PROBABILIDAD ¿Dónde estamos? YT: EOF Frentes abiertos

¿Dónde estamos?
DESCR.
PROBABILIDAD
1981
CONCEPTOS BÁSICOS DE PROB.
PROBABILIDAD CONDICIONADA
CÁLC. P.
INFERENCIA
Probabilidad
1988
Emilio Letón
Dpto. Estadística, UC3M
Estadística: E. Letón
1
YT: EOF
Estadística: E. Letón
2
Frentes abiertos
Let me sail, let me sail, let the
orinoco flow,
Let me reach, let me beach on the
shores of tripoli.
Llegar a las poblaciones
Carry me on the waves to the lands
I’ve never been,
We can sail, we can sail...
Estadística: E. Letón
3
Estadística: E. Letón
4
CONCEPTOS BÁSICOS DE PROB.
CONCEPTOS BÁSICOS DE PROB.
Experimento y espacio muestral
Sucesos
Probabilidad de un suceso
x
xi
?
PROBABILIDAD CONDICIONADA
Estadística: E. Letón
5
Experimento y espacio muestral
Experimento
Obtener un dato
bajo condiciones
(población):
determ., aleat.
Estadística: E. Letón
Estadística: E. Letón
6
Ejemplo E1
F
F
S
F
S
S
Espacio muestral
E=Ω=
{resultados
elementales}
7
Estadística: E. Letón
Se observa una pieza si F o S
F=fallo, defectuoso; S=correcto
Si el dígito se ha transmitido F o S
E1={F,S}
Discreto finito de 2 elementos
8
Ejemplo E2
FFF
SFF
FSF
FSS
FSS
FFF
Ejemplo E3
Se observa una pieza de 3 comp.
con cada componente F o S
E2={FFF,FFS,FSF,FSS,SSS,
SSF,SFS,SFF}
Discreto finito de 8 elementos
Estadística: E. Letón
S
FS
FFS
S
FS
FS
9
Ejemplo E4
15
12
3
45
17
1
Estadística: E. Letón
Se observa nº de veces hasta
transmitir un bit correctamente
E3={S,FS,FFS,FFFS, FFFFS,…}
Discreto inf. (infinito numerable)
Estadística: E. Letón
10
Resumen: exp. y espacio muestral
Se observa el tiempo hasta
transmitir un bit correctamente
Tiempo de acceso a una web
E4=R+
Continuo inf. (inf. no numerable)
11
Estadística: E. Letón
12
Ejemplo E1
Estadística: E. Letón
{F}
Cualquier subconjunto “de interés” en E
Letras mayúsculas: A, B, C, D, F, …
Suceso elemental
Suceso complementario
Suceso vacío Ø; suceso seguro
Operaciones con sucesos ∩ (y), U (o)
4
13
Estadística: E. Letón
14
256
dinf
Al menos dos S
Al menos tres F
Estadística: E. Letón
15
Estadística: E. Letón
{F,F,S}
{F,S}
{S}
{S,F,F}
{S,F,S}
{S,S,F}
{S,S,S}
Ejemplo E3
{F,S,S}
{F,S,F}
Ejemplo E2
{F,F,F}
{F,F,S}
{S}
Sucesos
16
Ejemplo E4
Euler-Venn (1/2)
A
infnn
Leonhard
Euler
(1707-1763)
Estadística: E. Letón
17
Euler-Venn (2/2)
Estadística: E. Letón
18
Resumen: sucesos
E1, E2, E3: suceso es todo subcjto de E
E4: suceso (a,b], [a,b), [a,b], (a,b)
Estadística: E. Letón
19
Estadística: E. Letón
20
Operaciones de sucesos
Intersección (1/3)
Intersección
Unión
Complementario
Diferencia
Estadística: E. Letón
21
Intersección (2/3)
A
B
A
Estadística: E. Letón
22
Intersección (3/3)
B
A
B
Estadística: E. Letón
23
Estadística: E. Letón
24
Unión (1/3)
Unión (2/3)
B
A
Estadística: E. Letón
A
25
Unión (3/3)
Estadística: E. Letón
B
26
Complementario
A
A
B
Estadística: E. Letón
27
Estadística: E. Letón
28
Diferencia (1/4)
Diferencia (2/4)
B
A
Estadística: E. Letón
29
Diferencia (3/4)
Estadística: E. Letón
30
Diferencia (4/4)
A
B
B
Estadística: E. Letón
B
A
A
31
Estadística: E. Letón
32
Resumen: ope. de sucesos
Propiedades ope. de sucesos
Básicas
Distributiva
Leyes de Morgan
Estadística: E. Letón
33
Básicas (1/2)
Estadística: E. Letón
Estadística: E. Letón
34
Básicas (2/2)
35
Estadística: E. Letón
36
Distributiva (1/3)
Distributiva (2/3)
A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B ) ∩ (A ∪ C )
A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B ) ∩ (A ∪ C )
B
A
C
Estadística: E. Letón
C
37
Distributiva (3/3)
Estadística: E. Letón
38
Leyes de Morgan (1/3)
A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B ) ∩ (A ∪ C )
A ∪B = A ∩B
A
Estadística: E. Letón
B
A
39
Estadística: E. Letón
B
40
Leyes de Morgan (2/3)
Leyes de Morgan (3/3)
A ∪B = A ∩B
A
A ∪B = A ∩B
B
Estadística: E. Letón
41
Resumen: prop. ope. de sucesos
Estadística: E. Letón
42
Probabilidad de un suceso
E2={FFF,FFS,FSF,FSS,SSS,SSF,SFS,SFF}
FFF
FFS
FSF
FSS
SSS
SSF
SFS
SFF
Estadística: E. Letón
43
Estadística: E. Letón
n1
n2
n3
n4
n5
n6
n7
n8
n1/n
n2/n
n3/n
n4/n
n5/n
n6/n
n7/n
n8/n
44
Fermat
Laplace
Fermat Pascal Probability
Fermat
Laplace
(1601-1665)
(1749-1827)
Estadística: E. Letón
45
Kolmogorov
Estadística: E. Letón
46
Resumen: prob. de un suceso
Kolmogorov
(1903-1987)
Estadística: E. Letón
47
Estadística: E. Letón
48
Prop. probabilidad
Complementario
P (A ) = ?
0 ≤ P (A ) ≤ 1
Estadística: E. Letón
49
Vacío
50
Diferencia
P (∅ ) = ?
Estadística: E. Letón
Estadística: E. Letón
P (A − B ) = ?
51
Estadística: E. Letón
52
¿Unión / Intersección?
Unión (1/2)
P (A ∪ B ) = ?
La prob. de lluvia el sábado es del 50%
La prob. de lluvia el domingo es del 50%
Entonces la probabilidad de que llueva el
fin de semana es del …
Estadística: E. Letón
53
Estadística: E. Letón
Unión (2/2)
Intersección
P (A ∪ B ∪ C ) = ?
P (A ∩ B ) = ?
Estadística: E. Letón
55
Estadística: E. Letón
54
56
Sucesos elementales
Espacios equiprobables
P (A ) = ?
E =
Estadística: E. Letón
U {e i } ⇒ P ({e i }) = n1
i =1
Si A = U {ai } ⇒ P (A ) = ∑ P ({ai })
i
n
P (A ) =
i
57
Resumen: propiedades
1
n
card (A ) =
card (A )
card (E )
Estadística: E. Letón
58
Combinatoria
Regla del producto
Si una elección tiene M alternativas y otra
elección N → La realización de ambas
admite MN alternativas.
Estadística: E. Letón
59
Estadística: E. Letón
60
Ejemplo 1
Ejemplo 2
Ordenaciones distintas con {1, 2, …n}
5 camisetas y 4 pantalones
Estadística: E. Letón
61
Ejemplo 3
Estadística: E. Letón
62
Resumen: combinatoria
De un conjunto de n elementos,
subconjuntos de m elementos
Estadística: E. Letón
63
Estadística: E. Letón
64
Binomio de Newton
Estadística: E. Letón
n=3
65
n cualquiera
Estadística: E. Letón
66
Ejemplo
¿Cuántos subcjtos se pueden formar
de un conjunto de n elementos
Estadística: E. Letón
67
Estadística: E. Letón
68
Resumen: binomio de Newton
CONCEPTOS BÁSICOS DE PROB.
PROBABILIDAD CONDICIONADA
Independencia
Teorema de la probabilidad total
Teorema de Bayes
Estadística: E. Letón
69
PROBABILIDAD CONDICIONADA
Estadística: E. Letón
Independencia
Manejando información extra
A y B son independientes sii
P(A|B)=P(A) y P(B|A)=P(B)
Sabiendo que …
P (A B ) :=
Estadística: E. Letón
70
P (A I B )
si P (B ) > 0
P (B )
71
Estadística: E. Letón
72
Caracterización
Intuición
A y B son independientes si y solo si
P(A∩B)=P(A)P(B)
Estadística: E. Letón
73
Ejemplo
Estadística: E. Letón
74
Ejemplo (cont)
La probabilidad de cometer un error en un
“movimiento” es del 0,01.
Si se hacen 100 movimientos, ¿cuál es la
probabilidad de cometer al menos un error?
Estadística: E. Letón
75
Estadística: E. Letón
76
Resumen: independencia
Teorema de la probabilidad total
P (A B j )
Estadística: E. Letón
77
Enunciado
Si E =
78
E = B1 ∪ B 2 disjtos
U B j disjtos dos a dos
P (A ) =
j =1
Estadística: E. Letón
Estadística: E. Letón
P (B j )
Demostración (1/2)
J
⇒ P (A ) =
P (A ) = ?
∑ P (A B j )P (B j )
J
j =1
79
Estadística: E. Letón
80
Demostración (2/2)
Resumen: teorema de la Prob. Tot.
Estadística: E. Letón
81
Teorema de Bayes
Estadística: E. Letón
82
Enunciado
P (B r A ) = ?
J
U B j dtos 2 a 2 ⇒ P (B r | A )
E =
P (A B r )
j =1
P (B r )
=
Bayes
P (A B r )P (B r )
∑ P (A B j )P (B j )
J
j =1
(1702-1761)
BAYES BIOGRAPHY
Estadística: E. Letón
83
Estadística: E. Letón
84
Demostración (1/2)
Demostración (2/2)
P (B r | A ) =
P (B r | A ) =
Estadística: E. Letón
85
Resumen: teorema de Bayes
Estadística: E. Letón
86
Webgrafía: web de la asignatura
Software; Prácticas; ABP; Autoevaluación;
Ejercicios; Mini-Vídeos; CPC; Tutorías; Webgrafía
Estadística: E. Letón
87
Estadística: E. Letón
88