Propicie la reversibilidad del pensamiento, si ya enunció que la

Anota las figuras del ejercicio de la página anterior, en las que el ángulo
inscrito y el ángulo central interceptan al mismo arco. ____________
Utilice ejemplos en los que se utilicen las medidas
de los ángulos con números decimales, por ejemplo, 60.5º.
B
A
¿Como se llaman los ángulos dibujados en la figura? _____________
¿Qué arco interceptan todos esos ángulos? El arco _______________
Explique que el ángulo está formado por 60’ (sesenta minutos).
Ahora dibuja un círculo de diámetro 5 cm en una hoja de papel y marca
un arco igual al de la figura anterior. Dibuja un ángulo central que
intercepte el arco marcado. Luego recorta el ángulo central y coloca el
vértice del ángulo sobre el centro del círculo de la figura anterior.
Si haces que uno de los lados pase por el punto A, ¿el otro lado pasa
por el lado B? _______
Ahora dobla el ángulo central de manera que sus lados coincidan. El
doblez es exactamente la bisectriz del ángulo, y por lo tanto lo divide en
dos ángulos iguales. La medida de esos nuevos ángulos es exactamente
la mitad del ángulo central que recortaste.
Explique que los errores en la medición de ángulos son más comunes conforme la circunferencia
es mayor.
Cápsula
la medida del ángulo inscrito
es igual a la mitad de la
medida del ángulo central
correspondiente.
Ahora trata de hacer coincidir ese ángulo con alguno de los ángulos
inscritos de la figura. Lo primero es hacer coincidir el vértice y luego
los lados. ¿Qué observas? ____________________________________
Lo que has observado lo podemos enunciar diciendo que la medida
de un ángulo inscrito es la mitad de la medida del ángulo central que
intercepta el mismo arco que el ángulo inscrito.
Indica la medida del ángulo x usando las siguientes figuras:
A
B
C
D
60º
x
x
=x _____
=x _____
x
=x _____
x
60º
=x _____
líneas del círculo, Ángulos y sectores circulares
Pliego 04.indd 53
53
30/4/08 12:03:49
Página 53
En las figuras B, C, E y F el ángulo inscrito y el ángulo central interceptan
el mismo arco.
Los ángulos de la figura se llaman ángulos inscritos.
Todos interceptan el arco AB.
Sí, ambos lados coinciden porque se trata de la misma circunferencia.
Ese ángulo es la mitad del ángulo de la figura.
El ángulo x mide:
A) ∡x = 45º
B) ∡x = 180º
C) ∡x = 120º
© NuevoMéxico
© NuevoMéxico
Propicie la reversibilidad del pensamiento, si ya
enunció que la medida del ángulo inscrito es la
mitad del ángulo central, entonces ahora pida a
los alumnos que enuncien la relación del ángulo central respecto al inscrito: un ángulo central
mide el doble de la medida del ángulo inscrito
que intercepta el mismo arco.
D) ∡x = 30º
61
Sugerencias didácticas
Otra consecuencia inmediata que ya se ha visto en la sección anterior
es ésta: “un ángulo inscrito que abarque una semicircunferencia es un
ángulo recto”.
Enfatice que los mismos problemas tienen diferentes maneras de solucionarse; el problema de
las construcciones y el del piso del hotel ya habían
sido resueltos con otro procedimiento; lo importante es que se den cuenta de que las razones que
justifican cada paso deben ser lógicas.
X
A
O
B
1
1
En efecto, el ángulo =AXB — =AOB — (180°) 90°
2
2
Observa la figura de la izquierda, nuevamente es el ejemplo de la
página 41. El hotel circular tiene arcos que abarcan ángulos centrales
iguales, así que:
■
D
B
O
=AOB =___________
Considera los triángulos AOB y COD, tienen: OA OB OC OD,
C
A
porque son radios y entonces cumplen el criterio de congruencia
___________ así, los triángulos AOB y COD son congruentes, y en
particular, se tiene que AB ___________
ConstruCCiones
Considera una circunferencia con centro O, radio r y un punto P
fuera de la misma. Se quiere trazar una tangente al círculo que pase
por el punto P.
■
• Se traza una circunferencia con diámetro PO (primero se encuentra el
punto medio M del segmento PO y después se traza la circunferencia
de radio MO, que pasará por el punto P).
• Se denota con A y B las intersecciones de las circunferencias.
• Se trazan las rectas determinadas por PA y PB.
54
Soluciones
Pliego 04.indd 54
líneas del círculo, Ángulos y sectores circulares
30/4/08 12:03:51
Página 54
∡AOB = ∡COD
Se cumple el criterio de congruencia LAL.
62
© NuevoMéxico
© NuevoMéxico
En particular se tiene que AB = CD.
A
3
O
O
P
P
Plantee otro ejercicio como el de la actividad 1,
pero con números fraccionarios. Esto propiciará
que los alumnos practiquen la utilización de fracciones y decimales, y no olviden los algoritmos de
las operaciones básicas de los racionales.
B
A
4
2
O
M
P
O
P
B
B
Observa que OP es un diámetro, así que OAP es de 90° y, por lo tanto,
OA a su vez es un radio que es perpendicular a AP; esta última recta
resulta ser una tangente a la circunferencia que pasa por P. Lo mismo
sucede con PB, así que se tienen dos tangentes desde P.
O
C
A
Dado un triángulo ABC, se quiere trazar una circunferencia que pase
por los vértices, una circunferencia circunscrita al triángulo.
■
• Se trazan las mediatrices de los lados del triángulo. Éstas se intersectan
en un punto que se denota con O.
• Con centro en O, se traza un círculo de radio OA.
B
Nota que el punto O al estar en la mediatriz de AB se encuentra a la
misma distancia de A y de B, pero como el punto O también pertenece
a la mediatriz de BC, está a la misma distancia tanto de B como de C.
Por lo anterior se deduce que O está a la misma distancia de los tres
puntos y por tanto es el centro del círculo que pasa por A, B y C.
O
C
A
aCtiVidades
Resuelve en tu cuaderno y justifica todos los pasos.
1. El dibujo de la derecha representa algunos elementos de una circun­
ferencia en la que AC es un diámetro, P es el centro, PD es una perpen­
dicular a AB, y AB es una cuerda.
C
a) Si AP 10 y si PD 6, encuentra AB.
P
b) Si AC 12 y si PD 3, encuentra AB.
c) Si AB 24 y si PD 5, encuentra AP.
d) Si AC 30 y si AB 24, encuentra PD.
líneas del círculo, Ángulos y sectores circulares
Pliego 04.indd 55
A
D
B
55
30/4/08 12:03:56
Página 55
Actividades
1.a) AB = ∙∙∙∙
102 − 62 = 16
b) AB = 2∙∙∙∙
62 − 32 = 10
c) AP = ∙∙∙∙
122 + 52 = 13
d) PD = ∙∙∙∙∙
152 − 122 = 9
© NuevoMéxico
© NuevoMéxico
1
Dígales que el punto donde se intersectan las mediatrices del triángulo se llama circuncentro, por
ser el centro de la circunferencia circunscrita.
63
Sugerencias didácticas
Puede explicarles también la solución algebraica
para el problema 2:
6 cm
6
Trace un dibujo que represente el triángulo, el plato
y las tres mediatrices, como
se muestra en la figura adjunta, fijándose en el triángulo sombreado.
2. La señora González llevó a la clase de Matemáticas el trozo de un
plato porque quiere saber cuál era el diámetro de éste. Los estudiantes
en una hoja de papel copiaron el triángulo, trazaron mediatrices e
hicieron algunas mediciones:
6 cm
AB 10.4 cm
10.4 cm
x
AC BC 6 cm
¿Cuál es el diámetro del plato? __________________________________
6
O
5.2
3. Los puntos A, B y C están en la circunferencia cuyo centro es P y se
tiene que AB BC AC.
a) ¿Cuánto mide =APB? _____________
x
b) Si PC x, encuentra la distancia desde P al lado AC en función de x.
5.2
C
O
Aplique el teorema de
Pitágoras:
6
8.96 = 2.99 2.99
62 − 5.22 =�� ∙∙∙∙
x =� ∙∙∙∙∙
Luego trace un radio (r)
del centro a un vértice del
triángulo para formar el
triángulo rectángulo azul;
aplique el teorema de Pitágoras:
P
5.2
r
r2.99 6
O
5.2
2.99
r2.99
B
A
trabajo en equiPo
1. En la figura de la izquierda si AD, AC y DB son cuerdas; si E es el
punto de intersección de AC y DB, si =ACD 50° y si =BDC 40°,
¿cuánto vale =DEC?
A
r
O
E
D
B
2. Usa la información de la siguiente figura para calcular el valor de los
ángulos DAC y CDA.
A
B
2x
C
r2 = (r − 2.99)2 + 5.22
r2 = r2 − 5.98r + 8.94 + 27.04
5.98r = 35.98
r = 6.01
B
2x+15
C
A
C
3. Si ED es tangente a la circunferencia en A, si AB es un diámetro y si el
ángulo BPC mide 20°, encuentra el valor de los siguientes ángulos:
P
E
x+25
3x
D
D
a) BAC
b) CAD
d) EAC
e) ABC
c) ACB
El diámetro del plato es 12.01 cm.
56
Soluciones
líneas del círculo, Ángulos y sectores circulares
Pliego 04.indd 56
30/4/08 12:04:00
Página 56
2. Primero se traza un triángulo con las medidas indicadas. Luego
se trazan dos mediatrices, una por cada segmento de 6 cm. A
continuación medimos la distancia que hay desde la intersección
de las mediatrices hasta el vértice del triángulo, ése es el radio. El
diámetro es de 12 cm, aproximadamente.
3. a) ∡
APB es igual a dos veces ∡ACB, y como ∡ACB = 60º porque
se trata de un triángulo equilátero, entonces ∡APB = 120°.
b) Sea D el punto medio de AC, entonces la distancia de P a AC
es PD. Por el teorema de Pitágoras:
x2 = PD2 + DC2
Despejando: PD = ∙∙∙∙∙
x2 − DC2
1. ∡DEC = 180 − 50 − 40 = 90°
2. 2x + x + 25 + 3x + 2x + 15 = 360°
x = 40°
3x 3(40)
=
= 60°
2
2
2x + x + 25
2(40) + 40 + 25
=
= 72.5º
∡CDA =
2
2
∡DAC =
3.a) BAC = 10°
b) CAD = 80°
c) ACB = 90°
e) ABC = 80°
64
© NuevoMéxico
d) EAC = 90° +10° = 100°
© NuevoMéxico
Trabajo en equipo
ProPorCiones y seCtores CirCulares
■
Responde lo siguiente:
Medida en grados de una circunferencia = 360°
Cápsula
¿Cómo se puede calcular la longitud de una circunferencia de un círculo
de radio r? P ____________
el radio de la tierra es de
aproximadamente 6 360 km.
Perímetro de una circunferencia = 2r
¿Qué longitud tiene la mitad de esa circunferencia? ________________
Parte de la circunferencia corresponde a un ángu-
¿Qué ángulo central corresponde a media circunferencia? __________
¿Qué proporción es dicho ángulo respecto a 360°? ________________
¿Qué longitud tiene la octava parte de esa circunferencia? _________
______________________________________________________________
¿Qué ángulo central corresponde a un octavo de circunferencia? ____
______________________________________________________________
en 1859, un profesor de la
universidad de Harvard usó
este símbolo
para denotar
a pi, que actualmente se
representa con , notación
que se originó en inglaterra
en el siglo xviii.
lo x: dividiendo 360 .
x
La longitud de un arco depende del ángulo que lo
intercepta y de la medida del radio.
¿Qué proporción es ese ángulo respecto a 360°? __________________
¿Qué longitud tiene la circunferencia que corresponde a un ángulo de
90°? _________________________________________________________
¿Qué longitud corresponde a un ángulo de 60°?___________________
Si el ángulo central correspondiente tiene como medida x, ¿qué longitud
A
B
tendrá un arco de circunferencia de radio r? ______________________
x
______________________________________________________________
r
Chicago y Estambul se encuentran en el mismo paralelo, el cual tiene
un radio de 4 000 km. Entre ambas ciudades hay un ángulo de 120°.
Encuentra la longitud del arco.
■
C Chicago
E Estambul
C
120° E
Ecuador
Como la longitud s de un arco correspondiente a un ángulo x está
x dada por s , calcula la longitud del arco entre Chicago
360 2 r
y Estambul. ___________________________________________________
57
líneas del círculo, Ángulos y sectores circulares
Pliego 04.indd 57
30/4/08 12:04:06
Página 57
Proporciones y sectores circulares
La longitud de una circunferencia de radio r es P = (2)r.
Para un ángulo de 60° le corresponde una longitud de ( )r porque 60° es una sexta parte del
3
La longitud de la mitad de esa circunferencia es ()r.
total de la circunferencia.
El ángulo central que corresponde a media circunferencia es
180°.
Si el ángulo central mide x, entonces la longitud
del arco de circunferencia de radio r es
2( )r = 2( )rx
La proporción de dicho ángulo respecto a 360° es
1
.
2
360/x
La longitud de la octava parte de esa circunferencia es ( )r .
4
A un octavo de la circunferencia le corresponde un ángulo
central de 45°.
1
respecto a 360°.
8
1
A un ángulo de 90° le corresponde
de la circunferencia o
4
(  )r
.
2
Ese ángulo tiene una proporción de
© NuevoMéxico
© NuevoMéxico
Antes de iniciar el ejercicio, �������������������
pida a los alumnos
que recapitulen lo siguiente:
360
Aplicando la fórmula anterior, se tiene que
Chicago y Estambul se encuentran a una distancia de:
2( )rx = 2(
 )(4 000)(120)
= 8 377.5 km
360
360
65
Sugerencias didácticas
A
Corrija la relación para calcular el área de un
sector circular a que corresponde a un ángulo de
O
medida y; dice que está dada por a = y (2r2) y
360
y
2
debe decir a =
360
Un sector circular es una región delimitada por dos radios, ya sea que el
sector corresponda al arco mayor o al menor. En la figura de la izquierda
el sector ACB está sombreado, mientras que el sector AKB no.
C
■
B
K
Indica cómo podrías probar que el área del sector circular a corres­
y
(2 r2)
360
ponde a un ángulo de medida y, que está dada por a ______________________________________________________________
(r ).
______________________________________________________________
______________________________________________________________
Recuerde a los alumnos que la medida del radio es
igual a la medida del lado en un hexágono regular
y como un hexágono regular, está formado por
triángulos equiláteros, la medida del apotema del
hexágono (o altura del triángulo) se obtiene con
la resolución del triángulo rectángulo amarillo.
______________________________________________________________
1.5
Indica el área del piso que corresponde a la que describe la puerta
del mueble. La figura no está a escala.
■
1.5
120º
______________________________________________________________
Si el diámetro de la mesa es de 120 cm, encuentra el área de una de
las partes plegadizas luego de convertirla en cuadrada. Observa, en el
diagrama de la izquierda, que cada parte plegable corresponde a un
ángulo de 90°.
■
A
O
Área del sector
AOB __________ __________
Área del triángulo
OAB __________
Área de la parte plegable __________ __________ __________
B
aCtiVidades
En los siguientes ejercicios usa P 3.14
8 x
1. Encuentra en cada una de las figuras el área de la parte sombreada.
a)
En la actividad 2 de la página siguiente, pídales
que supongan que la medida del radio para el
segundo ejercicio también es 14.
b)
B
c)
12
C
T
a
44
8
12
x 58
líneas del círculo, Ángulos y sectores circulares
x
2
Pliego 04.indd 58
Soluciones
Página 58
a=
2
y
()r2 = y (  r ) al dividir el área del círculo entre 360 se
360
360
obtiene el área de un sector de un grado y el resultado se multiplica por el número de grados del sector.
El área del piso es la de un sector circular a = 120( )1.5 = 2.35
2
2
Área del sector AOB = 90( )60 = 2 827.4 cm2
360
360
8 x
Área del triángulo OAB = 1 800 cm2
4
Área de la parte plegable = 2 827.4 − 1 800 = 1 027.4 cm2
Actividades
1. a) Obtenemos la medida de la base del triángulo.
2a
88
a
44
8
12
x
x
2
66
S
PQRSTU es un hexágono
regular y r 8
30/4/08 12:04:15
2
122 +
 x2 
x2 =
144(4)
3
= x2; 144 +
x2
3 2
= x2;
x = 144;
4
4
= 192 Entonces, x = 13.85
Área triángulo = 83.1 Área círculo = 200.96
Área sombreada = 200.96 − 83.1 = 117.86
b) El área se obtiene restando del área total el
área de la parte no sombreada.
A = ()(122) − ()(82) = 251.2
c) Altura del triángulo = ∙∙∙∙
82 - 42 = 6.92;
Área hexágono = 166.08; Área círculo = 200.96
Área del círculo − área del hexágono =
200.96 − 166.08 = 34.88
Se divide el resultado entre 6 y se multiplica por 3
para obtener al área de las tres secciones azules.
34.88 ÷ 6 × 3 = 17.44
© NuevoMéxico
88
R
75°
ABC es equilátero
yr8
2a
Q
U
8
A
P
© NuevoMéxico
4
Hay 2 178 km entre México, D.F., y el Ecuador,
ésta es la longitud de arco. El radio terrestre es de
6 367.44 km. Sólo es cuestión de sustituir en la
fórmula de la longitud de arco.
s = 2 rx = 2 178 = 2  (6 367.44)x
2. Usa la figura correspondiente en cada caso para encontrar la lon­
gitud del arco AEC.
A
B
30°
A
O
14
O
E
E
C
C
360
50°
B
trabajo en equiPo
despejando x:
1. Si el área sombreada de la siguiente figura es de 36 cm², encuentren
la longitud de OA.
A
6
La distancia entre México, D.F., y Nueva Delhi
es de 14 691 km. Ésa es la longitud de arco. Para
hallar el ángulo hay que sustituir en la fórmula
de longitud de arco.
C
2. En la figura de la derecha encuentra el área de la zona de tiro penal,
es decir, la zona cuadriculada.
3. Encuentra el área de la pista de patinar.
11 m
90°
m
40 m
s = 2  rx = 14 691 = 2 (5 998.86)x
360
9.
15
61 m
360
despejando x:
r = 8.5 m
r = 8.5 m
360
(2 178)(360)
x=
= 19.59°
2 (6 367.44)
El radio del paralelo 19 es 5 998.86 km.
16.5 m
O
30 m
x=
(14 691)(360)
= 140.31°
2 (5 998.86)
Entre Tombuctú y Tikal hay 9 218 km.
s = 2 rx = 9 218 = 2 (5 998.86)x
360
Radios y paralelos
Consulta un mapamundi para encontrar el ángulo que existe entre el
ecuador y México, D.F., encuentra el radio del paralelo que corresponde
a México, D.F. Calcula aproximadamente la longitud del arco entre
México, D.F., y Nueva Delhi, en la India. Repite el mismo procedi­
miento para encontrar la longitud del arco entre Tikal, en Guatemala,
y Timbuctú, en Malí. ¿Qué pasa?
360
despejando x: (9 218)(360)
= 88.04°
2 (5 998.86)
x=
59
líneas del círculo, Ángulos y sectores circulares
Pliego 04.indd 59
30/4/08 12:04:18
Página 59
a) En la primera figura se aprecia el triángulo rectángulo
AOB y sus ángulos interiores: ∡A = 90°, ∡B = 15°,
∡AOB = 75°. Entonces, ∡COA = 150°, r = 14 y x = 210°
(el complemento).
s = 2  rx = 2 (14)(210) = 51.28
360
2. Calculamos el área del rectángulo.
AR = (16.5)(40) = 660 m2
Longitud diámetro = hipotenusa del triángulo rectángulo:
d = ∙∙∙∙∙∙∙
9.152 + 9.152 = 12.94 r = 6.47
2
(6.47)2
Área del semicírculo AC =  =
= 65.75 m2
2
360
b) De forma análoga y si se considera que r = 14, la longi
= 31.74
tud del arco AEC es 2 (14)(130)
360
© NuevoMéxico
© NuevoMéxico
Radios y paralelos
2
El área total es la suma de las áreas individuales:
AT = AR + AC = 660 m2 + 65.75 m2 = 725.75 m2
3. El área de la pista entera se calcula como sigue:
Trabajo en equipo
2
2
Área del sector = (r) = (8.5) = 56.71 m2
1. Calculamos el área del círculo blanco y la sumamos al
área sombreada para obtener el área total:
(r2) =  (36) = 113.04
AT = 113.04 + 36 = 149.04
AT = (r2) = 149.04
Restamos este resultado al área de un cuadrado de lado 8.5,
lo multiplicamos por 4 y obtenemos el área de las partes
que faltan para que la pista sea un rectángulo:
8.52 − 56.71 = 15.54 × 4 = 62.16
Se calcula el área del rectángulo: 61 × 30 = 1 830
Área de la pista = 1 830 − 62.16 = 1 767.84
Despejando: r2 = 149.04
= 47.44

r = 6.88
4
4
67
Sugerencias didácticas
Pregunte cuál es la razón por la que el objeto cae
más rápido cada vez, y si creen que la velocidad
aumentará indefinidamente.
Defina razón como la comparación por cociente
de dos cantidades.
Razones de cambio
Tema 4
Indique a sus alumnos que calculen el tiempo que
tarda en llegar el objeto al suelo.
200 m
t 0S
180 m
t 2S
VeloCidad Promedio de un objeto que Cae
160 m
140 m
Si un objeto cae desde una altura de 200 m su distancia al suelo en
metros después de t segundos está dada aproximadamente por la igual­
dad d 200 5t2, en la que d indica la distancia del suelo al objetivo
y t expresa el tiempo que ha transcurrido desde que se soltó el objeto.
Por ejemplo, después de 2 segundos la distancia del piso al objeto es de
d 200 5(2)² 200 20 180.
■
Completa la figura y coloca el punto que corresponda a cada instante:
t3
t4
t5
t6
¿Qué observas en las distancias correspondientes? _________________
120 m
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
100 m
La definición de la velocidad promedio aparece en la primera cápsula
de la siguiente página.
Calcula la velocidad promedio entre el instante en que se suelta el
objeto y el primer segundo. Se debe calcular así:
■
3
80 m
$ 3 $
distancia al
Velocidad
distancia después
segundo 0 1 0
promedio
de 1 segundo
[200 5(1)2] [200 5(0)2]
–––––––––––––– ________
10
60 m
¿Qué signo tiene la velocidad? ________________ Esto indica que la
altura va decreciendo.
40 m
■
Calcula la velocidad promedio de los siguientes lapsos.
1 s y 2 s ______________________________________________________
3 s y 4 s ______________________________________________________
20 m
5 s y 6 s ______________________________________________________
Observa en cuál de los intervalos antes calculados cae más rápido el
objeto (la mayor velocidad en valor absoluto).
0m
60
Soluciones
Bloque 1
Pliego 04.indd 60
Razón de cambio, función lineal y pendiente
30/4/08 12:04:23
Página 60
Velocidad promedio de un objeto que cae
Para:
t = 3
t = 4
t = 5
t = 6
d = 155
d = 120
d = 75
d = 20
Velocidad promedio en los siguientes lapsos:
1 s y 2 s –15 m/s
3 s y 4 s
–35 m/s
5 s y 6 s
–55 m/s
El objeto cae más rápido en el intervalo entre 5 y
6 segundos.
La distancia va disminuyendo, y a mayor tiempo transcurrido, la
diferencia entre una distancia y otra se va haciendo mayor.
Velocidad promedio entre el instante en que se suelta el objeto y
el primer segundo:
= 195 − 200 = −5 m/s
68
© NuevoMéxico
La velocidad tiene signo negativo.
© NuevoMéxico
1
explica la razón por la que la distancia recorrida entre el
segundo 4 y el 5 es mayor que la recorrida entre el segundo 1 y el 2.
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
Cápsula
la velocidad promedio en
un intervalo de tiempo es la
distancia recorrida en ese
lapso dividida entre el tiempo
transcurrido.
_______________________________________________________________
Observa que la velocidad promedio es una razón entre la distancia y
el tiempo, mide cuánto cambia en promedio la distancia respecto a un
intervalo de tiempo.
La Pendiente
Si un camino sube 2 m a lo largo de 4 km (4 000 m), se dice que su
2
pendiente es ———. La razón de esto es que al recorrer 4 000 m de
4 000
camino se produce una variación de altura de 2 m.
Como puedes ver, mientras más empinado sea el recorrido, la medida
de la pendiente será mayor, por lo que se avanzará menos en dirección
horizontal pero se ganará más altura. Así tenemos una razón de cambio
entre el recorrido vertical y el recorrido horizontal.
Esta idea nos permitirá redefinir la pendiente de una recta: si suponemos
que a lo largo del eje y se encuentra la medida de la altura, y que a
lo largo del eje x se halla la distancia horizontal recorrida, tenemos
la pendiente, la cual obtenemos al dividir el cambio o variación de la
coordenada y entre el cambio o variación de la coordenada x.
para recordar los conceptos
físicos aquí estudiados,
consulta tu libro de ciencias
de 2° grado.
Cápsula
la pendiente es una razón
de cambio entre el recorrido
vertical y el recorrido
horizontal.
Considera la recta y 2x 1. Para graficarla basta con encontrar
x
Mayor pendiente
(0, 1) y (1, 1). Verifica que ambos pertenecen a la recta. __________
Propicie que se familiaricen con el vocabulario
asemejando los términos matemáticos al lenguaje
cotidiano; para ello, puede usar oraciones en las
que los alumnos puedan derivar el significado del
término; por ejemplo, “la pendiente del cerro es
muy elevada”, les permite apropiarse del concepto
de pendiente.
y
dos puntos cuyas coordenadas cumplan con la ecuación; por ejemplo,
■
Coménteles que en este caso se les proporcionan
dos coordenadas para que ellos sustituyan los valores para verificar si éstas pertenecen o no a la
ecuación de una gráfica, pero también puede procederse de manera contraria: si se tiene una gráfica
y se quiere saber qué valores cumplen la ecuación,
es posible localizar coordenadas en la gráfica y sustituirlas en la ecuación para comprobar si cumplen
con ésta.
y
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
Como vimos, la pendiente de una recta se obtiene dividiendo la variación
de la coordenada y entre la correspondiente variación de la coordenada
x. Así, en el ejemplo anterior cuando la x pasa de 0 a 1 la y pasa de 1
a 1, por tanto:
Pendiente x
Menor pendiente
variación de y
1 1
2
2
variación de x
0 1
1
Razón de cambio, función lineal y pendiente
Pliego 04.indd 61
61
30/4/08 12:04:25
Página 61
La distancia recorrida entre el segundo 4 y 5 es mayor que la recorrida entre el segundo 1 y 2 porque tiene una velocidad mayor.
La pendiente
Verificando que los puntos (0,−1) y (1,1) pertenecen a y = 2x − 1:
Para (0,−1) −1 = 2(0) − 1
Para (1, 1)
1 = 2(1) − 1
© NuevoMéxico
© NuevoMéxico
■ Ahora
Mencione a los alumnos que para calcular la pendiente de una recta, siempre deberá dividirse el
valor de la variación de la ordenada entre el de la
abscisa; en el caso de la página anterior, se divide
la variación de d entre la de t; en el resto de los
diagramas en general, se divide la variación de y
entre la de x.
69
Sugerencias didácticas
Encuentra otros dos puntos que pertenezcan a la recta (____, ____),
(____, ____)
■
Recuerde a los alumnos que para encontrar puntos que pertenezcan a la gráfica sin trazarla, basta
escoger un valor para la variable independiente
(x), sustituirlo en la ecuación y resolverla para obtener el valor de y.
Calcula la variación en y: ________ ________ ________
Calcula la variación en x: ________ ________ ________
variación de y
Calcula la pendiente m ——————— _________ _________
variación de x
¿Qué observas? ________________________________________________
_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
Pida a los alumnos que obtengan otro par de puntos, calculando el valor de m y comparándolo con
el obtenido. Deben concluir que no importa cuáles
sean las coordenadas de la recta que se escojan, la
pendiente es la misma a lo largo de la recta.
■
Si (x0, y0) y (x1, y1) son dos puntos de una recta, calcula:
la variación en y: ________ ________ ________
la variación en x: ________ ________ ________
Obtén la razón de cambio de la variación de y en la de x:
Razón de cambio _________________
¿Cuál es la pendiente m de esta recta?
Pendiente m razón de cambio _____________
la imPortanCia de la VeloCidad
Un auto pasa frente a una patrulla a una velocidad de 120 km/h, aun
cuando la velocidad permitida es de 80 km/h. Por eso, el patrullero se
alista y tarda un minuto y medio en arrancar para perseguir al auto
que va a exceso de velocidad. La patrulla alcanza al auto 3 minutos
después de haber empezado la persecución.
■
¿A qué velocidad crees que tuvo que ir la patrulla para alcanzar al auto?
____________________________________________________________
____________________________________________________________
____________________________________________________________
Una manera de resolver este problema es observar que desde que el
auto pasó delante de la patrulla hasta que ésta lo alcanzó pasaron
4:30 minutos (1:30 3:00); es decir, la patrulla tardó cuatro minutos
y medio en alcanzar al auto.
¿A qué velocidad en km por minuto iba el auto? __________________
62
Razón de cambio, función lineal y pendiente
Pliego 04.indd 62
Soluciones
30/4/08 12:04:34
Página 62
Dos puntos que pertenecen a la recta son (2, 3) y (3, 5).
Variación en y = 5 − 3 = 2
Variación en x = 3 − 2 = 1
Pendiente m =
2
=2
1
Se observa que la pendiente es la misma que la que se calculó con las otras coordenadas.
La variación en y es y1 − y0
La variación en x es x1 − x0
y −y
Razón de cambio = x 1 − x0
1
0
y −y
La patrulla va a 180 km/h.
El auto va a 2 km/min.
70
© NuevoMéxico
La importancia de la velocidad
© NuevoMéxico
Pendiente = m = x 1 − x0
1
0