LÓGICA PROPOSICIONAL PROPOSICIONES Una proposición es todo enunciado, u oración enunciativa, respecto del cual se tiene un criterio que permite afirmar que su contenido es verdadero o falso, pero no ambos. A la veracidad o falsedad de una proposición la denominaremos valor de verdad. Ejemplos: Son proposiciones: • 2 + 3 = 7. • Rómulo Gallegos escribió “Doña Bárbara”. √ • 3 es un número racional. No son proposiciones: • 11 − 5. • Abre la puerta. • Esta proposición es falsa. Representaremos las proposiciones con letras minúsculas tales como p, q, r,... CONECTIVOS U OPERADORES LÓGICOS Vamos ahora a introducir ciertos términos que nos permitirán conectar proposiciones para producir otras más complejas. A tales términos los llamaremos conectivos u operadores lógicos. A continuación, listaremos y definiremos todos los conectivos u operadores lógicos: 1. El conectivo “no” (Negación) Sea p una proposición. La negación de p, que denotaremos por ¬p, es la proposición cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad: p V F ¬p F V La negación puede presentarse con términos gramaticales como “no”, “no es verdad que”, “no es cierto que”. 2. El conectivo “y” (Conjunción) Sean p y q dos proposiciones. La conjunción de p y q, que denotaremos por p ∧ q, es la proposición cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad: p V V F F q V F V F p∧q V F F F La conjunción puede presentarse con términos gramaticales como “y”, “pero”, “mas”, y signos de puntuación como: la coma, el punto y el punto y coma. 3. El conectivo “o” (Disyunción Inclusiva) Sean p y q dos proposiciones. La disyunción inclusiva (o simplemente disyunción) de p y q, que denotaremos por p∨q, es la proposición cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad: p V V F F q V F V F p∨q V V V F La disyunción inclusiva se presenta con el término gramatical “o”. 4. El conectivo “o... o...” (Disyunción Exclusiva) Sean p y q dos proposiciones. La disyunción exclusiva de p y q, que denotaremos por p ∨ q, es la proposición cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad: p V V F F q V F V F p∨q F V V F La disyunción exclusiva puede presentarse con términos gramaticales como “o”, “o sólo”, “o solamente”, “o..., o...”. 5. El conectivo “si..., entonces...” (Condicional) Sean p y q dos proposiciones. El condicional con antecedente p y consecuente q, que denotaremos por p → q, es la proposición cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad: p V V F F q V F V F p→q V F V V El condicional p → q puede presentarse con términos gramaticales como “si p, entonces q”, “p sólo si q”, “p solamente si q”, “q si p”, “si p, q”, “q con la condición de que p”, “q cuando p”, “q siempre que p”, “q cada vez que p”, “se tiene q si se tiene p”, “q es condición necesaria para p”, “una condición necesaria para p es q”, “p es condición suficiente para q”, “una condición suficiente para q es p”. 2 A cada condicional p → q se le asocian otros tres que se obtienen permutando el antecedente con el consecuente o sus negaciones. Estos condicionales son los siguientes: • El recı́proco: q → p • El contrario o inverso: ¬p → ¬q • El contrarrecı́proco: ¬q → ¬p 6. El conectivo “si y sólo si” (Bicondicional) Sean p y q dos proposiciones. El bicondicional de p y q, que denotaremos por p ↔ q, es la proposición cuyo valor de verdad está dado por la siguiente tabla de verdad: p V V F F q V F V F p↔q V F F V El bicondicional p ↔ q se puede encontrar con términos gramaticales como “p si y sólo si q”, “p si y solamente si q”, “p cuando y sólo cuando q”, “p es condición suficiente y necesaria para q”. PROPOSICIONES ATÓMICAS Y PROPOSICIONES MOLECULARES Clasificaremos a las proposiciones como atómicas (o simples) y moleculares (o compuestas). Las proposiciones atómicas serán aquellas que no contienen conectivos u operadores lógicos, mientras que las proposiciones moleculares serán aquellas que constan de una o más proposiciones atómicas modificadas o vinculadas por conectivos u operadores lógicos. TAUTOLOGÍAS Y CONTRADICCIONES Una tautologı́a es una forma proposicional que es verdadera para cualquier valor lógico que se le asigne a sus variables proposicionales. Simbolizaremos como T a toda tautologı́a. Una contradicción es una forma proposicional que es falsa para cualquier valor lógico que se le asigne a sus variables proposicionales. Simbolizaremos como C a toda contradicción. 3 LEYES LÓGICAS ¬(¬p) ≡ p p∨q ≡q∨p p∧q ≡q∧p (3) (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) (4) p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) (5) ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q (6) p ∨ p ≡ p p∧p≡p (7) p ∨ C ≡ p p∧T ≡p (8) p ∨ ¬p ≡ T p ∧ ¬p ≡ C (9) p ∨ T ≡ T p∧C ≡C (10) p ∨ (p ∧ q) ≡ p p ∧ (p ∨ q) ≡ p (11) p → q ≡ ¬p ∨ q p → q ≡ ¬q → ¬p ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q (1) (2) Ley de la doble negación Leyes conmutativas Leyes asociativas Leyes distributivas Leyes de De Morgan Leyes idempotentes Leyes de neutro Leyes inversas Leyes de dominación Leyes de absorción Leyes del condicional LA IMPLICACIÓN Y LA DOBLE IMPLICACIÓN Sea p y q dos formas proposicionales. Diremos que p ⇒ q (p implica a q), si y sólo si el condicional p → q es una tautologı́a. Diremos que p ⇔ q (p implica a q y q implica a p), si y sólo si el bicondicional p ↔ q es una tautologı́a. Propiedades de la doble implicación Si en la tabla de leyes lógicas reemplazamos todos los sı́mbolos “ ≡ ” por “ ⇔ ”, tendremos una tabla de propiedades para la doble implicación. Propiedades de la implicación (1) p ⇒ p ∨ q (2) p ∧ q ⇒ p Ley aditiva de la disyunción Ley cancelativa de la conjunción 4