Figuras planas. Áreas

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ANTES DE COMENZAR LA UNIDAD...
El regalo
No se sabe casi nada de la vida de Apolonio de Perga,
si bien se cree que nació en Perga (actual Turquía) en torno
al año 262 a.C. y murió en Alejandría alrededor del 190 a.C.,
ciudad en la que estudió e impartió clases.
Los detalles que se conocen de su vida derivan
de anotaciones que él mismo hizo en su obra de
Las cónicas. Por ejemplo, la lectura que proponemos
en la unidad muestra a Eudemo y a Apolonio en Éfeso,
situación que recoge el propio Apolonio en una
copia de Las cónicas que envía a su amigo Eudemo,
en Pérgamo.
COMPETENCIA LECTORA
Asimismo, el acertijo que Apolonio propone en el texto
es, en realidad, la variante más difícil de un problema
geométrico que recibe el nombre de Problema
de Apolonio y que consiste en encontrar una circunferencia
tangente a tres elementos dados (punto, recta
o circunferencia), siendo el caso más sencillo
hallar la circunferencia que pasa por tres puntos,
es decir, la circunferencia circunscrita a un triángulo.
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CURIOSIDADES MATEMÁTICAS
George Alexander Pick (1859-1943) fue un matemático austríaco
que estableció la relación que existe entre los nudos de una malla
y el área de un polígono dibujado sobre ella. Cada punto de intersección
de una recta horizontal y otra vertical se denomina nudo, y cada
segmento que une dos nudos consecutivos se llama lado.
Así, un cuadrado de dicha malla será la unidad de superficie.
RECURSOS PARA EL AULA
Fórmula de Pick
Hay que considerar, para cada figura, el número de puntos de la malla
que tiene y su número de lados.
➀
Lado
➁
➂
5
5
Nudo
➃
Figura
1
2
3
4
5
➄
Nudos de la malla
17
15
20
19
21
Lados
8
12
8
9
17
Área
12
8
15
13,5
11,5
L
− 1, siendo N
2
los puntos de la malla que tiene la figura y L su número de lados.
COMPETENCIA LECTORA
En general, el área de una figura es: A = N −
Poesía matemática
2 ⫻ 2 son 4.
2 ⫻ 3 son 6.
¡Ay, qué corta vida
la que nos hacéis!
3 ⫻ 3 son 9.
2 ⫻ 5, 10.
¿Volverá a la rueda
la que fue niñez?
6 ⫻ 3, 18.
10 ⫻ 10 son 100.
¡Dios! ¡No dura nada
nuestro pobre bien!
Infinito y cero.
¡La fuente y el mar!
¡Cantemos la tabla
de multiplicar!
MIGUEL DE UNAMUNO
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CONTENIDOS PREVIOS
CONVIENE QUE…
Recuerdes los tipos de ángulos
que existen.
PORQUE…
Te ayudará a comprender
las clasificaciones
de los polígonos.
CONVIENE QUE…
Ángulo recto
Ángulo llano
Ángulo agudo
Ángulo obtuso
Sus lados son
perpendiculares.
Sus lados están
sobre la misma
recta.
Ángulo menor
que el recto.
Ángulo mayor que
el recto y menor
que el llano.
La ALTURA de un triángulo es el segmento perpendicular a un lado,
o a su prolongación, trazado desde el vértice opuesto.
Sepas qué es la altura
de un triángulo.
h
h
PORQUE…
Vamos a estudiar el teorema
de la altura.
LEER Y COMPRENDER MATEMÁTICAS
h
CONVIENE QUE…
Un POLÍGONO REGULAR es el que tiene todos sus lados y ángulos iguales.
En caso contrario, el polígono es irregular.
Distingas los polígonos regulares
del resto de polígonos.
PORQUE…
Estudiaremos cómo se calcula
su ángulo central.
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Octógono
Hexágono
Pentágono
8 lados iguales
6 lados iguales
5 lados iguales
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¿QUÉ SIGNIFICA?
¿CÓMO LO ESCRIBIMOS?
a + c ⬎ b Indica que la suma de las
longitudes de los lados a y c es
mayor que la longitud del lado b.
Se utiliza una notación de este tipo para indicar
las relaciones entre los lados de un triángulo.
b ⬎ c − a Indica que la longitud del lado b
es mayor que la diferencia
de las longitudes de los lados c y a.
¿QUÉ SIGNIFICA?
¿CÓMO LO ESCRIBIMOS?
A
El área de un polígono se suele representar
por la letra A.
¿QUÉ SIGNIFICA?
h
La altura es el segmento
perpendicular a un lado,
o a su prolongación,
trazado desde el vértice
opuesto.
¿QUÉ SIGNIFICA?
r
¿CÓMO LO ESCRIBIMOS?
Se suele representar mediante la letra h.
A veces se añade a la letra h un subíndice;
la expresión hc representa la altura sobre el lado c.
¿CÓMO LO ESCRIBIMOS?
Indica el radio de una circunferencia.
C
D Indica el diámetro de una circunferencia.
C
D
Es la notación usada para designar
una circunferencia.
r
Una circunferencia se nombra
mediante una letra mayúscula,
normalmente C.
A veces, cuando tenemos más
de una circunferencia,
se denominan C1, C2, C3…
LEER Y COMPRENDER MATEMÁTICAS
Indica el área de un polígono.
RECURSOS PARA EL AULA
NOTACIÓN MATEMÁTICA
El radio y el diámetro se suelen
representar mediante las letras r
y D (o d ), respectivamente.
¿QUÉ SIGNIFICA?
AOB
¿CÓMO LO ESCRIBIMOS?
Indica el ángulo formado
por los puntos A, O y B.
B
O
A
Para nombrar un ángulo definido
por tres puntos se escriben los tres
puntos y encima se pone
.
El orden de las letras nos indica el
sentido en que se mide el ángulo.
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EN LA VIDA COTIDIANA... Diseño y movimientos
En este proyecto pretendemos que aprendas a:
• Utilizar distintos tipos de mosaicos para recubrir el plano y decorarlo. • Calcular perímetros y áreas
de baldosas con diferentes formas que recubren el plano.
1
Mosaicos regulares
REALIZA LAS ACTIVIDADES.
Luisa tiene una empresa de fabricación de baldosas y
ha recibido de un Ayuntamiento el encargo de realizar
unos diseños para pavimentar y decorar las calles.
a) Estos tres polígonos regulares, ¿son los únicos que
forman mosaicos regulares? Trabaja con los divisores de 360° y recuerda que el ángulo interior de un
polígono regular de n lados mide: 180° ⋅ (n − 2) / n.
Para resolver el problema, Luisa debe realizar diseños de mosaicos. Un mosaico se forma con la yuxtaposición de figuras planas, de forma que recubren o
teselan todo el plano, es decir, no dejan huecos ni se
solapan entre ellas.
b) Todas las baldosas que ha diseñado Luisa tienen
de lado 30 cm. Calcula cuántas baldosas necesitará el Ayuntamiento para embaldosar 10.000 m 2 si
utiliza triángulos equiláteros, cuadrados o hexágonos regulares.
Luisa ha decidido inicialmente trabajar con mosaicos
regulares, aquellos que se forman usando solo polígonos regulares iguales, pero enseguida se ha dado
cuenta de que es más sencillo formar mosaicos con
triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos.
Por tanto, decide proponer los tres diseños que se muestran, con baldosas en forma de triángulo equilátero, cuadrado y hexágono regular, respectivamente.
COMPETENCIA MATEMÁTICA
Observa que, para que se forme un mosaico, la suma
de todos los ángulos coincidentes en cada vértice del
mosaico debe ser igual a 360°.
2
Mosaicos semirregulares
Luisa decide incluir también algunos diseños de baldosas basados en los mosaicos semirregulares, aquellos que utilizan dos o más tipos de polígonos regulares, de modo que alrededor de cada vértice se
encuentren siempre los mismos polígonos y en idéntico orden.
4
Al igual que en los mosaicos anteriores, la suma de los
ángulos coincidentes en cada vértice ha de ser de 360°.
Existen ocho mosaicos semirregulares, que son los
que se muestran a continuación.
5
7
6
2
8
1
126
3
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a) Comprueba que todos los mosaicos semirregulares
cumplen la relación numérica que les corresponde, siendo m, n, p, q, r y s, el número de lados de
los polígonos que coinciden en cada vértice del
mosaico.
Para tres polígonos, tenemos que:
1
1
1
1
+ +
=
m
n
p
2
b) Luisa decide presentar como diseños semirregulares los siguientes y toma como pieza base de cada
mosaico:
– Mosaico ➃: un hexágono más los 6 cuadrados
y los 6 triángulos que lo rodean.
RECURSOS PARA EL AULA
HAZ ESTAS ACTIVIDADES.
– Mosaico ➄: un cuadrado más los 4 triángulos
que lo rodean.
– Mosaico ➅: un hexágono más los 6 triángulos que
lo rodean.
Y para cuatro, cinco y seis polígonos:
– Mosaico ➆: un hexágono más los 18 triángulos
que lo rodean.
1
1
1
1
+ + +
=1
m
n
p
q
– Mosaico ➇: un cuadrado más los 2 triángulos de
sus lados opuestos.
1
1
1
1
1
3
+ + + +
=
m
n
p
q
r
2
Calcula el perímetro y el área de cada pieza base,
sabiendo que todos los triángulos que aparecen
son equiláteros y miden 10 cm de lado.
1
1
1
1
1
1
+ + + + +
=2
m
n
p
q
r
s
Mosaicos pararregulares
Luisa decide proponer también al Ayuntamiento algunos diseños de mosaicos que no estén basados en polígonos regulares. Cuando utilizamos polígonos no regulares que permiten recubrir correctamente el plano,
el mosaico formado se llama pararregular.
Podemos conseguir mosaicos pararregulares uniendo
teselas o piezas iguales, obtenidas a partir de la deformación de polígonos regulares. Observa el ejemplo en
el que se deforma un cuadrado:
2
1
1
b) Halla el perímetro de esta pieza, sabiendo que los
triángulos rectángulos ➀ que aparecen en la deformación poseen catetos de 6 cm y 8 cm, respectivamente, y los equiláteros ➁ tienen 5 cm de lado.
c) Construye dos mosaicos a partir de piezas obtenidas
deformando un polígono regular. ¿Qué área tiene
cada una de esas piezas?
Investigando, Luisa observa también que con cualquier
triángulo es posible conseguir mosaicos que recubran
todo el plano.
F
2
HAZ LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES.
a) Explica cómo se puede formar un mosaico a partir
de un triángulo cualquiera.
REALIZA LAS ACTIVIDADES.
b) ¿Ocurre lo mismo con un cuadrilátero cualquiera?
Razona tu respuesta.
a) Si el cuadrado que deforma Luisa para obtener la
pieza mide 10 cm de lado, ¿qué área tiene dicha
pieza?
c) Existe un pentágono cuyos lados son de la misma
longitud y con el que se puede formar mosaicos.
Dibújalo.
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COMPETENCIA MATEMÁTICA
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ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Hacer o completar un dibujo
Estrategia La estrategia de hacer un dibujo de acuerdo con el enunciado ya ha sido utilizada
en problemas de tipo numérico. En Geometría, esta estrategia es imprescindible
para los problemas en los que no se proporciona la figura. En los problemas
geométricos en los que se parte de una figura, a veces conviene completarla trazando
algún elemento (una paralela, una altura, etc.) para que el problema sea más fácil.
PROBLEMA RESUELTO
Una parcela tiene forma de trapecio isósceles. El plano de la parcela a escala 1 : 1.000 es el que
aparece a la izquierda. ¿Cuál es la superficie de la parcela en metros cuadrados?
A
B
D
C
B
3,9 cm
h
M
D
6,9 cm
cm
3,9
cm
3,9
F
3,9 cm
3,9
cm
3,9 cm
3,9
cm
A
1,5
6,9 cm
Planteamiento y resolución
Podemos completar el dibujo (véase la figura de la derecha) trazando la paralela al lado A
苶苶
D por el vértice B.
Al trazar esta paralela se puede apreciar en la figura que B
苶M
苶 = 3,9 cm, M
苶C
苶 = 6,9 − 3,9 = 3 cm
y, por tanto, el triángulo BMC es isósceles. De este modo se tiene:
APLICACIÓN DE ESTRATEGIAS
h =
3, 92 − 1,52 =
15,21 − 2,25 =
12, 96 = 3,6 cm
Para calcular el área de la parcela debemos obtener las bases y la altura del trapecio en la realidad.
Así, la base menor es: 3,9 cm ⋅ 1.000 = 3.900 cm; es decir, 39 m.
Halla la base mayor, la altura y el área real de la parcela.
PROBLEMAS PROPUESTOS
1
Una finca tiene la forma de un trapecio
isósceles con las dimensiones que
se indican en la figura. Calcula el área
de la finca en hectáreas.
2
El siguiente plano está hecho a una escala
1 : 2.000 y representa el plano de una
parcela. ¿Cuál es el área de la parcela
en metros cuadrados?
4 km
60°
8 km
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MATEMÁTICAS EN EL ORDENADOR
Abre el Programa CABRI para construir un triángulo rectángulo ABC y comprobar experimentalmente el teorema de Pitágoras.
PRÁCTICA 1
(ejercicio 2, pág. 188)
y
1. Construye un segmento AB mediante
comprueba que su medida es 12 cm (si no es así, lo puedes mover con
el puntero hasta que tenga exactamente la distancia propuesta).
RECURSOS PARA EL AULA
PRÁCTICA CABRI
2. Con la herramienta
, construye una recta perpendicular al segmento que pase por el punto A, y sobre ella dibuja un
punto cualquiera C. Con la herramienta
ocultar la recta perpendicular.
podrás
3. Une los puntos A y C mediante la herramienta Segmento y comprueba
que su medida es 5 cm.
Teorema de Pitágoras
4. Une el punto C con el punto B mediante la herramienta Segmento y obtendrás el lado BC (hipotenusa).
5. Calcula la longitud de la hipotenusa BC y comprueba que se cumple el
teorema de Pitágoras.
6. Guarda la figura creada mediante
→
ta o directorio con el nombre: Unidad10_01.
PRÁCTICA 2
en tu carpe-
(ejercicio 51 a), pág. 200)
1. Con la herramienta
, construye un triángulo equiláte-
ro, y con la herramienta
comprueba que su perímetro sea de 30 cm.
3. Construye el segmento que une el vértice con el punto de intersección de
la recta con el lado y, después, con la herramienta
, podrás ocultar la recta perpendicular, por lo que verás la altura.
4. Calcula la medida de esta altura.
Aplicaciones
5. Guarda la figura creada mediante
→
ta o directorio con el nombre: Unidad10_02.
en tu carpe-
EJERCICIOS
1
De forma análoga a la Práctica 1, haz
el ejercicio 43 de la página 200.
3
Resuelve el resto de apartados del ejercicio 51
de la misma forma que en la Práctica 2.
2
Haciendo los cambios pertinentes, realiza
el ejercicio 46 de la página 200.
4
Guarda las figuras anteriores con
→
, asignándoles los nombres
correspondientes.
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NUEVAS TECNOLOGÍAS
2. Con la herramienta
, construye una recta perpendicular a uno de los lados de forma que pase por el vértice opuesto.