funciones reales - Matemáticas en el IES Valle del Oja

FUNCIONES REALES
1º DE BACHILLERATO
CURSO 2007 - 2008
Funciones
reales
Propiedades
0peraciones
•Definición
•Clasificación
•Igual de funciones
•Dominio
•Monotonía
•Extremos relativos
•Acotación. Extremos absolutos
•Simetría
•Periodicidad
•Suma de Funciones
•Producto de un número real por una función
•Producto de dos funciones
•Cociente de dos funciones
•Composición
•Función inversa
•Función inyectiva
•Función opuesta
•Función recíproca
Funciones Reales
Mª de la Concepción Alonso Naves
 Un función entre dos conjuntos numéricos, A conjunto inicial y B conjunto final, es una correspondencia por la
cual a cada elemento de un subconjunto de A, llamado dominio de la función y denotado por Domf, le
corresponde un elemento y solo uno de un subconjunto de B, llamado imagen o recorrido de f, y denotado
Im f.
 En Matemáticas , normalmente se trabaja, con funciones reales de variable real, es decir, funciones en las cuales
el conjunto final es el de los números reales y el conjunto inicial también es el de los números reales . Esta
función se denota por:
FUNCIONES REALES. DEFINICIÓN
Mª de la Concepción Alonso Naves
ENTERAS O
POLINÓMICAS
RACIONALES
ALGEBRAICAS
RACIONALES
IRRACIONALES
FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS
TRASCENDENTES
EXPONENCIALES
LOGARÍTMICAS
FUNCIONES REALES. CLASIFICACIÓN
Mª de la Concepción Alonso Naves

Funciones racionales enteras o polinómicas
 Una función polinómica es una combinación lineal de funciones potencias de base real y exponente
natural.
 Su dominio es el conjunto de números reales, es decir, Dom f = R
 Ejemplos:
FUNCIONES REALES. DOMINIO
Mª de la Concepción Alonso Naves

Funciones racionales fraccionarias

Son las funciones son funciones obtenidas al dividir un polinomio por otro polinomio no idénticamente
nulo.
 Dominio son todos los números reales menos los valores que anulan el denominador.
Dom f = R – {x ε R / Q(x) = 0
 Ejemplos:
FUNCIONES REALES. DOMINIO
Mª de la Concepción Alonso Naves

Funciones irracionales
 Son aquellas en las que la variable independiente aparece bajo el signo radical o elevada a exponente
racional no entero.
 Dominio:
 Si el índice es impar entonces el Dom f = R
 Si el índice es par entonces el Dom f = {x ε R/ g(x) ≥0}, siendo f(x) =
 Ejemplos:
FUNCIONES REALES. DOMINIO
Mª de la Concepción Alonso Naves

Funciones trigonométricas
 Son las funciones de un ángulo.: seno, coseno tangente etc.
 Dominio:

De las funciones tipos f(x) = sen(g(x)); f(x) = cos (g(x)); es Dom f = R

De las funciones tipo f(x) = tg (g(x)) , es Dom f = { x ε R / g(x) ≠ π/2 + k π, k ε Z}
 Ejemplos:
FUNCIONES REALES. DOMINIO
Mª de la Concepción Alonso Naves

Funciones exponenciales
 Son las funciones del tipo f(x) = a
g(x)
, siendo a >0 y a≠ 1
 Domino: Dom f(x) = Dom g(x)
 Ejemplos
FUNCIONES REALES. DOMINIO
Mª de la Concepción Alonso Naves

Funciones logarítmicas
 Son las funciones del tipo f(x) = log a(g(x))., con a >o y a≠ 1
 Dominio: Dom f = {x ε R/ g(x) > 0 }
 Ejemplos:
FUNCIONES REALES. DOMINIO
Mª de la Concepción Alonso Naves

Igualdad de funciones
Dos funciones f y g son iguales si tienen el mismo dominio y las imágenes para el
mismo valor de x coinciden.
FUNCIONES REALES. IGUALDAD DE FUNCIONES
Mª de la Concepción Alonso Naves

Monotonía
 Estrictamente crecientes
Una función es estrictamente creciente en un intervalo (a, b) si
 Estrictamente decrecientes
Una función es estrictamente decreciente en un intervalo (a, b) si
FUNCIONES REALES.MONOTONÍA
Mª de la Concepción Alonso Naves

Extremos Relativos
 Máximo relativo
La función f(x) presenta un máximo relativo en xo , cuando existe un entorno E(xo) tal que:
 Mínimo relativo
La función f(x) presenta un mínimo relativo en xo , cuando existe un entorno E(xo) tal que:
FUNCIONES REALES. EXTREMOS RELATIVOS
Mª de la Concepción Alonso Naves

Acotación. Extremos absolutos

Función acotada superiormente
Una función f está acotada superiormente si existe un número real k tal que para toda x es f(x) ≤ k.
K es la cota superior

Función acotada inferiormente
Una función f está acotada inferiormente si existe un número real k′ tal que para toda x es f(x) ≥ k′.
K´es la cota inferior

Una función está acotada si lo está superiormente e inferiormente a la vez
k′ ≤ f(x) ≤ k
FUNCIONES RELAES.ACOTACIÓN. EXTREMOS ABSOLUTOS
Mª de la Concepción Alonso Naves

Acotación. Extremos absolutos
 Máximo absoluto
Se llama extremo superior o supremo de una función acotada superiormente a la menor de las cotas
superiores.
Se llama Máximo absoluto de una función acotada superiormente al extremo superior o supremo cuando
es alcanzado por la función
 Mínimo absoluto
Se llama extremo inferior o ínfimo de una función acotada inferiormente a la mayor de sus cotas
inferiores.
Se llama Mínimo absoluto de una función acotada inferiormente al extremo inferior o ínfimo cuando es
alcanzado por la función
FUNCIONES RELAES.ACOTACIÓN. EXTREMOS ABSOLUTOS
Mª de la Concepción Alonso Naves

Funciones simétricas
 Simetría par o respecto al eje de ordenadas
Una función f es simétrica respecto del eje de ordenadas cuando para todo x del dominio se verifica:
f(−x) = f(x).
Define una simetría axial, cuyo eje es el eje de ordenadas
 Simetría impar o respecto al origen de coordenadas
Una función f es simétrica respecto al origen cuando para todo x del dominio se verifica:
f(−x) = −f(x).
Define una simetría central de centro el origen de coordenadas.
FUNCIONES REALES. SIMETRÍA
Mª de la Concepción Alonso Naves

Funciones Periódicas
Una función f(x) es periódica, de período T, si para todo número entero z, se verifica: f(x) = f(x + z T)
T es el periodo principal de la función, pero cualquier múltiplo de este también es periodo.
FUNCIONES REALES. PERIODICIDAD
Mª de la Concepción Alonso Naves

Operaciones con funciones
◦ Suma de dos funciones
La suma de las funciones f y g , que representamos por f + g, de la forma (f + g) (x) = f(x) + g(x).
El Dom (f+g) = Dom f
Dom g
◦ El producto de un número real por una función
La función producto de un número real t por la función f, t · f, es de la forma (t·f) (x) =t · f(x).
El Dom (t·f) = Dom f
◦ El producto de dos funciones
El producto de dos funciones f y g, que se representa por f · g, de la forma (f · g) (x) = f(x) · g(x).
El Dom (f · g) = Dom f
Dom g
◦ El cociente de dos funciones
El cociente de dos funciones f y g, que representamos por f/g, de la forma (f/g) (x) = f(x) / g(x).
El Dom (f/g) = Dom f Dom g con g(x) ≠ 0
FUNCIONES REALES. OPERACIONES
Mª de la Concepción Alonso Naves

Composición de funciones
Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la 2ª esté incluido en el recorrido de la 1ª, se
puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)].
Ejemplo:
(g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1
(g o f) (1) = 6· 1 + 1 = 7
Dominio de la función composición: Dom (gof) = {x Dom f / f(x) Dom g}
No cumple la propiedad conmutativa.
La función identidad es la función i definida por i(x) = x. Se define como la función que trasforma
cualquier número real en si mismo. Es decir, i: R → R
x →i(x) = x
Tiene la propiedad: f o i = i o f = f
FUNCIONES REALES. COMPOSICIÓN
Mª de la Concepción Alonso Naves

Función inversa
Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que: Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a.
Podemos observar que:
 El dominio de f−1 es el recorrido de f.




El recorrido de f−1 es el dominio de f.
Si queremos hallar el recorrido de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.
Si dos funciones son inversas su composición es la función identidad. f o f -1 = f -1 o f = x
Las gráficas de f y f -1 son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante
FUNCIONES REALES. FUNCIÓN INVERSA
Mª de la Concepción Alonso Naves

Función inyectiva
Una función es inyectiva si cada elemento de Im f es imagen de uno y sólo un elemento de Dom f

Función opuesta
Dada una función f definimos su función opuesta y la denotamos por –f de la siguiente manera:
(-f) (x) = - f(x). El Dom –f = Dom f

Función recíproca
Dada una función f, definimos su función recíproca y la denotamos por 1/f de la siguiente manera:
(1/f) (x) = 1 / f(x). El Dom (1/f) = Dom f – { x/ f(x) = 0}
Proceso para calcular la función inversa de una dada
Calcular la inversa de la siguiente función:
1º paso: llamamos y a la función y despejamos la x
2º paso: llamamos a la x f(x) y a la y x, y la función que obtenemos es la inversa
de la función dada
FUNCIONES REALES. OTROS TIPOS DE FUNCIONES
Mª de la Concepción Alonso Naves

Aplicación de las TIC´S:
Cualquiera de los siguientes instrumentos o programas los podemos utilizar en el estudio de las
propiedades de las funciones, así como para el cálculo de dominio e imagen de funciones.
◦
Calculadora gráfica
◦
Geogebra
◦
Derive
FUNCIONES REALES. APLICACIÓN DE LAS TIC´S
Mª de la Concepción Alonso Naves
Peter Gustav Lejeun Dirichlet
Lectura recomendada
(1805 – 1859) fue el sucesor de Gauss en la
cátedra de la Universidad de Gotinga. Expuso,
junto con Riemann, la formulación más general
de función como correspondencia entre dos
conjuntos de números.
En 1857 formuló la definición de función tal como
la conocemos hoy día.
El Teorema del loro
Autor: Denis Guedj
FUNCIONES REALES. ANEXO
Mª de la Concepción Alonso Naves