Ejercicios Práctica 1 Abr-Jul 2016 - LDC

Esqueletos tatuados.Los esqueletos tatuados son
los autores que de buena gana reemplazarían lo que
les falta de mérito por colores articiales.
Universidad Simón Bolívar
Departamento de Computación
y Tecnología de la Información
Estructuras Discretas III
CI-2527 Abr-Jul 2016
El viajero y su sombra, Federico Nietzsche.
Ejercicios para la Práctica 1Números Enteros
NOMBRE
CARNET
NOTA
1. Probar que todo conjunto de enteros cerrado para la sustracción también es cerrado para la adición.
2. Pruebe que para toda terna de enteros a, b, c dos de ellos no nulos, existen enteros r, s, t tales que el
máximo común divisor de a, b, c es igual a ra + sb + tc.
3. Demuestre que si a es impar entonces (a, 2k) = (a, k).
4. Demuestre que si a y b son primos relativos, entonces (a, bc) = (a, c).
5. Demuestre que para todo entero positivo n la suma de los primeros n cubos es
Sn =
∑n
k=1
3
k =
n2 (n+1)2
2
n2 (n+1)2
.
2
Esto es:
6. Demuestre que si n es un número impar entonces, 8|n2 − 1.
7. Demuestre que para todo entero positivo n se tiene que (1 + 2 + · · · + n)2 = 1 + 8 + 27 + · · · + n3 .
8. interesante Dado un entero positivo n ̸= 1, basándose en su descomposición en primos, halle una
fórmula que permita saber la suma de los divisores del número n, sin tener que hallarlos. Haga primero
el caso donde
n
es la potencia de un primo.
Ejercicios Complementarios
1. Use el principio de buena ordenación para probar que no existe ningún entero positivo entre los enteros
cero y uno.
2. Si a y b son enteros positivos y b = pβ1 1 pβ2 2 · · · pβkk , donde los pi son todos primos distintos y los βi 's son
enteros positivos, entonces a|b si y sólo si a = pα1 1 pα2 2 · · · pαk k , y se tiene que 0 ≤ αi ≤ βi .
3. ¾Cuántos divisores positivos tiene n y cuánto vale su suma, si n = pα , p es primo y α ≥ 0?
4. Decimos que un número entero positivo n es perfecto si la suma de sus divisores es 2n, por ejemplo, 6
es perfecto porque 1 + 2 + 3 + 6 = 12.
a) Verique que 28 y 496 son perfectos.
b) Demuestre que si m ∈ Z + y 2m − 1 es primo, entonces 2m−1 (2m − 1) es un entero perfecto.
∑
n+1
(Sug.: Tal vez necesite usar esta fórmula: ni=0 ri = r r−1−1 )
5. Si A = {a1 , a2 , a3 , a4 , a5 } es un subconjunto de enteros positivos, demuestre que existe un subconjunto
no vacío S de A tal que la suma de los elementos de S es múltiplo de 5.
6. Exprese el máximo común divisor de los pares de números siguientes como combinación lineal de dichos
números. Esto es, escriba en cada caso (x, y) = sx + ty , con s y t enteros.
a) (726, 110)
b) (12, 35)
c) (96, 144).
7. Demuestre que para todo entero positivo n, 7n + 4 y 5n + 3 son coprimos.
8. Dado un entero positivo n, la función phi-de-Euler, φ(n), cuenta el número de enteros positivos coprimos
con n menores que n. ¾Cuánto vale φ(n) si n es primo? Obviamente, justique su respuesta!
Si yo amo el mar y todo lo que es como el mar, y le amo más cuando colérico me contradice: Si dentro de mí se agita aquel placer del que
hincha sus velas en busca de lo desconocido, y me gustan los viajes del navegante: Si jamás gritó mi alegría: La costa desaparece: he roto
mi última cadena; la inmensidad me rodea; el tiempo y el espacio brillan lejos de mí. ½Vamos! ½En marcha, viejo corazón!, ½Oh, cómo no
he de sentir anhelos de eternidad y del anillo nupcial de los anillos: el anillo del Eterno Retorno! Nunca encontré la mujer de quien quisiera
tener hijos, a no ser la mujer a quien yo amo: ½pues yo te amo, eternidad! ½PUES YO TE AMO ETERNIDAD!
Así habló Zaratustra. Federico Nietzsche.
No digáis que agotado su tesoro,
de asuntos falta, enmudeció la lira.
Podrá no haber poetas, pero siempre
habrá poesía.
Mientras las ondas de la luz al beso
palpiten encendidas,
mientras el sol las desgarradas nubes
de fuego y oro vista,
mientras el aire en su regazo lleve
perfumes y armonías,
mientras haya en el mundo primavera,
½habrá poesía!
Mientras la ciencia a descubrir no alcance
las fuentes de la vida,
y en el mar o en el cielo haya un abismo
que al cálculo resista,
mientras la humanidad siempre avanzando
no sepa a do camina,
mientras haya un misterio para el hombre,
½habrá poesía!
Mientras se sienta que se ríe el alma,
sin que los labios rían,
mientras se llore, sin que el llanto acuda
a nublar la pupila,
mientras el corazón y la cabeza
batallando prosigan,
mientras haya esperanzas y recuerdos,
½habrá poesía!
Mientras haya unos ojos que reejen
los ojos que los miran,
mientras responda el labio suspirando
al labio que suspira,
mientras sentirse puedan en un beso
dos almas confundidas,
mientras exista una mujer hermosa,
½habrá poesía!
Rimas y Leyendas, Gustavo adolfo Bécquer