Factorización de Trinomios

Factorización de Trinomios
Instructor: Oscar Porfirio Yupanqui Huamán
(Soluciones)
1. Factorización de un trinomio cuadrado perfecto
• ‫ ݕ‬ସ − 8‫ ݕ‬ଶ + 16
‫ ݕ‬ସ es el cuadrado de ‫ ݕ‬ଶ
16 es el cuadrado de 4
2ሺy ଶ ሻሺ4ሻ es igual a 8y ଶ
Por lo tanto:
y ସ − 8y ଶ + 16 = ሺy ଶ − 4ሻଶ
El signo es negativo porque −8y ଶ es negativo.
• 1 + 49ܽଶ − 14ܽ
Podemos ordenar el trinomio convenientemente: 49ܽଶ − 14ܽ + 1
49aଶ es el cuadrado de 7a
1 es el cuadrado de 1
2ሺ7aሻሺ1ሻ = 14a
Por lo tanto:
49aଶ − 14a + 1 = ሺ7a − 1ሻଶ
El signo es negativo porque −14a es negativo.
• 4‫ ݔ‬ଶ − 12‫ ݕݔ‬+ 9‫ ݕ‬ଶ
4x ଶ es el cuadrado de 2x
9y ଶ es el cuadrado de 3y
2ሺ2xሻሺ3yሻ = 12xy
Por lo tanto:
4x ଶ − 12xy + 9y ଶ = ሺ2x − 3yሻଶ
El signo es negativo porque −12xy es negativo.
•
௔మ
− ܾܽ + ܾ ଶ
௔మ
es el cuadrado de
ସ
ସ
௔
ଶ
bଶ es el cuadrado de b
ܽ
2 ቀ ቁ ሺbሻ = ab
2
Por lo tanto:
ܽଶ
ܽ
− ܾܽ + ܾ ଶ = ሺ − bሻଶ
4
2
El signo es negativo porque −ab es negativo.
•
ଽ
‫ ݔ‬ଶ + 2‫ ݕݔ‬+ ‫ ݕ‬ଶ
ଽ
x ଶ es el cuadrado de x
ସ
y ଶ es el cuadrado de y
ସ
ସ
ଽ
ସ
ଽ
ଷ
ଶ
3
2
2 ൬ x൰ ൬ y൰ = 2xy
2
3
ଶ
ଷ
Por lo tanto:
4 ଶ
3
2 ଶ
9 ଶ
x + 2xy + y = ൬ x + y൰
4
9
2
3
El signo es positivo porque 2xy es positivo.
2. Factorización de un trinomio de la forma x ଶ + bx + c
• ‫ ݕ‬ଶ − 4‫ ݕ‬+ 3
Tenemos que encontrar 2 números cuya suma sea -4 y cuyo producto
sea 3:
-1 y -3 suman -4
-1 por -3 es igual a 3
Por lo tanto:
‫ ݕ‬ଶ − 4‫ ݕ‬+ 3 = ሺ‫ ݕ‬− 1ሻሺ‫ ݕ‬− 3ሻ
• 20 + ܽ ଶ − 21ܽ
Primero, ordenamos el trinomio convenientemente: ܽ ଶ − 21ܽ + 20
Ahora, tenemos que encontrar 2 números cuya suma sea -21 y cuyo
producto sea 20:
-1 y -20 suman -21
-1 por -20 es igual a 20
Por lo tanto:
ܽ ଶ − 21ܽ + 20 = ሺܽ − 1ሻሺܽ − 20ሻ
• ‫ ݔ‬ସ − 8‫ ݔ‬ଶ + 15
Tenemos que encontrar 2 números cuya suma sea -8 y cuyo producto
sea 15:
-3 y -5 suman -8
-3 por -5 es igual a 15
Por lo tanto:
‫ ݔ‬ସ − 8‫ ݔ‬ଶ + 15 = ሺ‫ ݔ‬ଶ − 3ሻሺ‫ ݔ‬ଶ − 5ሻ
• ܽ ଺ − 7ܽ ଷ + 10
Tenemos que encontrar 2 números cuya suma sea -7 y cuyo producto
sea 10:
-2 y -5 suman -7
-2 por -5 es igual a 10
Por lo tanto:
ܽ ଺ − 7ܽଷ + 10 = ሺܽ ଷ − 2ሻሺܽ ଷ − 5ሻ
• ݉ଶ − 30݉ − 675
Tenemos que encontrar 2 números cuya suma sea -30 y cuyo
producto sea -675:
15 y -45 suman -30
15 por -45 es igual a -675
Por lo tanto:
݉ଶ − 30݉ − 675 = ሺ݉ + 15ሻሺ݉ − 45ሻ
3. Factorización de un trinomio de la forma ax ଶ + bx + c
• 5‫ ݔ‬ଶ + 4‫ ݔ‬− 12
Formamos el producto ሺ5ሻሺ-12ሻ=-60
10 y -6 son dos factores de -60 que suman 4
Ahora reescribimos la expresión original: 5‫ ݔ‬ଶ + 10‫ ݔ‬− 6‫ ݔ‬− 12
Finalmente tomamos el factor común de cada término:
5‫ ݔ‬ଶ + 10‫ ݔ‬− 6‫ ݔ‬− 12 = 5‫ݔ‬ሺ‫ ݔ‬+ 2ሻ − 6ሺ‫ ݔ‬+ 2ሻ
5‫ ݔ‬ଶ + 4‫ ݔ‬− 12 = ሺ5‫ ݔ‬− 6ሻሺ‫ ݔ‬+ 2ሻ
• 12 − 7‫ ݔ‬− 10‫ ݔ‬ଶ
Ordenamos el trinomio convenientemente: −10‫ ݔ‬ଶ − 7‫ ݔ‬+ 12
Formamos el producto ሺ-10ሻሺ12ሻ=-120
-15 y 8 son dos factores de -120 que suman -7
Ahora reescribimos la expresión original: −10‫ ݔ‬ଶ − 15‫ ݔ‬+ 8‫ ݔ‬+ 12
Finalmente tomamos el factor común de cada término:
−10‫ ݔ‬ଶ − 15‫ ݔ‬+ 8‫ ݔ‬+ 12 = −5‫ݔ‬ሺ2‫ ݔ‬+ 3ሻ + 4ሺ2‫ ݔ‬+ 3ሻ
−10‫ ݔ‬ଶ − 7‫ ݔ‬+ 12 = ሺ−5‫ ݔ‬+ 4ሻሺ2‫ ݔ‬+ 3ሻ
• 5 + 7‫ ݔ‬− 6‫ ݔ‬ଶ
Ordenamos el trinomio convenientemente: −6‫ ݔ‬ଶ + 7‫ ݔ‬+ 5
Formamos el producto ሺ-6ሻሺ5ሻ=-30
10 y -3 son dos factores de -30 que suman 7
Ahora reescribimos la expresión original: −6‫ ݔ‬ଶ + 10‫ ݔ‬− 3‫ ݔ‬+ 5
Finalmente tomamos el factor común de cada término:
−6‫ ݔ‬ଶ + 10‫ ݔ‬− 3‫ ݔ‬+ 5 = −2‫ݔ‬ሺ3‫ ݔ‬− 5ሻ − ሺ3‫ ݔ‬− 5ሻ
−6‫ ݔ‬ଶ + 7‫ ݔ‬+ 5 = ሺ−2‫ ݔ‬− 1ሻሺ3‫ ݔ‬− 5ሻ
• 18ܽଶ + 17ܽ − 15
Formamos el producto ሺ18ሻሺ-15ሻ=-270
27 y -10 son dos factores de -270 que suman 17
Ahora reescribimos la expresión original: 18ܽଶ + 27ܽ − 10ܽ − 15
Finalmente tomamos el factor común de cada término:
18ܽଶ + 27ܽ − 10ܽ − 15 = 9ܽሺ2ܽ + 3ሻ − 5ሺ2ܽ + 3ሻ
18ܽଶ + 17ܽ − 15 = ሺ9ܽ − 5ሻሺ2ܽ + 3ሻ
• 4‫ ݔ‬ଶ + 7݉݊‫ ݔ‬− 15݉ଶ ݊ଶ
Formamos el producto ሺ4ሻሺ-15ሻ=-60
12 y -5 son dos factores de -60 que suman 7
Ahora reescribimos la expresión original:
4‫ ݔ‬ଶ + 12݉݊‫ ݔ‬− 5݉݊‫ ݔ‬− 15݉ଶ ݊ଶ
Finalmente tomamos el factor común de cada término:
4‫ ݔ‬ଶ + 12݉݊‫ ݔ‬− 5݉݊‫ ݔ‬− 15݉ଶ ݊ଶ = 4‫ݔ‬ሺ‫ ݔ‬+ 3݉݊ሻ − 5݉݊ሺ‫ ݔ‬+ 3݉݊ሻ
4‫ ݔ‬ଶ + 7݉݊‫ ݔ‬− 15݉ଶ ݊ଶ = ሺ4‫ ݔ‬− 5݉݊ሻሺ‫ ݔ‬+ 3݉݊ሻ