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3ª Evaluación
Parte II
Sucesiones numéricas
En numerosas ocasiones aparecen secuencias de números que siguen una pauta o regla de
formación, como por ejemplo la pauta seguida para la numeración de los diferentes portales de una
calle de una ciudad.
La primera y más importante secuencia de números es la de los números naturales:
1, 2, 3, 4, 5, 6, …
A partir de ella se pueden crear muchas otras como las siguientes:
Números pares: 2, 4, 6, 8, …
Números impares: 1, 3, 5, 7, 9, …
Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, …
Cuadrados de los números naturales: 1, 4, 9, 16, …
Cubos de los números naturales: 1, 8, 27, 64, 125, …
Potencias de 2: 2, 4, 8, 16, …
Raíces cuadradas de los números naturales: 1,  2 ,
1
1
• Inversos de los números naturales: 1,
,
, ...
2
3
Las secuencias numéricas anteriores se llaman sucesiones.
•
•
•
•
•
•
•
3 …
Una sucesión numérica es una secuencia de números, ordenados uno detrás de otro, que siguen una
ley de formación:
a 1 , a 2 , a3 , a4 ,. . . , a n , .. .
a 1 es el primer término, a 2 el segundo término, … y
general de la sucesión (cualquier término).
an
es el enésimo término o término
Una sucesión es infinita si cada término tiene un sucesor. El sucesor a n es a n1 . El anterior de
a n es a n−1 .
En numerosas ocasiones, el término general se puede expresar en función del lugar n que ocupa
cada término en la sucesión. Por ejemplo, en la sucesión 1, 5, 9, 13, 17..., el término general se
puede expresar como a n=4n−3 . Si en esta expresión se sustituye n por 1, 2, 3, … se
obtienen respectivamente los términos primero, segundo, tercero, etc de la sucesión.
EJERCICIO
1 Escribe la expresión del término general de las sucesiones presentadas al comienzo de este artículo.
2 Escribe los cinco primeros términos de las sucesiones definidas por los siguientes términos generales:
a)
a n=3n5
b)
a n=
n
1
c) a n=
d) a n=n²−2n5
n1
n² 1
3 Escribe el término general de las sucesiones cuyos primeros términos se indican y calcula el término
a 100 :
a) 10, 13, 16, 19.....
b) 21, 17, 13, 9, 5, …
c) 2,7,12, 17, …
4 ¿Qué lugar que ocupa el término 10408 en la sucesión cuyo término general es
a n=n²−2n5 ?
A veces el término general de una sucesión se puede expresar en función del término o los términos
inmediatamente anteriores. Por ejemplo, en la sucesión de los números pares cada término se
obtiene del anterior sumándole 2 unidades, es decir: a n=an−12 . Se dice que estas sucesiones
se han definido por recurrencia o que son recurrentes.
EJERCICIOS
5 Describe las siguientes sucesiones mediante una ley de recurrencia:
a) 10, 11, 21, 32, 53, …
b) 6, 8, 2, -6, -8, …
6 Una sucesión se define por recurrencia de la siguiente manera: a 1=−1 y cada término se obtiene
a partir del anterior sumándole el lugar que ocupa en la sucesión. Escribe los cinco primeros términos
7 Una sucesión se define por recurrencia de la siguiente manera: a 1=2 y cada término es igual al
doble del cuadrado del anterior menos el triple del lugar que ocupa. Escribe los cinco primeros términos.
Otras veces no es posible encontrar un expresión para el término general y debemos conformarnos
con la descripción de la sucesión. Por ejemplo, la sucesión en la que cada elemento es el número de
letras que tiene la palabra que designa al correspondiente número natural, o la sucesión de los
números primos.
EJERCICIO
8 Escribe los 10 primeros términos de las dos sucesiones descritas en el párrafo anterior.
Representación gráfica de sucesiones
Las sucesiones se pueden representar gráficamente en el plano mediante puntos aislados cuyas
coordenadas son:
 1, a1  ,  2, a2  ,  3, a3  , ... ,  n , an  , ...
EJERCICIO
9 Representa gráficamente los cinco primeros términos de las sucesiones dadas por su término general:
a)
a n=2n−5
b)
a n=n²−1
Aproximación a la idea de límite de una sucesión
Consideremos la sucesión
a n=
n
Si representamos gráficamente algunos de sus términos,
n1
es decir los puntos
    


1
2
3
n
, 2 , , 3, , ... , n ,
, ...
2
3
4
n1
se obtiene el gráfico que se muestra a la derecha. En el gráfico
se observa que los términos de la sucesión se acercan cada vez
más a 1. De hecho, la diferencia entre 1 y los términos de la
sucesión:
n
1
1−
=
n1 n1
es cada vez más cercana a cero conforme n va creciendo. En
la terminología matemática se dice que el límite de la sucesión
n
a n=
cuando n crece es 1:
n1
n
lim
=1
n  ∞ n1
1,
• Cuando los términos de una sucesión se aproximan a un número l , se dice que la
sucesión tiende a l o que su límite es l : lim an =1
• Cuando los términos de una sucesión crecen indefinidamente, se dice que la sucesión tiende
a ∞ o que su límite es ∞ : lim an =∞
• Cuando los términos de una sucesión crecen indefinidamente, se dice que la sucesión tiende
a −∞ o que su límite es −∞ lim an =−∞
Al calcular el límite de una sucesión pretendemos averiguar si, conforme n crece, los términos de la
sucesión se aproximan a un número l (el límite es l) o bien si los términos se hacen cada vez mayores en
valor absoluto (el límite es ±∞ ). En el cálculo de límites se aplican una serie de propiedades cuyo
estudio excede el nivel de estos apuntes. Como una primera aproximación presentamos los siguientes
resultados:
•
•
•
El límite de una expresión polinómica es siempre
mayor grado.
lim
±∞ dependiendo del signo del término de
 
k
=0 Siendo k cualquier número real y h cualquier número natural.
nh
El límite de un cociente es igual al cociente de los límites del numerador y denominador:
lim
 
a n lim a n
=
b n lim b n
Si las expresiones del numerador y del denominador son polinómicas, se obtiene el resultado ∞
∞ que es
una indeterminación. La indeterminación se resuelve dividiendo todos los sumandos por la potencia de
mayor exponente, como se muestra en el siguiente ejemplo:
n 1
1 1


n1
n² n²
n n²
00
0
∞
lim 2
= ∞ lim 2
=lim
=
= =0
3 1 10−0 1
n 3n −1
n 3n 1
1 − 2
 2−
n n
n² n
n²
EJERCICIO
10 Representa gráficamente las siguientes sucesiones indicando y calculando su límite:
a)
a n=2n−5
b)
a n=
7n
n1
c)
a n=
n²
2n²1
La sucesión de Fibonacci
La sucesión de Fibonacci es una secuencia de números enteros descubierta por matemáticos hindúes
hacia el año 1135 y descrita por primera vez en Europa gracias a Fibonacci (Leonardo de Pisa) con su
problema de la crianza de conejos:
Una pareja de conejos recién nacida tarda un mes en alcanzar la fertilidad. A partir de entonces
procrea cada mes una nueva pareja. En un corral se tiene una pareja de conejos recién nacidos.
¿Cuántos habrá al cabo de 12 meses?
El número de conejos sigue la sucesión:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …
que se puede definir por recurrencia: “Los dos primeros
términos son 1 y, a partir del tercero, cada término es la
suma de los dos que le anteceden”.
Los sucesivos cocientes de dos términos consecutivos
tienden al número áureo, es decir:
lim
n∞
a n1
==1, 618033989...
an
(Con siete términos ya se consigue una aproximación de dos cifras decimales)
La sucesión de Fibonacci está presente en la naturaleza:
•
Los machos de una colmena de abejas tienen un árbol genealógico que sigue esta sucesión. Un
zángano, macho de la abeja, no tiene padre (1), pero sí que tiene una madre (1, 1), dos abuelos,
que son los padres de la reina (1, 1, 2), tres bisabuelos, ya que el padre de la reina no tiene padre
(1, 1, 2, 3), cinco tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5), ocho tátara tatarabuelos (1, 1, 2, 3, 5, 8) y así
sucesivamente.
•
La relación entre las partes corporales humanas siguen estos números.
•
Las ramas de los árboles y las hojas de las plantas se distribuyen buscando siempre recibir el
máximo de luz para cada una de ellas. Por eso ninguna hoja nace justo en la vertical de la anterior.
La distribución de las hojas alrededor del tallo de las plantas se produce siguiendo secuencias
basadas exclusivamente en estos números.
•
El número de espirales en numerosas flores y frutos también se ajusta a parejas consecutivas de
términos de esta sucesión: los girasoles tienen 55 espirales en un sentido y 89 en el otro, o bien 89
y 144. Las margaritas presentan las semillas en forma de 21 y 34 espirales. Las piñas presentan un
número de espirales que coincide con dos términos consecutivos de la sucesión: 8 y 13 ó 5 y 8.
EJERCICIOS
a n1
de la sucesión de Fibonacci y compara el
an
11 Calcula los ocho primeros términos del cociente
resultado con el número áureo Ф.
El número e
Vamos a estudiar con cierto detalle el comportamiento de los términos de la sucesión
n
 
1
a n= 1
n
Para ello, vamos a calcular los términos primero, segundo, tercero, cuarto, quinto, décimo, centésimo,
milésimo, millonésimo, …
1
 
 
 
1
=2
1
2
1
a 2= 1 =2,25
2
3
1
a 3= 1 =2,370370370...
3
a 1= 1
4
 
 
 
 
 






1
a 4= 1 =2,44140625...
4
5
1
a 5= 1 =2,4883270370370...
5
10
1
a 10= 1
=2,59374246
10
100
1
a 100= 1
=2,704813829
100
1000
1
a 1000= 1
=2,716923932
1000
10000
1
a 10000= 1
=2,718145927
10000
100000
1
a 100000= 1
=2,718268237...
100000
1000000
1
a 1000000 = 1
=2,718280469...
1000000
...oOo...
Si bien cada término va creciendo, el crecimiento se ralentiza cada vez más. De hecho se puede demostrar
que la sucesión es creciente (cada término es mayor que el anterior), pero nunca llega a superar el valor
2,8. En términos matemáticos, la sucesión tiene límite comprendido entre 2 y 3.
Al límite de dicha sucesión se le denomina e. Es un número irracional cuyas primeras cifras son
e ≈ 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995...
El número e está relacionado con muchos e interesantes resultados. Sus propiedades matemáticas hace
que esté presente en multitud de acontecimientos físicos tales como la velocidad de vaciado de un depósito
de agua, el giro de una veleta frente a una ráfaga de viento, el movimiento del sistema de amortiguación de
un automóvil o el cimbreo de un edificio metálico en caso de terremoto; de la misma manera, aparece en
muchos otros campos de la ciencia y la técnica, describiendo fenómenos eléctricos y electrónicos (descarga
de un condensador, amplificación de corrientes en transistores, etc.), biológicos (crecimiento de células,
etc.), químicos (concentración de iones, periodos de semidesintegración, etc.), y muchos más.
El matemático John Napier fue el primero en utilizar e como base de los logaritmos naturales o
neperianos en 1614 (ver concepto de logaritmo más adelante en estos apuntes). Pero fue Jacob Bernouilli
quien unos años más tarde, estudiando el problema del interés compuesto, calculando los beneficios de una
cantidad de dinero con un interés anual del 100% dependiendo de los periodos en los que se pague a lo
largo de un año, terminó hallando una ecuación que, sin que el propio Bernoulli fuera consciente, definió por
primera vez el valor de la constante matemática e:
n
 
1
e=lim 1
n
n ∞
Bernoulli comprobó que esta expresión se aproxima al valor de 2,7182818... Leonard Euler comenzó a
utilizar la letra e para identificar esta constante en 1727 y es como se la conoce en la actualidad. Igual que
el número  , es un número trascendente, es decir, no se puede obtener mediante la resolución de una
ecuación algebraica y, al ser un número irracional, su valor exacto no se puede expresar mediante un
número finito de cifras decimales o con decimales periódicos.
EJERCICIO
15 Representar gráficamente los términos primero, segundo, tercero, cuarto, quinto,
décimo, centésimo milésimo, etc. de la sucesión y observar que los términos se aproximan
cada vez más a e conforme n crece. Utiliza una hoja de cálculo.
Apéndice: Logaritmos naturales o neperianos
El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para
obtener dicho número.
log a N =x ⇔ a x =N
•
log 2 4=2 porque 22=4
•
log 3 81=4 porque 3 =81
4
El logaritmo de 1 es 0 en cualquier base porque cualquier número elevado a 0 es 1.
Los logaritmos naturales o logaritmos neperianos son los que tienen base e. Estos logaritmos fueron los
primeros en utilizarse y deben su nombre a John Néper (el primero en utilizarlos). Se representan por ln (x)
o L(x).
El logaritmo neperiano de x (ln x) es la potencia a la que se debe elevar e para obtener x.
n
ln x=n ⇔e = x
0
•
ln 1=0 porque e =1
•
ln x=5 ¿Cuánto vale x? x=e5
Los logaritmos neperianos se pueden obtener directamente con una calculadora científica.