Trabajo definitivo

Técnicas de refinamiento y multimalla para la
simulación de dispositivos de lectura magnética 1
Iñigo Arregui, J. Jesús Cendán, Carlos Vázquez
Dpto. de Matemáticas, Universidad de A Coruña
arregui@udc.es, suceve@udc.es, carlosv@udc.es
Resumen
En este trabajo se presentan técnicas de refinamiento para la resolución numérica de modelos de Reynolds compresible que gobiernan la presión del aire en la
capa delgada que separa la pieza lectora de la que contiene la información en
dispositivos de lectura magnética. La presencia de fuertes gradientes en la presión en ciertos regı́menes de funcionamiento o la existencia de ranuras en la
cabeza lectora aconsejan el uso de estas técnicas para la simulación más precisa
del comportamiento mecánico de los dispositivos.
Sección en el CEDYA 2011: MAI Modelización y Aplicaciones a la Industria
1
Introducción
En los dispositivos de lectura magnética la separación entre la cabeza lectora
y el lugar donde se almacena la información tiene un efecto determinante en la
calidad de la señal que se recibe. En la Figura 1 se presenta un esquema de un
dispositivo genérico, en el que la cinta se mueve con cierta velocidad por encima
de la cabeza lectora, separadas ambas por una delgada capa de aire.
Cuando los dispositivos de almacenamiento son relativamente rı́gidos (el disco duro de un ordenador, por ejemplo) el problema mecánico, que determina
la presión del aire entre los dispositivos de lectura y de almacenamiento de la
información, se enmarca en la teorı́a de lubricación hidrodinámica y se puede
modelar mediante la ecuación de Reynolds compresible [4]. En concreto, la presión p del aire, que actúa como lubricante entre el dispositivo de almacenamiento
y la cabeza lectora, es solución de la ecuación:
3
∂
h p
∇p = 6
(V ph) , en Ω,
∇·
η(p)
∂x1
donde h representa la separación entre la cabeza lectora y el dispositivo de
almacenamiento, V es la velocidad de desplazamiento de la cinta y η es la
viscosidad efectiva. La ecuación se completa con una condición de contorno de
tipo Dirichlet, que impone una presión atmosférica en los bordes del dominio
rectangular y bidimensional Ω, que resulta de proyectar la cabeza sobre el plano
x1 x2 (ver Figura 1).
1 Trabajo parcialmente financiado por el MICINN (Proyecto MTM2010–21135–C02-01) y
la Xunta de Galicia (Proyecto INCITE09105339PR).
Figura 1: Esquema de un dispositivo de lectura magnética
En la construcción del modelo se supone que la velocidad de la cinta es
constante, se desprecian los efectos de la tensión superficial y se asume que el
aire se comporta como un gas perfecto, en el sentido de que la densidad es
proporcional a la presión. Se considera que la anchura de la capa de fluido es
muy pequeña comparada con las otras dimensiones. Además, se desprecian las
fuerzas inerciales comparadas con las fuerzas debidas a la viscosidad.
El análisis matemático del modelo de Reynolds compresible se ha desarrollado en un marco más general en el trabajo de [5], donde se estudian distintos
modelos en función del orden del espesor de la capa de aire. En cuanto a la
resolución numérica, en [1] se propone un método numérico basado en operadores maximales monótonos para tratar el término no lineal de difusión, que
surge al sustituir la expresión de la viscosidad efectiva en función de la presión. Este método se combina con un esquema de discretización en tiempo de
caracterı́sticas para tratar adecuadamente el aspecto de convección dominante,
creando un problema evolutivo artificial. Se usan elementos finitos para la discretización espacial. Esta estrategia conjunta ha mostrado buenos resultados en
el caso de funciones h regulares. No obstante, en algunos dispositivos, se introducen ranuras (slots) para reducir la separación y mejorar las condiciones de
lectura [7]. El análisis matemático de los modelos en presencia de funciones h
con discontinuidades se ha analizado en [8] y algunas experiencias numéricas se
muestran en [10].
En el presente trabajo proponemos un método de refinamiento adaptativo
combinado con las técnicas desarrolladas en [1] y una estrategia de tipo multimalla algebraico para la resolución de los sistemas lineales asociados al problema
discretizado resultante en cada etapa del algoritmo de dualidad.
2
Formulación variacional
La formulación variacional del denominado problema hidrodinámico consiste en
encontrar p ∈ Va tal que:
Z
γh2 ∇p + h3 p∇p ∇ϕ + 6V ηa
Ω
Z
Ω
∂
(ph)ϕ = 0,
∂x1
∀ϕ ∈ V0
(1)
donde Ω = (l1 , l2 ) × (0, l2 − l1 ) representa el dominio rectangular bidimensional
de nuestro problema y los espacios y conjuntos funcionales son:
Va
=
{ϕ ∈ H 1 (Ω)/ϕ = pa en ∂Ω},
V0
=
{ϕ ∈ H 1 (Ω)/ϕ = 0 en ∂Ω}.
Bajo ciertas hipótesis [6], se puede probar la existencia y unicidad de solución
de nuestro problema hidrodinámico, ası́ como la existencia de cotas de la misma.
En concreto, si h ∈ L∞ (Ω) y 0 < hmin ≤ h ≤ hmax < ∞, entonces el problema
(1) tiene una única solución, p ∈ Va , tal que:
0 ≤ p ≤ R0
donde:
R0
K
s∗
3
2
máx{2pa , 2h−3
min (2K | Ω | hmax − γhmin )},
∗
1
|| Ω ||1/2 s∗ 21/(s −2) ,
=
2
p
= 2 + ln(2) + 4 ln(2) + (ln(2))2 .
=
Resolución numérica
Para abordar la resolución numérica del problema (1), primeramente realizamos
el reescalado de las coordenadas y variables que intervienen. Ası́, definimos
P =
p
,
pa
H=
h
,
hm
X1 =
x1
,
l
X2 =
x2
,
l
de modo que el dominio para el problema adimensionalizado resulta
Ω = (L1 , L2 )×(0, L2 − L1 ) ,
donde Li = li /l,
i = 1, 2.
El problema hidrodinámico adimensionalizado consiste en encontrar P tal que:
∂
(P H) − α∇ · H 2 ∇P − β∇ · H 3 P ∇P = 0
∂X1
P =1
en
∂Ω.
en Ω
(2)
(3)
En [1] se propone un algoritmo para su resolución numérica, que incluye una
discretización mediante el método de caracterı́sticas combinado con elementos
finitos, un algoritmo de dualidad para la difusión no lineal y un esquema de
punto fijo para el caso en que el dispositivo de lectura sea flexible y el problema
hidrodinámico se acople con un modelo elástico. La discretización temporal
mediante caracterı́sticas introduce un paso de tiempo artificial k y el término
χk , como se detalla en [1]. Por brevedad, presentamos a continuación el método
de dualidad que se aplica en cada iteración en tiempo m, utilizando este ı́ndice
sobre las funciones para indicar el instante de tiempo al que se refieren. En el
algoritmo de dualidad se introduce el operador maximal monótono
0
si P > 0
f (P ) =
(4)
P 2 si P ≥ 0
Además, dado ω > 0, introducimos como nueva incógnita el multiplicador θm+1 :
θm+1 = f (Pm+1 ) − ωPm+1 = (f − ωI)(Pm+1 )
de modo que:
f (Pm+1 ) = θm+1 + ωPm+1 ,
∇(f (Pm+1 )) = ∇θm+1 + ω∇Pm+1 .
Entonces en cada paso de tiempo, se plantea encontrar (Pm+1 , θm+1 ), solución del problema no lineal:
Z
Z
Z
βω
H 3 ∇Pm+1 ∇ϕ =
Pm+1 H ϕ + kα
H 2 ∇Pm+1 ∇ϕ + k
2 Ω
Ω
Ω
Z
Z
kβ
k
((Pm H) ◦ χ )ϕ −
H 3 ∇θm+1 ∇ϕ ,
∀ϕ ∈ V0
(5)
2 Ω
Ω
θm+1 = f (Pm+1 ) − ωPm+1
(6)
Teniendo en cuenta un lema que aparece en [3],
θm+1 = f (Pm+1 ) − ωPm+1
⇐⇒
θm+1 = fλω (Pm+1 + λθm+1 ) ,
donde fλω es la aproximación Yosida de f − ωI y se toma 2λω = 1 para la
convergencia del algoritmo. De este modo, podemos reemplazar (6) por su expresión equivalente y establecer un algoritmo de punto fijo entre las ecuaciones
(5) y (6), resolviendo en cada iteración un problema lineal (5) para actualizar
la presión con un multiplicador conocido y dado por (6).
Para la discretización espacial empleamos elementos finitos de tipo Lagrange
afines por triángulo, es decir, los definidos por el espacio
Vh = {ϕh ∈ C 0 (Ω) / ϕh |E ∈ P1 , ∀E ∈ τh }
donde E denota un triángulo genérico de la malla.
Bajo ciertas condiciones operativas y para geometrı́as especı́ficas del dispositivo se necesitan mallas muy finas con el objetivo de captar los altos gradientes
locales de presión. Además, si la cabeza lectora presenta ciertas ranuras o slots
(diseñadas en dispositivos reales para mejorar las condiciones de lectura), la
función h que define la separación entre cinta y cabeza lectora no es continua
y una malla uniforme no resulta lo más adecuado. Por ello, en este trabajo
introducimos técnicas de refinamiento adaptativos en aquellas zonas en las que la
separación y/o la presión presenta fuertes gradientes. En cada nivel se refinan los
elementos de la malla en los que el gradiente de presión es más elevado. Por otro
lado, además del refinamiento, la resolución de los sistemas de ecuaciones lineales
resultantes se efectúa mediante un algoritmo multimalla algebraico, análogo en
el propuesto por Hoppe [9] para problemas de tipo obstáculo resueltos con
algoritmos de dualidad.
4
Resultados numéricos
Para verificar el buen funcionamiento de las técnicas propuestas, en primer
lugar se resolvieron algunos ejemplos con solución analı́tica conocida. A continuación se realizaron ejemplos más realistas, correspondientes a dispositivos
con cabeza plana o cilı́ndrica. Finalmente, se introdujeron ranuras en la cabeza
lectora. Como ejemplo de este último caso, se consideraron los siguientes datos
de parámetros adimensionales:
α = 3×10−3 ,
β = 3×10−3
y la siguiente separación escalada de la cabeza lectora y la cinta:


1,2
H(X1 , X2 ) = 1,2


1 + (X1 − 0,5)2
si (X1 , X2 ) ∈ (0,2, 0,4) × (0,475, 0,525)
si (X1 , X2 ) ∈ (0,6, 0,8) × (0,475, 0,525) (7)
en otro caso
La Figura 2 muestra la gráfica de la función H definida en (7) y correspondiente a una cabeza lectora de tipo cilı́ndrico, con dos slots en la dirección de
la generatriz del cilindro.
En la Figura 3 mostramos una de las mallas que surgen en el proceso iterativo de refinamiento. Empleamos una técnica de refinamiento adaptativo para
refinar en las zonas de fuertes gradientes de presión y separación. En la Figura
4 se presenta el valor de la presión obtenida, se puede observar como la zona
de refinamiento coincide con la de mayores gradientes de presión y separación,
ası́ como el aumento de presiones en las zonas de geometrı́a convergente y la
caı́da en las zonas divergentes. Además, en este ejemplo se ha utilizado la variante propuesta en [2] con parámetros funcionales w en el algoritmo de dualidad,
por simplicidad en la exposición hemos descrito el caso clásico de parámetros
constantes.
Bibliografı́a
[1] I. Arregui, J. J. Cendán, C. Vázquez, Numerical simulation of head/tape magnetic
reading devices by a new 2-D model, Finite Elements in Analysis and Design, 43 (2007)
311-320.
[2] I. Arregui, J. J. Cendán, C. Parés, C. Vázquez, Numerical solution of a 1-d elastohydrodynamic problem in magnetic storage devices, Mathematical Modelliing and Numerical
Analysis, 42 (2008) 645-665.
Figura 2: Separación entre una cabeza lectora con dos ranuras y la cinta, definida
por la función (7)
[3] A. Bermúdez, C. Moreno, Duality methods for solving variational inequalities, Computers and Mathematics with Applications, 7 (1981) 43–58.
[4] B. Bhushan, Tribology and Mechanics of Magnetic Storage Devices, Springer, New York
1996.
[5] G. Buscaglia, S. Ciuperca, M. Jai, Existence and uniqueness for several nonlinear elliptic problems arising in lubrication theory, Journal of Differential Equations, 218 (2005)
187-215.
[6] J.J.Cendán, Estudio matemático y numérico del modelo de Reynolds–Koiter y de los
modelos tribológicos en lectura magnética. PhD Thesis, University of Vigo, 2005.
[7] A. Friedman, Mathematics in Industrial Problems. 7., Springer, New York, 1995.
[8] A. Hoppe, J.I. Tello, Head-media interaction in magnetic recording, Journal of Differential Equuations, 171 (2001) 443-461.
[9] R.W.H. Hoppe, Multigrid Methods for Variational Inequalities, SIAM Journal on Numerical Analysis, 24 (1987) 1046-1065.
[10] Y. Wu, F. E. Talke, A finite element simulation of the two-dimensional head/tape
interface for head contours with longitudinal bleed slots, Tribology International, 33
(2000) 123–130.
Figura 3: Ejemplo de malla obtenida en el proceso de refinamiento durante la
resolución numérica
Figura 4: Presion obtenida en la simulación numérica del ejemplo descrito