Descomposición de series temporales, especificación, estimación e

ESTADiSTICA ESPAÑOLA
núm. 1 14, 1987, págs. 1 1 a S9
Descomposición de series temparaies:
especificacián, estimación e inferencia
(^on una aplicacibn a la oferta monetaria en España^
por
AGUSTIN MARAVALL
Servicio de Estudios Banco de España
A María Teresa, mi generosa
y fiel hermana.
N4TA PRELIMINAR
Quiero aclarar que, aunque el articulo se centra en una metodologia concreta, no
pretende ser una descripción completa de la misma. Los temas tratacios están, sin duda,
sesgados en Ia dirección en la que mi trabaja personal se ha ido orientando, como
evidencia claramente la lisia de Referencias.
Puesto que el trabajo se refiere a un periodo de mi actividad profesional, quiero
agradecer a A. Espasa, D. Peña, D. A. Pierce, J. A. Carro, M. C. Sanz y A. Paredes 1a
relación que, durante ese periodo mantuvieron conrnigo. Por motivos diversos, sin esas
relaciones el trabajo me habría resultado mucho más arduo.
Un resumen en inglés de partes de este trabaj© va a ser publicado en Maravall
(1987a). Finalmente, algunos de los cuadros de las Secciones 4.2 y 5 modifican ligeramente los presentados en Maravall y Salaverria { 1986).
ESTADISTIC'A ESPAÑOLA
RESUMEN
La descomposición de series temporales en componentes no-observables, y en particular la desestacionalización, se ha enfocado en estos últimos años como un caso de
extracción óptima de señales en modelos ARIMA. Este trabajo presenta un método que
se está convirtiendo en una herramienta útil en el análisis aplicado de series temporales.
Se discute primero el problema de la especificación de modeios para los componentes,
compatibles con el modelo para la serie observada. Se derivan los estimadores óptimos
y se estudian sus propiedades; éstas conducen de forma natural a un diagnóstico de los
resultados. Finalmente se analizan los errores de estimación (final y de revisión).
La discusión se ilustra con la serie ALP, variable crucial en el control monetario. E1
análisis permite contestar preguntas de interés práctico, tales como, por ejemplo, cual
debe ser la frecuencia con que se desestacionaliza, hasta cuando se debe seguir revisando
la serie desestacionalizada, o cual es la imprecisión asociada a la estimación de la serie
desestacionalizada y, en consecuencia, a sus diversas tasas de crecimiento. A lo largo de
la aplicación, se compara la tendencia con la serie desestacionalizada como indicadores
de la evoi ución subyacente de la serie.
Dicho brevemente, en el trabajo se presenta un método relativamente eficiente de
resolver un problema estadístico relevante (la descomposición de una serie). E1 método
se presta fácilmente a una interpretación rigurosa de los datos y permite, en definitiva,
una fundamentación más sólida de la toma de decisiones en política económica.
DESCOMPOSIC'ION pE SERIES TEMPORALES: ESPECIFIC ACION. ESTIM.AC'lON E INFERENCIA
13
INDICE
INTRODUCCION
l.
ESPECIFICACION DEL MODELO
i . I . Esquema General
1.2. Los Modelos para los Componentes
2.
.
UN MODELO DE REFERENCIA Y UN EJEMPLO
ESTIMACION
3.1. Estimadores con Error Cuadrático Medio Mínimo
3.2. Los Modelos para los Estimadores
4.
DIAGNOSTICO E INFERENCIA
4.1. Diagnóstico
4.2. Inferencias
a) Error en la Estimación Fínal
b) Error de Revisión
5.
UN COMENTARIO FINAL: INTERVALOS DE CONFIANZA Y TASAS DE
CRECIMIENTO
APENDICE A: ESTIMADOR CON ERROR C'UADRATICO MEDIO MINIMO DE
UNA SENAL EN UNA SERIE TEMPORAL
r
A.1. Introducción
A.2. Caso Estacionario
A.3. Caso No-estacionario
A.4. i.1n Ejemplo
APENDICE B: LINEARIZACION DE LAS TASAS INTERMENSUALES DE
CRECIMIENTO
REFERENCIAS
14
ESTADISTICA ESPAÑOI_A
INTROD^UCCION
Los estadísticos que trabajan sobre series económicas se enfrentan con frecuencia a
dos actividades profesionales importantes, que resultan de una demanda real por parte
de las agentes de la politica econtímica y, en general, de los que siguen de cerca la
evolución de Ia econornía. Estas actividades son la predicción, sobre todo a corto plazo,
y la estimación de componentes en las series, fundamentalmente la eliminación del
componente estacional.
Así como la predicción ha sido objeto de considerable atención por parte de la
"comunidad investigadara", la estimación de componentes, principalmente la desestacionalización, ha sido un tema rnarginal (aunque, por supuesto, existen contribuciones
importantes). Ello ha implicado que, en la práctica, la desestacionalización se realice de
manera abrumadora por rnedio de programas más o menos "ad hoc", desarrollados de
un modo empiricista, cuyo fundamento no queda muy precisado. De estos programas el
más conocido es el llamado X 1 1, desarrollado por Shiskin, Young y Musgrave (1967)
en el Bureau of the Census después de un largo proceso de experimentación. Recientemente se ha popularizado una versión modificada del programa, X 1 1 ARIMA, desarroIlada por E. ^. Dagum en Statistics Canada (ver Dagum, 1980).
A pesar del esfuerzo que hay detrás del desarrollo de estas programas, la falta de
interés de la comunidad investigadora y, posiblemente, la poca orientación académica
de sus realizadores, ha motivado que la documentación de dicho esfuerzo no resulte
fácilmente asequible. Así, X l 1 (e incluso X 1 1 ARIMA) se emplea, en una enorme
pr^porción de casos, en su opción de defecto; X 1 1 suele operar entonces como una caja
negra, un tanto m isti fícante.
El tratamiento analítico deI tema de la desestacionalización se enfrenta a problemas
serios desde su mismo comienzo. Para empezar, no existe una definición generalmente
aceptada de lo que es un componente estacional. (Un problema similar se plantea en la
estimación de tendencias}. Para acabar, a diferencia de lo que sucede en la predicción,
donde la serie finalmente se canoce, la estacionalidad nunca se observa y no es posible,
pues, conocer los errores con que se mide. Como consecuencia, estacionalidad viene a
ser, en la práctica, lo que estima como tal X 1 1 en su opción de defecto.
Sin embargo, X 1 1 presenta varias insufciencias. En primer lugar, en la medida en la
que distintas series contienen estacionalidades distintas, que evolucionan de forma
también distinta, el f ltro a utilizar para capturar la estacionalidad debería depender de
la estructura de la rnisma. (En Ios dos casos extremos, par ejemplo, si la serie es ruido
blanco, el filtro debería ser cero, mientras que si se trata de una serie "puramente
estacional", el filtro debería ser uno}. X l 1 ofrece poca flexibilidad para adaptarse a
estructuras distintas y, de hecho, hay evidencia de series en las que resulta inadecuado
DESt't)MPOSIC'ION DE SERIES TEMPORALES: ESPECIFIC'AClQN, ESTIMAC'ION E INFERENC'IA
15
(dentro de las series que se desestacionalizan en el Servicio de Estudios del Banco de
España ver, por ejemplo, Maravall (1986a), Artola y Espasa (1987} y Maravall (19$7b)
). Tiene, pues, interés buscar un métoda que permita ajustarse a ta estructurá de la serie
en cuestión.
En segundo lugar, la ausencia de un modelo detrás de X 1 1 dificulta el análisis
sistemático de los resultados y la realización de inferencias. La fundamentación de un
método de desestacionalización en modelos permitiría realizar diagnásticos sobre si los
resultados obtenidos son aceptables o no y, en caso afirmativo, conocer las propiedades
de los estimadores y de los errores de estimación. Este última punto presenta un interés
práctico grande y con frecuencia se ha recomendado que los organisrnos que proporcionan datos desestacionalizados ofrezcan también intervalos de confianza alrededor de los
mismos que reflejen la imprecisión con que se estima la estacionalidad. Si, por poner un
ejemplo, el objetivo para el crecimiento de una variable dentro de un año es del l0% y,
en un mes dado, la medición del crecirniento (anualizado) de la serie desestacionalizada
es del 12%, tiene interés saber si la desviación entre objetivo y crecimiento puede ser
explicada simplemente por los errores cometidos en la estimacián de la estacionalidad o
si, por el contrario, la serie está creciendo más de lo deseado.
Volviendo a la predicción, gracias a Ios trabajos de Box y Jenkins, la década de los
setenta presenció la proliferación de modelas ARIMA ("Autoregressive Integrated
Moving Average"), que capturan bien la evolución de muchas series. Puesto que esta
evolución se relaciona con la presencia de movimientos tendenciales, ciclicos, estacionales e irregulares, pronto se planteó la posibiiidad de utilizar modelas ARIMA en el
contexto de la estimación de componentes en series. Desde el trabajo inicial de Grether
y Nerlove (1970) sobre series estacionarias, varias aproximaciones han sido sugeridas.
Yo voy a centrarrne en una que se está convirtiendo, en mi opinión, en una herramienta poderosa en el tratamiento aplicado de series temporales. (Las referencias fundamentales son Cleveland y Tiao (1976), Box, Hillmer y Tiao (1978), Burman (1980) y
Hillmer y Tiao (1982); referencias más recientes son Bell y Hillmer (1984) y Maravall y
Pierce (1987) ). En el contexto de una aplicación relacionada con el control monetario,
presentaré una visión general del método, y trataré el problema de la especificación del
modelo, de la estimación de las componentes, del diagnóstico de los resultados y de la
realización de inferencias.
l.
ESPECIFICACION DEL MODELO
l.l. ^sqt^c^ma Genc^ral
Sea ^, una serie observable y supangamos que es la suma de varios componentes
independientes (no-observables), una de ellos ruido blanco. Es decir,
ESTADISTiCA ESPAÑOLA
1 f^
^r = ^, ^,r + 1^r ,
(1 . 1)
donde :;r representa un componente y ur- niid (O,o;,). ^asos particulares de (1.1) son la
deseomposición en tendencia, estacionalidad e irregular, o la descomposición en señal
más ruido. Supondremos que los componentes siguen procesos lineales del tipo
^;r = ^;( B) a;r
(1.2 )
donde `^;(B} representa una funcián racional en el operador de retardos B, que puede
expresarse como
^;(B) = p;(B) / ^; (B) ,
(1.3)
donde fI;{B) y^;(B) son polinomios en B de orden finito. Los a;r's son ruidos blancos
independientes, con varianza c.r. Las ecuaciones (1. l.), (1.2.) and (1.3.) implican que la
serie observada z, también sigue un proceso lineal, que representaremos por
^r = `^(B) af ,
(1.4)
donde a, es ruido btanco y^{B} puede expresarse como el eociente de dos polinomios
finitos en B,
^(B) = H(B) ! c^^ (B) .
(1.5)
En resumen, suponemos que los componentes (y por tanto la serie suma) siguen
modelos ARIMA. Supuestos adicionales son los siguientes:
a) Los polinornios autorregresivos +^;(B) no comparten raices en común.
h) Los ceros de ^(B), ^;(B) y ^;(B) están fuera de o sobre el círculo unitario.
Típicamente, estos polinomios contendrán raíces unitarias y, de hecho, la posibilidad de
incorporar raíces unitarias autorregresivas ha sido un factor fundamental en el interés
de la metodología desde un punto de vista aplicado.
c^) Los ceros de H(B) están fuera del círculo unitario; la serie zt sigue, pues, un proceso
invertible.
Teniendo en cuenta (1.1)-(1.3), z, puede expresarse como
^r = ^; [H^(B)1^;(B)^ a;r + u, .
Eliminando los denominadores y utilizando (1.4) y(1.5), se obtienen las dos relaciones
siguientes:
^(B) = ná ^; (B) ,
(1.6)
8(B) a, _ ^; 8^(B) ^; ( B} a;, + cñ(B)u, ,
(1.7)
[)ESC`OMPOSI('!ON t7E SERiES TEMPORALES: ESPEC'IFIC'AC"ION, ESTIMAC'It^N E^ {NE=ERE^.N(^IA
I7
donde
cp^ ;'(B) _ ^(B) 1 ^^ ^(B} = n;,;^^ ^,(B)
(1.8)
La expresión (1.6) nos dice que el polinomio autorregresivo para ^, es el producto de
los polinomios autorregresivos de los componentes. La expresión (1.7) establece una
identidad que deberá cumplirse para las innovaciones de la serie ^, y de sus componentes.
.2. Lc^.^ 1%Iv^elns ^ara lo.^ C'^^nzpvnc^nt^s
Hernos supuesto que los componentes siguen modelos ARIMA. ^Cómo podemos
determinar estos modelos?
Una forma de hacerlo es especificar a priori modelos que recojan las propiedades que
se asocian a una tendencia, un componente estacional, etc. Esta es la llamada aproximación "estructural" y ejemplos de la misma se encuentran en Engle (1978), Harvey y
Todd (1983), Hausman y Watson (1985) y Harvey y Durbin (1986).
Puesto que solamente se dispone de observaciones sobre ^,, un método alternativo es
comenzar por identificar (especificar} eí modelo AR1MA para ^,, y derivar después
modelos para los componentes que sean consistentes con el modelo agregado. Puesto
que, en este caso, la estructura se deriva a partir de la forrna redueida, este método se
ha denominado el de la "forma reducida" y en este trabajo nos ceñiremos a él. (Para
ver algunas de ías diférencias y similitudes entre los dos métodos ver Maravall, 1985 y
1986c).
Nos interesa, pues, analizar qué rnodelos para los componentes pueden derivarse de
modelos AR1MA. Este es un punto sobre el que existe cierta confusión y resultará útil
considerar primero un ejemplo sencillo.
Sea una serie trímestraf que sigue el modelo
o,^ ^, _ ^,,
(1.9 )
donde o^= 1- B`^. E 1 pseudoespectro de ^^, dado por
1
^^_ ( ^^') _
2{ 1-c , c^s 4 ^1).
^^, (0 < >^ ^ ^ n^),
(1.10)
aparece representado en la Figura 1(en las referencias posteriores eliminaremos el
prefijo "pseudo"). Es simétrico alrededor de ^t-n/2 y presenta tres picos, asociados con
as frecuencias ^ti*=0, n-n12 y ti1^=n. Supongamos que queremos descomponer la serie en
ESTADISTICA ESPAÑOLA
1$
componentes ortogonales de forma que cada uno capture uno de los picos. Queremos
pues expresar .^t como:
:t=^^t+z^t-f-Z^^+ ltt ^
donde u, es un residua ruido blanco.
Las raices del polinamio autorregresivo (AR) (1-B') son
(1.12)
V 4 = (1- B) (1 +B) { 1 +B^) .
ESPECTRO DE V4 r.^ ^ a^
2
0
Fi,^^. 1
y puesto que, en general, un factor AR del tipo (1-^ ^) induce el factor (1 +^' -2^ cos
,j ^t^) en el denominador del espectro, es fácil comprobar que el pico espectral para ^^=0
esta inducido por ei factor AR (1-8) en { 1.12) y, análogamente, los picos para K^=^ y
^1=nI2 están inducidos por los factores AR (1 +B) y(1 +B^), respectivamente. Por lo
tanto, de (1 .9}, (1 .1 1) y( i.12), para que Ios componentes capturen los picos espectrales,
deberán ser del tipo:
(1-B) z^t = ^r(B) art
(1 +B) z^,t = az($) azt
(1.13)
( 1 ♦ B?) '3t - a3{B) Q^t
donde ^;(8) representa un polinomio en B, y a1^, a2t y a^t son ruidos blancos mutuamente independientes y tarnbién independientes de u^.
Considerando (1 .1 1} y(1 .13), zt puede expresarse como
cx, ( B)
a3 ( B)
ai` + u''
+
I+B
^`'
+
1+B`'
1-B ^^'
cz, ( B)
"t
DESC'OMPOSIC`If)N DE SERIES TEMPORALES_ ESPECIFIC'AC.`ION, ESTI^vtAC'lON E I^F E^I^Etit lA
1 9
y, eliminando los denominadores, esta expresión será compatible con (1.9) cuando se
satisfaga la siguiente identidad (análoga a(1.7) ):
a^ =(1+B) (1+B`} a,(B} a,t+(1-B) (1+8`) a^,(B) a,, +
+{ 1- B) { 1+B) a j( B) a j^ + o,, ur .
(1.14 )
Puesto que el lado izquierdo de (1.14) es ruido blanco, la autocorrelación de orden
cuatro del término 04 u^ debe cancelarse con la de los otros sumandos del lado derecho
de la ecuación. En consecuencia, al(B) y/o a,(B) deben ser, por lo menos, de orden uno,
ylo a^(B) debe ser, por lo menos, de orden dos. Es razonable suponer, pues, que
a^(B) = 1-a^ f B
a^(B) = 1 -a,! B
a^(B) = 1-cx^ j B-a;, B`'.
(1.15)
Considerando (1.13) y(1.15), se observa que los modelos para los cuatro componentes dependen de ocho parámetros: los cuatro parámetros a y las cuatro varianzas (o; de
a;,, i=1 ,2,3, y oi,). Estos parámetros deben satisfacer las restricciones que resultan de
igualar las autocovarianzas del lado derecho y del lado izquierdo de (1.14). La varianza
y las cuatro primeras autocovarianzas producen el sistema de ecuaciones:
_ ^ 1+3 (1-a11)' + a^^ ^ J a^ + [ 1+3 {l+a,^)' + a',^ ^ c^^ +
+ 2(1 +a'^, + cz^fi, + a^ ^) rr_`'^ + 2 crr,
0 = 3(1-a^l)^ ^r - 3(1 +a, f)'
_ a^f(1 _cx;,)'
_i
0= 2(1 -a^ j)^ a^ + 2( l+a,l)'' ^, -[(l+a^,)`' + a^^
0=(1-ar^)`'c^-(l+a^^)^a^^+a_^,(1-a_^^)^;
0=-a^i cr^+a^^ o-^^+a_^^o'^-cr^,,
y para otros retardos las autocovarianzas de ambos lados de { 1.14} son cer©.
Se obtiene así un sistenia de cinco ecuaciones con ocho incógnitas que tendrá en
consecuencia infinitas soluciones. Habrá por tanto un número inf nito de valores de los
parámetros en las modelos para los componentes que producirán la misma función de
autocovarianzas para la serie ^^. Se plantea pues un problema de identif^cación similar
al que surge en los modelos econométricos clásicos. El modelo para la serie observada
es la forma reducida, mientras que los modelos para los componentes representan la
forma estructural. Para una forma reducida dada hay un número infinito de estructuras
que la pueden generar. Para poder aislar una es preciso introducir información adicional. La manera en que esta información se ha incarporado tradicionalmente en econometría ha sido fijando a priori algunos parámetros igual a cero en la forma estructural
ESTAD^ ISTICA ESPA?^OLA
(ver Fisher, 196b). Esto reflejaría información derivada de la teoria económica, como,
por ejemplo, que alguna variable afecta a la demanda pero no a la oferta, y viceversa.
Sin embargo, en nuestro caso de descomposición de una serie no existe en general
información a priori de este tipo (aunque, en ocasiones, si puede existir; ver Maravall,
1978). Seguiremos un camino alternativo, originalmente propuesto par Box, Hillmer y
Tiao (1978} y Pierce (1978}, La información adicianal será el requisito siguiente:
Sea ^;, cualquier componente (distinto de ur). Entonces ^;l no debe aceptar una
descomposición del tipo.
^„-^,*,+n,,
donde ^^, y n, son independientes, siendo este último ruido blanco. {Si ^„ aceptase esa
descomposición, el componente deberia ser :*,, y n, deberia ser añadida a ir,}. Siguiendo
a Hillmer y Tiao (1982}, nos referiremos a este requisito como el requisito "canónico".
(Es atractivo, sin duda, intuitivamente pretender obtener una señal lo más limpia de
ruido posible, a falta de otra información adicional. Sin embargo, la descomposición
canónica puede tener sus desventajas, como por ejemplo, aurnentar el tamaño de las
revisiones en las estimaciones de los componentes, revisiones que analizaremos en la
Sección 4.2; ver Maravall, 19$4a).
Sea ^^^(ti1^) el espectro de ^,1 para ^< K^ < ^r. El requisito canónico implica que, para
algún ^1^ en ese rango, ^,rf(l^t^) debe ser cero. De ( l.13} y ( 1.15) es fácil ver que ^,^^,(^t^) es
monotonicamente decreciente en ^^^, de modo que ^ f, no estará contaminado por ruido
cuando ^,J,(n) = 0. Puesto que esta condición implica la presencia del factor ( l+c^vs^ ^^^) en
el numerador de ,^^!(^ti), equivale {en el dominio temporal) a la presencia de! factor (1+B)
en a,(8). E1 modelo para ^ ,T viene dado pues por
(1- ^3)^ ^, _ (1 +B)a^, .
(1.1 ba)
Análogamente, de ( i.13) y ( I. 15), se observa que K,(^1^) es monotónicamente creciente
en el rango 0< K^ < n. E1 requisito canónico implica, por tanto, K,(0) = 0, es decir, la
presencia del factor ( i-cos K^) en el numerador de K^(x^). En consecuencia, a^,=1 y el
modelo para ^ ^, vendrá dado por
( I +B).^ ^, _ { 1 - 8}a,t .
(1.1 bb)
En cuanto al tercer componente, ^_;,, por razones de simetría, el cero en el espectro se
producirá para x-0 y ^^}_^. Los dos factores (1-B) y(1 +B) estarán presentes en cz^(B), y
el modelo para ^^, será
{ 1 +B` )^
^ .3^ _ (1- B')u_;, •
(1.16c}
C onsiderando { 1.16} se observa que el requisito canónico ha identif^cado los parámetros a de los modelc^s para los componentes. Esto permite identificar la estructura
DESCOMPOSIC'I(JN DE SER{ES TEMPORALES: ESPEC[FiCAC'lOti, ESTiMAC'IC)N E INFERFNC'1,4
2^
completa puesto que, sustituyendo los parámetros x por sus valores numéricos en el
sistema de ecuaciones de autocovarianza, se obtiene una solución única para las cuatro
varianzas dada por
r^;'-az=rrá/64, a^ =aá/ lb, c^=3aú/32.
(1.17)
Las expresiones { 1.16) y{ 1.1 ?} especifican completamente los modelos para los
componentes. La Figura 2 presenta los espectros de los camponentes. El primero, 4^^,
obviamente representa una tendencia, y el ruido blanco u^ representa un componente
irregular. Los otros dos componentes, ^,r y ^^^, contienen la variación de la serie para
las frecuencias K=n y r^^-n12, que representan las frecuencias estacionales de dos veces y
una vez al año, respectivamente.
GOMP'ONENTES DE D4 zt ; ^t
PIJ4
PIi2
3P114
PI
^
---^---^
2
2
ut
^..^rPI/4
f
^•^
PI/2
3Pf/4
o
s
PI
^
0
PI/4
PI/2
3P114
PI
Fi^. ^
E1 análisis que hemos presentado proporeiona componentes elementales, cada uno de
ellos (salvo el irregular) asociado a un pico diferente en el espectro de la serie ^,. En una
ESTADISTICA ESPAÑOLA
segunda etapa, estos componentes pueden agregarse. En nuestro ejemplo, el componente
estacional t©tal, sr, seria igual a
Sr ^ ^ ^ r + z3r
y, sustituyendo z2r y^.^r por sus modelos, se obtiene
{ 1 +B) (1 +B')s, _ ( 1 +B` ) (1- B)a^^ + (1 +B) (1- B^)Q3r
(1.18 }
El lado derecho de (1.18) es un MA(3) que representaremos por j3(B)c, y que satisface
,/3( I}=4. Es decir j.^(B) contiene el factar (1-B) y el componente estacional s, seguirá el
model©
(1
B+B`'+B^)sr = (1- B) (1-,^3, B-^3^B`')cr
(1.19)
con c, ruido blanco. Igualando las autocovarianzas del lado derecho de (1.18) y(1.19) y
utilizando ( 1.17), se obtiene j^i,=-.819, ^3,=-.344 y c^r'.=.^27 cx^. Eí espectro de s, aparece
representado en la Figura 3. E1 modelo que se abtiene para s, es, en este cas©, el mismo
que resultaria si se desestacionalizase la serie por el método de Burman (1980} o el de
Hillmer y Tiao { 1982). Alternativamente, el modelo para la serie desestacionalizada, .^u,
puede obtenerse sumando z^, y u,, Io que proporciona la ecuación.
^7 z; _ (1 +B)a^, + (1-B)u, .
COMPONENTE ESTACIONAL TOTAL
^i^. 3
DESCOMPOSICION DE SERIES TElviPORALES: ESQECiF1CAC'ION, FSTINIAC'ION E iNFFRENí'lA
23
Igualando las autocovarianzas del lado derecho con las de un MA(1), la serie desestacionalizada sigue el proceso
( 1-B)^a ^ { I -.42B)d^,
(1.20}
con d, ruido blanco y d^^.186 eá.
La discusión anterior ilustra cárno es posible, a partir de una forma reducida (el
modelo ( 1.9) ), que puede obtenerse a partir de las observaciones, derivar la estructura
subyacente. Si, en (1.9), ^74 se sustituye por ( i-^B^), con 0 c^^ l, y a, se sustituye
por una media móvil invertible H9{B) a,, con q^ 4, la discusián permanece básicamente
inalterada. La tendencia, el componente estacional y el irregular seguirian los rnodelos:
(1-^ B) ^ ,, _ (1 +B) a i,
(1 +`P B+`^Y? B` +^Y; B^) s1 =^3^( B) c,
^
,
^
y u, ruido blanco, con ^=^^'^^, donde los parámetros ^ y las varianzas ^, a< y ^,
serían función de los parámetros ^ y f^.
Hemos utilizado un ejemplo con series trimestrales, pero el análisis se extiende
fácilmente a datos con otras frecuencias de observación. Esto nos lleva a un comentario
de interés: modelos del tipo
(1-^ BT)-s', = f^(B) a,
(1•?1)
donde r es el número de observaciones por año, se han utilizado con frecuencia para
caracterizar el camponente estacional. Ejemplos pueden encontrarse en Nerlove,
Grether y Carvalho (1979), Pierce (1978), Pagan (1975), Engle (1978), Cleveland y Tiao
{ 197b), Granger (1978), Harvey (1981 }, Ansley (1983), Gourieroux y Monfort { 1983), y
Pierce, Cleveland y G rupe ( l 984), entre otros. Aunque en trabajos posteriores algunos
de estos autores han rectificado la especificación del componente estacional, modelos
del tipo (1.21) todavía siguen siendo utilizados con frecuencia y dos ejemplos recientes
importantes son Hausman y Watson (1985) y Hylleberg (198f^).
Puesto que no existe una def nición generdlmente aceptada de lo que es un componente estacional, la especificación de un modelo para dicho componente es, hasta cierto
punto, arbitraria. Con todo, en la descomposición de ^, de acuerdo con (1.1 1), los
componentes :^, y ^^, están claramente asociados con variación estacional, pero es dit^cil
aceptar que ^,, + i^, -o, equivalentemente, ( I.20)- sea considerado también parte del
componente estacional.
Hausman y Watson (1985} afirman que, para las series que consideran, criterios de
verosimilitud les llevaron a escoger componentes con polinomio autorregresivo del tipo
{ 1- c^BT) en lugar de (1 +B+...+BT"! ). C`riterios de estimación, sin embargo, no pueden
utilizarse para decidir entre un componente del tipo (1.9) o(1.19). Si, por ejemplo, se
EST A [?IST IC'.A ESPA ÑoLA
_
_. _.
_
__
estima el rnodelo (1.9}, siempre es posible descomponerlo de acuerdo con (1.19) y
( 1.20), y las dos representaciones son observacionalmente equivalentes. Como consecuencia, la función de verosimilitud no puede ayudar a decidir cuál de las dos representaciones es más adecuada. La decisión depende de la definición implícita o expiícita del
cornponente estacional, y es difícil aceptar una definicicín que incluye como parte del
cornponente estacional un pico en el espectro para r^=0, igual que sería difícil aceptar
carno parte de la tendencia un pico en el espectro para una frecuencia estacional.
En última instancia, aunque un modelo del tipo ( l.21) sea inadecuado para caracterizar un componente estacional, Io que tiene importancia es conocer ei efecto de esa
especificación incorrecta. Como primer ejemplo, el modelo
(1 - . $ B^)s, - a,
muy cercano a los utilizados por Hylleberg (198b} para caracterizar el companente
siguiendo un razonamiento similar
estacional de varias series, puede descomponerse
en un componente puramente estacional y uno noal de las páginas anteriores
estacional dada por la suma de una tendencia, de ecuación
{1 -.95B)^,=( +B)h,
con cr;, _.037cr^^,, y un componente irregular ir, ruido blanco con varianza cr;, _ .1 1 bor;,. Es
fácil ver en este caso que más de la mitad de la varianza de .^, está explicado por su
cornponente no estacional. En concreto, la desviación típica de este último es igual al
72.6c'lo de la desviación tipica de s,.
Como segundo ejernplo, el modelo mensual
{ 1 - .SB''}s, _ ( 1 - .bB)^r, ,
muy cercano a los que utilizan Hausman y Watson (1985} para el componente estacional, se descompone también en estacionalidad, tendencia y ruido blanco, donde la
tendencia viene dada por
{ 1 - .948)^, = (1 +B}h,
con r.r =.00095fi, y el ruido blanco tiene varianza r^, _.0325r,r,. Aunque en este caso la
mayor parte de la variación de s, es estacional, la desviación típica de su componente
no-estacionai es iguai a 19.2% de la desviación típica de s',. Se trata, pues, de un
porcentaje pequeño pero no despreciable.
Hemos visto como es posible proceder para descomponer un modelo ARIMA en
cornponentes no-observables. Heurísticamente, componentes tales como una tendencia o
un camponente estacional implican una media que evoluciona en el tiempo, y presentan por tanto un comportamiento no-estacionario asociado con una determinada frecuencia (y, posiblemente, sus armónicos}. Esta no-estacionariedad se captura por medio
DESC'UMPC7SIC"ION DE SERIES TEMPORALES: ESPEC'IFfC'A(.^lOti, ESTIMAC^IC)h+ E: IN1-^F:RENC^IA
2S
de raices unitarias autorregresivas en el modelo ARIMA "ohservado", que determinarán los polinomios autorregresivos de los componentes. La parte de medias mávi les en
los modelos para los componentes reflejará, por un lado, los ceros en el espectro
asociado con el requisito de que los componentes no estén contaminados por ruido, y
por otro lado, la condición de compatibilidad ( 1.7), que asegura que el modelo agregado
es la suma de los modelos para los componentes.
El esquerna puede aplicarse a companentes asociados con frecuencias que no son cero
ni estacionales. Por ejemplo, si una serie presentase un ciclo no-estacionario de períoda
T(mayor que un año), uno de los componentes de la serie seguiría el modelo
(1-^ B+B`') ';, _ ( 1 +B) { 1-^B) u;, ,
(1.22 )
donde ^=2c^^scc^ y cv=2n/T. Este modelo depende de dos parámetros, j^ y cr,'. La Figura
4 presenta el espectro de un componente cíclico del tipo (1.22), de período dQS años y
medio, en datos trimestrales, para ^3=^.5 y cr,'=1. Este ejemplo ilustra la relacián entre el
método llamado estructural y el de la forma reducida, y componentes parecidos a(1.22)
han sido usuados por Harvey ( 1985) dentro de una aproximacián estructural. Quizás la
diferencia más importante entre ambas métodos radique en la utilización o no de la
informacián contenida en la serie observada para especificar el modelo.
^
N
O
N
.^,r,^l. 4
^
i
p
ESTAC)1ST1CA ESPAÑOLA
26
Una vez obtenidas especifcaciones razonables para los cornponentes, es posible pasar
a la estimación de los rnismos, al diagnóstico de los resuitados y a la realización de
inferencias de una rnanera natural. Analizaremos estas cuestiones en el contexto de otro
ejemplo con un interés aplicado mayor que el considerado en esta sección.
2.
UN M4^ DEL(3 DE REFERENCiA Y UN EJEMPLrJ
Aunque sea posible tratar descomposiciones más generales, en el resto del trabajo nos
centraremos en la descomposición usual en componente tendencial (pr), estacional (.s,), e
irregular (t^,), de acuerdo con
^t=pt+sl+ u^ ,
(2.1.)
donde los tres componentes son independientes. Con frecuencia los dos componentes p,
y u, no se consideran separadamente, de manera que la serie se descompone en
=1=^^+sr,
(2.2)
donde ^u = pf + u, = z^ - s, es la serie desestacionalizada. Puesto que puede producir
movimientos erráticos a corto plazo que oscurecen la evolución subyacente de la serie,
la estirnación de la tendencia ha sido recomendada con frecuencia como sustituto 0
complemento de la desestacionalización {para aplicaciones dentro del Banco de España,
ver Espasa (1984} y Espasa et al (1987) ). Nos interesará, por tanto, anaiizar las
estimaciones separadas de p, y de ^i , con objeto de poder cornparar sus virtudes
relativas.
En la práctica, en instituciones tales como el Banco de España, un número muy
elevado de series se descomponen de forma rutinaria de acuerdo con (2.1 } a (2.2 }, y
resulta imposible realizar un análisis previo de la estructura estocástica de cada serie. Es
necesario, por ello, disponer de un modelo de referencia, que se aplique "por defecto",
y que aproxime razonablemente bien muchas series. Además de esta razón práctica,
cuando se analizan muchas series, hay también razones teóricas para utilizar un modelo
común de referencia dejando quizás libres dos o tres parámetros ( ver Sims, 1985). Para
series rnensuales, un candidato obvio dentro de los modelos ARIMA es el llamado "de
las líneas aéreas" ( ver Box y Jenkins, 1970), dado por
' a, ,
Fo, ^ z, _(1-f^l B) (1-d^, 13 `)
(2.3)
que se adapta bien a muchas series que se encuentran en la práctica, y que contienen
variación de tipo tendencial y estacianal. El modelo (2.3) incluye tres parámetros.
Puesto que f^=1 implica una tendencia determinística y H^,=1 implica una estacionalidad
deterministica, f^, y f^,^ están relacionados con la estabilidad de la tendencia y del
DESCOMPOSiC10N DE SERIES TEMPORALES: ESPEC'IFICAC[ON. ESTIMAC'lON E INFERENCIA
Z7
componente estacional, respectivamente. El tercer parámetro, Qu, proporciona una medida del error de predicción a un mes. Hillmer y Tiao ( 1982) muestran como el modelo
admite una descomposición del tipo ( 2.1) cuando -1 < f.^, < 1 y 0< f^1 ^< 1.
Centraremos la discusicín en un ejemplo concreto. Sea la serie ^ , el agregado manetario sobre el que se basa el control monetario en España: la serie de Activos Líquidos en
Manos del Público {ALP). La estimación de {2.3) para el log de la serie mensual, para eI
periodo 1978-1985 ( T=156), daba los valores f^,=-.1915 ( ES=.080), f^,^=.6228 ( ES=.069),
y o;=.138x 10'¢ (el error estandard de la predieción un periodo por delante es aproximadamente igual a .37 por ciento del nivel de la serie). La función de autocorrelación
(FAC) de los residuos es razonablemente limpia y, por ejemplo, el estadístico BoxPierce-Ljung para las primeras 24 autocorrelaciones es igual a 20.b, muy inferior al
valor crítico ,^^,(.OS) = 33.9.
El espectro del modelo estimado para z1 aparece en la Figura 5, parte a}. Presenta
picos para las frecuencias cv^, asociada con la tendencia, y c.^=j^/b, j=1,..., ó, asociadas
con las frecuencias estacionales de 1 a 6 veces al año. Puesto que
vv,, = v^^ s ,
donde S= 1+B+...+Bl1, el pico para cv=0 está inducido por el factor o`, y los picos para
cv=j^r/6, ,j=1,..., b, están inducidos por las raices unitarias de S. (Nótese que S puede
expresarse como
S = (1-y'3 B+B`') { 1-B+B`') (1 +B`') (1 +B+B') (1 +ti'3 B+B') (1 +B) ,
donde los seis factores de la derecha se corresponden con las frecuencias estaeionales
mencionadas).
Los modelos para la tendencia, componente estacional e irregular serán del tipo:
Q ^p, = a( B) h,
Ss,=^3(B)c',
y it, ruido blanco, donde a(B) y^3(B) san polinomios en B de orden fínito. La ecuación
(1.7), de consistencia entre componentes y agregados, se transforma ahora en
f^(B) a, = Sa(B) h, + V'^3(B)c^, + oo, ^ tr, ,
(2.4)
donde f^(B) - (1-f1, B) (1 -f^, ^ B^'). Puesto que el lado izquierdo de la ecuación es un
MA(13}, podemos fijar el orden de a(B) en 2, y el de ^3(B) en 1 1, de manera que cada
uno de los tres sumandos a la derecha de la ecuación sea un MA(13).^^
Igualando la varianza y las autocovarianzas de los dos lados de (2.4), se ohtiene un
sistema de 14 ecuaciones, que expresan la relación entre los parámetros del modelo
28
EST.4DIST[t"A ESPAÑOLA
u
to
^,
n^a
F i^a 5
E^ECTRO DE LI1 ^ERIE Y DE ^03 G^DiNrONENTEB
d lEME
d1 TEMDEMCIA
w
.^1
i
^In
,
a^I^a
o) CO^OItlENTE EETA,CIONAL
r) IIiREiiULAp
20
^.•
r
..
,
-,
v
^
L l,l /l . Jl /.
rl/'2
^^1/4
M
0
^fJ2
ri
FiR. S
agregado y los de los modelos para los componentes. Puesto que el número de parámetros a determinar es l6 (a^, cz,, f3^,..., ^311, cr^^ , cr y a;,), habrá un número infinito de
estructuras del tipo
©`' pl = (1-cr^ B - a^ B')ó^
S S1 = l 1-^1
B- ... - Nll B1 !}^^t
i^,- ruido blanco
(2. Sa)
(2.Sb)
(2.Sc)
que son compatibles con la misma forma reducida (2.3). Una manera de obtener la
solución caná^ nica es la siguiente:
Haciendo ar-^3„=0, el sistema de 14 ecuaciones puec^e resolverse para las 14 incógnitas que quedan. Esto proporciona una primera descomposición. En el dominio de las
frecuencias, equivale a la descomposición que se obtiene en la primera fase del rnétodo
desarrollado por Burman (1980), que puede resumirse del modo siguiente. Sea _x=cr^srr^ y
representemos por U(x) 1 V(x) el espectro de ,z, en (2 . 3}, donde U(_^) y V(.^) se
corresponden con las partes MA y AR del modelo. Sea V(.^) = V^,(.^) V,.(_^r}, donde V^,(_ti)
[^E^'OMPOSfCiON [^E SER[ES TEMPORALES: ESPECIFIC`AC'1C)N, ESTIMAC°IUN E 1NFERENC`IA
29
se asocia con Q' y V,(_v) con S. Utilizando una descomposición en fracciones parciales,
resulta
U{x) 1 V(.^c) = Mr(.^) / V^,(-x) + IVis(x) / V,(x) + k,
(2.6)
donde k=8, f^^, y M^(x) y M,.(_x) son polinomios en x de orden l y 10, respectivamente.
Sean h^{x) y h^ (x) los dos primeros términos del lado derecho de (2.6), y sea k^,=min
h^,(.x) y k,. = min h^ (x) para -1 ^ x^ 1. Entonces los espectros de los componentes
canónicos vienen dados por
h,,(x) -- h,;(-v) - k,,
h,(x) = h;'( ^) - k,.
h„(x) .- k + k^ + k,
A partir de estos espectros, las funciones generadoras de autocovariánza pueden
obtenerse y, factorizando estas funciones, resulta la expresi+ón ARII^✓1A de las modelos
para los componentes.
Para la serie desestacionalizada, la identidad ^r-p,+u, implica
©`' ^u =(1-a, B-a, B') h, + o' u, ,
(2.7)
donde el lado derecho es un MA(2). Por lo tanto, ^;' es un modelo IMA(2,2), que
representaremos como
© ^ : ;' - ( I -^.^ B-^,^ B`') d, ,
(2.8)
donde í^,, ^, ^ y cr^ son funciones de a^, a^, ar^ y^,, que pueden obtenerse igualanda
varianzas y covarianzas del lado derecho de (2.7) y{2.8}.
Con objeto de analizar la descomposición del modelo {2.3) supondremos, sin pérdida
de generalidad, a^,=1. Todas las varianzas vendrán pues expresadas en unidades de ^,.
Para f^, _-.19 I 5, (I, ^_ . 6228, los modelos que resultan para los componentes son:
o`' ^, _ (1 +.039 B-.961 B') h,
_ ( l +B) (1-.961 B) h, ,
{2,9a)
o`' ^"^ -- (1-.779 B-.175 B') clf
_(1+. l 82 B) ( 1-.961 B} c^,
(2.9b)
S.^^, _(1 +2 . 019 B+2 . 4 8 7 B^+2 . 619 B-^+2 . 4 81 B 4+
+ 2.182 B5+1.800 Bh+1.365 8^+.972 B`y^ +
+ .568 8^+.310 B^^'-.032 B^f ) c^, .
y las varianzas de las innovaciones toman los valores
(2.9c)
EST,IDISTI^'A ESPAÑOLA
cr^,-..234;cr=.053,
{2, l 0)
rr, _ .108 ; a'`^ _ .ó70 .
Así, por ejemplo, la varianz.a del componente irregular representa aproximadamente un
10°lo de la varianza del error de predicción a un período. En consecuencia, el carácter
aleatorio de ta tendencia y del componente estacional contribuye de forma importante a
la impredecibilidad de la serie.
Los espectros de los tres componentes, p,, .s, y ur aparecen representados en la Figura
5. Las FACs de ^7'p,, S.^, y i^, están en el C'uadro 1. Cansiderando ( 2.9a}, la raíz { 1+B) de
:z(B) induce un cero en el espectro de pf para cv=n. La segunda raíz, (1-.961 B) está muy
próxima a ( 1-B) y por tanto casi se cancela con uno de los ©'s del lado derecho. La
tendencia sigue, pues, un modelo del tipo
Q p, _ (1 +B) h,
a,
donde ^ varía muy lentamente en el tiempo. Análogamente, la serie desestacionalizada,
teniendo en cuenta (2.9b), sigue un modelo del tipa
^ z°=(1+.182 B) d,+S' ,
cercano a un paseo aleatorio con una deriva ^S' que evoluciona suavemente. E1 modelo
para el componente estacional es una expresión relativamente compleja. E1 cero en el
espectro se alcanza para t.u=.9175n, entre las frecuencias de cinco y seis veces al año.
Aunque el modelo en su forma estructural depende de 16 parámetros, éstos son a su
vez función sfllamente de d^ y f^l,. En general, diferentes valares de f^, y f^,, apenas
afectan a los parámetros cx, y tienen un efecto límitado sobre los parámetros f3. La
Figura 6 cornpara la FAC de ©`'p, y de Ss, para el modelo que estamos discutiendo con
1as correspondientes al caso (drásticamente opuesto) f1,=.7, f^^ ^=.2. Cambias en los
valores de H, y H,, tienen, sin embargo, un fuerte efecto sobre las varianzas de las
innovaciones en los modelos para los eomponentes. Para f^ f=.7, ll,,=.2, por ejemplo, se
obtiene
ti=.007;a^ =.147;^,=.218
y comparando con (2.10), se observa que tendencias estables ( valores más altos de tl,)
praducen valores pequeños de ^, y componentes estacionales más estables ( valores de
f^, ^ más elevados) producen valores pequeños de c^ . En términos de los parámetros de la
forma estructural, los parámetros de la forma reducida afectan sobre todo a 1as varianzas de las innavaciones, y cuanto más aleatorio sea un componente, mayor será la
varianza de su innovación. {Para una discusión del efecto de cambiar ei modelo en su
farma reducida, ver Maravall, 1983a).
DESC'OMPOSIC'lON DE SER[ES TEMPORALES: ESPEC'IFIC'AC'lON, ESTlMAC'ION E INFERENCIA
^I
C'i.^ad rt^ 1
FAC de los componentes
Retarda
`7 z za
r
S sr
0 ^ ^r
ttr
.95
.001
-.499
1
-.39
2
-.1 1
3
-
-
4
-
-
.54
5
6
7
-
.39
.26
-
--
8
9
10
1 1
--
-
.08
.03
.01
. 00
.84
.70
.15
FAC OE ^OS COMPONENTES PARA DISTINTOS VALORES
DE ^OS PARAMETROS
1
^
s) TENDENCIA
r
0 .
-,^
_ - .1915; 8 ^ 2 = .6228
---- e, _ .^
^ ^,z - .z
F 1 ^r. b
b ^ COMPONENTE ESTACIOñ1AL
32
3.
ESTADISTICA ESPAÑOLA
ESTí1V1A^`lON
3.1 ^stirrt^xc.^orE^s c^vn ^rrvr Cuadrtitic•c^ Mec^tU ^línimc^
Volviendo al esquema general de la subsección 1.1, cuando la información consiste en
una realización completa de z,, que representaremos por [z,], el estimador del componente z„ con error cuadrática media mínimo {ECMM) viene dado por
'„ = k,
`P^(B) `P;(F}
^(B} ^(F) z, = v;(B^F) zr
(3.l)
donde ^, =^rr; / cr-ú y F= B"!. Bajo nuestros supuestos, ^l, es también la media
condicional E(z;, ^[z,^). La derivación de (3.1) para el caso estacianario y su extensión a
series na estacionarias figuran en el Apéndice A.
Para modelos ARIMA, utilizandv (1.3), (1.5} y(1.8), el filtro v; resulta igual a
f^;(B) f^1(F) ^;`(B) ^*(F)
v;(B,F) = k;
.
(3.2)
^( B) . ^{ F)
Se trata, pues, de un filtro simétrico y centrado, y la invertibilidad de z, garantiza la
convergencia del filtro. Esta convergencia permite truncar el filtro y aplicarlo a una
serie finita.
Supongamos que el filtro truncado contiene (2m+1) coeficientes, de forma que
..
^ rr
^^ z,
+ ^^^T _ ^ v^ (z^ ^ + z^+^)
(3.3)
Para obtener ^,, par rnedio de {3.3) se necesitan las observaciones z,_,,,,..., z,+,,,. Como
consecuencia, en el momento T, cuanda la serie disponible es zi,,,., z I-, la estimación de
z;, requiere para t< m, observaciones iniciales anteriores a z f, y para t> T-m, observaciones posteriores a zT. Puesta que
E1^ z« = Er E(zir j Cz^l) = Er z^^ ,
(3.4)
se sigue que el estimador de z;, calculado en T puede computarse aplicando (3.3) a una
serie en la que las observaciones no disponibles se reemplazan por sus estimaciones E^^
z,. Considerese, por ejemplo, la estimación "contemporánea" de z,, (es decir, cuando la
serie disponible llega hasta z,}, sin duda el caso de mayor importancia práctica. Suponiendo t> m, de (3.3) y(3.4), el estimadar contemporáneo, ^;', puede computarse como
^i', = v^, z, + ^;"_^ v^(zr-^ + z,(1) ),
(3.5)
donde ^,^j) = E, z,+;. Es decir, z;', se obtiene aplicando (3.3) a la serie extendida con las
predicciones caiculadas en t. En consecuencia, en una aplicación concreta, los finales de
DESC:OMPOSICION DE SERIES TEMPORALES: ESPEC[FIC'AC'ION, ESTIMAC'ION E INFERENC`IA
33
las series de estimadores de los componentes estarán contaminados por las errores de
predicción. Más adelante volveremos sobre esta cuestión; por el momento nos centraremos en el fiítra completo, es decir en el estimador f nal (3.3).
Para el modelo de las líneas aéreas y los modelos (2.5) para los componentes,
escribamos para simplificar notación:
H = (1-8, B) ( 1-©, , B1^)
a= 1- a^ B- a, B`'
^ = 1-^i B-. . . -^i ^ B! r ,
^. = 1-^, ^ B-^, ^ B ^ ,
y, si una barra representa el mismo polinomio con B sustituido por F, la expresión (3.2}
se convierte en
aá S S
Vn(S^F) ! ^h
^^ ^
(3.6a}
para la tendencia, y en
xat7'Fz
v, ( B, F) - k^.
^
f^ f^
(3.6b)
para el componente estacional. Para el ejemplo que estamos considerando, los dos
f^ltros aparecen en la Figura 7.
E1 componente irregular se estima como el residuo, una vez que la tendencia y el
componente estacional estimados se han eliminado de la serie. Es decir
ir, - ^, - ^^, - ^,.
La linealidad del operador E(. ^[^]) implica que rr, estimado como el residuo ha de ser el
mismo que el que resultaría de su estimación directa:
it, = h^, [`P(B) `P(F)^-^ 't •
(3.6c)
En general, es irrelevante cuáles dos de los tres componentes se escogen para la
estimación directa, dejando el tercero como residuo.
Volviendo al caso de la oferta monetaria en España, los componentes fueron estimados por medio de un programa desarrollado por Burman y se presentan en la Figura 8.
(Nótese que, una vez conocido el espectro del componente, las funciones de autocovarianza se derivan fácilmente y estas proporcionan directamente los tiltros ^^,. La
estimación de los componentes no requiere, por tanto, la derivación de sus modelos
ARIMA).
34
ESTADIST[CA ESPAI^OLA
FILTROS DE lOS ESTIMAL^ORES
al TENDENC^A
0.5
a4
^.-
8.3
0.2
_
ao
t
- o. ^
0
12
24
i
3d
48
d0
bl COMPONENTE ESTACIONAL
0.5
a4
0.3
0.2
r
0. Í
0.^
- o. ^
i
^
^
0
Í2
24
3d
Fig. 7
46
60
72
C}ESC'OMPOSIC'ION DE SERIES TEMPORALES: ESPEC`1FICAC'IC)N, ES"TIM.AC'lo!^I E[NEERENC'IA
^S
COINFPONENTES ESTIMADOS
b) TAtA OE CRECIMIENTO DE ^A TENDENCIA
a) TASA DE CRECIMlENTO DE LA SERIE DESESTACIONAL.I2AOA
20. Y
11.7
25
d) COMPONENTE IRRECiU^AR
c) COMPONENTE ESTACIONAL
123
12.3
0. 5
0.5
- 11.3
- t1.3
7
3.2 1 os .ti1vdE^lc^s pura lc^.s ^:stimaclc^rc^s
Comparando el modelo para un componente con la expresión para su estimador se
observa que, tal como indicaron Grether y Nerlove ( l 970), el modelo para el componente difiere del modelo teórico que sigue el estimador. Tiene interés ahondar en e^ ^ta
comparación.
Una manera fácil de derivar el modelo teárico para el estimador es la siguiente:
Haciendo ^, _`^(B) ut en (3.1), el estimador ^,, queda expresado en función de las
innovaciones [u,] de la serie observada. Simplificando, resulta
';r = `}^;( ^) y^^( F) ur ^
(^.7)
donde `F;(B) = f^;(B) / c^;(B), es el filtra correspondiente al componente teórico en (1.?), y
^l;(F) ^; (F)
^1,(F) _ ^,
(^(F)
.
(3.8a)
Sea
^;(B^F) i ^;(B) ^l,(F)
(3.8b)
ESTADISTICA ESPAÑOLA
36
El filira ^, es convergente en F y divergente en B. Su denominador implica que el
componente y el estimador requieren la misma transformación estacionaria, y su numerador implica que la estimación conserva la propiedad canónica del componente. El
espectro del estimador, sin embargo, presenta ceras adicíonales, que se corresponden
con las raices unitarias de ^*(F} en el denaminador de ^;. En general, en términos de la
FAC y del perfil espectral, el estimador difiere del componente por la presencia de r^;(F)
en (3.7).
Para el caso del modelo de las lineas aéreas, las expresiones para el estimador de la
tendencia y del componente estacianal se convierten en:
o^ ^^ = a(g) n^(F) u, ^
(3.9a)
S ^ t = %3(B) ^1,(F) ^^ ^
(3.9b)
donde
^1^(B)
^h
a 5
e
(3. I Oa)
^ ^z
rl,^(B) _ ^^^
^
,
(3. I Ob)
Para el estimador del componente irregular,
_ ^1^,(F) Qr ,
(3.1 1)
donde
^^^(B)= ^^,
v v,^
,
o
(3.12)
y por tanto ú, = k^, `l^(F)-J a,, es decir t^r, sigue el proceso "inverso" del de .^r. E1
estimador i;, es una función lineal de innovaciones futuras c^, ♦;, .j> 0; por ello, aunque
presenta autocorrelación, esta no puede utilizarse para predecir t^,. El estimador c^, sigue
un proceso estacionarío, con varianza finita que siempre será menor que la varianza
teórica de u,. ( Una discusión más completa de las propiedades de ir, f gura en Maravall,
19$7b).
Utilizando (3.9)-(3.12) se pueden calcular FACs y espectros de los estimadores. Para
el ejemplo que estamos considerando, aparecen representados en las Figuras 9 y 10,
donde se comparan con las de los cornponentes teóricos. En lo que se re^ere a la serie
desestacionalizada, la estimación no afecta a las autocorrelaciones de orden bajo, pero
induce correlación negativa para el retardo 12. En el caso de la tendencia afecta a p, y
también induce un valor negativo de p, ^. Para el componente irreguiar, las dos FACs
difieren mucho, y la estimación induce valores negativos para ^^, y p, ^. ( El valor
negativo de p^, es --.19, el mismo en los tres casos).
DESCOMPOSICION DE SERIES TEMPORALES: ESPEC[FICAC[ON, ESTIMACION E INFERENCIA
37
FAC DE Ll'^ COMPt'^NENTES Y DE ^ EáTIMADOREá
a) COIY^ONENTE EfTACfONAI.
^1 fER1E DEiEfTAC10NALIZAOA
4
1 .^.
^
r
^
^
l
i
^
^
^
1
1
1
i
^
^
i
i
i
^
^
^
^
^
^
T
1
1
13
^
^
^
Í
Í
^
1
1
'
_
±
'
j
1
^
^
j
^
^
1
- 1 ^-
- 1 ^--
b) TENOENCIA
d1 COMlONENTE IRREOUI.AR
1 r
1
f
0
0
1
12
1
^
^
1
i
12
^..^^. COMlONENTE
^ - ^ ^ ^ ElTIMADOR
- ^ L
Fig. 9
Como ya se mencionó anteriormente, los espectros de los estimadores presentan ceros
adicionales. Sean K^(cl^), ^,(cu) y^„(c^) los espectros de los estimadores de la tendencia,
componente estacional y componente irregular. Los ceros de ^r(c^) y^„(cv) para frecuencias estacionales reflejan el hecho de que, para esas frecuencias, el cociente varianza de
la tendeneia o del irregular partido por varianza del componente estacional es cero, de
manera que esas frecuencias no contienen informacicín alguna para estimar p, o^r,, y
serán pues ignoradas. Análogamente, el cero en ^,(c,^) y,^„(r.^) para cv=© refleja que, para
esa frecuencia, los ratios varianza del componente estacional/varianza de la tendencia y
varianza del irregular/varianza de la tendencia son cero.
La diferencia entre el espectro del componente y el del estimador resulta particularmente notable, de nuevo, para el componente irregular, cuyo estimador se encuentra
muy lejos de ofrecer un comportamiento de tipo ruido blanco. Su perfil ascendente
refleja la predominancia de la tendencia en la varianza de ^, a medida que la frecuencia
se acerca a cero.
Mirando la Figura 10 se observa que ei espectro del estimador siempre se encuentra
por debajo del espectro del componente. Del mismo modo, la varianza de la transfor-
38
ESTA©iSTiCA ESPA140LA
ESPECTROS DE LOS COMRONENTES Y DE SUS ESTIMADflRES
al TENOENCIA
2.0
/
1.a
^
^.,^ EE1' IMADOII
^' a
^
1.4
1
t.2
^ ^ ^ ^ .. COiYMON ElIIT E
^^
t.0
^
♦
^^
ae
o•a
^^
a4
^
Q.2
^` ♦
' ^+ ^^
i
`
ao
_
`
PI/4
PI/2
3Pf/4
PI
bi COMPONENTE EtTACiONAt
^
r
^
^
i^
I
l^-^S.J^
^
♦ :^
PI/4
PIIZ
^1/4
PI
ci iRRE©U^AR
at2
O.t t
I
C^
^^
^^^^
^^
T ^
^
^r^!
^
^
ii^
f
^i ^ ^^Ol^
^
^^^^r^
ato
oeao
o.as
ao^
o.oe
o.os
o.oa
o.a3
0.02
o.ot
o.oo
PII4
PI/2
Fig. 10
3 PI/4
PI
C}ESC`OMPOSICION DE SERIES TEMPC)RA>.^ES: ESPEC'1FIC'AC'10[v, ESTIMAC`1Oti E^. [NFE^RE:ti('IA
i9
mación estacionaria del estimador es menor que ta correspondiente al compOnente, tal ^'
como se observa en el Cuadro 2. Puesto que la suma de los tres componentes es igual a
la suma de los tres estimadores, la diferencia en la suma de varianzas se explica por la
aparición de covarianzas. Mientras que los componentes teóricos no esián correlaciones,
(3.9) y(3.1 I) implican que los estimadores si lo están. Las f^unciones de correlación
cruzada entre los estimadores se obtienen fácilmente a partir de (3.9}-{3.1 1). Para el
ejemplo^ que estarnos considerando, resulta
^
Corr (o ` pt, S^,) -- .10
Corr (©`'pr, lr^) - .06
C'orr ( S.^,, i^,) ^ .OS
Aunque distintas de cero, las correlaciones entre los estimadores son de todas formas
_
pequenas.
C^'tc u cl ro 2
Desviación Típica de los C'omponentes
v^^ ^^,u
o`' p,
S s,
u,
Componente
1.45
.67
1.38
.33
Estimador
.94
.48
.34
,19
4.
DIAGNOSTICO E INFERENCIA
4.1 f^rct,^^rtc^.^^ticv
Una importante vírtud de un método de estimación de componentes que se base en
modelos es que proporciona las bases para diagnosticar los resultados, al permitir
comparar los modelos teóricos con los resultados de la estimación. Como hemos visto,
el modelo teórico a utílizar deberá ser el del estimador, que puede dit ^ rir considerablemente del componente.
Para el ejemplo que consideramos, la Figura I 1 ofrece las FAC' de [as transfórmaciones estacionarias de los estimadores teáricos (las correspondientes a(3.9) y(3.1 1) ), y^
las compara con las FAC obtenidas en la aplicación empírica. Ahora, para la serie
desestacionalizada, la tendencia y el componente irre^ular, la FAC' teárica y[a empirica
se parecen considerablemente. En el caso del componente estacional el parecido es
menor, y la FAC teórica decrece más lentamente.
ESTALIISTiCA ESPAt^OLA
4U
FAC TEt1RICA Y EMrIRlCA DEL E8TIMADOR
b)
d) IRREOULAR
TEMDENCII^
1 r
^
^
^
^
0
^,^,^ fA^3 EINr ^ RICA
^ ^^^.fA1C TE0111CA
-^
L
FC^; i!
Para que la comparación de las dos FAC sea informativa, es preciso tener una idea de
lo cerca que podemos esperar que pueda estar un ^ estimado para un componente del p
del estimador teórico. Trescientas series independientes fueron generadas con el modelo
de las lineas aéreas, con l^J =-.1915, y f^1^ _ .6228. Cada serie constaba de 156
observaciones. Se estimó la tendencia, el componente estacional, la serie desestacionalizada, y el componente irregular, y la varíanza y la FAC de la transformación estacíonaria de cada componente. Como ya mencionamos, las estimaciones obtenidas están
contaminadas en los extremos por el hecho de reemplazar observaciones previas y
futuras por sus esperanzas condicionales. Los resultados apenas variaban cuando se
eliminaban años en ambos extremos, y los resuitados que mencionamos a continuación
se ref eren a las series de estimaciones completas.
Los sesgos encontrados fueron pequeños, prácticamente cero para el estímador de n, y
de la varianza, y ligeramente en aumento para p^ a medida que k se hacia mayor. El
C'uadro 3 presenta los resultados de la simulación para las estimacianes de ^^^, ^^, ^ y de
la desviación típica de la transformacián estacionaria del estimador teórico. EI Cuadro 3
presenta tarnbién los correspondientes valores teóricos y las estimaciones obtenidas para
el ejemplo de la serie ALP.
DESCOMPfJSICION DE SERfES TEMPORALES: ESPECIFICAC`14N, ESTIMACION E INFERENCIA
4^
C'ua^r^^ 3
Simulación
a) Autocorrelación de orden 1(p^)
Q ^ zpr
^^
^7^pr
Simulación
-. 39
.18
. 84
-. 59
(Error Estandard)
(.07)
(.06)
(.02)
(.Oó)
Estimador
Teórico
-.40
.18
.83
-.60
Valor Estimado
-. 44
.21
.81
-.64
v^^^ ^u
^
^^
^ ^ pr
S ^,
ú^
--.22
(.O8)
-.22
(.O8}
.52
(.16}
-.22
(.08)
-.19
-.19
.62
-.19
-.19
-.2 7
.31
-.18
.19
{.01)
h) Autocorrelación de orden 12 (p1z)
Simulación
{Error Estandard)
Estimador
Teórico
Valor estimado
c) Desviación Típica
Simulación
(Error Estandard)
r
v ^^^p,
.96
(.04)
.49
(.03)
.33
(.06)
.94
.48
.34
.19
.90
.44
.22
.18
Estimador
Teórico
Valor Estimado
ESTAD1sTIC'A 1✓ SPAÑOI,A
La comparación de las dos últímas filas en a), b) y c) del C'uadro 3 af'rece un
diagnóstico general de la adecuación de las estimaciones obtenidas al madelo de partida.
T'enienda en cuenta los resultados de la simulación, ias estimacianes de la serie desestacionalizada, de la tendencia y del c©mp+^nente irregular están claramente en consonancia con las propiedades de los estimadores teóricos. Para el componente estaciona[,
sin ernbargo, tanto pl, como Q bordean ia zona de la no-aceptabilidad.
Una simulación sirnilar se realizó para series con T=84, aproximadamente la mitad
del número de observacíones consideradas en nuestro ejemplo. Las estimaciones de los
segundos momentos de las transformaciones estacionarias de los estimadores eran relativamente insesgadas y precisas. Por poner un ejemplo, p^ira el componente irregular, la
media de las estimaciones de ,r^,, p, ^ y rr f'ueron, respectivamente, --.59 (desviaciC7n
estardar =.09), --.24 (desviación estándar =.10), y .18 (desviación estándar -.0?). La
comparación, pues, de los segundos momentos teóricos y empíricos de los estimadores
de los componentes ofrece un instrumento fácil de computar, de interés a la hara de
evaluar los resultados. En el ejemplo que estamos considerando, la comparación nos
lleva a una aceptación (no entusiasta) de los resultados.
4.2 I^tferencias
Un tema de considerable interés aplicado (ver, por ejemplo, Bach et al, 1976 y Moore
et al, 198 l) es el error cometido al estirnar componentes. En el ejemplo de la serie ALP,
puesto que el seguimíento de su evolución dentro del año se realiza utilizando la seríe
desestacionalízada, para juzgar si el crecimiento es o no el deseado, es importante saber
cual es la precisión de nuestras mediciones. En definitiva, el error de medición en la
serie desestacionalizada implica por fuerza un intervalo de tolerancia alrededor de
abjetivos futuros (implícitos a explícitos) intraanuales. (Un análisis de la desestacionalización en el contexto de la política monetaria se encuentra en Maravall, 1981 a y b).
Un método de estimación basado en modelos ofrece los fundamentos para poder
abordar el tema de una forma rigurosa (ver Pierce, i 979 y 1980, Hillmer, 1985 y
Burridge y Wallis, 1985).
Existen varios tipos de errores implicados en la estímación de un componente.
Consideremos el estimador z;r dado por (3. l). Este es et estimador f nal de ^;,, teóricarnente disponíble cuando se tiene una realización campleta de ^,. El error
.^
:,
ir-^it-^rr
(4.1)
se denomina "error en la estímación f"inal". El segundo tipa de error se relaciona con la
distorsión inducida en ambos extremos de la serie del estimador de un componente por
el hecha de que, tal y como ya se mencionó en la subsección 3.1, no se disponen de
observaciones prevías ní de observaciones futuras. E[ perfii de los filtros v,, y v, que
DESCOMPOSICION llE SERIES TEMPORALES: ESPEC:IFIC'ACI(^N, ESTI}^1AC'1(^N E INFERENC.'IA
43
aparece en la Figura 7 indica a simple vista que el peso asignado a la observación ^, en
la estimación de p, o.s, es despreciable cuanto T y t están separadas más de 5 años.
Teniendo en euenta la longitud de nuesira serie, la ausencia de observaciones previas
años de la muestra. Nos centraremos en
ya lejanos
afectará tan solo a los primeros
el error inducido por la ausencia de observaciones futuras, que denominaremos "error
en la estimación final y de revisión
no son
de revisión". (Estos dos tipos de error
los únicos existentes en las series de agregados monetarios, pero sí los dominantes, ver
Pierce et al, 1981). Como muestra Pierce (1980), el error en la estimación final y el
error de revisión son independientes, de manera que se analizarán los dos por separado.
u) ^rr^r ^n !a ^;stimaci^n F'inul.
Para el modelo de las lineas aéreas, consideremos el error en la estimación final del
componente estacional
(4.2)
c5,,=s,-.^,.
Operando, resulta {utilizamos la notación simplificada de la Sección 3.1):
^,.r ! s^ - v, ^r = (1-v,)s, - v, ^;' ,
(4,3}
donde v, viene dado por (3.6b}. La identidad (1.7), aplicada a la descomposíción ^, _^u
+ s,, produce la ecuación (en términos de las innovaciones}
(4.4)
f^a,=S^.cl,+o`'^3c,
Considerando que, en virtud de (3.6b}
f^f^ - ^^^l^^' ^'
{4.5)
igualando funciones de autocovarianza en ambos lados de (4.4}, es inrnediato que el
numerador del lado derecho de (4.5) es igual a S ^ ^.^,^^^. Teniendo en cuenta (2.5) y(2.8),
(4,3} puede fínalmente escribirse como
. _
^,^
5^.^^
^^^
f)^ c'^ - ^^^
I^^^^ ^
(^
^ ^,
{4.b}
es decir, ^S,f es la suma de medias móviles de las innovaciones en los componentes, que
se extienden hacia el infinito en los dos sentidos. Nótese que la invertibilidad de ^,
garantiza que ó,., es estacionario. Así, la diferencia de las dos series no-estacionarias s, y
^, produce una serie ^.,, estacionaria; el componente y el estimador están pues, en
terminología de ^ranger, co-integrados (si bien las raices unitarias en .s, y.ti, son
distintas de Bi 1 }.
44
ESTADISTICA ESPAÑOLA
Reescribiendo (4.6} como
^ ^3
`^'' T E1^ h' ^
(4.7)
donde h,=^^,^^c^,-k^.^'d,, la función generadora de autocovarianzas de ^5,, es igual a
^^.Q/^
,
FGAC(^5,,) = --f^-^-FGAC(h,)
,
(4.8}
y es fáci [ ver que
FGAC(h,) _ ^^^ ^^ [ ^;f SSí'.1+h^.^3%3^J'©`' ] ,
(4.9)
£n virtud de (4.4), el término entre paréntesis en el lado derecho de (4.9) es igual a
f.^f^. Sustituyendo, pues, en (^.$), resulta
^^„-^^
^
FGAC(r5„) _ -^ -- ^^, k^.
de donde r^,, sigue un proceso ^. ^^: MA del tipo:
fiS,^ _ ^^^3^, ,
(4.10)
donde ^, es ruido blanco con varianza a^ _^^ c.r . En términos de la representación
general ( 1.1), el resultado (4. l U^ puede expresarse de la siguíente forma. Supongamos
que (sin pérdida de generalidad) nos interesa estimar el primer componente ^,, y
escribimos ( 1.1) ^omo
_,=^f,+Zf,,
donde Z1, _^,,^f ^;, representa la suma de los demás componentes. Puesto que todos ellos
siguen modelos ARIMA, Z,, será también un ARIMA del tipo
*
.
^1Z1i=f^^k,,
donde ^, es ruido blanco, ^; ^^^, el polinomio autorregresivo dado en (1.8} y (^; es una
media móvil que se obtiene a partir de los modelos para los componentes. Si c^,,
representa el error en ia estimación f nal de ^ ^,, entances sigue el modelo
f^ ^5^, = f,^^ f1; E, ,
donde E, es ruido bianco, con r^ _^ ar^ ^ oú. Nótese que el error de estimación final de
cualquier componente es un ARMA, con polinomio autorregresivo siempre igual al
polinomia de media móvil del modelo observado para z, y, por ser este invertible, el
error será siempre estacionario.
DESC`OMPUSIC'ION DE SERIES TEMPORALES: ESPEC'IF1C'ACIt)ti. E.STIMACit)N E INFERENC`IA
4S
Aplicando el resultado al estimador final de la tend^ncia en el modelo de las líneas
aéreas, resulta
f^d^,^=cx8* n,,
donde ©* y arñ se obtienen a partir de la representación ARMA de (s, + u,), que será la
solución del sistema de ecuaciones de covarianza asociado con f^*n,-^3h, + Su,.
En consecuencia, tanto el error en el estimador final de la serie desestacionalizada
corno el err©r en la estimación de la tendencia siguen procesos ARMA (13,13), estacionarios, con polinomio autorregresivo (1-f^^B)(1-f^,,B''). S^,^ FAC` figuran en el C`uadro 4
y ambas resultan muy semejantes. Estas FAC son necesarias para caicular los errores de
medición en las diversas tasas de crecimientos de los con^ponentes.
Ccrudro 4
FAC de los Errores de Estimación
a) Serie Desestacionalizada
Retardo
Error de Estimación Final
Error de Revisión
1
.67
.67
2
3
.28
-.03
^ .32
.03
4
-. 2 5
-. 2 0
5
-. 3 9
-. 3 5
6
7
-.45
-.43
-.43
-,44
-. 3 7
_, ^ ^
8
-. 3 4
9
-.17
10
1i
.06
.Ol
.36
.33
12
.63
.63
E.STAf^iS'i IC',A E:SPA!V(^L.A
_
_
4b
C't^ud r^^ 4
f= ^^' de lc^s £rrores de Estimación
h) Tendencia
Retarda
Error de Estimación Final
Error de Revisión
1
2
3
4
.b8
.24
-.01
-. 2 0
.bl
.35
.07
-.13
5
-. 3 2
-. 2 8
6
7
8
-. 3 7
-. 3 5
-. 2 7
-. 3 b
-. 3 8
-. 3 4
9
-.13
-.22
10
11
12
.07
.30
.43
.04
.24
.47
E1 Cuadro 5 muestra las varianzas del error de estirnación final de la tendencia y de
la seríe desestacionalizada para el ejemplo que estamos analízando. Ambas son de un
orden de magnitud similar y la desviación típica del error viene a ser del orden del 50°ro
de la desviación típica del error de predicción de la serie ^, un período por delante.
Conviene resaltar que, a pesar de que el error en el estimador final de la serie
desestacionalizada es grande, la precisión de la estimación no mejora nada si se utiliza,
en su lugar, la tendencia.
C'z^uúru 5
Varianza de los Errores de Estimación
Error de
Revisión
Error en
el estimador
final
Error total
de
estimación
Tendencia
,231
.217
.448
Serie
Desestacionalízada
.197
.184
.381
f^ESCOMPOSIt'lo^N DF SE:RIFS TE=MPORALES: ESPEt'IFIC'.AC'ION, F^TIMACION E I,JFE_RE^IC'I,A
47
h) f^;rrur clc^ RE^^^i.s^i^^ri
C'omo vimos en la Sección 3, con objeto de calcular ^^, por medio de (3.3), es preciso
disponer de una realización completa [^,]. Como consecuencia, en el mornento T,
cuando la última observación disponible es ^ 7^, la estimación de ^,, para t cercano a T
requiere observaciones futuras de ^. Cvmo ya mencionamos, un estimador prelimínar
puede obtenerse aplicando (3.3) a la serie extendida: ^,,...,^ ^^, ^ 7{ 1), ^^12),..., donde ^ r(j)
representa la predicción de ^ T+; hecha en T. Se sigue que el estimador preliminar será
objeto de revisiones ya que, a medida que se obtengan nuevas observaciones, las
predicciones se pondrán al día y, fínalmente, serán reemplazadas por observaciones. La
dit'erencia entre los estimadores preliminar y final representa un error de medida en la
estimación preliminar que denominaremos error de revisión. Un estudio ernpírico de las
revisiones en las series desestacíonalizadas de agregados monetarios en EEUU y de su
efecto sobre el control monetario se encuentra en Maravall y Pierce (19$3) y(1986).
Consideremos primero la estimación de ^„ en t{la estimación contemporánea). La
revísión en el estimador, ^;',, es
^;, - =;', - ^^^_I t'i(-r+j ' -r^l) ) _ ^^ ^1 1'i ^'r^l) ,
(
•
)
donde c^,(j) representa el error de predicción de ^,j períodos por delante. De ^ 1.4),
^'^^1) = Clr+
;-f
+ ^^,! ^^ cl^+^-^ •
y, por tanto, (4.1 1} puede reescribirse como una media móvil de innovaciones f`uturas
cr,+r, cr,+,,... Una manera más directa, sin embargo, de obtener esta media móviE es a
través del modelo que derivamos para el estimador, dado por (3.7) y(3.8):
^ ;, _ ^;; ( B, F) u r = ^;^' _ _ _, ^ ^; cr,+; .
(4.12)
Puestc^ que E,cr,_,^=u, para,j.,>^0, y E,cr,^.,=0 para j>U, se sigue que
^;^, - Er -^i
rt
^^^ cr^+, ,
y, restando (4. 1 3) de (4.1 ?), l^i re^^isión es i^ual a
^'; t = ^^ = ^ ^ ^; ^r ^+^ _ ^, t F ) cl ^+ i •
(-^. 14)
A partir de {4.14) es posihle derivar l^ls propiedades de los errores de revisic^n (^^c.^r
Maravall, ly8f^h).
ESTADrST[CA ESPAÑOLA
4$
De forma análoga, (4.12) puede utilizarse para derivar la revisión en cualyuier
estirnador prelimínar, no necesariamente el contemporáneo. Si ^,", representa el esti rnador de ^;, obtenido en t+n, (n ^ 4), entonces
^erf ` Et+n ^i^ _ ^i^,_ ^ ^i^ ^^^^ .
y la revisión en el estimador preliminar resulta
t^
+ ^1
^
(4.15 )
Y^
^"^ ^ ^ ^ ^^ - ^ r t = £, _,^+r ^<< ^t,+; .
Dado que el filtro ^,(B,F) es convergente en F, la revisión es pues un proceso
estacionario. La ecuacián (4.15) implica que el cambio en la revisión cuando el período
de estimación pasa de T a T+n es una media mávil de orden (ri-1) (ver Pierce, l 980), t^
la puesta al día de una estimación cuando una nueva obvservación resulta disponible
equivale a sumar la última innovación en ^ multiplicada por el correspondiente peso ^,.
Para el caso del modelo de las líneas aéreas, de (3.8b),
^(B)
^,^( P, F) _
^l,^(F)
^_
; ^, ( B, F) =
^(B^ rl,(F)
S
(4.1E^)
donde r^^,(F} y>>,(F} son los dados en (3.10). Para el ejemplo que estamos considerando.
el Cuadro 6 muestra las varianzas de la revisián en el estimador contemporáneo ^^ dc
las revisiones después de uno, dos, tres, cuatro y cinco años adicionales de datos. Se
observa que, después de cinco años, las revisiones en la tendencia ^^ en la serie
desestacionalizada s©n despreciables y los filtros pueden, pues, truncarse sin prohlcm^^.
De hecho, más del 95% de la varianza de la revisión en el estimador contemporáneo ^i^.^
ambos componentes se completa en los tres primeros años.
C'trcrc^rcr 6
Varianza del Error de Revisión
r„
r
r^^
r
^.^
r
rr^,
^
r.^
r
r,r,r,
r
Revisión en
la tendencia
.231
.061
.024
.009
.004
.001
Revisión en
la serie
desestacionalizada
.197
.077
.033
.012
.005
.00?
DESC'OMPOSICION UE SERIES TEMPORALES: ESPECIFIC`AC'ION, ESTIMACIC^N E INFERENC`IA
49
EI C'uadro 5 indica que el error de revisión del estimador de la tendencia es li^eranlente ma}^or que el correspondiente a la serie desestacionalizada. Para ambos componcntes, el error de revisión es li^eramente mayor que el error en la estimación final. C}e
todas formas, el orden de magnitud de1 error es, en todos los casos, similar: su
des^^iaciá^ n típica viene a ser la mitad de la de la innovación en la serie observada.
Una implicaeión de los resultados anteriores es la siguiente. En relación con la
conducción de la política monetaria a corto plazo, Maravall y Pierce { 198b} recientemente concluian: "... ^porqué tanto énfasis en desestacionalizar'? Quizás la atención
debería desviarse hacia la estimación de una señal más suave y menos afectada por
re^^isiones (posiblemente algún tipo de tendencia)"'. Para el caso de [os ALP, la tendencia ciertamente produce una señal más suave, per© ni está su^eta a menores re^^itiiones,
ni se estima con más precisión. De hecho, el estímador dc la tendencia es li^,er^^mcnte
peor en lo que se retiere a ambos tipos de errores.
Finalmente, la desestacionalización de los agregados monetarios en Espal^^^ s^• rr^^lil^l
una vez al año {al comienzo) en lugar de una vez al rnes (es decir, de forn^a cc^nten^poránea). £sto implica el uso de factores estacionales proyectados para los ^»eses ^j^•1 ^^,^c^
entrante. Las varianzas de los errores de revisión para estos factores aparecrn c.^^l el
Cuadro 7. La desestacionalización contemporánea supone una mejoría equivrilcnt^^ a,
aproximadamente, una reducción del 1 SC% en la varianza del error de estirl^ación tot<<1.
C ^l itl C!l'() /'
Varianza del Error de Revisión:
Serie Desestacionalizada
Revisión en la
proyección del
Varianza
componente
Contemporáneo
1 mes adelante
.197
.215
2 meses adelante
.246
3 meses adelante
.265
4 meses adelante
.274
5 meses adelante
6 meses adelante
.278
.279
7 meses adelante
.279
8 meses adelante
.282
9 meses adelante
.289
10 meses adelante
.305
1 1 meses adelante
.33I
50
5,
ESTApISTICA ESPA^ !r1QLA
UN COMENTARIQ FINAL: INTERVALC3S DE CC^NFIANZA Y TASAS DE
CRECIMIENTO
Hemas analízado la descomposición aditiva del logaritm© de la serie ALP. El componente estacional obtenido es, por tanto, el log del facior estacional utilizado en la
práctica. E1 Cuadro 8 muestra los Intervalos de Confianza (I.C.), al 95% y al b7%, para
un factor estacíonal estimado igual a 1 U0. Se observa que la anchura del I.C. ai 95°l0
para el estimador contemporáneo representa casi el 1 °lo del nivel de la serie. En el otro
extremo, para el l.C. al 67% alrededor del estimador final, la anchura se reduce a.32%.
C'ttuulr^^ 8
Intervalo de confianza alrededor
de un factor estacional igual a l00
Nivei de
confianza
conternporáneo
Estimador
final
9 5%
99. 54 , 100.4b
99.b8 , 100.32
67 %
99.78 , 100.23
99.84 , I 00.1 b
Estimador
Puesto que los objetivos y el seguimiento de ta oferta monetaria se realizan sobre
tasas de crecimienta, y no sobre niveles, tiene interés estudiar el efecto del error de
medición en los niveles sobre dichas tasas de crecimiento. La tasa más utilizada es la
tasa mensual de crecimiento de la serie mensual (anualizada y expresada en puntos
porcentuales de crecimiento); esta tasa se denomina T;. Linearizando T^ (ver Apéndice
B) y utilizand© los Cuadros 4 y 5, las varianzas de los errores de medición pueden
calcularse, y el Cuadro 9 presenta el LC. al 95% para el estimador contemporáneo y
fínal de la tasa T; de la serie desestacionalizada y de la tendencia. Aproximadamente, el
intervalo asociado con el estimador contemporáneo es del orden de ±5 puntos porcentuales, que se reduce a±3 puntos cuando se dispone del estimador final. Si, por
ejemplo, la tasa T, medida para el último mes es del 12%, el error de medición
implicito significa que esta medición es compatible (al 95%^ de confianza) con un
erecimiento real subyacente entre el 7% y el 17%, apraximadamente. En otras palabras,
DESCOMPOStGON DE SERIES TEMPORALES: ESPECIFIC`ACION, ESTIMACIO!^t E[NFERENCIA
S1
si el abjetivo (explícito o implícito} para ei mes actual es del 12%, una medición entre
el 7% y el 17°+o podría considerarse compatible con el objetiva. La anchura de estos
intervalos es, sin duda, mayor que la de los intervalos de tolerancia que se utilizan
habitualmente en la práctica. Es obvio que operar con niveles de confianza menores
disminuye la anchura del I.C.: por ejemplo, los I.C. al ó7% serían aproxirnadamente la
mitad de los que aparecen en el Cuadro 9.
C'ttuElrc^ y
Intervalo de confianza para la tasa mensual
de creci m iento T ^
(nivel de confianza del 95 %)
Estimador
Estimador
contemporáneo
final
Serie
Desestaci ona i i zada
-^- 4. 4 5
± 3. 09
Tendencia
± 5.0^
-^- 3 . 31
Puesto que la tasa T; de la serie desestacionalizada o de la tendencia está sujeta a
errores de medición grandes, tiene interés disminuir la poca fiabilidad que estas tasas
presentan. La imprecisión en la medición
queremos insistir
es fundamentalmente
resultado del carácter estocástico intrínseco de la serie, y no de insuficiencias en el
método de estimación (a este respecto, en Maravall, 1980, se muestra como, para una
serie del tipo de ia que aquí se analiza, el error de estimación de la estacianalidad es
mayor que la diferencia producida por cambios ( razonables) en el método de desestacionalización). Una forma de atenuar la poca fiabilidad es promediar tasas T1 consecutivas. Para la serie desestacionalizada, la Figura 12 muestra el número de meses
necesario para concluir que un objetivo no se está cumpliendo, en función de la
desviación media con respecto al abjetivo. Así, par ejempla, si la desviación media es
1.5°l0, al 67% de confianza debe haber sucedido a lo largo de un período de algo más de
dos meses para concluir que el crecimiento real es significativamente distinto del
objetivo. Si el nivel de confianza se eleva al 95%, la desviacián media debe abarcar al
menos un período de 5 meses.
52
ESTADISTIC A ESPAI'^OLA
EFECTO DE PAOMEDIAR TASAS T^
Alúms^o cie
n^^e:
12
1Z
1
i
1
1
t
^
t
1
1
1
^
8
^
1
1
1
^
^
^
6
'i
i
^..
6
1
^
^
.^
^
^
^
.r
^
w
^
^
NIVEL DE CQNFIANZA OEL E6 %
`
4
4
2
^^
it
1
♦ ^•
2
`'+^._
♦
NI V EL DE t^ONF IANtA OEL 87 %
0
_._I___.^..1
i
1
3
1
4
^
Media de Ias
desviaciones
Fi^. 12
De forma alternativa, tasas distintas a la T; también se utilizan. De todas ellas, la
más irnportante es la tasa mensual de crecimiento de una media móvil de tres meses,
anualizada y expresada en tanto por cien. Esta es la tasa T; y, de nuevo, aproximándola
linealmente ( ver Apéndice B) y utilizando los Cuadros 4 y 5, es posible estimar el error
de medición asociado. El Cuadro 10 muestra los 1.+C. al 95% para las T! estimadas para
la serie desestacionalizada y la tendencia. La anchura de estos intervalos representa
entre el 55°1o y el 60% de la anchura de los intervalos para la tasa T;.
DESCC)MPOSICIUN DE SERIES TEMPORALES: ESPECIFICACIC^N, ESTIMACION E INFERENC'I,A
S^
C,ttudrv 10
Intervalo de confianza para la tasa de crecimiento
de una media móvil de tres meses (T^)
(nivei de confianza del 95 %)
Estimador
contemporáneo
Estimador
final
Serie
Desestacionalizada
± 2.58
± 1.82
Tendencia
± 2.76
± 1.9ó
Finalmente, hemos destacado el probtema que los errores de medición producen en la
implementación de la política r^nonetaria. Por supuesto, los errores de medición tienen
también otro tipo de efectos, como por ejemplo, alterar la identificación de relaciones
entre variables (ver, por ejemplo, Maravall, 1979). En términos de las series históricas,
tiene interés señalar que la desviación típica del error de estimación final de la serie
desestacionalizada o de la tendencia, estimación disponible al cabo de 3-5 años, representa aproximadamente un crecimiento anual del 1 %; un porcentaje pequeño, aunque
no despreciable.
54
ESTADISTIt'A ESPAÑnLA
A PEN DICE A
^
ESTIMADOR CON ERROR CUADRATICO MEDIO M1NIM0 DE UNA SENAL
EN UNA SERIE TEMPORAL.
A. l . Intrvducción
En el comienzo de la sección 3 se afirmaba que, si una serie z,, que puede expresarse
como el fiitro lineal (1.4), es la suma de un cvmponente ^;,, que puede expresarse c©mo
eí f ltro lineal (1.2}, y un resto ortogonal a dicho componente, el estimador con error
cuadrático medio (ECM) mínimo de z,t (cuando el universo de informacíón es una
realizacicín completa de z,) viene dado por la expresión (3. i). La derivación original de
este resultado para series estacianarias se encuentra en I^olgomorov (1941) y Weiner
(1949} y, a pesar de la importante aportacíón de Whittle (1963), la prueba del resultado
no resulta de fácil acceso.
Por otra parte, el resultado (3.1) es atractivo debido a la sencillez del filtro (fácilmente
computable) y al hecho de que, tal como observaron Cleveland y Tiao (1976), su
optimalidad se mantenía para realizaciones incompletas simplemente sustituyendo las
observaciones ausentes por sus predicciones (fácilmente calculables por medio de { 1.4} ).
Su gran límitación cara a la aplicacicin práctica residía en el supuesto de estacionariedad, ya que la gran mayor^ía de las series económicas son no-estacionarias. La demostración de que el resultada {3.1) sigue siendo válido para series no-estacíonarias aparece en
densos artículos de Cieveland y Tiao (1976} y de Bell { 1984}.
En las páginas que siguen presentaremos una prueba sencilla de (3.1) para el caso
estacionario primero, y rnostraremos, con un ejemplo concreto, como la prueba se
extiende de forma casi inmediata al caso no-estacionario. En ambos casos, el modelo de
referencia es el siguiente (para eliminar subíndices, la notación varía ligeramente con
respecto a la usada anteriormente):
Una serie z, puede expresarse como la suma de dos componentes ortogonales:
z1=s,+n1,
(A.í)
donde .s, es la "señal" y n, el resto. La serie observada y la señal siguen los procesos
lineales
z, _ ^Y(B) a,
(A.2)
s, _ ^.,(B) c,
(A.3)
Dada una serie ternporal completa para z,, sea ^, cualquier estimador lineal, que
representaremos por
^,=vtB)z,
(A.4)
55
DESCOMPOSICION DE SERIES TEMPORA,LES: ESPECIF^IC'A('IUN, Es"T^IMAt'ION E ItiFERFtit lA
Nos interesa el estimador ^, can el error cuadrático medio E(s,-.^^,)' mínimo, dentro de la
clase de los estimadores lineales.
A.2. C'asc^ Estuc•i^^narrv
De (A.4) y (A.2),
^^
(s,-s,)` _
,- v( B)^,l` _[s,- v( B)`E ( B)a,]` ;^ + [^(B)u,]`' - 2s,í^(B)a, ,
(A.5)
donde
^.(B) = v(B)`N(B) .
(A.6)
Tomando esperanzas en (A.5) ,
ECM=E(s,- ^,)'=V(s,)+E[^.{B)a,)'-2E[s,a^{B)a,]=
= V (s, ) + cr, ^; ^,; - 2 ^; ^,; E s, a,_;) .
(A.7)
Sumando y restando E; [ E(s, u,_;) ]' / cf a la derecha de (A.7), los tres términos
intermedios pueden expresarse como un cuadrado perfecto, y resulta:
EC M = V (.^,) + ^; [ cr^ ^., - E (s, a,_,) ]' 1 r^, -
^
^
-^;[E(s^,u,-;))^i^,.
Queremos minimizar esta expresión con respecto a v(B). EI primer y el tercer sumando no dependen de v(B); sólo depende el segundo a través de ^.(B). Por tanto, minimizar
ECM equivale a buscar
rrt i n E; [ c^, ^.; - E (.s•, cz, _; ) ] ^ .
^
Puesto que se trata de una suma de números no-negativos, el mínimo se alcanza para
^.; = E(s, ^a,_;) / c^
(A.8)
Dado que los u,'.^' no están correlacionados, la expresión (A.$) indica que los a^; son
simplemente los coeficientes de regresión en la proyección .s, _^; ^,; u,_; .
ESTADISTIC'A ESPAÑOLA
Sea y,^,(B) la función generadora de covarianzas cruzadas entre s y a. Es decir
:',^^{ B) _ ^ °°_^
y, B' ,
(A.9)
donde ;^, = E(s, a,_,). La expresión (A.8}, para todo j, se transforma en
^.( B) = Y,u ( B) / o-w ,
y, considerando (A.ó), se obtiene
i^( B)
„r ^u( }
^ ^ ( B)
(A.10}
D^e {A.3), es inmediato que
y^«( B) _`^, (B) Y^^^f( B) ^
(A.1 1)
donde y^.,,(B) es la función generadora de covarianzas entre c^ y a (similar a (A.9), con s,
sustituido por cr). Utilizando (A.1 1), (A.10) se convierte en
^,(B) ,^ {B
;^(B) _ ar `E B ' ^^^^ )
u
()
(A.12)
De (A.1), {A.2 ) y(A. 3) se obtiene, despejando para a,
a, =
`^, ( B}
1
y, ( B) c', + ^,, ( B) nl
(A.13)
Sea
h{B) _ ^,(B) / ^(B)
(A.14)
En (A.13), la ortogonalidad de n, y c,, y et hecho de que este último sea ruido blanco,
implican que
yu^.( B) = h( B) cr .
(A.15)
Como, por definición de función generadora de covarianzas cruzadas, el coefieiente de
B' en yu^.(B) es el coeficiente de B"' en y^.^,(B), resulta yu^.(B) = y^.u(F}. Es decir, (A.15) puede
reescribirse
y^^u(B) = h(F) c^
(A.ló)
DESCOMPnSiCION DE SERIES TEMPORALES: ESPEC[FICACION, ESTIMA(_^ION E INFERENC^IA
57
C'onsiderando (A.14) y utilizando (A.16) en (A.12), resulta finalmente
a^ `^.,{B) `P^(F)
^
y( ) - ^ ^(B) ^(F^ '
(A. l 7}
que es igual a(3.1) y, por tanto, el resultado que queríamas demostrar. La optimalidad
de (A.17} está condicionada al supuesto de que el universo de información se limita a la
serie univariante, y, de hecho, en la práctica, la desestacíonalización se realiza siempre
por métodos univariantes. Para ver bajo que condiciones esto es apropiado en series
económicas ver Maravall (1983b), donde se observa que la oferta monetaria cumple
estas condiciones.
A.3 C'asc^ N^r-estaci^nario
El filtro v(B) definido por (3.1) es sencillamente igual a la función generadora de
autocovarianzas de la señal dividida por la de la serie observada. La demostración que
realizamos en la sección anterior se basaba de hecho en el comportamiento de funciones
de covarianzas de series estacionarias. Como ya mencionamos, las pruebas existentes de
la extensión de (3.1) al caso no-estacionario son relativamente complicadas. En mi
opinión, hay un modo de ver el problema que simplifica la demostración y que resulta
intuitivo.
Al ígual que en la Sección (3.1 }, para simplificar la notación, representemas un
polinomio en B simplemente por la letra griega. Tarnbién, cuando B se sustituya por F,
la letra griega que representa al polinomio llevará una barra encima. Así, por ejemplo,
`I'=`^(B) y `^=^(F).
En el caso estacionario, los polinomios `^ y`P,. de (A.2) y(A.3) son convergentes.
Para nuestros efectos, en el caso no-estacionario, podemos suponer que ^, y s, están
representados por los procesos
^ ^, _ `I' a,
(A. l 8)
b,s,=^,c,,
(A.19)
donde a y^, contienen las raices no-estacionarias y los polinornios `P y`1J, son
convergentes. El filtro (A.17) se convierte en
^
(`P.,^^.,) (`P,/c^,)
v = k,
(`1'/^S) (^/ ) .
(A.20)
Puesto que ^, = s, + nr, (A.18) y(A.19) implican que ^5,. es divisor de r^. Podernos
escribir, pues, ^= S, 5,,, y suponer que ^S, y rS„ no comparten raiees en común
S$
ESTADlSTI['A ESPAÑOLA
(obviamente, no tendría sentido, por ejempfo, que el espectro de una serie desestaciona[izada presentase un pico inf nito para una frecuencia estacional). E1 filtro (A.20} se
transforma, por tanto, en
^
^s^n
V .- Ii^.
`I,r
^+an
^_ _ _ ,
(A.21)
Puesto que (A.21) es la FAC de un modelo ARMA con polinomio autorregresivo `P,
teniendo en cuenta ( l.5), la invertibitidad de ^, garantiza la estacionariedad de ese
modelo. Por tanto, el ftltro (A.21) convergerá aún cuando los procesos sean noestacionarios.
Las ecuaciones (A. t), (A.2) y {A.3} implican que n, sigue también un proceso
ARIMA, con polinomio autorregresivo ^5,,, y que representaremos por
(A.22)
S„n,=`^„br,
donde h, es ruido blanco, ortogonal a c,. Consideremos el estimador de la señal:
^,=v^,,
con v definido por (A.21). E1 ECM de ^, viene dado por
ECM = E(s, - ^,)`' - E{ (1 - v) s, - vn, }`' ^
^n
^
c^f-v á h,
=E (1 -v) S
,
(A.23)
n
Multiplicando los dos miembrfls de (A.1) por 8 y considerando (A.2}, (A.3) y fA.22),
se obtiene
^Ya,=^n`^Y,c,+cS,`P„h,.
Puesto que las funciones generadoras de autocovarianzas de los dos lados de esta
expresión han de ser iguales, resulta ( sin pérdida de generalidad, suponemos rr, = 1),
, _
^^ - %c. ^^ ^n ^.^ Sn - kh ^n ^^ ^rr ^s +
y, teniendo en cuenta (A.21), se obtiene
^.^ ^n ^ s ^n
V
^c ^
^^
.
(A.24)
DESCOMPOSICION DE SERIES TEMPORALES: ESPECIFICACION, ESTIMAC'ION F INFERFNC^IA
S9
Utilizando (A.2 l) y(A.24} en (A.23), resulta:
^
^
^n^s
ECM=E k,,
^^^n
^nas
^^--
^^
r^-k^.
^^^n
h, '.
Las raíces no-estacionarias b.,, y bn de los denominadores de la derecha de (A.23) han
desaparecido y el ECM resulta ser la varianza de la diferencia de dos medias móviles
convergentes ortogonales. En consecuencia el ECM de ^, es finito.
Para simplificar, supongamos que sólo existe una raíz no-estacionaria, o, de modo
que ^S_, = o y^n = 1, y veamos la raiz o= 1- B coma el límite de (1 -^ B) cuando ^-^i,
1. Puesto que v, definido por (3.1) (o, equivalentemente, por (A.17} ), minimiza el
ECM cuando ^_.9, .99, .999, etc., es intuitivo que también lo minimice para ^= 1,
dado que tanto v como ECM son funciones continuas en ^= 1. Aunque la idea es
simple, la prueba general (que incluya cualquier conjunto de raices unitarias, tanto
reales como complejas) necesita una terminología engorrosa. A continuación, detallamos la prueba para el ejemplo sencillo de la descomposición de un AR(1) en señal más
ruido.
A.4 Un Ejemplo
Supongamos que una serie observada, que sigue el modelo AR(1)
(1 - ^ B) z, = ar
a,^ n i ^d (U,1) ,
^ E [0,1 ]
(A.25)
puede descomponerse en:
(A.2b)
z,-s,+u,
donde s, y u, son independientes y éste último es ruido blanco. La descamposición
canónica viene dada por los modelos (ver Maravall, 1984)
(1 -^B)s,=(1 +B)b,
a^ =^ / (1 +^)`' ;
u,`niid(O,cr,)
^,= 1 1 (1 +^)'
(A.27)
(A•?g)
{Escogemos la descomposición canónica simplemente para ilustrar la demostración, que
permanece prácticamente invariable para cualquier otra descomposición admisible que
se escoja). La Figura 13 muestra, en el dominio de las frecuencias, la descomposición
canónica en señal más ruido. Sea
.^, = v(B) z, ; v(B) _ ^ v; B' .
(A.29)
FSTADIST^('A ^:SP^^!VOLA
^o
DESCQMPOSICION CANC3N ICA DE UN AR t1 }
^^^ iEA 1 E
•••••••.• ppMrpNENTEs
F'iK. 13
cualquier estimador lineal de s,. (En esta sección, todos los sumatorios se extienden de
-^ a+^ ). El ECM de .^, es la función
1+B
ECM(^^,v) = E [ 1- v(B) ] ^ h, - v(B) u,
,
(A.30)
donde v representa ahora un vector con elementos los coef cientes de v(B), De (A.30) se
desprende que el ECM es finito, incluso para el caso no-estacionario, cuando el filtro
v(B) cumple las dos condiciones
(A} £ v; < ^
(B) 1 - v(B) _ { 1 - ^B} c.^(B) ,
(A.31)
Sea H el conjunto de valores (^,v) tales que ^ E(0,1 ] y v(B) produce un ECM finito.
(Para cualquier valor de ^ en ese intervalo, H no es un conjunto vacío. Esto es obvio
para ^ E(0,1); para ^= 1, es fácil ver que el ECM asociado por ejemplo con el filtro
(A.17) es igual a a'ú/S y, por tanto, finito). La condición (B) nos dice que (1 -^UB) es
divisor de 1- v(B). Eliminando, pues, esa raíz, el vector v, con elemento (v;), se sustituye
por w, con elemento (cv;}, En consecuencia,
DESC'C)MPOSIC'1C)N DE SERIES'CEMPORALES^ ESPEClFIC'ACiON, E.^STlMA('I()^+ F: 1tif=ERFti( IA
EC M (^, ^^f) = E { ^,( B )h, - v( B) u, ^`' = r^ ^ .^,' + ^, ^ ^^,^
fi ^
{A.32)
donde los coeficientes en ^.(13) y v(B) vienen dados por
^^,= 1 - (w^^+cv_^)
^% ' W j + ^j-1
(i ^ 0^.
V„=1-(C^^„-^C.^_^)
v^ = ltJj -^ C.f^ j- l
V^^^.
y son por tanto funciones continuas de (^,w^) en H. Puesto que ^ y o;', según (A.28),
son también funciones continuas de ^, (A.32) implica el siguiente resultado:
(R 1): ECM(^,w) es una funci©n continua de ^ y w.
Consideremos el f ltro ( A.17), que representa el filtro con ECM mínimo para el caso
cñ E[0,1). Para el modelo dado por las ecuaciones (A.25) -(A.28), el filtro se convierte
en
^
v^,(B)=af,(1 +B)(1 +F)= 1 + ^, (1 +B)(1 +F).
(
)
(A.33}
Es inmediato ver que v^,(B) satisface la condición (A). Tomando diferencias en (A.2b) e
igualando las funciones generadoras de autocovarianzas del lado derecho e izquierdo se
obtiene la identidad
1 =(1 +B)(1 +F)^+(I -c>^B)(1 -d^F)a;',,
de donde resulta:
- v,^(B)=(1 -^B)(1 -^F)^r;,,
(A^-^^)
y, por tanto, la condición ( B) también se satisface, De (A.31 } y(A.34) se deduce que el
filtro c^(B) viene dado por
^
rv,^(B) _ (1 - ^F) ^,
(A.35)
donde rr;, viene dado por (A.28). El vector ^^ contiene solamente dos elementos distintus
de cero, correspondientes a:
rc^_^--^/(1 ^-^)`';cu„= 1 /(1 +^)^
(A.3f^)
F.STADISTK^A ESPAiVOi.A
Reprc.^sentemos este vector por ^r•„(c^,}. Las expresiones en {A.36} implican el siguiente
^-ti^sultado:
(R2): K^^,(^) es una función continua en ^ E[o, l].
Nuestra intención es demostrar que ^^„(^^) sigue produciendo el ECM minimo para el
caso ^= t. Esto es lo que afirma el siguiente resultado:
(R3): ECM(1, ^^•,, (1) )< ECM(1, ^1•} para cualquier otro ^•.
La demostracián de (R.3) es inmediata teniendo en cuenta (R.1) y(R.2): Supongamos
que (R.3) no es cierto. Existe pues un I1•, ilamémosle r^•* {en N), tal que
MSE( [ , r ^•,, (1) ) > MSE(1, ^t•*) .
(A.37)
Pero (R 1) }^ (R2) garantizan que, para un E positivo y suficientemente pequeño, (A.37)
implica
MSE(1 - E, ^ t•„ (1 - E) ) > MSE(1 - E, ^1•*).
{A.38)
Puesto que, por construcción, ^ t•„(1 - E) minimiza el E^M para ^= 1- E, (< 1), (A.38)
no puede suceder, y por tanto ( R3) tiene que ser cierto.
DESCOMPOSICION DE SERIES TEMPORALES: ESPEClFICAC'ION, ESTIMAC`ION E INFERENt'IA
63
APENDICE B
LINEARIZACION DE LAS TASAS 1NTERMENSUALES DE CRECIMIENTO
a) Tasa T ;
La tasa T^ mide la variación mes a mes de una serie mensual, expresada como
porcentaje de aumento anual. Asi, si la serie es x^,
t
t^
Tt=[(xr/xr-t)` - 1] 100.
(B.1)
y, puesto que _^c, __x,_, + d_x,, ( B.1) puede expresarse como
T^=[(1 +^Xr1 -^^-t)t^- 1] 100.
Si la serie evoluciona de forma relativamente suave en el tiempo, Ox^ es relativamente
pequeño y T^ podrá aproximarse linealmente por medio de
[ l + 12 (dx,/x,)- I] 100,
y, dado que c^x / x= í^ (lo^ _^c), el término entre paréntesis se puede expresar aproximadamente como ^lo^ _xl. Se obtiene, pues, la conocida expresión:
T,' = 1200 0 la^ xr ,
(B.2)
que subvalora la anualización, pero resulta una aproximación razonable para series
no-estacionarias.
Mediante ( B.2) es sencillo calcular el efecto de un error de medición en la variable.
Sea, por ejemplo, 1^^,^ x, la serie desestacionalizada, z^. En la sección 4 virnos que ^Q se
estima con un error, surna de un error en el estimador final y del error de revisión, que
depende del momento en que se realice la estimación. Es decir
= z; + E, ,
(B.3)
donde el error, E, es ortogonal siempre al estimador, z! . La tasa estimada será
^`; = 1200 0 ^,` ,
de donde se obtiene que el error inducido por E sobre ia T;, ó,, es igual a
^S,=T^-^`;= 1200oF,.
(B.4)
FSTA[^tSTiC'A ESPAÑC)LA
{^-^
^a desviación tipica de ñ, será pues
d(^,)= 1200[2(1 -^^)]''Q^,
(B.5)
ti^ vendrá expresada en puntos p^orcentuales de crecimiento anual.
En el ejemplo que hemos díscutído, para los casos de1 estimador contemporáneo y
tinal, ^r,; son los valores que fguran en el Cuadro S{multiplicados por ^„ =.0037), y los
ti^alores de p, se deducen del Cuadro 4.
h ^ Tc1.^u T ;
La tasa T^ mide la variación mes a mes de una media móvi l de t res meses, ex pr^sad^^
en porcentaje de variacián anual. Es decir, sí la serie es .t,,
T i - ^ (.^'r ^ !'^-1 > ! ^ - 1 ] 100 ,
(B.f^)
i•, = x, + .^^- ^ + .^,_ , .
(B.7)
donde
Es inmedíato ver que (B.7) puede reescribirse como
^ •, _ 3 .^-, - 2 ^ .^-, - 0 .t,. , ,
con lo que
G
1«,^r ^^, = 1^^^^,^ ^.1,(1 - - ) ,
^.1 ^
(B.g)
donde G = 2^xr + Ox,_, y, si O.t, es suficientemente pequeño, {B.8) pucde aproximarse
por
lu^ t^, = lc^^^J 3+ Iu^,r .t, - G/3x,
(B.y)
donde hemos utilizado la aproxímación l^^ (1 + x) = x. Observando que, aproximadamente,
G/x, = 2^ x,/.^, + dx^-^^-t,-^
= 2^ lt^^^ -t, + ^1 ln.^ -t ^- ^,
después de simplit^car, (B.9) se transf'orma en:
© lu^r ^^, _(lr^^r .i, - 1^^,^J . r,__^) f 3
( B. I())
DESC'OMPOSIt'ION [^E SERIES T'EMPORALE:S: ESPEC'IF^It'AC'IC}!^. E:STIMA( IC}ti [. ItiFf.Fll tit I-1
6S
Una expresión similar a ( B.2), aplicada a(B.b), produce la relación:
ó, - T r - ^; - 1200(0 .^;` - o ^ ^ ) ,
donde ^,' = lu^ ,^^,, y análogamente a(B.10), o l^^J t^, _(lúk .v, -!vk .til__^) / 3.
De (B. t 1), una vez realizadas las sustituciones, se ©btiene
ó, = 4Q0(Er - ^,-_3).
donde ^, es el error en la medición de 1a serie Ic^^^ .v, desestacionalizada. En consecuencia, la desviación típica del error en la medición de T, inducido por el error en la
medición de la estacionalidad es igual, aproximadamente, a
^r(^,) = 400 [ 2(1 - P_^) ]^ ^ ^F ,
(B. l?l
donde los valores de a1, y p; se ealculan del mismo modo que para el caso de T;. En
Maravall (1981 b) se observa como las aproxi maciones { B.5 ) y( B.1 ?)---deri ^^ada esta
última por un camino totalmente diferente
eran válidas para las series de agregados
monetarios españoles durante la década de los años setenta.
REFERENCIAS
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DESC'OMP(:)SICIC3N DE SERIES TEMPORALES: ESPECIEIC'ACION. ESTIMAC'10N E 1NFE^FtE`^(^lA
69
SUMMARY
DECOMPQSITION oF TIME SERIES: SPECIFICATICJN, ESTIMATIQN AND INFERENCE.
The decomposition of a time series into unobserved components has
been addressed, over recent years, as a particular case of optimal signal
extraction in ARIMA models. This paper presents a methodology that is
becoming a useful tool in applied time series work. First, the problem of
model specification for the components is discusszd and optimal estimators
are then derived, Their properties are seen to lead to a natural diagnostíc
check for the results. Finally, estimation errors are analysed, in particular,
the revision error and the final estimation error.
The discussion is illustrated with the Spanish money supply series. The
analysis permits the answering of questions of practical interest, such as, for
example, how often should seasonal adjustment be performed; for how long
should the seasonally adjusted series be revised; or what is the precision of
the seasonally adjusted series estimator and how this precision translates
into errors of ineasurement in the dif^erent rates of growth. Troughout the
application, a comparison is made between the trend component and the
seasonally adjusted series, as indicators of the underlying evolution of the
series.
Briefly, the paper deals with a relatively ei^icient method to solve a
relevant statistical problem (that of decomposing a time series.) The method provides a framework that allows for a rigourous interpretation of the
data and, ultimately, for a more solid foundation of economic decisionmaking.
AMS 1980. Subject classification: 90A90.
..
ESTADISTICA ESPANOLA
núm. 1 14, 1987, p^gs. 71 a 106
Comentarios
ANTORII ESPASA
FRA[VCISCO MELIS
A R TH U R TR EA DWAY
ALFONSO NOVALES
Contestación
AG USTI N MARAVALL
INDICE
1. Insuficiencia de la Desestacionalización Univariante en el Control Monetario.
2. Los Fundamentos de la Desestacionalización.
3. Descomposición Canónica.
4. X 1 1 y la Descomposición de la Varianza.
5. Limitaciones de los Modelos ARIMA.
6. Irregularídad de la Serie y Errores de Estimacicín.
7. Errores de Truncamiento y Revisiones.
8. Los Supuestos del Modelo.
9. Erraticidad de la Serie Original y de la Serie Desestacionalizada.
Tasa T^
Tasas Acumuladas
10. Comentarios Finales.
E^STAnISTK`.^ LSPAÑ()LA
1.
COCviENTARIO C)E ANTONI ESPASA (Banco de España)
Agustín Maravall es uno de los investigadores de mayor relieve internacional en el
tema de ajuste estacional y extracción de señales, y este artículo es un excelente trabajo
tanto por sus aspectos didácticos en la exposición del tema como por los resultados nuevos que en él se presentan. La investigación de Agustín Maravall se caracteriza por su
rigor científico y por su importancia práctica. En estas notas, vay a ceñirme exclusivamente a analizar ciertas implicaciones que este artículo tiene sobre la serie de activos líquidos en manos del público (ALP) de la economía española, y dejo para otra ocasión
los comentarios sobre los pracedimientos de extracción de señales.
La variable ALP es el agregado monetario que controla el Banco de España, y éste,
mes a mes e incluso decena a decena, necesita evaluar si dicho agregado está o no bajo
control. Dadas las oscilaciones estacionales y de corto plazo que contiene ALP, es importante extraer una señal robusta de la evolución de dicha variable, que esté iibre de
evolucíón subyacente-, y evaluar sobre la misma si el agregada
tales oscilaciones
monetario sigue una evolución compatible con los abjetivos. Una metodología para realizar tal evaluación se describe en Espasa et al (1987), y ésta basada en la tendencia de
la serie económica en cuestión. Por el contrario, el seguirniento mensual de ALP se reaen lo sucesivo, serie ajustada-, que no
liza sobre la serie a^ ustada de estacionalidad,
es más que la tendencia perturbada por un ruido blanco adicional. Emulando la terminología de extracción de señales, podemos decir que la tendencia es una "señal canónica", y la serie ajustada, no. Se me ocurren dos razones que nos pueden hacer preferir
tendencia . Una es
a una señal canónica
una señal contaminada -serie ajustada
que la serie ajustada se estima mejor, y otra, que el ruido que contiene la serie ajustada
canstituye también una señal en sí mismo. Los cuadros 5 a 10 del artículo muestran
que las ventajas de estimar la serie ajustada de ALP en vez de su tendencia son pequeñas; asi, por ejemplo, los intervalos de confianza para las tasas T f difieren, a favor de la
serie ajustada, sólo en ± 0,22 ó± 0,57, según se trate de las estimaciones finales o contemporáneas. Por el contrario, las tasas de crecimiento de la tendencia oscilan menos
en
que las de la serie ajustada, y para el período 1979-84, la media de las diferencias
estimadores finaies
entre las T^ de la tendencia y la serie ajustada
valor absoluto
es de l, 5. En el gráfico 1 se representan dichas tasas.
El seguimiento tendencial de ALP es de interés primario, pues es la señal que está relacionada con las variables de gasto nominal de nuestra economía, pero ello no es suficiente. Se requiere también una señal sobre los movimientos de corto plazo de dicha variable, ya que éstos influyen de forma importante en la evotución de los tipos de interés
de tos mercados monetarios y financieros. Es decir, la relación entre liquidez y gasto es
estable y fundamentalmente de largo plazo, por 1o que se puede captar muy bien a través de las tendencias; pero las oscilaciones no sistemáticas de la liquidez tienen también
COMENTARI4S
73
una influencia en la economía, básicamente en los precios de los mercados rnonetarios.
Tenemos, pues, que la tendencia y los movirnientos no sistemáticos de ALP son señales
importantes, pero por rnotivos y con fines distintos, por lo que esto tampoco justificaría
que los considerásemos conjuntamente dentro de la serie ajustada. Esta serie, en cuanto
señal, puede ser confusa, tanto como indicador de la evolución subyacente, como de un
companente no sistemático. Si ambos componentes no observables son importantes, la
solución debe consistir en estimarlos separadamente y en utilizar cada uno como señal
para lo que es adecuado.
lndagando más sobre la importancia del elemento no sistemático de ALP, podría deerrores de prediccirse que, en realidad, lo que se desea conocer son las innovaciones
de ALP, y, yendo más allá aún, se puede apuntar
ción con un período de antelación
que la señal verdaderamente requerida son las sorpresas que la autoridad monetaria introduce en cada momento en el sistema. En esta línea, la señal importante sería la sucesión de innovaciones en la oferta de activos de caja del Banco de España, que tiene un
papel importante en la variación a corto plazo de los multiplicadores monetarios y de
los tipos de interés interbancarios, tal como se demuestra en Escrivá y Espasa { 1986) y
Escrivá et al (1986). Nó obstante, en situaciones de pérdida de control por parte de la
autoridad monetaria, las innovaciones de ALP serán preferibies a las de los activos de
caja.
TASAi MEN3UALEi DE CRECIMIENTO
u
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-^,
n
20
16
t!i
10
10
5
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1M0
iM1
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1l^3
11^
^^ T^ TtNOlMCIA ALr IAOREOA001.
• • • • • • • ••
T^
NIIIE A^tJ^TADA DE E^TACIONAIIDAD (A011EOA001.
Gráfico 1
ll^li^ll^ll
1956
^rl,l1„ ^,^
1 si^ó
0
74
ESTA[aIST1C`A ESPAÑOLA
Conviene señalar también que la información contemporánea no se explota plenamente si no se estiman las implicaciones que el presente impone en el futuro de una serie temporal. Así, la evolución actual del crecimiento de la seríe ajustada o de la tendencia ---velocidad subyacente de avance
de una serie temporal debe completarse con
su proyección a medio plazo inercia , para que de la camparación de ambas se pueda deducir, resp^ecto a un crecimiento acelerado, desacelerado o constante de la correspondiente señal, qué es más probable que contínúe, que se estanque o que se trunque
C1)•
Téngase en cuenta que con el crecimiento contemp^oráneo estamos comparando e1 valor presente de una señal can sus valores pasados, mientras que la inercia nos da la tasa
con que dicha señal se proyecta a medio plazo. La inercia candensa la visión tendencial
del futuro que se tiene hoy, es decir, ia inercia es una medida --univariante
tativas de crecimiento.
de expec-
La inercia o expectativa de crecimiento tiene Ia ventaja de que, conocido el modelo,
su medida en el mornento t no se revisa con el paso del tiempo, con lo que, en series
donde los errores de revisión de ías señaies son importantes, puede ser aceptable desistir
de estimar el crecimiento tendencial contemporáneo y sustituirlo por la estimación de la
inercia. En cualquier caso, para comparar ei momento tendencial de series diferentes,
cuyas señales se estiman con errores de revisión muy distintos, puede ser preferible hacer dicha comparación a través de las inercias.
Respecto al modelo mensual univariante de ALP, hay que señalar que, cuando se estima incluyendo ios dos últimos años, el modelo de las lineas aéreas requiere una constante negativa. En una variable controlada, es de esperar que, euando los objetivos que
se pretende alcanzar sobre la misma suponen un forzamiento de su proyección natural,
nos encontremos con residuos ARIMA que tienen una media significativamente distinta
de cero. Esto indica que sirnplemente diferenciando no se consigue estacionariedad, es
decir, esta acción de control no cumpie, en general, las hipótesis que se requieren para
que un fenómeno pueda ser representado por un modelo Arima, por lo que se debe pensar en incluir explícitamente en el modelo un factor de corrección, que tenga en cuenta
las desviaciones de la serie sobre los objetivos establecidos en el control de la misrna.
En cualquier caso la inclusión de este factor aumentará la eficiencia del modelo, ya que
incluye información adicional sobre factores que fuerzan la serie en cuestión al alza o a
la baja.
Dado que los objetivos mensuales para ALP se fijan sobre la serie ajustada de est.^cionalidad, Salaverria y Espasa (1987) definen un mecanismo de corrección como la dife-
( 1)
Véase cuadre^ 3 en Espa^a c^^ ul. (1987). Sobre ta importancia de la predicrión del crecimiento teneienrial a n^edio plazo. véase
Rox y Pierce ( t 98 I) y Hox c^r c^l. (1987).
C'OMENTARIOS
7s
rencia entre la tasa anualizada de crecimiento acumulado en el mes t(la cifra ajustada
de estacionalidad) respecto al diciembre anterior y el objetivo de crecimiento anual para
el año en curso. Además, las reacciones de las autoridades ante desviaciones respecto a
los objetivos pueden ser distintas, según se esté a principios, a mediados o a f nales de
año; así Salaverría y Espasa (1987) encuentran que el mecanismo de corrección actúa
con coeficientes distintos, según el cuatrimestre del año.
El modelo que estiman Salaverría y Espasa (1987), actualizado, es el siguiente:
e0,^ lo^ ALP, _-0'0396 MCE;_, -0'0906 MCE;', -0'0625 MCE^'; (1 ' 1)
(3'b)
(2'7)
-0'01 e,, DDIC82, +{0'004 + 0'009L) oe,, DMA^85f + 0'008 00, ^
(3'9)
(1'9)
(3'9}
(3'8)
DJUN86, + (1 + 0'20L) (1 - 0'60L/2) at ,
{ 1'8)
(7'2)
muestra inicial: En 19^9 a ab. 1987,
número efectivo de residuos: 86,
varianza residual 0'0000091
,^ (14) (2b) = 5'S y 20'4
correlograrna residual: ningún valor significativamente distinto de cero.
En este modelo MCE^`) es el mecanismo de corrección de la desviación sobre el
objetivo en los meses del cuatrimestre ( i) de cada año natural; y DFECHA es una
variable impulso en la fecha correspondiente. Para este modelo, 1a media de los residuos
es cero. En él, los efectos del mecanismo corrector son distintos por cuatrimestres, pero
las diferencias no son estadísticamente significativas.
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marzo. De próxima publicación en Economic ModellinR of the l?ECD Economies, editado por
H. Motamen, Chapman and Hall, Londres.
ESTADISTIC'A ESPAÑOLA
ESCRIVÁ, ^ . L., A. ESPASA, ^ . PÉREZ y J, SAI^AVERR^A, 1986: "A Short-Term Econometric Model for
Spanish Monetary Palicy", ponencia presentada en la Conferencia sobre "Modéles Monétaires
et Financíers", organízada por la Association d'Econométrie Appliquée, en Ginebra, 22-23 de
enero de 1987.
A. EspasA, M. C. MANZANO, M. LL. MATEA y V. CATAS ^ S, 1987: "La inflación subyacente en la
economía española: estimación y metodología", Boletín Econcámico, marzo, pág. 32-52, Banco
de España.
.I. SALAVERRjA y A. ESPASA, 198^: "Un modelo Arima con mecanismo de corrección de la
desviación sobre el objetivo, para la serie de activos líquidos en man©s del público", Banco de
Espar^a, trabajo no publicado.
COMENTARIC)S
77
COMENTARIO DE ARTHUR TREADWAY (Universidad Complutense de Madrid)
Agustín Maravall expone con gran claridad y rigor la situación actual de la teoría y ía
práctica de la descomposición de series temporales por frecuencias ( p. e., estacional y
desestacional), una disciplina científica del Análisis de Series Temporales Estadísticas
(ASTE) en que Maravall ha aportado investigaciones de gran prestigio en los últimos
años. Sus aportaciones se arraigan en el Enfoque Box-Jenkins {B-J) del ASTE y esto las
dota del mejor instrumental disponible. Lo ya conseguido en estas investigaciones
parece admirable, pero la falta aparente de una motivación adecuada para la desestacionalización de series me llama la atención. Esto provoca las consideraciones siguientes,
más enfocadas hacia la investigación futura.
La práctica generalizada de la desestacionalización carece de fundarnentos convincentes en términos del ASTE. El analista Bax-Jenkins {B-J) experto no elige series
desestacionalizadas para ninguno de los fines de sus análisis. No descompone las series
de datos en estacional y desestacional. Los analistas B-J expertos investigan y realizan
descomposiciones en estacional y desestacional casi exclusivamente porque los noanalistas demandan series desestacionalizadas.
Se presenta, pues, una contradicción de gran interés potencial tanto para los analistas
B-J como para los no-analistas demandantes de series desestacionalizadas. Uno de los
dos grupos incide en un error, un error posiblemente de bulto. Quizás existen investigaciones que podrían determinar quién se equivoca y la naturaleza del error.
^Podría haber una estructura dei mundo que los analistas B-J ignoramos, pero que
algunos de los demandantes de series desestacionalizadas perciben de alguna manera
que motiva su demanda? Para mí la respuesta es si, puedo imaginar tales estructuras.
Pero no conozco ninguna investigación de la estacionalidad que afronta esta cuestión, la
cuestión que me parece prioritaria. Maravall, y sus colegas en la línea de investigación
que expone aquí, no parecen haberse ocupado de ella todavía.
Maravall nos dice que "..., no existe una definición generalmente aceptada de lo que
es un componente estacional". Expone a continuación su candidato de de^nición
basado en principios exclusivamente estadísticos. ^onfieso que no veo la utilidad de
esta definición y estoy seguro que no será nunca gen.eralmente aceptada.
En cuanto a los fundamentos de la definición propuesta, la ortogonalidad de componentes parece necesario y el criterio de compatibilidad ARIMA entre los componentes y
el modelo empírico de los datos parece deseable. Pero estos criterios sin otros dejan la
falta de identificación yue Maravall expone, la que resuelve con el requisito canónico.
Esta condición canónica parece semejante a otras que se emplean en muchas otras
formas del análisis estadístico y por eso imagino que tendrá un éxito semejante, pro-
E:^TADI^^FICA ESNA!Vt)1_A
bablemente pequeño. Los métodos canónicos a veces resultan útiles en investigacianes
con datos que buscan una teoría económica, pero no pueden hacer las veces de una
teoría. Me resulta chocante que tales métados se apliquen en las operaciones de la
política monetaria, que se supone fundamentada en algún entendimiento más profundo
de la Economía, capaz de identificar las estructuras de los sistemas estadísticos que
informan su actuación.
Otras situaciones de falta de identificación ocurren en la Econometría. Típicamente
indican una deficiencia del modelo conceptual en relación con los datos. Es siempre
aconsejable que el investigador las interprete como llamadas para examinar su pensamiento.
En el caso de la estacionalidad, tenemos por ahora una teoría implícita en nuestros
métodos del ASTE que podemos explicitar y quizás contrastar: en cuanto a las relaciones entre variables, la función de respuesta no depende de la frecuencia del input, es
decir, la función de respuesta es la misma para cualquier componente del input,
estacional o desestacional, bajo cualquier definición de la estacionalidad del input.
Este es el supuesto que los demandantes de series desestacionalizadas parecen negar.
Alguien que quiere exarninar dos series desestacionalizadas exclusivamente, es decir, sin
consultar las series originales, tiene que creer que las dos funciones de respuesta son
nulas para el componente estacional sin serlo para ei desestacional. Si consuíta las series
originales tarnbién, por la menos tiene que creer que las funciones de respuesta difieren
según componentes estacional y desestacional. No conozco todavía ninguna investigación que haya formulado un contraste de la hipótesis básica de la práctica actual del
A^ STE, las funciones de transferencia son invariantes a la frecuencia del input. i,Se
podría formular un cantraste? Intuyo que si.
Me parece que la investigación del supuesto central en cuestión solamente puede ser
abordada en un marco multivariante, lo que trasciende los límites de la literatura que
conazco, la citada por Maravall, aunque los principios de ortogonalidad de componentes y compatibilidad de estructuras ARIMA me parecen buenos y aplicables en todo
caso. De hecho, el contexto del análisis estocástico multivariante es eí único del ASTE
en que tadavia quedan sin responder cuestiones de primer orden acerca de como
simplificar la representación paramétrica estacionai. Quizás algunas investigaciones
multivariantes de la descomposición estacional podrían aclarar esta última cuestión a la
vez.
Un tipo de investigación interesante tomaría el caso de dos series estocásticas y
estacionales, el output y el input en un modelo de transferencia de un solo output ya
investigado mediante el análisis B-J. Se descompone la variable input en dos componentes, estacional y desestacional, empleanda los métodos y supuestos expuestos por
Maravall u otros no-canónicos que ofrezcan componentes teóricamente ortogonales y
("C^MENTAR[OS
79
prácticamente no demasiado correlacionados. Se procede a la estimación de un modelo
de transferencia reformulado y descornpuesto, con las mismas especificaciones del modelo no-descompuesto pero con los dos inputs, estacional y desestacional, cada uno con
su versión de la función de transferencia, inicialmente iguales. Se contrastaría la hipótesis de funciones de respuesta iguales.
Se podría también plantear análisis estocásticos multivariantes de este tipo. Por
ejemplo, dos series operando en una estructura estocástica bivariante ya analizada e
interpretada en términos de Teoria Económica, se descomponen y las cuatro series
resultantes se analizan desde la perspectiva del análisis cuatrivariante.
Estas. investigaciones con casos podrían motivar determinados desarrollos de la teoría
de la descompasición estacional. Los supuestos de ortogonalidad entre componentes y
compatibilidad ARIMA con el modelo empírico parecen útiles. Nuevas condiciones de
identificación podrían plantearse, estas probablemente relacionando economía y estacionalidad en algunos casos.
No pretendo decir que todo esto sería fácil. Estoy seguro que no. Pretendo señalar
que los analistas B-J estamos empleando una hipótesis nunca contrastada que los
demandantes de series desestacionalizadas insisten en rechazar. En tales circunstancias,
me parece preferible afrontar la tarea difícil de contrastar esta hipótesis y na quedar en
una definición de la estacionalidad tan arbitraria como ía univariante canónica.
Hay algunos aspectos más concretos de este trabajo de Maravall que paso a comentar.
No menciona los factores de intervención, lo que resulta sorprendente; creo que tales
factores se encuentran en ALP. Lo recomendable sería extraer todos los factores deterministas bien justificadas ( por información extramuestral) antes de descomponer por
cualquier método; al tratar la descomposición de la serie original, estos factores constituyen otro componente o componentes.
Un tipo de input determinista que me parece esencial y que Maravall no menciona en
su análisis de descomposición de ALP es la serie de valores anunciados del objetivo de
la política monetaria. Si no se explicita el objetivo monetario en un modelo de ALP, el
cumplimiento aproximado del objetiva combinado con los cambios más o menos
anuales del objetivo, hará aparecer una fantasma estacional que no debe confundirse
con el resto de la estacionalidad. Me parecería mejor seguir, prever y quizás descomponer el error, la diferencia entre la observación de la variable medida en los mismos
términos que el objetivo y el valor del objetivo.
Llama 1a atención el empleo de un solo modelo univariante estocástico para una
muestra que contiene dos regímenes distintos de control rnonetario, el vigente con
objetivos de M3 hasta 1983-84 y el actualmente vigente que emplea objetivos de ALP.
ó0
E^sT,ADISTICA ^SPAÑC)L.A
Sería interesante saber si los efectos en esta variable del cambío de régimen han sido
investigados.
Los componentes de Ia descomposición propuesta por Maravall son ortogonales en
teor^a, aunque los estimadores presentarán aigo de correlación. Las correiaciones cruzadas contemporáneas se presentan, pero no se presentan las funciones de correlación
cruzada entre tos componentes estimados, Asi se ignora un instrumento de diagnóstico
esencial en este contexto.
C`()MENTARlC^S
8l
COMENTARIO DE FRANCISCO MELIS ( Instituto Nacional de Estadística)
En los últimos siete u ocho años, el campo de técnicas de desestacionalización y descomposición de series de tiempo se ha enriquecido notablemente. Junto a los procedimientos tradicionales de regresión móvil (DAINTIES} ó de medias móviles (X 1 1), el
usuario puede echar mano del procedimiento de regresión bayesiana de A^ kaike (BAYSEA), que proporciona una solución atractiva al problema de descomposíción de series
planteado en los años veinte por Whitaker y Henderson. O bien, puede utilizar el métc^do de Kitagawa y Gersch (DECOMP), en la línea del anterior, pero que plantea el problema en términos de modelo de estado ( o estructural), utilizando el filtro de Kalman
para ía estimación de los parámetros que controlan la descomposición.
Pero, como cabía esperar, dado su éxito en la predicción a corto, ha sido de la mano
de los modelos ARIMA, de donde provienen los avances más difundidos: X 1 l-ARIMA
primero, que extrapola inicialmente la serie de entrada para extender el campo de utitización de los filtros centrales del X 1 1 y Burman y Hillmer-Tiao después, que establecen
el nuevo procedimiento de desestacionalización por descomposición "canónica" de un
modelo ARIMA, que llamaré método DDMA.
El trabajo de Maravall es, en primer lugar una exposición didáctica de ésta última
técnica, de interés, por tanto, no sólo para los usuarios del software correspondiente,
distribuido por el B. Inglaterra ( Burman) o el SCA ( Hillmer, Tiao}, sino talnbién para
los que deseen conocer las ventajas de extender el marco de la modelización ARIMA al
problema de la descomposición de series económicas y sociales. Particularmente útil,
porque no se incluye en otros artículos sobre el método, es la derivación (Apéndice A)
del estimador de una señal de un modelo conocido, aunque no se proporciona ninguna
interpretación del resultado.
En segundo lugar, Maravall completa la técnica establecida con diversos estadísticos
que permiten enjuiciar la calidad de los resultados obtenidos en relación con el modelo
inicial propuesto. La derivación de los modelos para los errores de estimación y de revisión se sigue con dificuitad, pero los resultados obtenidas son del máximo interés para
los usuarios del método DDMA. No hay que olvidar que el procedimiento más difundido (X 1 1-ARIMA) praporciona, además de las series componentes, una extraordinaria
variedad de estadísticos de medida y control: Medidas de la estacionalidad estable y rnóvil, Test compuesto de "identificabilidad" de la estacionalidad (3), balance señal/ruido,
MCD, descomposición de la parte estacionaria de la varianza, etc...
Aunque entre los nuevos métodos de desestacionalización propuestos, me parecen
más prometedores los que parten de un modelo para el vector de estado, la técnica que
Maravall expone y perfecciona plantea algunas cuestiones de orden teórico y práctico:
82
EST,ADISTIt'A f=.S^PAtiC)l_^^
1. La dep^endencía del método DDMA del modeto ARíMA inicial, introduce complejidad y arbitrariedad en la desestacionalización. En un ensayo de aplicacián del X 1 1ARIMA sobre las SOO series elementales del Indice de Producción Industrial, sólo el
20^ se ajustaban a los modelos preestablecidos, que son los más usuales. Elio quiere
decir que gran parte de las series económicas son dificiles de modelizar para conocedores superficiales de los métodos ARIMA. l^ por otra parte usuarios distintos obtendrán
modelos y resultad©s distintos.
2, Bajo la hip^átesis de camponentes, una serie de longitud N es una señal compleja
de banda limitada por la frecuencia fundamental (1 iN) y la frecuencia de "doblamiento" { 112}- que transporta información relativa a fenómenos de cronología muy
distinta o relativos a diversas bandas del espectro disponible.
La extensión del marco ARIMA a éste problema de los componentes, y por tanta, a
la descomposición del espectro promete enriquecer y clarificar la definición de los componentes, algunos de los cuales se definen de forma precisa en la frecuencia: el ciclo semanal, por ejemplo, se aprecia como un pico en el entorno de 1/2.$7 que es su frecuencia "alias", la estacic^nalidad, como un conjunto de picos de altura y ancho variable en
la frecueneia estacional fundamental y sus armónicos. Además, frente a la limitada
gama de filtros utilizada por el X 1 1, el método DI3MA se presenta como un generador
de filtros "a medida", dependientes del modelo inicial de la serie.
^abría esperar por tanto, que el método fuera más sensible que el X 1 I a las características estacionales de cada serie. Pero Les de hecha así?
En otras palabras: si la serie, cómo ocurre en concreto con los ALP y con muchas
otras seríes económicas, sólo posee picos espectrales en algunos armónicos estacionales
^Se ajusta el filtro a esa peculiar distribución de la varianza estacíonal? Igual interrogante plantea la diferencia de anchos de banda de los picos a la que el X 1 1 no es capaz de
adaptarse.
Si la contestación es negativa, puede encontrarse aquí una explicación de algunas
"brechas" en la serie desestacionalizada que deberá añadirse a las razones teóricas expuestas por Maravall en el epígrafe 3.2., dado que se estará aplicando filtros "rechaza
banda" en banchas que no lo requieren.
3. La relación del método con la frecuencia existe, pero sólo a nivel teórico. E1
requisito canánico, que fuerza a los espectros de las señales componentes a tocar el eje
de frecuencias puede ejercerse "a cíegas", sin atender a la distribución empírica de ia
varianza en el eje (o,^c). Y el problema, importante para la estacionalidad, la es mucho
más si se desea extraer el ciclo-tendencia. Me pregunto que aporta el método a Ia
def nicián de ciclo-tendencia, salvo una vaga asociación con las bajas frecuencias.
C'^)MENTARIOS
83
En el X 1 l, se utilizan tres filtros de Henderson (de potencia mitad en 13,$ y 6 meses)
en función de un ratio ruido/señal (I/C de la tabla D 12) cuya utilidad proviene de su
independencia de cualquier modelo. Para los ALP, de mínimo ruido (I/C = 0,1), se
selecciona el filtro de mayor paso (la media de 9 términos de potencia mitad en 2 n/b)
de farma que sabemos lo que hacemos cuando optamos entre la señal de cicla-tendencia
y una media mávil simple de la serie desestacionalizada.
4. Resumiendo lo dicho en 2 y 3: el "paso" del filtro de expresión 3.1. está determinado por la fracción de varianza de cada componente (o banda) frecuencial que cabe
atribuir a la señal (Whittle pág. 58) y será probablemente de paso bajo para el ciclotendencia, de paso alto para el irregular y"pasa-banda" para la estacionalidad y el ciclo.
La adecuación del filtro dependerá par tanto de la capacidad del modelo de la señal
para reproducir las características de la banda espectral asociada a la señal. Y, a mi juicio, los modelos de los componentes, determinados por un modelo inicial demasiado
apoyado en el filtro 1/(1-B) (1-B** 12), no son capaces de recoger características importantes del espectro. Pienso también en los máximos retativos de potencia que aparecen
en la banda (1 /80, 1/20) en series cíclicas como las de opiniones empresariales, o los
que aparecen muy a menudo entre 1/ 12 y 1/6.
El requisito de sobriedad paramétrica que preside la modelización ARIMA puede estar justificado en la predicción, pero si se quiere descomponer: ^No sería oportuno utilizar como criterio de modelización, la capacidad de reproducción del espectro?.
Alternativamente, puede establecerse una tipalogía de series económicas basada en
medidas no paramétricas, posililemente deducidas dei espectro empírico, y asociar a
cada tipo una familia de modelos ARIMA, utilizables como input del método DDMA.
5. Una cuestión planteada por Maravall al final del epígrafe 4.2. resulta especialrnente interesante en el análisis de cayuntura. Se trata de la posibilidad de sustituir la serie
desestacionalizada por la serie de ciclo-tendencia como señal relevante o incluso como
objeto de pubíicación por las oficinas estadísticas. La suavidad -ausencia de varianza
de altas frecuencias
es una característica deseable en cualquier indicador económico,
como se reconoce explícitamente en el sistema de indicadores cíclico del NBER, no sólo
porque se corresponde con la fuerte inercia de los procesos económicos, sino porque elimina el riesgo de las falsas señales.
La conclusión negativa a que llega Maravall quizás esté ligada con la escasa irregularidad de las series monetarias. El ratío I/C de los ALP, próximo al del IPC o al del Paro
Registrado, es de los más bajos observados en una am pl ia m uest ra de seri es económ icas
y los ratios más frecuentes se sitúan entre l y 3.5 (IPI: 2.4, Entrada Extranjeros: 2.6,
Suicidios: 4.8).
E:STADISTI('A ESPA^I()1^A
84
Una comparaeión de los errores de estimación y revisión entre serie desesiacionalizada y de ciclo-tendencia, para series de distinta irregularidad seria de gran interés.
6. En el epígrafe S, Maravall aborda un problema relacionado con el anterior. ^Cuántas tasas intermensuales es necesario promediar para confirmar que el crecimiento real
difiere del proyectado, can un nivel de confíanza prefijado?
En términos del X 1 1: ^Cuántos meses de la serie desestacionalizada es necesario promediar para que la señal ciclo-tendencia domine sobre el componente irregular?.
E1 parámetro MCD del X 1 1 que responde a la cuestión está muy difundido, y algunas
oficinas estadísticas proporcionan la media móvil de periodo MCD de la serie desestacionalizada, además de ésta, como un equilibrio entre suavidad y respeto al dato.
La discusión de 1VZaravall, en términos estadísticos precisos, supone realmente un
avance sobre el marco empírico (aunque no paramétrico), del X 1 l pero esta planteada
en términos de desviaciones frente a objetivos, que no es frecuente en coyuntura.
7. En relación con los filtros simétricos de cola infinita truneada que se utilizan, me
pregunto si el error de truncamiento (fenómeno de Gibbs), es despreciable. Por otra parte, la utilización en los extremos de la serie de los mismos filtros centrales, sustituyendo
las observaciones no disponibles por predicciones ^es equivalente a la utilización de los
filtros unilaterales propuestos por Whittle y Nerlove, Grether, Carvalho? Y si es así,
como parece, ^no son sensiblemente diferentes en módulo y fase los f ltros centrales de
los utilizados en los extremos?.
Por último, úno cabe sustituir los filtros simétricos por filtros autoregresivos o recursivos, de igual módulo pero de menor fase, para minimizar la necesidad de extrapolación?.
REFERENCIAS
"SYSTEME DAINTIES: Systeme CRONOS pour la gestion des series chronologiques". Manual
1 1/ 12/ 13: Adjustements saisonnieres. OSCE Bruselas 1979.
TtMSAC-sa: Computer Science Monographs. Institute of Statistical Mathematic. Tokyo. 1985.
MORRY, M. L1THIAN J.: "A test for the presence of identifrable seasonality when using X 1 IARIMA program" 78-1 Q-02 Research Papers. Statistics C.^anada.
NERLOVE M., GRETHER D. M., CARVAI_HO J. L.: "Analysis of economic time series" Academíc
Press 19 79.
COMENTARIOs
85
COMENTARIO DE ALFONSO NOVALES
(Fundación de Estudios de Economia Aplicada)
El trabajo que nos presenta Agustin 11 ^^iaravall resume una buena parte de su tarea
investigadora en los últimos años. Hay que agradecerle el esfuerzo que ha hecho por
resumir, tan brevemente como ha sido posible, el elevado número de articulos escritos
en este período, así como hacerlo con eí rigor y la claridad que en él son habituales.
Partiendo de trabajos iniciales de Box, Hillmer y Tiao, Maravall y Pierce han venido
desarrollando en los últimos años una metodología de descomposición de una serie
basada en modelos ARIMA, que evita las dos dificultades fundamentales del método
X-1 1: su uniformidad en el tratamiento de las distintas series, y la iinposibilidad de
llevar a cabo inferencias acerca del origen estacional de las desviaciones observadas a
corto plazo. Por tanto, no cabe sino congratularse de que estos desarrollos puedan hacer
innecesaria la utilización futura del procedimiento X-1 1.
A diferencia de otras propuestas, no se hacen supuestos arbitrarios acerca de la
estructura ARIMA de los componentes estacional y desestacionalizado de una serie,
sino que los órdenes de sus polinomios AR y MA se obtienen a partir de la función de
autocovarianza del modelo estimado para la serie agregada. Otra ventaja importante de
esta metodología es la relativa sencillez con que se estiman los parámetros de los
modelos de los componentes de la serie. Para apreciar este aspecto, basta comparar este
procedimiento con el sugerido p^r Engle (1978}.
Sin embargo, la desestacionalización basada en modelos ARIMA no está exenta de
algunas cuestiones que, a mi entender, merecen ser discutidas en profundidad. Una
primera cuestión se refiere al instante en que, una vez estimado el modelo ARIMA de
la serie original, e identificados los órdenes de los modelos ARIMA para los componentes, se buscan estimaciones para los parámetros de estos últimos. Como describe
Maravall, este proceso exige resolver un sistema con más ineógnitas que ecuaciones, por
lo que el vector de parámetros que se buscan no está identificado.
Ei criterio por ei que tradicionalmente se consigue identificar el modelo es el de
seleccionar, de entre todas las posibles, ía componente estacional con varianza minima.
Esta es la llamada "descomposición canánica". De este modo, se consigue una componente estacional tan estable y predecible como es posible. Equivalentemente, la componente irregular será la de mayor varianza de entre todas las posibles.
Esta solución tiene un cierto atractivo estadistico, pero su interpretación econórnica
no es clara. Desde los primeros intentos de análisis de series temporales de datos, ha
sido tradicional pensar acerca de la componente estacional como una cornponente
determinista, de modo similar a la componente tendencial; lo cual es consistente con la
F:ST.AD^ 151`ICA F^SPA^4t)t_A
elección que arriba he citado como criterio de identificación. Sin embargo, el análísis
Box-Jenkins ha roto def nítivamente estas dos concep^ciones; ahora entendemos como
una de las características más frecuentes en una ser^ie económiGa la presencia de una
tendencia estocástíca.
Algo análogo se aplica a las propiedades estacianales de una serie, que el análisis
Box-Jenkins representa camo parte esencíal de su estructura estocástica fundamental.
Así pues, no resultan evidentes las razanes por las que habría que seleccionar de entre
las alternativas posibles, la cotnp©nente estacional de mínima varianza.
Adernás, el criterio de identificación utilizado no es irrelevante; el problema consiste
en la selección de dos sumandos cuyo agregado sea la serie original, y para ello se
dispane de un cierto número de grados de libertad. E1 criteria elegido afectará a las
estructuras de los modelos de ambas componentes; de este modo, distintos criterios
generarán modeios diferentes para los componentes, los cuales, utilizados en el proceso
de extracción de señal, generarán series ajustadas de estacionalidad diferentes.
Otra propiedad inherente a este y otros métodos de descomposición es la ortogonalidad entre la componente estacíonal y la serie desestacionalizada. Nuevamente, esta
propiedad puede tener un cierto atractivo estadístico, máxime si se piensa en que la
estructura estacional de la serie es determinista. Sin embargo, creo que tiene perfecto
sentido económico pensar en la estructura estacional de la serie como una característica
de la misma intrínsecamente ligada al resto de la serie, i.Por qué habrían de ser las
propiedades estadísticas que se manifiestan cada doce rneses independientes de las que
se registran mes a mes?.
Con todo, debo manifestar que mi duda acerca de la desestacionalización de series
económicas es más fundamental. Es conocido que la mayoría de las series económicas
de frecuencia rnensual o trimestral tienen estructura estocástica estacional, y es obvio
que dicha estructura debe ser tratada adecuadamente si se quiere que el análísis de la
serie tenga un mínimo signíficado, Sin embargo, me resulta mucho menos obvio que sea
preciso descomponer una serie en sus diferentes corr^ponentes indiscriminadamente, es
decir, sin que la decísión de descomponer o no, dependa del objetivo que se persigue.
Revisemos las razones usualmente expuestas en favor de la desestacionalización 1)
Ayudar en el seguimiento a corto plazo de la serie, 2) simplificar al público la comprensión de la información estadística, 3) ayudar en la predicción de la serie, 4} facilitar la
identificación de relaciones con otras variables, y 5) hacer que los datos mensuales (o
trimestrales) sean comparables entre sí.
A mi juicio, todos estos motivos tienen su propia contrapartida {he expuesto una
discusíón más detallada en Novales 1987). Por ejemplo, es dudoso el papel de la
desestacionalización a efectos predictivos, Ambas componentes son, por construcción,
87
COMENTARit^s
ortogonales entre sí. Si las supuestas componentes reales fuesen ortogonales, entonces
no se ganaría nada prediciéndolas por separado y agregando sus predicciones. Si no
fuesen ortogonales, entonces no sólo se está ^cometiendo un error de especificación, sino
que se ganaría eficiencia en la predicción teniendo en cuenta su correlación. Habría que
predecir, bien con un modelo bivariante para las componentes, o con el modelo
univariante de la serie agregada.
Sin embargo, es bien cierto que una cifra de crecimiento mensual de ALP, por
ejemplo, requiere de una interpretación adecuada. En definitiva, no se trata de conocer
el crecimiento absoluto registrado dicho mes, sino su relación con el producido en los
mismos meses de años anteriores. Ahora bien, esta preocupación por el corto plazo
puede estar reflejando que no sólo existe un objetivo anual de crecimiento de ALP, sino
también una determinada trayectoria objetivo hacia él. Ello podría conducir a intervenciones de la autoridad monetaria con la frecuencia con que se observan desviaciones
con respecto a dicha senda, y no es claro que esto sea deseable.
Tampoco resulta evidente qué información, relativa a los objetivos de crecimiento
trazados para ALP, aporta la serie desestacionalizada, que no esté ya incorporada en la
serie original. Como ejemplo, consideremos las tasas mensuales de crecimiento de ALP
acumuladas desde diciembre del año anterior:
CRECIMIENTO DE ALP
1984
1985
198ó
1987
. Serie original
Crecimiento anual
14.2
13.2
11.4
Crecimiento hasta abril
10.2
13.1
11.8
10.0
12.6
12.7
11.1
9.l
3.4
1.3
1.2
1.7
Crecimiento anual
14.1
13.2
11.3
Crecimiento hasta abril
13.3
17.0
15.2
13.^
Media mensual
14.4
14.9
13.2
11.^
Desviación típica
0.8
2.2
2.2
2.5
Crecimiento acumulado
Media mensual
Desviaeión típica
2. Serie desestacionalizada
Crecimiento acumulado
Nota: Los datos de 1987 se referen al período enero-abril.
ESTADISTiC'A ESPAÑOL..A
Crecimiento anual: Tasa de crecimiento desde diciembre del mismo año con respecto a
diciembre del año anterior.
Crecimiento acurnulado: Tasa de crecimiento producida desde diciembre del año anterior, elevada a anual.
En la tabla anterior puede observarse lo siguiente:
a) Como cabia esperar, las tasas de crecimiento anual producidas en ambas series son
iguales (salvo redondeo).
b) Salvo en 19$4, en que la evolución de ALP fue especialrnente errática, esta tasa de
crecimiento acumulado de ALP ha sido rnás volátil en la serie desestacionalizada que
en la serie original. Lo mismo ocurre en los meses transcurridas de 1987.
c•) En la serie desestacionalizada, ei promedio mensual de esta tasa de crecimiento fue
en los dos últimos años superior en un 1 b% al erecimiento anual. Mientras, excepto en
1984, el promedio mensual de la tasa calculada sobre la serie ori^inal, además de ser
menos voláti l, ha estado mucho más próximo al crecimiento anual.
La explicación de b}, puede estar en que la elección de la componente estacional de
mínima varianza deja "dernasiada" varianza en la serie desestacionalizada, lo que a su
vez produce una evolución más volátil en dicha serie.
La observación c} indica que hay un "overshooting" en la evolucíón de la seríe
desestacionalizada con respecto a su objetivo, lo que no ha ocurrido en la serie original
en los dos últimos años. Esto resulta especialmente claro cuando se observan los valares
rnensuales de la tasa que aquí consideramos (que por falta de espacio no se presentan};
sin embargo, no encuentro una explicación razonable a este fenómeno.
De nuevo hay que hacer hincapié en que el método seguido para el tratamiento de la
estacionalidad, asi corno la evaluación de la calidad de la serie desestacionalizada debe
hacerse con un determinado objetivo en mente. En el caso de ALP, parece claro que la
autoridad manetaria encarga la desestacionalización para hacer más sencillo su seguimiento a corto plazo. De acuerdo con este objetivo, si bien es verdad que la evidencia
empírica anterior es muy reducida, no creo que las observaciones b) y c) sean propiedades deseables de la serie desestacionalizada de ALP.
En efecto, interesaría que la serie desestacionalizada no fuese muy volátil, pues de lo
contrario el seguimiento a corto plazo estaria sujeto a un ruido excesivo. Si la desestacionalización elimina.las fluctuaciones producidas por la heterogeneidad de los meses
del año, la evolución de la serie desestacionalizada debiera ser, en efecto, menos volátil
que la de la original. Sin embargo, el método de desestacionalización seguido tiene el
efecto opuesto, ai menos, con respecto a la medida de seguimiento que hemos analizado
en [a Tabla l.
C'C^MENTARIOS
Por otra parte, es cierto que los ALP tienden a crecer rápidamente en el primer
semestre del año, y más despacio en el segundo. Sería lógico que existiese más
"overshooting" en la serie original, que en la desestacionalizada, que trata este tipo de
regularidades interanuales. Sin embargo, hemos visto que ocurre justo lo contrario.
Si se quisiera extraer más información del cuadro anterior, ambas series muestran que
los ALP estaban creciendo en Abril de 1987 un 13% menos que el año pasado, y un
20°la menos que en 1985 ( los 4 primeros meses, en promedio, mostraban una evolución
similar). Si uno es suficientemente atrevido como para extrapolar, se podría pensar que,
de seguir así, el crecimiento anual para 1987 rondará el 1 tJ°lo. Para obtener evaluaciones
de este tipo, un observador casual de datos econórnicos, que trabaja con tasas como la
anterior, podría construir la tabla anterior, sin precisar la desestacionalización de la
serie. En todo caso, no parece que estas cifras, ni la evolución mensual puedan justif car
la alarma producida en los primeros meses de 1987, ni la drástica intervención efectuada. El problema con la desestacionalización es triple: Si llevarla a cabo o no, cómo
efectuarla, y cómo interpretar la información resultante.
Si se utiliza la serie desestacionalizada, en el artículo de Maravall se proporciona
información estadística que considero importante para interpretar su significado real,
Así, en la últirna sección se calculan los intervalos de confianza de la tasa de variación
de ALP. De acuerdo con estos resultados, una tasa de crecimiento mensual, que elevada
a anual resulta ser del 12%, es compatible al 95°lo de conf^anza, con un crecimiento real
en el intervalo (7°l0, 17°l0). Como allí se dice, la amplitud de este intervalo es muy
superior a los niveles de tolerancia usualmente utilizados.
Mi lectura de esta propiedad es algo más positiva que la suya: Este resultado sugiere
que hay en la variación mensual de ALP ( por ejemplo en su T;), demasiado ruido como
para poder rechazar la hipótesis nula de que el crecimiento observado es consistente con
el objetivo trazado de antemano. Dadas las repercusiones que tiene una actuación
restrictiva ( en el caso de que ALP "parece" crecer por encima de su objetivo} de la
autoridad monetaria sobre el sistema crediticio, esta observación estadística muestra que
conviene no prestar mucha importancia a las desviaciones a muy corto plazo. Por
supuesto que conviene segui r de cerca dichas desviaciones, pero intervenciones de signo
contrario sobre los mercados de crédito pueden tener efectos perturbadores que no se
correspondan con el significado real de las desviaciones observadas.
Junto con este dato, el gráfico 9 del artículo muestra asimismo el número de meses
que deben transcurrir para que una determinada desviación media observada pase a
considerarse como indicacián de una desviación real. A este respecto, sería de nuevo
aún más entusiasta que Maravall al evaluar los resultados. En primer lugar, supongamos que una desviación mensual con respecto al objetivo sea preocupante cuando
excede, al menos, al 3°l0. Incluso a un nivel de confianza del 95°l0, bastaría que dicha
90
ESTADISTIC'A ESPAti1C>LA
desviación se produjese en T;, en promedio, en dos meses consecutivos, para que se
rechazase la hipótesis nu[a de que ALP sigue la senda trazada. Junto con la observación
anterior acerca de que la autoridad monetaria no deba intervenir en el muy corto plazo,
ésta n ueva observación i ndica que una desviación promedia del 3% en T ^ pasaría a
considerarse como definítiva si se produjese en dos meses, y una desviacicín del 2% se
consideraría definitiva si se produjese durante 3 meses. Considero que estos márgenes
son más que suficientes para permitir la intervención contrarrestadora de Ia autoridad
monetaria.
Como complemento a la discusión que se hace en el artículo, sería interesante
disponer de intervalos de confianza para la estimación de la componente estacional de
la tasa que hemos examinado antes, que acumula para cada mes del añs^ la variación
registrada desde di^ciembre del año anterior.
Una alternativa a la descomposición de series es el tratamiento de la estacionalidad
integrada en el modelo de la serie, como se hace en el análisis de Box Jenkins. Sería
interesante aprovechar esta discusión para que, si lo considera oportuno, Maravall nos
expusiese las razones que a su juicio existen a favor y en contra de utilizar una
metodología de desestacionalización frente a la atra.
REFERENCIAS
EtvV^E, R.: "Estirnating Structural Models of Seasonality", en Seasonal Analysis of Ec^anamic Timc^
Sc^r^c^s, editado por A^ . 7_ellner, Bureau of the Census, Washington 197ó.
NovA^ES. A.: "Sobre la Desestacionalización de Series Monetarias", Documento de trabajo 87-13,
FEDEA.
CC?M^NTARiOS
91
+CONTESTACION A LOS COMENTARIOS
POR AGUSTII\( MARAVALL
Leyendo las discusiones de mi trabajo que han realizado Espasa, Treadway, Melis y
Novales, pienso que una importante virtud del mismo ha sido conseguir que cuatro
personas de su calidad y solidez hayan expresado opiniones sobre ei tema de la
descomposición de series, y en especial sobre la desestacionalización. Los temas que los
cuatro mencionan son muchos y, sin embargo, el sobrelapamiento es pequer^o. Me
limitaré a comentar algunos de los puntos que me parecen de más interés.
1. Insx^Tciencia ^e la Desestacionalizaeión Univariante en el ^^ntrvl M^netario
Empezaré por el comentario de ESPASA. En primer lugar, cuestiona la serie desestacionalizada como señal de la evolución subyacente de la serie a lo largo del año, y
sugiere, en su lugar, una tendencia. Además, piensa que el seguimiento a corto plazo se
debe completar con una medida de la expectativa de crecimiento (la "inercia"). Estoy
de acuerdo en el interés de incorporar una estimación de la tendencia y algún tipo de
predicción. (Que la predicción sea a medio o largo plazo me preocupa algo, pues los
modelos ARIMA se han hechu, en mi opinión, para horizontes de predicción cartos).
Menciona Espasa que la inercia tiene la ventaja de que no se revisa con el paso del
tiempo. Si, en el modelo del trabajo, se def ne como componente estacional la expectativa de st que se tiene en t, la serie desestacionalizada tampoco se revisa. En definitiva,
toda medición que sea una expectativa es condicional a una inforrnación; es lógico que,
si la información se amplía, la expectativa se revise.
Estando, pues, de acuerdo en el interés de incorporar las dos mediciones que el
sugiere, no veo claro pvrqué eliminar, como complemento, una estimación de la
estacionalidad en cada momento (separada del ruido). En definitiva, tal y como se
desprende del trabajo que se discute, el componente estacional es el que mejor se rnide.
Primero, porque sus errores de estimación son más pequeños (Cuadro 5); segundo,
desde un punto de vista estructural, el espectro del componente teórico se haya mucho
más cerca del de su estimador teórico para el caso del componente estacional (ver la
Figura 10).
Por último, la incorporación de mecanismos de corrección de errores, tal como él
sugiere, me parece importante (Treadway se refiere en su discusión a un problema
relacionado). Es curioso que, una vez eliminadas intervenciones y MCEs de su ecuación, el modelo de las líneas aéreas que resulta es muy cercano al obtenido en mi
[:ST A[:)lS^T1(^.A FSPAtit)1_:^
trabajo (con 16 observaciones menos). Así pues, los cuadros 4 a 7, en unidades de a^,,
siguen siendo aproximadamente válidos. E1 mayor valor de a^, en ei modelo del trabajo
implicará mayores errores en la parte puramente ARIMA del modelo. Pero los errores
de estimación de los caeficientes de las variables adicionates, en particular de la
estacionalidad implícita en los MCEs, compensará, en parte, ese efecto.
2. Lv.s Fundam^ntos d^ la D^sestacic^nalicación
El comentario de TREADWAY se centra en una reflexión sobre porqué se desestacionaliza. Afirma "los analistas Box-Jenkins... (desestacionalizan)... casi excIusivamente
porque los no-analistas demandan series desestacionalizadas". Esto le Ileva a coneluir
que hay algo erróneo en todo ello. Pero ^porqué?. Se desestacionaliza porque se
demanda i^qué diferencia hay con la predicción? un analista Box-Jenkins hace predicciones, casi siempre, porque los no-analistas las demandan.
De tados mados, Treadway tiene razón en sentirse insatisfecho con el fundamento
económico de la desestacionalización. Discrepo, sin embargo, en algunos puntos. Por
ejemplo, al especificar que el componente estacional de una serie es un determinado
proceso ARIMA, no busco una def nición general. Más bien se trata de lo contrario. La
estructura general que hay es que la serie es ta suma de varios componentes ortogonales,
que estos componentes van a seguir modelos ARIMA (consistentes con los del agregada}, y que cada componente se estimará por su esperanza condicional, dada la serie
temporal disponible. Así, un analista especifica un modelo para un componente en una
serie, y esa definición es preeisa para cada caso específ^co. Este modelo implicará, por
ejemplo, determinado espectro y FAC, que podrán ser analízados e interpretados. Si a
otro analista no le gusta, cambiará el modelo. Y así debe ser. En definitiva, la extracción de señales presenta una continuidad analítíca con Ia predicción (que resulta
más obvia en ta formulación con fiítro de Kalman). Permite también que distintas
usuarios o analistas presenten estimaciones distintas; exactamente igual que en predicción.
3. Dc^scc^nTpvsicrc^n C'crrt^inic^u
Cuestiona Treadway la utilización del criterio canónico para identificar la descomposición de la serie. En la descomposición de la serie en tendencia, estacionalidad y ruido
(ortogonales entre sí, supuesto que no cuestiona), hay infinitas descomposiciones admisibles. Todas ellas resultan ser iguales a la descompasición canónica más ruido superpuesta. Elegir una descomposición es equivalente a elegir un número en el intervalo (CJ,
V) para la varianza del ruido, donde V es la varianza correspondiente a la descomposi-
(`()MENTARIOS
93
ción canónica. Si un analista tiene razones fundadas para afirmar que sabe a priori que
la varianza del ruido es, digamos, .052, entonces no habria razón para usar la descomposición canónica. Creer, sin embargo, que la teoría económica nos va a proporcianar
esa información a priori es, hoy por hoy, impensable. En ausencia de la misma, parece
razonable asignar al ruido lo que es ruido, y a la señal lo que es señal, puesto que en
definitiva se trata de características puramente estadísticas.
Por otra parte, los problemas previos que Tread^vay estudiaría antes de desestacionalizar pueden tener poco que ver con las intereses del demandante. El señor que
pretende que le eliminen la estacionalidad para saber mejor donde se encuentra, puede
muy bien aceptar que, sin embargo, "las funciones de transferencia son invariantes a la
frecuencia del input". Esta hipótesis, como teoría general, me parece excesiva, y precisamente Espasa, en su discusión, proporciona un ejemplo en el que la tendencia y el
irregular tienen efectos diferentes.
No voy a detenerme en más puntos. Los ejercicios que Treadway sugiere para
comprender mejor el papel de la estacionalidad me parecen de interés. Me gustaría
poder animarle a que él mismo abordase alguno de ellos.
4. ,k'll ^ ^ lu Dc^sc^ojnpc^srci^^n de fu ^^arian^u
La discusión de MELIS se centra, por el contrario, en puntos específicos relacionados
con la metodología de la desestacionalización.
Comparando X 1 1 con el método del trabajo, menciona que el primero tiene también
estadísticos de medida y control, lo cual es cierto. Sin embargo su interpretación resulta,
en ocasiones, menos clara. Veamos un ejemplo mencionado por Melis: 1a descomposición de la varianza de la serie estacionaria en varianza asociada con tendencia, estacionalidad e irreguíar. Los componentes son supuestamente ortogonales, pero el mensaje
de X 1 1 puede ser que, por ejemplo, la suma de sus varianzas es un 1 18%, o un 82%, de
la varianza de la serie estacionaria. ^Cómo interpretar este mensaje? Veamos, por el
contrario, como se contestaría a esta cuestión utilizando el método del trabajo. Para ello
utilizaremos el ejemplo analizando en la Sección 1.2: la serie trimestral que sigue el
modelo 04 zr - ^t.
Puesto que (1.1 1) implica que la transformación estacionaria de la serie, o,^ ^,, es
igual a
^4 ^, _^ ^4 ^;, + ^4 t^l,,
94
E.S"TA[^tsTIC'A ^:SPAI^OLA
de las definiciones (1.16) de los componentes es inmediato que
V ^ ^, = (1 +B)' (1 +B?) a,r + (1- B)` (1 +B') a^, +
+ (1-B`)`^ u_^^ + ( I -84) u, ,
y, por tanto, la varianza {V) de la transformación estacionaria de la serie se puede
expresar como
V=14^;+14^+6^+2crú
El primer sumando es la parte asociada con a,,, es decir con la tendencia. Los dos
segundos sumandos se asocian con la estacionalidad (a,, y a3,), y el tercero con el
irregular (u,). Considerando ( 1.17}, resulta que un 7I32 de V(un 22^%) se asocia, pues,
con la tendencia, un 19/32 de V(un 60%) se asocia con estacionalidad, y un 6/32 (un
18%^) se asocia con el irregular: La descomposición de V tiene ahora una derivación
rigurosa, y la suma de los componentes será siempre el 100% de la serie. Notese que el
método de modelos permíte obtener información más detallada como, por ejemplo, las
contribuciones relativas de las distintas frecuencias estacionales. Así, de la parte de V
explicada por el componente estacional, el 37f% está representado por la frecuencia de 2
veces al año, y el ó3c% por la frecuencia de una vez al año.
5. Limitac^iones clc^ Ic^s Mc^clE^l^s ARIMA
No comparto su opinión de que los modelos AR1MA son difíciles de identificar, a
pesar de que, en un trabajo que menciona, X 1 1 AR1MA (X 1 1 A) rechazase los tres
modelos de defecto para muchas de las series. Nunca he comprendido el criterio de
X 1 1 A: las razones para usar X 1 1 A en lugar de X 1 1 son igualmente válidas para series
que se predicen con un diez por ciento de error que para series con un error de
predicción del uno por mil. En cuanto al hecho de que distintos analistas puedan llegar
a desestacionalizaciones diferentes, como ya he dieho antes, me pareee una virtud, no
un defecto. Sobre todo cuando se proporcionan ias bases para poder comparar las dos
desestacionalizaciones.
Piensa Melis que los modelos ARIMA no permiten capturar bien armónicos con
contribuciones muy distíntas. Como ilustra claramente el ejemplo del final del punto 4
anterior, esto no es cierto. En general, los parámetros de la parte MA del modelo
proporcionan flexibilidad en ese sentido. Si ésta no fuese suficiente, ello se detectaría en
la comparación de las FAC teóricas de los estimadores y de las FAC empíricas, tal y
como se sugiere en la Sección 4.1. del trabajo.
Plantea Melis el problerna de capturar ciclos. Es cierto que los modelos ARIlN1A no
suelen contener cictos (aunque haya excepciones). C'omo menciono al final de la
C'CIMENTARIOS
95
Sección 1, en principio cualquier ciclo podría capturarse por medio de raices complejas
del polinomio AR, y hoy se pueden estimar fácilmente los polinomias AR, incluyendo
los que tienen raices unitarias, gracias a los trabajos de Tiao y sus colaboradores (ver,
por ejemplo, Tsay y Tiao, 19$2). La extracción de una señal ciclica no plantea ningún
problema conceptual nuevo.
En última instancia, las dos críticas: inflexibilidad para capturar armónicos con
contribuciones muy distintas y la ausencia de ciclos, son criticas generales a los modelos
ARIMA y a su uso. De ser ciertas, afectarían también a la predicción. Pero no creo que
tenga sentido decir que, en general, la clase de modelos ^(B^ z, _©{B) at tiene muchas
limitaciones teóricas corno aproximación a procesos estocásticos lineales. Lo que si
existen, claro está, son limitaciones en la información disponible o en el analista.
lncidentalmente, la linealidad del proceso estocástico es también un supuesto que puede
ser restrictivo; un ejemplo de no-linealidad precisamente estacional, en la serie decenal
de efectivo, se analiza en Maravall, 1983.
Frente al método usado en el trabajo, Melis confiesa preferir los métodos que parten
de un modelo para el vector de estado. Puesto que el modelo para el vector de estado
implica determinados modelos ARIMA para los componentes y para la serie agregada,
y viceversa, arnbos métodos parten del mismo tipo de modelo, expresado en formato
distinto. La otra diferencia es el uso del flltro de Weiner--Kolmogorov (WK) con
modelos ARIMA (tal como se realiza en el trabajo), o en el uso del filtro de Kalman,
corno algoritmos que computan la misma esperanza condicional. Asi pues, cualquier
método basado en un vector de estados puede formularse fácilmente en forma tal que la
técnica de análisis que se presenta en el trabajo sea directarnente aplicable. Si bien los
dos procedimientos de computación (flltros de WK y de Kalman) son muy eficientes,
desde el punto de vista del análisis, la modelización ARIMA y la expresión compacta
del filtro de WK ofrecen ventajas grandes.
6. Irregularidad de la Serie y.^rrores de Estimación.
Melis plantea la posibilidad de que el mayor error de estimación de la tendencia
pueda estar ligado a la escasa irregularidad de las. series de ALP, Piensa que seria de
gran interés una comparación de los errores, entre serie desestacionalizada y tendencia,
para series de distinta irregularidad.
Una medida conveniente de irregularidad es la proporción de cr^ que representa la
varianza del irregular. En unídades de r^, para la serie de ALP obtuvimos ^= 10$.
Manteniendo el modelo de las lineas aéreas, para 6t = B1Z =.75 resulta o^ =.581; para o^ j
_-.75, Q^^ =,^25^ resulta o'^ú =.007. En el Cuadro 11 se presentan las varianzas de los
96
ESTAUIST[('A ESF'AÑO[^A
errores para ambos casos. Se observa que siempre sucede que la tendencia se estima
peor que la serie desestacionalizada. Para a~ú - 0, puesto que entonces zu- p^, los errores
en las dos mediciones son aproximadamente iguales.
Cuadro I1
VARIANZA DE LOS ERRORES DE ESTIMACION PARA SERIES CON
DISTINTA IRREGULARIDAD
Varianza del
Irregular
Error de
Estimación
final
Error de
Revisión
Error
Total
Tendencia
.075
.087
.162
Serie Des.
.075
.067
.142
Tendencia
.504
.653
1.157
Serie Des.
.504
.648
1.152
.581
.007
7. L^rrvres de Trun^amiento y Revisrvnes
Por última, Melis plantea unas preguntas. Primero, se pregunta si el error de truncamiento del filtro (3.1) es despreciable. El Cuadro 6 contesta a la pregunta: aproximadamente el error es del orden del 5% cuando se trunca a los tres años, y del 1°la cuando
se trunca a los cinco años (tanto en el caso de la serie desestacionalizada como en el de la
tendencia}. Para modelos distintos, los resultados variarán. Así, la Figura 14 presenta la
varianza de los errores de truncamiento del filtro de la tendencia y de la serie desestacianalizada, para el modelo del trabajo y los dos modelos del Cuadro 1 1(la serie muy
irregular y la muy suave}. Para estos dos modelos la tendencia se puede truncar antes
que para el ejernplo del trabajo. Cuando el irregular es grande, sin embargo, el filtro que
proporciona la serie desestacionalizada tarda más en converger.
E1 cuanto al efecto de eompletar el f ltro con predicciones para fechas cercanas al
presente, es cierto que eso implica que los filtr©s en los extremos de la serie son
distintos en módulo y fase al filtro central. tJno puede, por supuesto, utilizar filtros sólo
en la dirección del pasado, en cuyo caso no hacen falta predicciones. Pero el carácter
símétrico del filtro para el pasado y el futuro resulta de la minimización del error
C'OMENTARIOS
97
cuadrático medio del estimador del componente, tal como se expane en el Apéndice A,
Dicho de otro modo, uno puede cambiar el criterio de optimalidad y utilizar estimadores con mayor ECM. (Bajo los supuestos del trabajo, el estimador que minimiza el ECM
es también la esperanza condicional del componente, dada la información disponible).
No conozco ningún criterio que pueda resultar globalmente preferible a minimizar el
ECM y que proporcione filtros sólo en la dirección del pasado.
8. Los Supuestos del 1l^fodelo
Paso, por último, al comentario de N+OVALES. Este plantea algunas cuestiones
metodológicas; realiza, además, un ejercicio empirico que le lleva a la conclusión de
que la serie desestacionalizada tiene poca utilidad. Este ejercicio, en mi opinión, tiene
mucho interés y su esfuerzo por mirar a los números y tratar de interpretarlos merece
un agradecimiento especial. Comenzaré, primero, por los comentarios más generales.
Aunque la estacionalidad o la tendencia presente, en general, un caracter móvi l,
obviamente van asociados ambos a un comportamiento regular en el tiempo. Sería un
contrasentido, por ejemplo, hablar de estacionalidad si esta fuese cada año completamente diferente. ^Porqué escager para un componente estacional, entre dos modelos
indistinguibles por medio de la muestra, aquél que presente un comportamiento más
errático?. La descompasición canónica dá una serie desestacionalizada ciertamente distinta de la que daria otra descomposición. Concretamente, como ya mencioné antes,
esta última sería igual a la canónica más ruido superpuesto.
Cuestiona Novales el supuesto de componentes ortogonales. Este supuesto no impone
restricciones sobre la serie, puesto que siempre podemos descomponer el espectro en
partes aditivas. Si con e1 supuesto de ortogonalidad se plantean problemas de identificación, éstos se multipliean si se permite que los componentes estén correlacionados. Es
necesario, pues, introducir información a priori fuerte sobre la estructura de esas
correlaciones cruzadas, lo cual no es un problema trivial. Una virtud obvia de la
ortogonalidad, por otra parte, es que, por construcción, lo que se quita de la serie es
independiente de lo que se deja.
En cuanto a la utilización de la serie desestacionalizada en predicción, es fácil ver que
la predicción de la serie agregada es 1a suma de las predicciones de sus componentes. En
el método del trabajo, se utilizaría en la predicción el modelo para la serie agregada. En
los métodos con vector de estado, a los que Melis se refiere, se agregarían las predicciones de los componentes. Si íos modelos son correctos, ambas cosas deben dar lo mismo.
9$
ESTA DiST fCA tvSPA ÑOI..A
9. ^'rraticidacl de la Serie Origrnal y de la Serie Desestacivnalizada
A fin de cuentas, la serie desestacionalizada se utiliza para ayudar en el seguimiento a
corto plazo de la serie, eliminando la variación puramente estacional. Esta razón,
aunque simple, parece sólida y, a pesar de las reservas académicas, la demanda de series
desestacionalizadas (y, en general, de estimación de componentes) aumenta consistentemente. Pero, puesto que se le está quitando a la serie una parte de su variación, sería de
esperar que la serie desestacionalizada fuese menos errática que la original. El punto
central del comentario de Novates se relaciona con este tema.
Novales considera la serie mensual de ALP, original y desestacionalizada, para los
años 84, $5 y$6 y cuatro meses del 87. La serie desestacionalizada que utiliza no es la
que se obtiene por medio del método descrito en el trabajo, sino la of cial del Banco de
España, cuyo método de cálculo es considerablemente diferente (se encuentra descrito
en el Bvletín .iEconómico de Junio 1986).
Calcula las tasas de crecimiento anualizadas que resultan al acumular los meses
transcurridos del año, para las dos series. Concluye que, para 1985, 1986 y los meses
transcurridos de 1987, las tasas acumuladas de la serie desestacionalizada han sido más
erráticas que las de la serie original. Este es un resultado de interés y merece la pena
verlo con más detalle. (E1 "overshooting" al que se refiere Novales en las medias de las
tasas acumuladas de la serie desestacionalizada posiblemente se explique por el efecto
de anualizar las tasas acumuladas en un período en el que la serie disminuye. Es
razonable que el efecto se note más en la serie desestacionalizada).
Tasa T;
La desestacionalización de la serie ALP es multiplicativa y, por tanto, aditiva en las
logs. Tomando diferencias, resulta pues,
D loKz^=^ Ivgzu+o logst,
donde los dos sumandos de la derecha son ortogonales. Puesto que, al margen de la
anualización, o lo^ aproxima bien la tasa TÍ, debe suceder que la Ti de la serie
desestacionalizada tenga menor varíanza que la de la serie original.
Consideremos las siguientes series (todas referidas a la serie mensual de ALP que
termina en Abril 1987):
a) Serie Original (la del Banco de Datos).
b) Serie Desestacionalizada Oficial (la del Banco de Datos).
c) Serie Desestacionalizada por medio del método del trabajo, con las l ó observaciones adicionales.
t`t)ti1^ ti i 1R1E)ti
yy
^^) Serie Desestacionalilada por medio de ?C 1 1 A, en su opción automática.
Nótese que, mientras que c) y d) desestacionalizan la serie agregada, h) ^e obtienc: por
agregación de componentes desestacional izados.
Las medias de las distintas series desestacionalizadas resultan muy parecidas, y algo
distintas de la media de la serie original. Esto es razonahle ya que una estacionalidad
estocástica no se cancela exactamente a lo largo de un año. (Eso es precisamente lo que
implica la ecuación ?.yc). El C'uadro t? presenta las ^^arianzas de lati T; p^^r^^ lati cuatrc^
series anteriores. Se observa que la serie desestac^ionalizada es, en tc^dos 1os c^^^c)s, ti pc^r^^
todos }^ cada uno de los años considerahlemente menos errática que la serie c)rigin^il. La
^^erie desestacionalizada más suave corresponde al método del tr^^hajo, ^ la más errátic^i
a la desestacionalización o^cial. Esta última resulta particularmente errátic.^a ^.^n los irt~^s
últimos años, precisarnente cuando la serie original se comport^i de: t ^^rn^a menc^^
errática,
Desde un punto de ^^ista operativo, tiene ta^nbién interés ^^er como la de^e^t<<c.^ic^n^ilizaeión se ha ido comportando mes a mes para el primer d^^tc^ puhlicac.ic^. E^t^^ cic^e^t^^cionalización tiene un carácter preliminar doble. Por una parte, utili-r.a lc^^ íiicic^re^
estacionales proyectados en D^ iciembre del año anterior; por otra p^^rte, lri prirncr^^
obser^^ación publicada de la serie original suele re^^isarse en lc)^ mc^^^•^ ^i^;ui^^nt^^^. EI
^uadro 13 proporciona la varianza de las T; de la serie ori^.inal ^^ cfc^e;tacionalil^^d^i
para las series de primeros datos publicados. De nueti^o, la desest^^c.•ion^111I^i^•ión r^•c.ju^^^.•
la ^^arianza de la serie original, aunque esta reducción es menor ^^omc^ c.:c^n^c^^u^^nci^l ^ic
los numerosos errores que contaminan los primeros datos.
:^10 ^^o^ a representar las FAC de tocias las series. Se c^hscsr^^a cn ^•11^^^ c^u^^ l^i
desestacionalización, en tocios los casos, eliminti corrclac^ión ^•^tacic^n^ll. l_^ ^ pril^^era fila
del Cuadro 14 presenta l05 ^^alores de ^^, ^ para las series del ^'uadre^ 1?. I'uestc^ quc cl
error estándar asociado es del orden de . 1 n, se ohser^^a que, tii hien la ^^^ric.^ c^ri^in^il tic.^ne
una f^uerte correlacíón estacional, en ningún caso presentti l^i seric.• dc.^^c^t^^Ll()n^ílllr^c^a
correlación estacional significativa.
En conclusión, la desestacionalización reduce la varianza dc la serie ori^in^^l, ^•lir»inando correlación estacional. A grandes rasgos, pues, la dcsestacionalización pare^^c.^
cumplir su cometido.
^ ti^ ^t^r^;t^c ^ ttiE^^^^^^^ >
100
( ^ttcrcl^'r ^ I ^
VARIANLA DE LA TASA T;
Scrie del Banco de Datos
Arios
Serie D^sestacionalizada
Serie t)riginal
Of^.^ia^
Método del
T rahajo
X11A
1979
?7^.^
34.5
KO
157.3
7.3
11.4
fi. l
Ki
i8^.5
5.9
6.5
8.1
8?
1 17.1
IK.9
I?. i
19.1
?5.5
6.7
8:^
1 K5.9
1?.1
10.4
84
^K 1.?
?9.5
?3.3
13.5
^9.7
85
78.3
31.^
8f^
10^.4
3f^.9
8.0
5.7
?8.?
(87)
(^9.5)
(15.4)
(I.l)
(?.8)
^T (? T,A 1_
1 fi 1.1
? 4. 9
1^. f^
?^. 7
1 f^.0
( i: Scjlc^ Ic^s ^ ^rir»^^c-c}^ mc^^s.
( 'rrcrclr^r ^ I.^
VARIAN"LA DE L.A TASA T;
Primera Qhserti^a^^ic^n P^rhlic.•^ida
Serie
5c.sric
nri^i na 1
19K3
K4
187. ^
19 ^ .^i
Desestac.
otici^^l
7.0
?0.(^
85
K().8
8f^
1(^?.9
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15.5
(87)
(-^^.5)
(^i^.(1)
( ): Sc^l^^ I^^^ ^ ^^-i ^1t^'rc^^ m^^^^•^.
101
COMENTARIOS
Cuaclro 14
AUTOCORRELACItJN DE ORDEN 12
DE LAS SERIES DE TASAS
Tipo de
Serie Desestacionalizada
Serie Orig,inal
Tasa
Oficial
^étodo del
Trabajo
^{ 1 1 A
T^
.74
.15
--.(Jl
.O8
Tasa
Acumulada
.44
.15
.18
.15
Tasas Acumuladas
Las series de tasas acumuladas que maneja Novales constan de 12 observaciones,
cada observación con una estructura estocástica distinta. Vienen dadas por la expresión
nr= [(Xr+^1 x^)J2^`- 1j 100,
(c. l )
donde t=1,..., 12, y j representa el mes de Diciembre del año anterior. Linearizando esta
expresión y utilizando, de nuevo, la factorización o^ = o(1+B +...+ B`"1), se obtiene que
la estructura estocástica de n^ puede aproximarse por
n^=[(l+B+...+B`"r)/t]x;,
(c.2)
donde x^ es la T^ del mes de Enera del año correspondiente y B opera sobre el subíndice
j. La estructura estocástica de n1 varía, pues, con t, de una manera compleja, y no es
posible hacer inferencias sobre la media y varianza de estas series.
Por otra parte, la acumulación de tasas puede afectar drásticamente a la varianza de
las mismas. Como ilustración, sea z^ una serie de tasas T1, y supongarnos que sigue el
proceso AR(1):
zt = a^ l(1 +.99 B)
(c. 3)
Es fácil ver que el espectro presenta un pico pronunciado para la frecuencia ^, lo que
implica una estacionalidad de período dos. Se trata, por tanto, de una serie con
estacionalidad, y su varianza ( haciendo oQ = 1) resulta igual a V(zt) = 50.25.
ESTADISTIC'A ESPAÑOL_A
Consideremos ahora la serie de tasas T^: ^,° = Er, donde E, es ruido blanco, con
varianza c>^ = 1. La serie con estacionalidad es 50 veces más errática que la serie sin
estacionalidad.
Si multiplicamos las dos series por (1+.99B), lo que prácticamente es igual a acumular
as tasas T;, resulta:
Zt = (1 +.99 B) zt = a!
Za=(1+.99B) z'a=E,+.99e,_,
Es inmediato que, ahora, V{Zt) = 1 y V(Z;^) - 2. La varianza de la serie sin estacionalidad pasa, como consecuencia de la acurnulación, de ser 1150-avo a ser el doble de la
varianza de la serie con estacionalidad. EI misrno tipo de efecto que detecta Novales.
Hay, además, muchas otras razones para pensar que la desestacionalización, desde
1985, contiene errores. Primero, se trata de los años del final de la muestra y están
afectados, pues, por el error de revisión ( tanto por la revisión de los factores, como por
la revisión de ta serie original). Segundo, están siendo también arios de eambios importantes en el marco institucional en el que se generan las series. Por poner unos
ejemplos: a) La evolución de los impuestos ha planteado problemas considerables, tanto
por los cambios en las fechas de recaudación, como en la dificultad de anticipar los
niveles de recaudación. b) La aparición de varias series sobre las que se dispone de poca
información. Por ejemplo: los Pagarés del Tesoro parecen presentar una estacionalidad
fuerte. ^Representa esta una peculiaridad de ia política financiera estos ar^os, o se trata
por el contrario de un componente sistemático?. c) Los fuertes transvases que se han
producido de unos componentes de los ALP a otros, y la evolución atípica de alguno de
los componentes. Un ejemplo es la serie de Operaciones de Seguro, que multiplicó su
nivel de un año a otro, explosión que continuó más allá de las expectativas que se
tenian. Puesto que la desestacionalización oficial de los ALP se realiza de forma
indirecta, por medio de la suma de componentes desestacionalizados, los problemas
anteriores han afectado a su desestacionalización. Desde 1985, la desestacionalización se
encuentra sometida a una incertidumbre especial.
Pero a pesar de que pueda ocurrir que, en algún año, las tasas acumuladas de la serie
desestacionalizada sean más erráticas que las de la serie original, el resultado no deja de
ser perturbador. Quien realiza la politica monetaria a corto plazo (el demandante de la
serie desestacionalizada) demanda, creo yo, una suavizacíón de la serie.
En consecuencia, rehice el ejercicio de Novales para las tasas acumuladas de las
cuatro series del Cuadro 12, para los años 1979 a 1987 (cuatro primeros meses). El
Cuadro 15 compara las varianzas de las tasas acumuladas. Se observa que la desestacionalización oficial disminuye la varianza todos los años, excepto en 1985, 86 y cuatro
C ^ O ti1 E ^^^ ti ^ f' ^^ R I ( ) ti
{ O ^^
^rimeros meses del 87. En estos años, por cierto, la varianza de la tasa acumulada de la
serie original disminuye drásticamente, de manera que las varianzas de la serie desestacionalizada, aunque algo mayores, siguen siendo reducidas. Para la serie desestacionalizada obtenida mediante el método del trabajo y mediante X 1 I A, en todos los años sin
excepción, las tasas acumuladas tienen una varianza más pequeña que la serie original.
La suavización de las tasas acumuladas de la serie desestacionalizada es particularmente
acentuada cuando se utiliza ei método del trabajo.
Si se calculan las FAC de las distintas series de tasas, se observa de nuevo que la
reducción de la varianza en la serie desestacionalizada va acompañada por una disminución de la correlación estacional, como se desprende de la segunda Fla del Cuadro
14. De nuevo, la desestacionalización cumple, a grandes rasgos, sus objetivos.
Lo que la crítica de Novales y la discusión anterior ponen de manifiesto no es una
crítica general a desestacionalizar serie, sino una debilidad del método oficial de desestacionalización indirecta seguido en el Banco. La razón por la que ésta se realizaba de
Ct^uclr•c^ 15
VARIAN"LA DE LAS TASAS ACUMULADAS
Serie del Banco de Datos
Años
Serie Desestacionalizada
Serie Original
Oficial
1y79
$4
81
^^
M étodo de 1
Traba'o
J
X1IA
17.5
7.7
9.1
8.0
11.5
.3
.6
.6
2.7
.8
1.4
.5
4.2
1.4
2.3
.5
^3
17. 3
f^.4
4.1
8.9
^4
1 ?.8
1.3
1.5
3.9
^5
I.f^
4.?
.8
.6
^(^
1.4
^.8
.5
1.0
(^7)
(f^.^)
(^.4)
(.1)
(.2)
"I^OT,^ L
15.4
9.9
7.6
9.1
1 1: Sc^lo Ic^ti ^l ^rim^^rc^^ mc.^^,^^^.
r ^;^r 1r^^^^^^^^^^ t ^^^^^^c^i ^
I O^i
forma indirecta era que, por una parte, los componentes de ALP siguieron eomportamientos relativamente estables durante varios años y, en definitiva puesto que los
componentes de ALP también requieren factores, la desestacionalización indirecta
resulta más sencilla. Por otra parte, la predicción indirecta ha sido, durante estos años,
más ajustada que ia directa. La erraticidad de Cas tasas acumuladas de la serie oFcial
desestacionalizada induce a pensar que, quizás en años de grandes cambias en los
componentes, la agregaeión suaviza el efecto neto de esos carr ^ bias y produce series
desestaci^nalizadas más estables. La discusión de Novales me ha sugerido, pues, una
posible manera de mejorar la desestacionalización oficial y por eso le estoy agradecido
(más aún cuando, como hemos visto, el defecto se soluciona utilizando el método
descrito en el trabajo).
Puesto que, en su opinión, las tasas acumulaclas c^e la serie desestacionalizada juegan
un papel importante, Novales sugiere que t^:ndría interés un cuadro con los errores de
estimación asocic^dos con d^chas tasas. Linearizanda (c. l) por medio de (c.2), y utilizancio un razonamiento silnilar al ciel Apéndice B, es fácil ver que la varianza del error de
estimación de la tasa acumulada hasta el mes t(t=1,..., 12), puede aproximarse por
V, - ? 88.10^. V^. (1-^^,^) / t'
doncie V,, es la ^^arianza c^el error de que se trate en la serie. El Cuadro f f^ mucstra la^
varianzas de (os errores de estimación final y total, para la serie desestacionaliz^^^i^^ ti l^i
tencienc.•ia, cie la tasa acurnulada para cada mes. (E1 cuadro se basa en el mo^ic.'lo ^i^'1
tr^^hajo}. La varianz^i del estim^idor contemporáneo supone que, a) acumular. p^lra los
mc:ses anteriores se m^intiene el estimador c,•ont^'mparáneo. Si se reti^isasen lo^ f^ictores
mensualn^ente, Itl varianr^i ^1e1 cstimador conten^poráneo sería un ^^^I^^r inte.'r^^^^.'^.iic^
entre la columna de la izquiercla ^^^ la columna dt la derecha del cuac^ro. Sc ^^hs^'r^ << <^u^'.
c:uanc^o han iranscurrido 3 n^cses, l^i v^trianza del error se hti rc^iucidc^ ^i 1^^i^• ,il ^^^I^^r
itli^`I^il (^'^ c:^t.' l^i t^iti^i Tj); ^il iC^il^ti^'UCC11' nlt'1^10 ^iilo, fiproXlllltit^^illlt'111t', l^i ^^ll'1'.illl^l l^c.'1
^.'rror sc^ I^r^ rec^uci^ío ^i 1 I(). E n t^rminos ^lc.' ^^cs^^iacic^n típi^•^^, cl error c,•n ^•I c:stic^^^i^1^^r
conteniportín^'o, ^il ^ic.•un^ul^^r ^ n^eses, ^.'s ^1c1 orden de 1.^ puntos porc^•iitu^il^'s ^1^'
c.•re^:i^^liento tiI1LI4^I, ^^u^' ^^' rc^c^uc^•n ^t .^ ^^1 ^ic.^ui»ul^ir fi »^t'ses.
i^s
('()MENTARI()S
^'uuclrc^ 1 h
VARIANZA DE LOS ERRORES DE EST'IMACIQN
DE LAS TASAS ACU MU LADAS
Estimador Conternporáneo
1 ^.
Estimador Final
Serie
Desestac,
Tendencia
Serie
Desestac.
Tendencia
Ene.
5.00
6.34
2.41
2.76
Feh.
2.65
3.13
1.32
1.64
Mar.
1.68
1.92
.84
.97
Abr.
May.
1.16
.83
1.30
.93
.57
.41
,65
.45
Jun.
.b 1
.67
.29
.33
Jul.
.44
.50
.21
.24
Ago.
.32
.36
.15
.17
Sep.
.22
.2b
.1 1
.12
C)ct.
Nov.
.l5
.08
.l7
.10
.07
.03
.08
.OS
^^11/11('l11C11'1(1.1 ^lilU1('.1^
Por último, No^^ales me pregunta las razones a favor y en contra de utilizar el anáiisis
Box-Jenkins como metodología de desestacionalización, frente a la expuesta en mi
trabaj©. Pero el análisis Box-Jenkins no es, en modo alguna, una metodología de
desestacionalización. De hecho, el método expuesto en el trabajo es la forma en que el
análisis Box-Jenkins, enfocado hacia la predicción, se extendió al campo de la desestacionalización, como se ve claramente en Box, Hillmer y Tiao (1978, referenciado en el
trabajo). En definitíva, se trata de contestar a dos preguntas relacionadas, pero
claramente distintas. U na es, al margen de la estacionalidad y posiblemente del ruido,
^donde estamos?, y la otra ^hacia donde vamos?.
M i contestación se ha extendido más de lo que esperaba y, aún así, no he podido
.
abordar muchos de los puntos, ni habré podido despejar muchas de las reservas. Pero
quiero acabar resumiendo muy brevemente mi posición. No pretendo yue el método
descrito en el trabajo sea "el mejor", ni que haya resuelto todos los problemas; ni por
asomo. Pienso sin embargo que, en un tema sembrado de ambígiiedades, confusián y
dificultad, permite atacar los problemas de manera sistemática y sensata. En última
instancia, para mi se ha convertido en un instrumento computacionalmente cómoda y
analíticamente poderoso, con el que es posible trabajar confortablemente.
^ t^^
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E^S i^.^>DISTICA E:5PAÑt1[..A
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_ _. _...
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REFERENCIAS ADICiONALES
MARAYALL. A. { 1983): "An Application of Nonlinear Time Series Forecasting",
Businc^ss• ancl ^cvnomic• .Statrstics. I , 66-74.
Jot^rnul uJ^
TsAY. R. S. y G. C. TIAO (1982): "Consistent Estimates of Autoregressive Parameters and Extended
Sample Autocorrelation Function for Stationary and Nonstationary ARMA Models", Technical
Report No. 683, University of Wisconsin. Madison, Department of Statistics.