A propósito de un instrumento que grafica Cónicas

A PROPÓSITO DE UN INSTRUMENTO QUE GRAFICA CÓNICAS
José Luis Soto Munguía
Departamento de Matemáticas
Universidad de Sonora
e-mail: jlsoto@gauss.mat.uson.mx
Resumen
En este artículo se discute un instrumento virtual, llamado aquí simplemente conígrafo, que
traza cónicas de todos los géneros. El instrumento ha sido diseñado con la ayuda de Cabri
Géomètre II y es manipulable directamente en pantalla. Se dan las instrucciones para
construirlo y se explica su funcionamiento. Se utiliza el método de análisis y la exploración con
Cabri para demostrar, con herramientas de la geometría plana elemental, que las curvas
trazadas son efectivamente cónicas. Se ofrece una interpretación del conígrafo como la
proyección ortogonal sobre un plano, de un conígrafo espacial que secciona conos. Se
demuestra, con herramientas de la geometría sólida elemental, que el conígrafo espacial
efectivamente secciona un cono. Se hacen algunos comentarios sobre la potencia de Cabri como
herramienta de exploración y sobre la posible utilización didáctica de los dos aparatos referidos.
Por último, con herramientas de geometría analítica se demuestra que la ecuación de los lugares
geométricos trazados por el conígrafo corresponden siempre a la ecuación de una cónica.
1. Introducción
Los instrumentos para el trazado de curvas han jugado un importante papel en el desarrollo
histórico del álgebra y sobre todo de la geometría. Sin duda los instrumentos más
importantes para la matemática Helénica fueron la regla y el compás, que se incorporaron
de manera implícita a los tratados de geometría y marcaron durante siglos los confines de la
geometría plana.
Al margen de las restricciones griegas o con plena conciencia de ellas, los matemáticos
inventaron desde entonces, una inmensa cantidad de aparatos para el trazado de curvas.
Una excelente colección de réplicas, físicas y virtuales, de ellos puede verse ahora en el
sitio web coordinado por M. Bartolini (1999).
El acceso cada vez más extendido a los softwares de geometría dinámica (conocidos
como DGS por sus siglas en inglés), como Cabri Geometry (Laborde, 1994) o The
Geometer´s Sketchpad (Jackiw, 1995) ha dado un nuevo impulso al estudio, con
fines
principalmente didácticos, de estos aparatos. Las características de estos softwares permiten
construir con facilidad versiones virtuales, incluso mejoradas, de ellos.
Considérese, por ejemplo el hiperbológrafo de Descartes (Descartes, 1637, pp. 319-322)
que se muestra en la Figura 11 .
1
La imagen está tomada de la versión francesa de La Geometría, publicada en 1637. Los ejes coordenados
usados por Descartes están rotados 90° con respecto a los que se usan ahora.
Figura 1
Este
y2 +
aparato
traza
Figura 2
una
hipérbola
cuya
ecuación
es
de
la
forma
c
xy − (c + a) y + ac = 0 donde a= GA, b= KL y c= LN. Al construir el hiperbológrafo
b
con Cabri (Figura 2), la curva trazada es más completa y los parámetros a, b y c pueden
manipularse directamente en pantalla, ajustando así el aparato para que trace prácticamente
cualquier hipérbola de la familia y 2 +
c
xy − (c + a) y + ac = 0 .
b
Algunos estudios recientes en educación matemática, por ejemplo (Hoyos, Capponi y
Geneves, 1999), (Santos, 2000, 2001) y (Bartolini, 2001), han mostrado las ventajas
didácticas de que los estudiantes manipulen o construyan estos instrumentos en el salón de
clases. Estos estudios evidencian que el uso de los DGS puede constituir una herramienta
potente de exploración para estudiar las características de los aparatos y los conceptos que
estos instrumentos ponen en juego.
El presente trabajo está dedicado a uno de estos aparatos. Se trata de un conígrafo
reportado en Santos (2000), que ha sido construido con Cabri y puede ajustarse para trazar
una cónica de cualquier género. En la Sección 2 se dan las instrucciones en Cabri que
permiten construirlo y se explica brevemente su funcionamiento. La Sección 3 está
dedicada a describir una manera de explorar el aparato, en busca de los elementos
necesarios para demostrar que las curvas trazadas son en realidad cónicas. Una vez
reunidos estos elementos, se usan las herramientas de la geometría plana elemental para
demostrar este hecho. En la Sección 4 se ofrece una interpretación del conígrafo como la
proyección ortogonal de un conígrafo espacial que traza cónicas al seccionar un cono.
Luego en la Sección 5 se demuestra, con herramientas de la geometría sólida elemental, que
el conígrafo espacial efectivamente secciona un cono. Por último en el Apéndice se prueba
analíticamente que las curvas trazadas por el conígrafo, son cónicas.
2. El conígrafo: construcción y funcionamiento
En Santos (2000) se describen una serie de acercamientos que usan la tecnología como
herramienta para el aprendizaje de las matemáticas. El primero de ellos es un ejemplo que
“ilustra características del pensamiento matemático (demostrar y formular conjeturas) que
parecen fundamentales en los acercamientos a los problemas que usan tecnología” (ibid, pp.
112-113). En este acercamiento los estudiantes han construido y utilizado este conígrafo
como herramienta para explorar las propiedades y componentes principales de las curvas
trazadas con él. El instrumento puede construirse en Cabri, siguiendo las instrucciones:
1. Trazar una “Recta” k cualquiera.
2. Trazar un “Punto” cualquiera P sobre la recta k.
3. Trazar un “Círculo” c de cualquier radio, pero tomando por centro un punto C sobre
la recta k.
4. Trazar un “Punto” cualquiera Q sobre el círculo.
5. Usar la herramienta “Simetría axial” para pedir a Cabri el punto simétrico de Q con
respecto a la recta k. Llamar R a este punto.
6. Trazar la “Recta” que pasa por los puntos P y Q. Trazar otra “Recta” que pase por
los puntos R y C.
7. Trazar el “Punto de intersección” de las dos rectas anteriores y denotarlo S.
El aparato ya construido puede verse en la Figura 3.
Figura 3
El “Lugar geométrico” del punto S, cuando Q se mueve sobre el círculo c, es una cónica
simétrica con respecto a la recta k.
Diferentes cónicas pueden ser obtenidas variando el
radio de c o bien moviendo el punto P a lo largo de k. En las Figuras 4 y 5 pueden verse las
cónicas correspondientes a dos posiciones de P.
Figura 4
Figura 5
En la sección siguiente se muestra una manera de aprovechar la potencia exploratoria de
Cabri, para demostrar que las curvas trazadas son cónicas, sin recurrir a la geometría
analítica.
3. Una demostración sugerida por la exploración con Cabri
Esta sección consta de dos partes, en la primera se describe una manera de combinar la
potencia exploratoria de Cabri con el método de análisis para buscar las ideas claves que
permiten demostrar que las curvas trazadas por el conígrafo son efectivamente cónicas;
mientras que en la segunda, se expone la demostración propiamente dicha. Por análisis se
entiende aquí el método dado a conocer por Pappus de Alejandría (¿Siglo III?, D. C.) y que
Descartes prescribe simplemente como “Así, si queremos resolver cualquier problema,
suponemos primero que la solución está dada” (Descartes, 1637, p. 300)
En la demostración se utilizará la siguiente definición general de cónica, tomada de
Lehmann (1972, p. 220)
“Definición. Dada una recta fija l y un punto fijo F no contenido en esa recta, se llama cónica al lugar
geométrico de un punto S que se mueve en el plano de l y F de tal manera que la razón de su distancia
de F a su distancia de l es siempre una constante positiva.
La recta fija l se llama directriz, el punto fijo F, foco, y la constante positiva, a la que designaremos
por e, excentricidad de la cónica.”
La demostración de que las curvas trazadas son cónicas, consiste entonces en probar
que, si C y P son puntos cualquiera sobre la recta k y c es un círculo de cualquier radio
centrado en C, entonces S satisface la condición establecida en la definición anterior.
Pero dicha condición está referida a una recta l y un punto F que el instrumento no traza,
por ello a continuación se describe una manera de buscar un punto F y una recta l que
sirvan como foco y directriz de la cónica respectivamente.
3.1 Buscando el foco y la directriz
Después de reproducir y manipular el graficador con la ayuda de Cabri, no resulta difícil
conjeturar que las curvas trazadas son cónicas. Supóngase, tal como lo sugiere el análisis,
que efectivamente lo son.
La gráfica mostrada en la Figura 4 será entonces una elipse cuyos vértices pueden
localizarse ahora en pantalla como los “Puntos de intersección” entre la elipse y la recta k.
Sean B1 y B2 estos puntos. Luego puede obtenerse el centro de la elipse como el “Punto
medio” entre B1 y B2 , este punto será el centro de la elipse y se denotará como D, de tal
modo que el segmento DB1 será el semieje mayor. Luego trazando una “Recta
perpendicular” a k que pase por D y los “Puntos de intersección” de esta última recta con la
cónica, pueden localizarse los puntos A1 y A2 con lo cual queda determinado el segmento
DA1 , que será el semieje menor de la elipse. En la Figura 6 los segmentos B1 B2 y A1 A2 han
sido resaltados.
Figura 6
Si F1 y F2 son los focos de la elipse, entonces los segmentos DF 1 y DF2 deben satisfacer
las relaciones respectivas (DB1 )2 =(DA1 )2 +(DF 1 )2 y (DB2 )2 =(DA1 )2 +(DF 2 )2 (Lehmann,
1972, p. 177), luego los segmentos DF 1 y DF2 pueden construirse geométricamente,
procediendo de la manera siguiente: trácese un “Círculo”, que tenga como centro el punto
A1 , y por radio el segmento DB1 . Sean F1 y F2 los puntos de intersección del círculo con la
recta k, entonces F1 y F2 serán los focos de la elipse, puesto que por construcción el ángulo
A1 DB1
es
recto
y
por
lo
tanto
(DB1 )2 =(A1 F1 )2 =(DA1 )2 +(DF 1 )2
y
(DB2 )2 =(A1 F2 )2 =(DA1 )2 +(DF 2 )2 . Ver Figura 7.
Figura 7
La primera conjetura importante es que, cuando P se mueve sobre k, el foco F1
permanece fijo y coincide además con el punto C, mientras que F2 se mantiene simétrico a
F1 con respecto a la mediatriz del segmento B1 B2 . Esta conjetura surge de manera natural
porque al “Arrastrar” P, F1 coincide siempre con C; como se observa por ejemplo en las
Figuras 8 y 9.
Figura 8
Figura 9
A pesar de que la construcción mostrada en la Figura 7 es posible solo para el caso de la
elipse, la conjetura puede generalizarse a todas las cónicas trazadas por el conígrafo. Para
ver la plausibilidad de esta generalización, puede redefinirse en Cabri el punto F2 como el
simétrico a F1 con respecto a la mediatriz del segmento B1 B2 y luego “Arrastrar” el punto
P sobre la recta k. La Figura 10 muestra que para el caso de la hipérbola, F1 y F2 se siguen
comportando como focos y la Figura 11 muestra que el caso de la parábola puede
interpretarse como un caso límite en el cual B2 , F2 y D coinciden con el punto al infinito.
En ambos casos Cabri permite hacer mediciones para “verificar” que el punto C es siempre
un foco de la cónica.
Figura 10
Figura 11
Se requiere ahora proponer una recta l que sirva como directriz de la cónica. De acuerdo
con la definición general de cónica, l debe ser tal que la razón entre las distancias de F1 a S
y de S a l sea constante. De nuevo partiendo de que la curva es una cónica simétrica con
respecto a k, su directriz será una recta perpendicular a k; para trazarla es suficiente
entonces localizar uno de sus puntos, por ejemplo, su punto de intersección con la recta k.
Como se verá a continuación, este punto puede ser construido sin grandes dificultades.
Si se traza una “Recta perpendicular” a k que pase por S y se denota E1 al punto en el
que esta perpendicular intersecta a la recta k, entonces la distancia SC puede ser llevada
sobre esta perpendicular a partir de E1 determinando un punto E2 sobre ella, de tal modo
que E1 E2 =SC. Ver Figura 12.
Figura 12
Considérese ahora el segmento CG, donde G es uno de los puntos de intersección de la
circunferencia c con la perpendicular a k trazada por C. El problema se reduce ahora a
encontrar un punto X sobre k que divida al segmento E1 C en la razón E1 E2 /CG. Como lo
ilustra la Figura 12, existen dos puntos X que satisfacen esta condición, a saber los que
dividen interna y externamente al segmento E1 C en la razón E1 E2 /CG. Una de estas
soluciones se obtiene como la intersección de la recta k con la prolongación de E2 G y la
otra como la intersección de k con la recta E3 G, donde E3 es el punto simétrico a E2 con
respecto a k.
Al mover el punto Q sobre la circunferencia c, Cabri muestra que solo una de estas
soluciones permanece fija, a saber, aquella que se encuentra entre C y P; si se denota con
M esta solución, entonces la perpendicular a k trazada por M será la directriz l buscada,
puesto que por construcción los triángulos E1 E2 M y CGM serán semejantes; por lo tanto,
EE
SC
GC
= 1 2 =
E1M E1M CM
y como M permanece fija, CG y CM permanecen constantes,
entonces la razón entre las distancias de S a C (foco) y de S a l (directriz) es constante.
Cuando el punto P se arrastra sobre la recta k, la elipse se modifica y la recta l se mueve,
pero se observa de inmediato que siempre bisecta al segmento CP. Esta es la segunda
conjetura importante. Las Figuras 13 y 14 muestran dos posiciones distintas de P, en ambas
puede observarse que la recta l se mantiene como mediatriz de CP.
Figura 13
Figura 14
3.2 Demostración
La prueba consiste entonces en demostrar que para cada círculo c y cada punto P; cuando Q
se mueve sobre c, el punto S se mueve de tal manera que la razón de su distancia al punto C
y a la recta l, es constante. Donde C es el centro del círculo c y l la mediatriz del segmento
CP.
Puesto que para cada punto P y cada círculo c, la razón
consiste en demostrar que esta razón es igual a
CR
es constante, la prueba
CM
SC
(ver Figura 15) y como SC es la
SL
distancia de S al foco y SL la distancia de S a l, quedaría demostrado así que el lugar
geométrico trazado por S corresponde a una cónica. (véase la definición de cónica dada al
principio de esta Sección)
Figura 15
La prueba es como sigue:
SL
SO + OL SO
=
=
+1
CM
CM
CM
Puesto
que
CM=OL
por
ser
segmentos
paralelos comprendidos entre paralelas.
=
SO / KÑ
+1
CM / KÑ
Dividiendo entre KÑ el numerador y
denominador del cociente SO/CM
=
SC / KC
+1
CM / KÑ
Pues
los
triángulos
CSO
y
CKÑ
son
semejantes; ya que SL y KQ son paralelos, por
ser ambos paralelos a la recta k. El paralelismo
entre SL y k proviene de la construcción.
Mientras que el paralelismo entre KQ y k se
debe a que ambos son perpendiculares a RQ;
en el primer caso porque KQR es recto (por
estar inscrito en una semicircunferencia) y en
el segundo caso por la simetría de R y Q con
respecto a k.
=
SC / KC
+1
SC / SK
Pues los triángulos CSM y KSÑ también son
semejantes, debido al paralelismo entre el
segmento KQ y la recta k ya señalado antes.
=
SK
+1
KC
Simplificando
=
SK KC
+
KC KC
Expresando el número uno, como
KC
KC
=
SC
KC
Sumando
=
SC
CR
Puesto que KC=CR, por ser radios del mismo
círculo
Finalmente como
punto P,
SL
SC
SC CR
=
, entonces
=
; pero para cada círculo c y cada
CM CR
SL CM
CR
SC
es constante, entonces se concluye finalmente que
es constante, como
CM
SL
se quería; concluyendo así la prueba.
Como una consecuencia inmediata de la igualdad
SC CR
=
SL CM
establecida y del
paralelismo entre los segmentos CM y SL, se obtiene adicionalmente que los triángulos
RCM y CSL son semejantes.
En esta sección se ha dado una respuesta a la pregunta: ¿Por qué son cónicas las curvas
trazadas por el conígrafo? La demostración ofrecida aprovecha potencia exploratoria de
Cabri para la formulación de conjeturas y la riqueza del análisis como método de
descubrimiento; ambas cosas parecieran importantes para
alguien que se inicia en el
aprendizaje de la geometría. Sin embargo, el camino mostrado aquí, no es estrictamente
necesario; en el Apéndice de este artículo se ofrece otra demostración del mismo resultado,
que recurre a los métodos de la geometría analítica y no requiere de exploración alguna.
Aunque ciertamente que para un aprendiz de geometría la demostración del Apéndice
podría resultar menos accesible y quizá menos convincente.
4. El conígrafo visto en el espacio
Las características de las cónicas graficadas pueden verse como aquellas propiedades que
permanecen invariantes, cuando se hace variar el punto P o el círculo c; La lista siguiente
exhibe las más importantes:
a) Todas las cónicas son simétricas con respecto a la recta k.
b) Uno de los focos de las todas las cónicas generadas permanece fijo y coincide con el
punto C.
c) La directriz de todas las cónicas bisecta siempre el segmento CP.
d) Todas las cónicas pasan por los puntos de intersección del círculo c con la
perpendicular a k, que pasa por C.
Estas características sugieren que el graficador examinado es en realidad la proyección
ortogonal sobre un plano de un dispositivo tridimensional que genera cónicas haciendo
cortes en un cono. Esta conjetura resulta muy interesante de explorar, porque su validez
proporcionaría un aparato virtual que conectaría de manera natural la noción de cónica
estudiada en geometría analítica plana, con la noción de curva generada al intersectar un
cono con un plano. Como se sabe, a esta conexión que está en el origen de la teoría de
cónicas, se le confiere poca importancia en los textos de geometría analítica.
Si el conígrafo estudiado hasta ahora, se piensa como una construcción contenida en un
plano π 1 ; entonces puede arribarse a la conjetura anterior, después de analizar el
comportamiento de las curvas trazadas.
a) Al “Arrastrar” el punto P la cónica se modifica, pero pasa siempre por los puntos G
y H. Este hecho, pensado en el espacio, podría corresponderse con la existencia de un cono
circular cortado por un plano π 2 . Una base c´ de este cono estaría contenida en un plano
π 3 paralelo a π 1 , y su eje coincidiría con la normal a π 1 trazada por el punto C. El plano π 2
intersectaría a la recta k en el punto P y pasaría por un diámetro G´H´ del círculo c´; de tal
modo que al mover el punto P sobre k, el plano π 2 rotaría, manteniendo el segmento G´H´
como eje de rotación. Según esta interpretación, el círculo c del graficador sería la
proyección sobre π 1 del círculo c´, y los puntos G y H la proyección sobre π 1 de los puntos
G´ y H´. Luego, G y H serían siempre puntos de la cónica, debido a que G´ y H´
permanecerían siempre en la intersección del cono con el plano π 2 .
b) Cuando P se aleja del punto C, la cónica se aproxima a una circunferencia. De
acuerdo con la interpretación anterior, tiene sentido entonces pensar que cuando P se va a
“infinito”, el plano π 2 se aproxima al plano π 3 y la curva determinada por la intersección de
π 2 y el cono se aproximará cada vez más a c´. Según esta interpretación, el punto C sería la
proyección del vértice del cono sobre π 1 , por lo tanto este vértice no podría pertenecer al
plano π 3 .
c) Cuando el punto P se aproxima a C, la cónica se transforma en una hipérbola y se
asemeja cada vez más a dos rectas conforme P se acerca a C. En el espacio, este hecho
podría interpretarse de la manera siguiente: cuando P se aproxima a C, se estaría
aproximando al eje del cono y por
ello el plano π 2 estaría determinando una sección
hiperbólica sobre el cono. Cuando P coincide con C, el eje del cono pertenecería al plano π 2
y por lo tanto π 2 pasaría por el vértice del cono y sería perpendicular al plano π 3 ; en ese
momento π 2 cortaría al cono en dos rectas. Así se explicaría porqué cuando P se acerca a C,
la cónica trazada sobre π 1 se asemeja cada vez más a dos rectas.
Con base en estas consideraciones y procediendo de nuevo por análisis, supóngase que
existe
un
dispositivo
tridimensional,
con
las
características
conjeturadas
en
las
consideraciones a), b) y c) que genera cónicas al seccionar un cono y cuya proyección sobre
el plano π 1 es el conígrafo descrito en la Sección 3. De aquí en adelante tal dispositivo se
llamará conígrafo espacial.
La Figura 16 muestra el conígrafo tal como ha sido descrito en la sección 3, mientras
que en la Figura 17 puede verse el aspecto que adquiriría visto en tres dimensiones. En esta
última Figura se ha trazado un segmento CC´ normal a π 1 , que sería el posible eje del cono.
Aunque en este momento no se sabe con precisión cómo es el aparato tridimensional que se
busca, visto desde C´ en la Figura 17, luciría como en la Figura 16.
Figura 16
Figura 17
Como el plano de c y el de c´ son paralelos y la proyección de c´ sobre π 1 es el círculo c
(ver la consideración a), la Figura 18 muestra una posible configuración de los círculos c, c´
y los planos π 1 y π 2 . El círculo c´ y un punto tomado como vértice son suficientes para
definir un cono, aunque no se sabe a qué altura tomar este círculo y dónde tomar el vértice.
La consideración b) sugiere que el vértice debiera estar sobre el segmento CC´ o su
prolongación.
Figura 18
Como se ha visto en la sección 3, el punto Q se mueve sobre el círculo c; si ahora se
piensa que Q es la proyección sobre π 1 de un punto Q´ que se mueve en el espacio,
entonces la información que se tiene sobre Q´ es muy vaga. Si Q´ al moverse en el espacio
su proyección Q describe un círculo en π 1 , entonces Q´ debe moverse sobre la superficie
del cilindro definido por los círculos c y c´, pero como puede verse en la Figura 19, la curva
descrita por Q´ ni siquiera tendría que ser cerrada.
Figura 19
Sin embargo se tiene interés en que el plano π 2 de la Figura 18 genere una cónica
seccionando un cono, entonces parece conveniente restringir el movimiento de Q´ al plano
π 2 , para que se mueva sobre la elipse definida por la intersección entre π 2 y el cilindro
definido por c y c´. Esto permitiría reproducir el conígrafo completamente, pero ahora
sobre el plano π 2 (ver Figura 20). En esta reproducción la elipse de corte jugará el papel que
juega el círculo c en el graficador construido sobre π 1 , el punto R´ (el simétrico a Q´ con
respecto a la recta PC´) tendrá como proyección sobre π 1 al punto R, mientras que el punto
P será común a π 1 y π 2 . Como los puntos Q´, R´ y C´ en π 2 se proyectan sobre π 1 en los
puntos Q, R y C respectivamente y P es común a ambos planos, entonces las rectas P´Q´ y
R´C´ de π 2 se proyectan en las rectas PQ y RC de π 1 ; por lo tanto el punto S´ (intersección
de las rectas P´Q´ y R´C´) se proyectará en S.
Figura 20
Al pedir a Cabri el “Lugar geométrico” del punto S´ cuando Q´ se mueve sobre la elipse,
se obtiene una curva plana en el espacio, que tiene apariencia de cónica, como lo muestra la
Figura 20.
Si la curva trazada por el conígrafo espacial es realmente una cónica, entonces debiera
existir un cono, una de cuyas secciones planas es esta curva. De nueva cuenta se acude a la
exploración del conígrafo para buscar información sobre la posible posición de este cono.
El trazo de la parábola con el conígrafo contiene una información clave: Al trazar una
parábola, la distancia de C a P es el doble del radio de c, como lo muestra la Figura 21. Para
esa misma posición de P, el conígrafo espacial debiera también trazar una parábola; para
hacerlo, el plano π 2 debiera ser paralelo a una de las generatrices del cono. Pero, como se
puede ver en la Figura 22, donde el cilindro truncado ha sido dibujado de perfil, la única
posibilidad de que el plano π 2 sea paralelo a una de las generatrices del cono es que su
vértice V, se localice a la mitad de la altura del cilindro. Si V está sobre CC´, cualquier
posición del vértice distinta al punto medio de CC´, obliga a que la recta que pasa por P y la
generatriz de la Figura 22 se intersecten. Entonces el cono buscado tiene a V como vértice
y a los círculos c y c´como bases.
Figura 21
Figura 22
Un elemento para confirmar que el cono buscado es el de la Figura 22, lo proporciona de
nuevo el conígrafo, pues cuando P se “Arrastra” hasta quedar sobre el círculo c, se traza
una hipérbola tangente a c, lo cual resulta consistente con el cono encontrado, como puede
concluirse de la comparación entre las Figuras 23 y 24.
Figura 23
Figura 24
No deja de ser sorprendente, que el cilindro utilizado en la construcción para determinar
el cono, no tenga una altura específica.
De acuerdo con las conclusiones extraídas hasta ahora, el conígrafo espacial, se vería
como en la Figura 25, en la que se muestra que efectivamente el conígrafo está seccionando
el cono encontrado. Aunque resta demostrar desde luego que el punto S´ del conígrafo
espacial, se mantiene siempre sobre el cono propuesto. A esta demostración está dedicada
la sección siguiente.
Figura 25
5. Una demostración de que el conígrafo espacial secciona un cono.
La demostración presentada aquí está basada en la Figura 26, consiste esencialmente en
demostrar que el punto S´ está siempre sobre el cono propuesto y toma en cuenta desde
luego la demostración dada en la Sección 3. En esta Figura se han trazado sobre el plano
π 1 , las rectas auxiliares n y m paralelas a l por C y P respectivamente y también la recta
auxiliar ñ, paralela a k por S. Los segmentos CC´, QQ´, RR´ y NN´ son todos normales al
plano π 1 y V es el punto medio del segmento CC´.
Figura 26
La demostración consistirá simplemente en probar que los triángulos S´SR y VCR son
semejantes. Como los puntos R, V, C, S y S´ pertenecen al mismo plano, esta semejanza
implica que R, V y S´ son colineales y por lo tanto el punto S pertenecerá siempre a una de
las generatrices del cono, a saber la prolongación del segmento RV, y en consecuencia S´
estará siempre sobre el cono propuesto. Al moverse Q´ sobre la elipse centrada en C´ la
recta PQ´ permanecerá en el plano π 2 , por lo tanto S´ pertenecerá siempre al plano π 2 ,
entonces S´ estará siempre en la intersección de π 2 y el cono propuesto y por lo tanto la
curva que describirá es una sección del cono.
La demostración de la semejanza de los triángulos S´SR y VCR es como sigue:
SS´ SS ´
=
CV NN´
Pues CV=NN´ debido a que V es el punto medio de CC´
y CC´=2NN´. Esta última igualdad se desprende de la
semejanza entre C´CT y N´NT y de que su razón de
semejanza es 2. La semejanza se debe a que, por
construcción CC´ y NN´ son paralelos. Además como l,
m y n son paralelas y M es el punto medio de CP,
entonces N es el punto medio de CT y por lo tanto la
razón de semejanza entre los triángulos C´CT y N´NT
es 2.
=
ST
NT
Puesto que los triángulos S´ST y N´NT son semejantes.
Esta semejanza se debe a que NN´ y SS´ son paralelos,
puesto que ambos son normales al plano π 1 ; el primero
de ellos por construcción y el segundo porque es la
intersección de dos planos perpendiculares a π 1 , a saber
los planos a los que pertenecen los triángulos C´CT y
Q´QP respectivamente.
=
SN + NT SN
=
+1
NT
NT
Sustituyendo ST por SN+NT y dividiendo.
=
SL
+1
LU
Porque STU y SNL son semejantes. Esta semejanza es
una consecuencia directa del paralelismo entre las rectas
l y n.
=
SL
+1
CM
Pues LU=CM. Esta igualdad se desprende de las
igualdades
CM=MP
y
LU=MP;
la
primera
es
consecuencia directa de que M es el punto medio CP y
la segunda de que l y n son paralelas y también lo son k
y ñ.
=
SC
+1
CR
Pues SCL y CRM son semejantes, como se ha
demostrado en la Sección 3.
Luego
=
SC CR
+
CR CR
Expresando el número uno, como
=
SR
CR
Sumando
CR
CR
SS´ SR
SS´ CV
=
es decir
=
y como los triángulos S´SR y VCR son rectángulos,
CV CR
SR CR
entonces por el criterio LAL, se tiene que S´SR y VCR son semejantes como se quería
demostrar.
Comentarios finales
La potencia exploratoria de Cabri ha sido aprovechada en este trabajo, no solamente para
explorar el conígrafo y las propiedades de las curvas que traza, sino además como
herramienta auxiliar en la búsqueda de las demostraciones y como un apoyo para construir
una generalización espacial de este conígrafo. Sin embargo, no se sugiere aquí la
reproducción en algún curso de la secuencia de exploraciones, conjeturas y resultados
expuestos. De hecho este artículo no contiene, prescripción didáctica alguna; se plantea
simplemente una posibilidad de utilizar las nuevas tecnologías para restablecer la conexión
existente entre las ideas presentes en la génesis de la noción de cónica y las versiones
exclusivamente planas que pueden encontrarse en algunos libros de texto de geometría
analítica.
Para concluir, se puntualizan algunas peculiaridades de las curvas trazadas por el
conígrafo y se hacen algunas precisiones sobre las relaciones entre este aparato y
el
conígrafo espacial construido:
1. Aunque Cabri pudiera no detectarlo, los vértices de las cónicas nunca son trazados
por el conígrafo. Esto se debe a que cuando Q coincide con R, las rectas PQ y RC
coinciden, por lo cual el punto de intersección no es único y por lo tanto no queda definido.
Por ello en la demostración analítica del Apéndice se excluye la posibilad de que senθ =0.
2. En el conígrafo, cuando P se aproxima a C la cónica pareciera aproximarse cada vez
más a dos rectas y cuando P coincide con C, el lugar geométrico simplemente desaparece.
Un problema interesante consiste en tratar de explicar lo que sucede con la cónica cuando P
se mueve en una vecindad de C suficientemente pequeña. Esta explicación puede darse
desde varios puntos de vista:
a) Si se analiza el funcionamiento del conígrafo, resulta claro que cuando P coincide
con C, la cónica se transforma en el punto C, porque en esta situación, cuando Q se mueve
sobre c, C es el único punto de intersección entre las rectas PQ y RC.
b) Si se observa la ecuación r =
ab
encontrada en el Apéndice para la cónica,
a + 2b cos ϕ
cuando P coincide con C, se tiene a=0 y por lo tanto r=0; es decir la cónica se transforma
en un punto, lo cual es consistente con el punto vista expuesto en el inciso anterior.
c) El conígrafo espacial resulta más esclarecedor al respecto: cuando P se mueve sobre
k, la única posición de P en la que π 2 corta al cono en dos rectas se presenta cuando P y C
coinciden, porque es la única posición de P donde el eje del cono queda contenido en π 2 .
Esto explica porqué cuando P está suficientemente cerca de C, las secciones de π 2 sobre el
cono son hipérbolas, que se parecen cada vez más a estas dos rectas. Esto significa que las
cónicas trazadas por el conígrafo nunca son dos rectas, aunque la construcción en Cabri
pudiera aparentar otra cosa.
3. En Santos (2001) se presenta otra versión del conígrafo en la que el círculo c ha sido
sustituido por una elipse. Una explicación de por qué el conígrafo sigue funcionando
después de hacer este cambio (en el sentido de que sigue trazando cónicas) puede
encontrarse en la construcción del conígrafo espacial, donde pueden distinguirse dos
conígrafos planos, uno sobre π 1 en el que Q se mueve sobre un círculo y otro sobre π 2 en el
que Q´ se mueve sobre una elipse (ver Figura 20).
4. Resulta natural conjeturar que si el conígrafo funciona al sustituir el círculo c por
una elipse, podría funcionar también al sustituir c por cualquier otra cónica. Esta conjetura
parece cierta, pero recuérdese que las elipses sobre π 2 en el conígrafo espacial provienen de
seccionar un cilindro y estas secciones solo pueden ser círculos, elipses o dos rectas. Esto
quiere decir que aunque el conígrafo siga funcionando, por ejemplo, al sustituir c por una
hipérbola,
el
conígrafo
espacial
construido
aquí
no
alcanzaría
a
explicar
este
funcionamiento.
5. Para construir el conígrafo espacial se ha considerado un cilindro con ciertas
características, pero de altura arbitraria. Esto significa que al variar la altura del cilindro el
cono se modifica y la cónica trazada sobre π 2 también cambia, pero la
proyección
ortogonal de esta cónica sobre π 1 permanece invariante. Esto quiere decir que cada cónica
trazada por el conígrafo puede interpretarse como la
representante de una familia infinita
de cónicas, a saber todas aquellas generadas sobre π 2 al variar la altura del cilindro.
Apéndice. Una demostración analítica de que el lugar geométrico es una cónica
Se presenta aquí una demostración, con herramientas de la geometría analítica, de que las
curvas trazadas por el conígrafo, son cónicas.
Para la demostración se ha hecho coincidir el punto C con el origen de coordenadas y la
recta k con el eje de las abscisas. Si b > 0 es el radio del círculo, a la distancia del punto P
al origen y θ el ángulo formado por el segmento CQ con la parte positiva del eje X;
entonces las coordenadas de P, Q y R serán (a,0), (bcosθ, bsenθ) y (bcosθ, -bsenθ)
respectivamente. Ver Figura 27.
Figura 27
Para demostrar que la curva trazada es una cónica, se requiere probar que, cuando el
punto Q se mueve sobre c, el punto S pertenece a una cónica, esto es, que sus coordenadas
satisfacen la ecuación de una cónica. Para tal efecto se encontrará primero una expresión
algebraica para cada una de las dos rectas que se intersectan en S.
La recta que pasa por los puntos P y Q tiene como ecuaciones paramétricas:
x = a + at − bt cos θ
−∞ <t <∞
(1)
y = −btsenθ
Mientras que las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por R y C son:
x = bu cosθ
−∞ <u< ∞
(2)
y = −busen θ
Como S es el punto de intersección de estas rectas, sus coordenadas deben satisfacer (1)
y (2), por lo tanto:
a + at − bt cos θ = bu cos θ
− btsenθ = −busen θ
(3)
(4)
Como b ≠ 0 , si senθ ≠ 0 , se obtiene de (4) t = u . Sustituyendo u por t en (3) y
despejando t, se obtiene t =
−a
. Con este valor de t pueden obtenerse las
a − 2b cos θ
coordenadas de S, a partir de las ecuaciones (1) o de las ecuaciones (2); tomando por
ejemplo, las ecuaciones (1), se tiene:
x= a −
a2
ab cosθ
+
a − 2b cosθ a − 2b cos θ
=
− ab cos θ
a − 2b cosθ
(5)
y=
absenθ
a − 2b cosθ
(6)
Para escribir las coordenadas de S en términos a, b y su argumento, obsérvese que si ϕ
es el argumento de S, entonces θ = π − ϕ (ver Figura 27); las ecuaciones (5) y (6), pueden
escribirse entonces como:
x=
ab cos ϕ
a + 2b cos ϕ
(7)
y=
absenϕ
a + 2b cos ϕ
(8)
Si (r, ϕ ) son las coordenadas polares de S, entonces
x2 + y2
r=
2
 ab cos ϕ   absenϕ 
 + 

= 
 a + 2b cos ϕ   a + 2b cos ϕ 
=
ab
a + 2b cos ϕ
2
(9)
Si a ≠ 0 , la ecuación (9) puede escribirse como
r=
b
2b
1 + cos ϕ
a
(10)
Entonces S satisface siempre la ecuación (10), que es la ecuación de una cónica general
en coordenadas polares (véase Lehmann, 1972, pp. 256-259); que es simétrica con respecto
al eje de las abscisas, puesto que cos ϕ = cos( −ϕ ) .
La ecuación (10) puede traducirse sin grandes dificultades a coordenadas cartesianas,
adquiriendo el aspecto siguiente:
( a 2 − 4b 2 ) x 2 + a 2 y 2 + 4ab 2 x = a 2 b 2
que no contiene término lineal en y, lo cual indica que se trata de una cónica simétrica con
respecto al eje de las abscisas.
Referencias
Bartolini, B. M. (1999). Museo Universitario di Storia Naturale e della Strumentazione
Scientifica Università degli studi di Modena e Reggio Emilia. Disponible en:
http://www.museo.unimo.it/theatrum/ [2002, Mar. 05].
Bartolini, B. M., (2001). The Geometry of Drawing Instruments: Arguments for a
didactical use of real and virtual copies. Cubo Matemático Educacional, 3, 27-54.
Descartes, R. (1637). La Géométrie [Traducido del Francés y el Latín por Smith, E &
Latham, M. (1954)] Dover: New York.
Hoyos, V., Capponi, B. & Geneves, B. (1999). Simulation of Drawing Machines on
Cabri-II and its Dual Algebraic Symbolisation: Descartes Machine & Algebraic
Inequality. En I, Schwank (Ed.) Proceedings of the First Conference of the European
Society
in
Mathematics
Education,
2,
146-158.
Disponible
en:
http://www.erme.uni-osnabrueck.de/erme98.html/ [2002, Mar. 05].
Jackiw, N. (1995). The Geometer´s Scketchpad Version 3 (software), Berkeley: Key
Curriculum Press.
Laborde, J.-M., & Bellemain Y. (1994) Cabri Géomètre II (software), LSD-IMAG/Texas
Instruments.
Lehmann, Ch. (1972). Geometría Analítica. México: Uthea.
Santos, M. (2000). Students Approaches to the Use of Technology in Mathematical
Problem Solving. En Hitt, F. (Ed.) Representations and Mathematics Visualization
(1998-2000) PME/NA, 112-130.
Santos, M. (2001). Potencial Didáctico del Software Dinámico en el Aprendizaje de las
Matemáticas. Avance y Perspectiva, 20, México: Cinvestav, 247-258.