Acotación uniforme de los operadores de Toeplitz que actúan en

Vol. XVIII, No 1, Junio (2010)
Matemáticas: 8388
Matemáticas:
Enseñanza Universitaria
c Escuela Regional de Matemáticas
Universidad del Valle - Colombia
Acotación uniforme de los operadores de Toeplitz que actúan en
espacios de Bergman con peso
Ernesto Prieto S.
Universidad Tecnológica de Pereira
Recibido Feb. 19, 2010
Aceptado Abr. 21, 2010
Abstract
In this paper we give conditions for a family Ta of Toeplitz operators with continuous radial
symbol on weighted Bergman spaces A2h (C) to be uniformly bounded.
Keywords: Bergman space, uniform boundedness, Toeplitz operator
MSC(2000): 47B35,30A31
Resumen
En este artículo damos condiciones para que una familia Ta de operadores de Toeplitz, con
símbolo radial continuo, en un espacio de Bergman con peso A2h (C), sea uniformemente acotado.
Palabras y frases claves: Espacio de Bergman, acotación uniforme, operador de Toeplitz
1 Introducción
Los operadores de Toeplitz han sido ampliamente estudiados para diversos dominios. En el caso del espacio de Bergman
A2 (D)
donde
D
es el disco unitario
N. L.Vasilievski [9] demostró que el operador de Toeplitz con símbolo radial es
unitariamente equivalente a un operador de multiplicación. En [10] para el caso de
símbolos radiales se estudia el comportamiento de diferentes propiedades (Acotacion, compacidad, propiedades espectrales, etc.) de los operadores de Toeplitz
(λ)
Ta
D,
actuando en los espacios de Bergman con peso
en dependencia del parámetro
cuando
λ → +∞
λ
A2λ (D)
sobre el disco unitario
y se compara el comportamiento del límite
con las correspondientes propiedades del símbolo inicial
a.
n
Para un estudio en la bola de C se puede ver [8].
En [6] usando el metodo de cuantización de Berezin en la 2-esfera se dan los
detalles de la construcción de los campos vectoriales hamiltonianos, los corchetes
de Poisson, el operador de Laplace-Beltrami y usando la teoría de Bergman se
construye el núcleo de Bergman y se da la forma integral de la proyección de
Bergman. Estos conceptos son utilizados en el desarrollo de la teoría de los operadores de Toeplitz y se pueden estudiar en [1].
Nuestro principal objetivo en el presente trabajo es estudiar las condiciones
que el símbolo debe satisfacer bajo las cuales la familia de operadores de Toeplitz
Ta
con símbolo radial actuando en los espacios de Bergman con peso
uniformemente acotada .
A2h (C)
sea
E. Prieto
84
2 Acotación uniforme
Nos basaremos en el siguiente teorema cuya demostración se puede ver en [6]
Teorema 1. Sea a(r) una función del espacio L1 (R+ , (1 + r2 )− 2 dr). Entonces
3
el operador de Toeplítz Ta denido en A2h (C) es unitariamente equivalente al operador de multiplicación γa,N I con γa,N I : l2 (Z+ ) → l2 (Z+ ), y la sucesión γa,N esta
dada por
Z
N
n
γa,N (n) = 2(N + 1)
+∞
a(r)r2n
0
rdr
(1 + r2 )N +2
(1)
para todo n = 0, 1, 2, .., N.
Ahora nuestro objetivo es estudiar las condiciones que el símbolo debe satisfacer bajo las cuales la familia de operadores
Ta
sea uniformemente acotada.
El estudio lo dividimos en los siguientes casos:
N
1. Cuando el parámetro de peso
2. Cuando los parámetros
N
y
n
tiende a innito y
n
es jo
tienden a innito
Para el primer caso la respuesta esta contenida en el siguiente teorema
Teorema 2. Si la función B(s) :=
Rs
0
a(r)dr
satisface la desigualdad
|B(s)| ≤ const · s, para s ∈ R+
(2)
entonces
|γa,N (n)| ≤ const n.
para todo n = 0, 1, 2, .., N.
Demostración.
Integrando por partes (2) se tiene
+∞
r2n+1
Rs
γa,N (n) = 2 (N + 1) N
·
a
(r)
dr
−
N
+2
0
2
0
n (1+r2n)
R +∞
(2n+1)s
2(N +2)s2n+2
B(s) (1+s2 )N +2 −
ds .
2 N +3
0
(1+s )
Aquí
B(s) :=
Rs
0
a(r)dr,
γa,N (n) = 2(N + 1)
Para
n-jo
de donde
Z +∞
N
2(N + 2)s2n+2
(2n + 1)s2n
B(s)
−
ds.
n
(1 + s2 )N +3
(1 + s2 )N +2
0
y puesto que el promedio del símbolo
a(r)
satisface la condición (2)
tenemos
Z +∞ N
2(N + 2)s2n+3 ds (2n + 1)s2n+1
|γa,N (n)| ≤ const2 (N + 1)
+
ds.
n
(1 + s2 )N +3
(1 + s2 )N +2
0
Acotación uniforme de los operadores
85
Las anteriores integrales se pueden calcular en forma exacta usando la función
Beta. Por lo tanto
|γa,N (n)| ≤ const2(N + 1) N
n [(N + 2)B(n + 2, N − n + 1)
+ 12 (2n + 1)B(n + 1, N − n + 1)]
Equivalente
Γ(n+2)Γ(N −n+1)
N
n ((N + 2)
Γ(N +3)
−n+1)
1) Γ(n+1)Γ(N
).
Γ(N +2)
|γa,N (n)| ≤ const2(N + 1)
+ 12 (2n +
Es decir
N
n ((N +
(n)!(N −n)!
1) (N +1)! ).
|γa,N (n)| ≤ const2(N + 1)
+ 12 (2n +
−n)!
2) (n+1)!(N
(N +2)!
Finalmente
|γa,N (n)| ≤ const[2(n + 1) + (2n + 1)].
Para el segundo caso usaremos el método de Laplace.
Teorema 3. Si la función B(s) :=
vecindad del punto s0
Rs
0
a(r)dr
tiene la siguiente forma en una
B(s) = B(s0 ) + O|s − s0 |.
(3)
Entonces
|γa,N (n)| ≤ const.
para todo n = 0, 1, 2, .., N. Donde la constante no depende de n ni de N.
Demostración.
De nuevo integrando por partes (2) tenemos
Z +∞
N
2(N + 2)s2n+2
(2n + 1)s2n
γa,N (n) = 2(N + 1)
B(s)
−
ds.
n
(1 + s2 )N +3
(1 + s2 )N +2
0
Rs
Si la función B(s) :=
0 a(r)dr cumple la condición (3) entonces
Z +∞
2(N + 2)s2n+2
(2n + 1)s2n
N
γa,N (n) = 2(N + 1)
B(s0 )
−
ds
(1 + s2 )N +3
(1 + s2 )N +2
n
0
Z +∞
N
s2n+1
s
2n + 1
+4(N +2)(N +1)
(B(s) − B(s0 ))
−
ds.
n
(1 + s2 )N +2 1 + s2 2s(N + 2)
0
Ahora calculamos la primera integral usando la función Gamma como en el teorema anterior
Z +∞ N
2(N + 2)s2n+2
(2n + 1)s2n
2(N + 1)
−
ds =
n
(1 + s2 )N +3
(1 + s2 )N +2
0
E. Prieto
86
"
Γ(n + 32 )Γ(N − n + 32 )
N
= 2(N + 1)
(N + 2)
n
Γ(N + 3)
#
Γ(n + 21 )Γ(N − n + 32 )
1
− (2n + 1)
2
Γ(N + 2)
2Γ(N − n + 32 )
3
1
1
=
Γ(n + ) − (n + )Γ(n + )
(N − n)!n!
2
2
2
2Γ(N − n + 32 )
3
3
=
Γ(n + ) − Γ(n + ) = 0.
(N − n)!n!
2
2
Por lo tanto
Z +∞
N
s2n+1
|γa,N (n)| ≤ const(N + 2)(N + 1)
(1 + s2 )N +2
n
0
2n + 1
s
×
−
|s − s0 |ds.
1 + s2 2s(N + 2)
2n+1
2(N +2) en la anterior integral (nótese que
s2n+1
sando la función
de la siguiente forma
(1+s2 )N +2
Haciendo
k=
0 < k < 1)
y expre-
s2n+1
s2n+1
=
exp
log(
) = exp[(2n + 1) log s − (N + 2) log(1 + s2 )]
(1 + s2 )N +2
(1 + s2 )N +2
1
= exp[−2(N + 2)( log(1 + s2 ) − k log s)] = exp[−2(N + 2)ϕ(s)].
2
Aquí
ϕ(s) :=
1
log(1 + s2 ) − k log s.
2
Siguiendo el método de Laplace hay que calcular el mínimo de la función
entonces
ϕ0 (s) =
s
1
−k .
1 + s2
s
Por lo tanto el mínimo esta dado por
r
s0 =
k
.
1−k
Ahora tomamos las siguientes aproximaciones en una vecindad del punto
ϕ(s) ∼ ϕ(s0 ) +
ϕ00 (s0 )
s
1
(s − s0 )2 y
− k ∼ C1 (s − s0 ).
2
2
1+s
s
s0
ϕ(s)
Acotación uniforme de los operadores
Entonces
|γa,N (n)| ≤ const(N + 1)(N + 2)
Z
+∞
×
00 (s
e−(N +2)ϕ
87
N −2(N +2)ϕ(s0 )
e
n
2
0 )(s−s0 )
(s − s0 )2 ds.
0
Haciendo
U = (N + 2)ϕ00 (s0 )(s − s0 )2 en la anterior integral se tiene
Z
N + 1 N −2(N +2)ϕ(s0 ) +∞ −U 1
|γa,N (n)| ≤ const √
e U 2 dU.
e
N +2 n
0
Es decir
N + 1 N −2(N +2)ϕ(s0 ) 3
|γa,N (n)| ≤ const √
e
Γ( ).
2
N +2 n
Calculando
k
−2(N + 2)ϕ(s0 ) = −2(N + 2) log
De donde
(1 − k) 2
1
k
= log
(1 − k) 2 k 2
3
e
−2(N +2)ϕ(s0 )
(1 − k)N +2 k k(N +2)
.
(1 − k)k(N +2)
1
(N − n + 23 )N −n+ 2 (n + 12 )n+ 2
=
.
(N + 2)N +2
Por lo tanto
3
1
(N − n + 32 )N −n+ 2 (n + 12 )n+ 2
Γ(N + 2)
|γa,N (n)| ≤ const √
.
(N + 2)N +2
N + 2Γ(N − n + 1)Γ(n + 1)
Finalmente usando el comportamiento asintótico de la función Gamma
√
1
Γ(z) ≈ z z− 2 e−z 2π
para
|z|
grande, se tiene
3
|γa,N (n)| ≤ const √
(N +2)N + 2
1
1
N +2(N −n+1)N −n+ 2 (n+1)n+ 2
3
1
(N −n+ 23 )N −n+ 2 (n+ 12 )n+ 2
×
≤ const,
(N +2)N +2
Referencias
[1] Berezin, F.A.: Método de la Segunda Cuantización (En Ruso), Nauka, Moscú,
1965
[2] Krantz, S.: Function Theory of Several Complex Variables, Wadsworth &
Brooks, California, 1992
E. Prieto
88
[3] Krantz, S. G.: Partial Dierential Equations and Complex Analysis, CRC
Press, Boca Raton, 1992
[4] Kiseliov, A. I. and Krasnov, M. and Makarenko G.: Problemas de Ecuaciones
Diferenciales Ordinarias, Instituto Politécnico Nacional, México, D.F., 1990.
[5] Lee, J. M.: Introduction to Smooth Manifolds, Springer - Verlag, New York,
2003
[6] Prieto, S.E.: Operadores de Toeplitz en la 2-esfera. Tesis de maestria,
CINVESTAV-IPN, Mexico,D.F., 2004
[7] Range, Michael R.: Holomorphic functions and integral representations in
several complex variables, Springer-Verlag, New York Inc., 1986
[8] Vasilevski, N. L. and S.Grudsky, A.K.: Toeplitz Operators on the unit ball in
Cn ,with radial symbols. Reporte interno 292, Departamento de Matematicas,
CINVESTAV del I.P.N, Mexico City., 2001
[9] N. L. Vasilevski, Toeplitz.: Operators on the Bergman Spaces: Inside-thedomain Eects, Contemporary Mathematics, 289,2001, 79-146
[10] Vasilevski, N. L. and S.Grudsky, A.K.: Dynamics of Properties of Toeplitz
Operators with Radial Symbols:, Reporte Interno 317,Departamento de
Matematicas, CINVESTAV del I.P.N, Mexico City., 2002
Dirección del autor
Ernesto Prieto S. Departamento de Matemáticas, Universidad Tecnológica de Pereira,
PereiraColombia
e-mail: ernespri@utp.edu.co