Taller # 6 - Números reales

Universidad de Antioquia
Introducción al Cálculo CNM-107
Taller # 6 - Números reales
Introducción al Cálculo
Departamento de Matemáticas
1) En R defina la operación
x ∗ y = x + y + xy.
Por ejemplo 2∗3 = 2+3+2·3 = 11. Es esta operación es conmutativa?, es asociativa?, es modulativa?.
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2) En N la operación de potenciación es definida por
b ∗ n = bn = b| · b ·{zb · · · }b
n veces
Esta operación es conmutativa?, es asociativa?, es modulativa?.
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3) Pruebe que si 0 6= x ∈ Q ∧ y ∈ Q∗ , entonces x + y, x · y ∈ Q∗ .
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4) Complete la siguiente tabla usando ∈ ó ∈
/ según el número pertenezca o no al conjunto dado
N Z Q Q∗
R
−8
−3/11
√
−
√ 25
2
√
3
−64
5, 75
121/11
π
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1
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5) En este ejercicio P denota el conjunto de los números primos. Es decir, p ∈ P si, y solamente si, los
únicos divisores de p son el número 1 y el propio p. Inserte ⊆ ó * para hacer que el enunciado sea
correcto.
a) N
Z
b) Z
Q∗
c) P
N
d) {2n + 3 : n ∈ N}
e) {2p : p ∈ P }
f) {2n − 3 : n ∈ Z}
{2n + 5 : n ∈ Z}
h) {2n + 1 : n ∈ N}
{2n − 1 : n ∈ N}
g) P
{2n + 5 : n ∈ N}
6) Si p es un número primo. Muesre que
√
{2p + 2 : p ∈ P }
{2n + 1 : n ∈ N}
p ∈ Q∗ .
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7) Representar graficamente y hallar el inverso aditivo y multiplicativo de los siguientes números reales
√
√
4
3−1
a) − 7
d) 1 − 3
b) √
c) −1
2
2
8) Muestre que
−0 = 0
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9) Muestre que
x 6= 0 =⇒ x−1 6= 0 ∧ (x−1 )−1 = x .
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2
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10) Muestre que para cada x, y ∈ R,
−(x + y) = (−x) + (−y).
Además, si x 6= 0 ∧ y 6= 0, entonces
(x · y)−1 = x−1 · y −1.
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11) Muestre que
(x 6= 0 ∧ xy = x) =⇒ y = 1;
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12) Muestre que dados x, y, z, w ∈ R, con y 6= 0 ∧ w 6= 0, se tiene
x
z
x·w+y·z
+ =
;
y w
y·w
x·z
x z
· =
.
y w
y·w
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13) Muestre que
x
y
!−1
=
y
x−1
= ,
−1
y
x
x, y 6= 0.
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14) Realizar las siguientes operaciones con números reales
a)
1−
1√
1+
3
√
+
3
3−1
+
2−1
1
3
3−2
c) −3 +
2
1
9
b)
1+
1√
1−
3
√
7·24
4
d) 2−1 −
3
e)
f)
2
7
2
3
−
1
3
−
3
4
+
1
2
−1 · 21 − 16
−1
+
1
2
−
1
6
−1
+9
15) Considere h 6= 0 y escriba en forma racional equivalente
1
1
−
a) x + h x
h
3+h 3
−
c) 4 + h 4
h
1
1
− 3
3
(x + h)
x
b)
h
16)
d)
√ 1√
h− 2
+
√ 1√
h+ 2
5
2x − 3y
x
= , encuentre el valor de
.
y
2
3y − x
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a) Si
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4
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1 x
2
ax − 3by
a
= , = , encuentre el valor de
.
b
4 y
3
4ax + 2by
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b) Si
17) Sea x < 0 y y > 0, determine el signo del número real
a)
1 1
−
x y
b)
x
−y
y
c) x − y + xy
d) y(x − y)
18) Ordenar en sentido creciente y representar graficamente los siguientes números reales
√
− 3 1 3 8
2,
, , ,
2
3 2 7
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19) Si x, y ∈ R son tales que x < y, muestre que existe un número real z tal que x < z < y.
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