1 Teorema.- Si ∑ an tiene términos no negativos, converge

1
P
Teorema.- Si ∞
n=1 an tiene términos no negativos, converge si, y solo si,
la sucesión de sumas parciales es acotada.
DemLa sucesión de sumas parciales es no decreciente y de aqui que tiene
limite si, la sucesión es acotada.
Serie Armonica
P
1
La serie ∞
n=1 n es divergente, para comprobarlo vamos a ver como se
comportan las sumas parciales
S1 = 1
S2 = 1 +
1
2
1 1
+
2 3
1 1 1
S4 = 1 + + +
2 3 4
1 1 1 1
S5 = 1 + + + +
2 3 4 5
1 1 1 1 1
S6 = 1 + + + + +
2 3 4 5 6
1 1 1 1 1 1
S7 = 1 + + + + + +
2 3 4 5 6 7
1 1 1 1 1 1 1
S8 = 1 + + + + + + +
2 3 4 5 6 7 8
S3 = 1 +
...
1 1 1 1 1 1 1
1
+ + + + + + + ... + n
2 3 4 5 6 7 8
2
De los términos anteriores vamos solo a considerar los S2n , es decir
Sn = 1 +
S2 = 1 +
1
2
1
1
1 1
1 1
1 1
S4 = 1 + +
+
>1+ +
+
=1+ +
2
3 4
2
4 4
2 2
1
1 1
1 1 1 1
1
1 1
1 1 1 1
1 1 1
S8 = 1+ +
+
+
+ + +
> 1+ +
+
+
+ + +
= 1+ + +
2
3 4
5 6 7 8
2
4 4
8 8 8 8
2 2 2
2
...
S2n
1
=1+ +
2
1 1
+
3 4
+ ... +
1
n+2
n
>1+ =
n
2
2
2
por lo que
n+2
=∞
n→∞
n→∞
2
Por lo que Sn tiene una subsucesion que al no estar acotada es divergente,
por lo tanto
∞
X
1
es divergente
n
n=1
P
1
Vamos ahora a probar que la serie ∞
n=1 nk converge si k > 1.
Dem. Supongamos que k > 1 examinaremos las sumas parciales
lı́m S2n > lı́m
S1 =
S2 =
S3 =
S4 =
S5 =
1
1k
1
+
1k
1
1
S7 = k + k
1
2
1
1
S8 = k + k +
1
2
S6 =
1
1k
1
+
1k
1
+ k
2
1
+
2k
1
+ k
3
1
+
3k
1
1k
1
1
+ k
k
1
2
1
+ k+
2
1
1
+ k
k
2
3
1
+ k+
3
1
1
+ k
k
3
4
1
+ k+
4
1
1
+ k
k
4
5
1
3k
+
1
4k
1
1
+ k
k
4
5
1
+ k+
5
1
1
+
5k 6k
1
+ k+
6
1
6k
+
1
7k
1
1
+ k
k
7
8
...
S2n =
1
1
1
1
1
1
1
1
1
+ k + k + k + k + k + k + k + ... + n
k
1
2
3
4
5
6
7
8
(2 − 1)k
Ahora consideraremos las sumas parciales de orden 2n − 1
S1 =
1
1k
3
1
1
1
+
+
1k 2k 3k
1
1
1
1
1
1
1
S7 = k + k + k + k + k + k + k
1
2
3
4
5
6
7
S3 =
...
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
S2n −1 = k + k + k + k + k + k + k + k + k + ... + k +...+
1
2
3
4
5
6
7
8
9
15
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
< 1+ k + k + k + k + k + k + k + k + ... + k +...+
+ ... + n
(2n−1 )k
(2 − 1)k
2
2
4
4
4
4
8
8
8
2 3
n−1 n
1
1 − 2k−1
1
1
2
2
2
2
+ ... + n−1 k = 1+ k + k + k +...+
=
1
(2n−1 )k
(2 )
2
4
8
(2n−1 )k
1 − 2k−1
Tenemos entonces que
n
1
1 − 2k−1
1
2k−1
=
=
=
1
|{z} 1 − 1
2k−1 − 1
1 − 2k−1
2k−1
Constante
n→∞
Ahora bien, ∀ entero m ∃ un n tal que 2n − 1 > m de modo que
Sm ≤ S2n −1 <
2k−1
2k−1 − 1
De aqui que todas las sumas parciales son acotadas y, por lo tanto, la serie
converge.
P
1
Vamos ahora a probar que la serie ∞
n=1 nk diverge si k ≤ 1.
Dem. Supongamos que k ≤ 1 observemos que nk ≤ n pues k ≤ 1 examinaremos las sumas parciales
1
S1 = k
1
1
1
S2 = k + k
1
2
1
1
1
S3 = k + k + k
1
2
3
1
1
1
1
S4 = k + k + k + k
1
2
3
4
1
1
1
1
1
S5 = k + k + k + k + k
1
2
3
4
5
4
1
1
+
1k 2k
1
1
S7 = k + k +
1
2
1
1
1
S8 = k + k + k
1
2
3
S6 =
1
1
+
3k 4k
1
1
+ k+
k
3
4
1
1
+ k+ k
4
5
+
1
1
+
5k 6k
1
1
1
+ k+ k
k
5
6
7
1
1
1
+ k+ k+ k
6
7
8
+
...
S2n
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
= k + k + k + k + k + k + k + k +...+
+ ... + n k
1
2
3
4
5
6
7
8
(2n−1 + 1)k
(2 )
Ahora consideraremos las sumas parciales de orden 2n
S2 =
1
1
+ k
k
1
2
1
1
1
1
+ k+ k+ k
k
1
2
3
4
1
1
1
1
1
1
1
1
S8 = k + k + k + k + k + k + k + k
1
2
3
4
5
6
7
8
S4 =
...
1
1
1
1
1
1
1
1
1
+ ... + n k
S2n = 1+ k + k + k + k + k + k + k +...+
2
3
4
5
6
7
8
(2n−1 + 1)k
(2 )
1 1 1
1 1 1 1
1
1
+
+
+ + +
+ ... +
+ ... + n
≥1+
2 3 4
5 6 7 8
(2n−1 + 1)
(2 )
1 1 1
1 1 1 1
1
1
≥1+
+
+
+ + +
+ ... +
+ ... + n
2 4 4
8 8 8 8
2n
(2 )
=1+
1
n
1 1 1
+ + + ... + = 1 +
2 2 2
2
2
Tenemos entonces que
n
2
De aqui que las sumas parciales no son acotadas y, por tanto, la serie diverge.
Cuando k = 1, la serie se transforma en la serie armonica la cual se probo
que diverge.
Observación: Una serie no cambia su caracter si se suprimen o agregan
un número finito de términos.
lı́m S2n ≥ lı́m 1 +
n→∞
n→∞
5
Ejemplo:Determinar si la serie infinita
gente.
Sol. La serie dada es:
P∞
1
n=1 n+4
es convergente o diver-
1 1 1
1
+ + + ... +
+ ...
5 6 7
n+4
la cual difiere P
con la serie armonica solo en sus primeros 4 términos por lo
1
tanto la serie ∞
n=1 n+4 diverge
Criterio de Acotación
P
Para que la serie ∞
n=1 an sea convergente es condición necesaria que la
sucesión de sus sumas parciales esté acotada
Criterio de Comparación
Si an ≥ 0 y bn ≥ 0 ∀n ≥ 1. SiP
existe una constante C > 0 tal que aP
n ≤ Cbn
∞
∀n entonces la convergencia de n=1 bn implica la convergencia de ∞
n=1 an .
Dem:Sea SP
n = a1 + a2 + ... + an y tn = b1 + b2 + ... + bn sumas parciales
P∞
P
∞
a
y
de ∞
n=1 bn
n=1 bn respectivamente, por hipótesis Sn ≤ Ctn . Si
n=1 n
converge sus sumas parciales
estan acotadas, si M es una cota, se tiene que
P
a
Sn ≤ CM y por tanto ∞
n=1 n es también convergente puesto que sus sumas
parciales estan acotadas por CM. P
P∞
Análogamente la divergencia de ∞
n=1 bn
n=1 an implica la divergencia de