entonces C0 < C1
 1+ r 
C1 = C0 

1+ δ 
Al sustituir esta última expresión en la restricción de presupuesto intertemporal, se obtiene la
función de demanda por consumo presente:
C0  1 + r 
Y
C0 +

 =Y+
1+ r 1+ δ
1+ r
 2+ r
C1* = 
Y
2+ δ
Raymundo C. Rodríguez G.
24
Si δ = r entonces C0* = Y = C1* Es decir, consume su dotación.
Si δ > r entonces C0* > Y , C1* < Y por lo que C0* > C1* , y como C0* > Y , se sabe que pide
prestado en el presente.
Si δ < r entonces C0* < Y , C1* > Y por lo que C0* < C1* , y como C0* < Y , se sabe que
ahorra en el presente.