Matemáticas 1 - Gran Tarea 1

Matemáticas 1 - Gran Tarea 1
Miriam Núñez - Vı́ctor Mireles
A entregar el 18 de Septiembre, en equipos de no más de tres
personas.
De los experimentos que Mendel publicó en 1865, tomaremos tres razgos
de las plantas de chicharos y formaremos conjuntos de alelos correspondientes a cada uno:
Color de flor: F = {b, v} b: blanco v: violeta
Forma de la semilla: S = {l, r} l: liso r: rugoso
Tamaño del tallo: T = {x, c} x: largo c: corto
Problema 1
Escribe los elementos y la cardinalidad de:
F ×F
A ⊂ F × F donde A es el subconjunto de pares de alelos que darán
como resultado una flor violeta
B ⊂ F × F donde A es el subconjunto de pares de alelos que darán
como resultado una flor blanca
Problema 2
Si suponemos que un fenotipo está dado solo por estos tres razgos, determina cual de los siguientes conjuntos contiene todos los posibles fenotipos y
escribe sus elementos.
F ∪S∪T
F ∩S∩T
F ×S×T
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Problema 3
A continuación se especifican conjuntos A y B y conjuntos F ⊂ A × B,
diga en que casos, el conjunto F representa una función. En caso contrario,
explique por qué.
A = {conjunto de paises existentes en el mundo}
B = {conjunto de humanos que han nacido en el siglo XX}
F = {(a, b) | b ha sido presidente de a}
A = {conjunto de humanos que han nacido en el siglo XX}
B = {conjunto de paises existentes en el mundo}
F = {(a, b) | a ha sido presidente de b}
A = {Phyla del reino animal}
B = {alas,ojos,escamas,huesos,plumas}
F = {(a, b) | a contiene especies que presentan b}
A = {alas,ojos,escamas,huesos,plumas}
B = {Phyla del reino animal}
F = {(a, b) | b contiene especies que presentan a}
Problema 4
Sea N = {0, 1, 2, 3, . . .} el conjunto de números naturales, y sea f : N → N
la función que relaciona cada número con el último dı́gito que lo compone.
Por ejemplo, al 5 le asgina el 5, al 195092 el 2 y al 139111 le asigna el 1.
Diga cuales son las imágenes de los siguientes subconjuntos de N.
{n|n es par}
{n|n es menor a 100}
{n|n es un múltiplo de 3}
Problema 5
Dé la descripción de un conjunto (algo del tipo {aka cumple tal propiedad})
A que cumpla todas las siguientes propiedades:
A⊂Q
∀a ∈ A − 3 ≤ a ≤ −1
−3 ∈ A
#A = ∞
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Problema 6
Supongamos una población de tamaño fijo donde todos los individuos
son monógamos y heterosexuales. Si el 54 % son mujeres, y se han formado
el máximo número de parejas:
¿Qué porcentaje de las mujeres ha quedado sin pareja?
¿Qué porcentaje de la población ha quedado sin pareja?
Si se han formado 4, 167 parejas, ¿cuál es el tamaño total de la población?
Problema 7
Supongamos una tasa de errores de replicación del ADN de 0,005 y que
en una célula no se activa el mecanismo de apoptósis mientras el daño en
el ADN sea menor a 0,1 %, independientemente de los sitios en donde se
presenten los errores.
¿Bajo estas suposiciones, cúantas replicaciones puede tener la célula
antes de que este mecanismo se active?
Si se duplicara el tamaño del genoma ¿Cúantas replicaciones más
podrı́an llevarse acabo?
Problema 8
Para dos números a y b decimos que a es más pequeño que b si a < b.
Si a > b decimos que a es más grande que b. Decimos que un conjunto B es
acotado si existen dos números l y u tal que ∀x ∈ B l < x < u, es decir, si
todos sus elementos están entre l y u.
Determina cuales de las siguientes afirmaciones son correctas. Justifica tu
respuesta. En caso de una respuesta negativa, un contraejemplo es suficiente.
Todo conjunto de números naturales tiene un elemento más pequeño
Todo conjunto de números naturales tiene un elemento más grande
Todo conjunto acotado de números reales tiene un elemento más grande
Todo conjunto acotado de números naturales tiene un elementos más
pequeño
Todo conjunto de números reales tiene cardinalidad infinita
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Problema 9
Dé la ecuación de una recta que pase por los puntos a = (1, 3) y
b = (8, 1).
Calcule la intersección de esta recta con los ejes coordenados. Llamemos p al punto donde intersecta al eje X y q al punto donde intersecta
al eje Y .
Calcule el area del triángulo formado por p, q y el punto (0,0)
¿Hasta dónde tenemos que subir el punto a (manteniendo fijo el punto
b), para que al area sea igual a 100 unidades cuadradas?
Problema 10
Pruebe por inducción cada una de las siguientes proposiciones
Para todo número natural n, se cumple que 3n > 2n
La suma de los primeros n cuadrados es igual a 61 n(n + 1)(2n + 1)
La suma de los primeros n cubos es igual a 41 n2 (n + 1)2
Problema 11
Pregunta individual, su tarea debe incluir la respuesta de cada
integrante por separado
Haga un ensayo de una cuartilla basado en ”Four Complications in Understanding the Evolutionary Process”de Richard Lewontin. Este artı́culo
está disponible en la página del curso.
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