MATEMÁTICAS 0 1 DEL GRADO EN CIENCIAS AMBIENTALES CURSO 13-14 Hoja de problemas del TEMA 5 1. Determinar si las siguientes funciones y relaciones son solución de las correspondientes ecuaciones diferenciales: dy (a) y = Ce4x , (b) x2 + y 2 = 4, y 0 = xy dx = 4y 2xy 2 2 0 (c) x + y = Cy, y = x2 −y2 (d) y = 3 cos(2x), y (4) − 16y = 0 2 2 0 (e) 2x + 3y = C, 2x + 3yy = 0 (f) y = C1 + C2 ln(x), xy 00 + y 0 = 0 2. Demostrar que φ(x) = Ce3x + 1 es una solución de la ecuación diferencial y 0 − 3y = −3 para cualquier valor de la constante C. 3. Calcular la solución general de las siguientes ecuaciones de variables separables: x2 +2 3y 2 (a) dy dx (c) (e) (4y + yx2 )y 0 = 2x + xy 2 (d) 3 sin(3x)dx + 2y cos (3x)dy = 0 (f) = (b) xy 0 = y √ 1+y 2 y dy √ x dx = 1+x2 dy 2 dx = 1 − x + y − xy 2 4. Calcular la solución particular de los siguientes problemas de valor inicial: (a) (c) (e) dy dx dy dx + xy = y, y(1) = 3 2x = y+y y(2) = 3 2, sin y dy = x1+x y(1) = cos y dx 2 , π 2 dy (b) y dx + (1 + y 2 ) sin x = 0, y(0) = 1 dy (d) dx = k(a − y)(b − y), y(0) = 0, a, b > 0 (f) (1 + x4 )dy + x(1 + y 2 )dx = 0, y(1) = 0 5. La función Q(t) representa la proporción de un producto quı́mico que ha sido absorbida por una membrana −t porosa tras un tiempo t (horas). La tasa de absorción es dQ dt = t e . (a) Si inicialmente no se habı́a producido absorción, calcular la proporción absorbida tras 5 horas, y tras 10 horas. (b) Calcular lı́mt→∞ Q(t) e interpretar el resultado. 6. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales: (a) y 0 + x1 y + x2 = 0, (b) y 0 = x2xy −1 − x, x+1 (c) y 0 − x y = x(1 − x) (d) y 0 − xy − 2x3 2 = 0. 7. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales exactas: 2 2 (a) (3ye3x − 2x)dx + e3x dy = 0, (b) (y 2 exy + 4x3 )dx + (2xyexy − 3y 2 )dy = 0, (c) (x + 2y)dx = −(2x − 3)dy, (d) x31y2 dx + ( x21y3 + 2y)dy = 0. 8. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales: (a) (c) (e) (g) (i) (k) (m) (1 + 2y)dy − (4 − x)dx = 0, (y cos x + ey )dx + (sin x + xey + 1)dy = 0, 4x3 ydx + x4 dy = 0, (3x2 + 2y sin 2x)dx + (2 sin2 x + 3y 2 )dy = 0 ey dx + x2 (2 + ey )dy = 0, x(1 + y 2 )dx + y(1 + x2 )dy = 0, (3x2 + 4xy)dx + (2x2 + 3y 2 )dy = 0, (b) (d) (f) (h) (j) (l) (n) y y 0 = exxcos sin y , ( y12 − xy2 )dx + ( x1 − 2x y 3 − 2)dy = 0, y 0 + y = e−2x , (x3 + xy 2 )dx + (x2 y + y 3 )dy = 0, x2 dy − cos2 ydx = 0, sec2 ydx + cos2 xdy = 0, ln(y 2 + 1)dx + 2y(x−1) y 2 +1 dy = 0 SOLUCIONES 3. (a) y 3 = (e) y 2 = x3 3 + 2x + C 1 6 cos2 (3x) + C x2 1 (b) y = Cx (c) 2 + y 2 = k(4 + x2 ) (d) 2 (f) y = tan(x − x2 + C) q 2 3 1+y 2 (b) = ecos x−1 (c) y2 + y3 = x2 + 8 2 4. (a) y(x) = 3ex− 2 − 2 q 2 (e) y = arcsin 1+x 2 (f) 5. (a) ≈ 0,96, ≈ 0,9995 (b) 1. 3 6. (a) y = − x4 + k x 7. (a) ye3x − x2 = C arctan y = − 12 arctan x2 + √ (b) y = −(x2 − 1) + k x2 − 1 2 (b) exy + x4 − y 3 = C (c) (c) x2 2 y = x2 + kxex + 2yx − 3y = C 2 (k) (n) y2 x2 2 2 2 +x y + 2 =C y2 x2 2 2 (1 + y ) + 2 = C 2 (x − 1) ln(y + 1) = C (i) (l) 1 x = −2e−y + y + C tan x = 12 y + 1 4 1 + y2 = (d) √ 1 + x2 + C 1 a(b−y) b−a ( b(a−y) ) = ekx π 8 8. (a) y(1 + y) = 4x − x2 + C (b) ln( cos1 y ) = xe−x − e−x + C (d) yx2 + xy − 2y = C (e) y = x41C (f) y = (−e−x + C)e−x (h) p (j) sin 2y + C (d) (d) y = − 43 x1 + kx − 21 x21y2 + y 2 = C (c) y sin x + xey + y = C (g) x3 − y cos 2x + y + y 3 = C tan y = − x1 + C (m) 2x2 y + y 3 + x3 = C