Ejercicios de programación dinámica

Ejercicios de programación dinámica
Investigación Operativa II
Diplomatura en Estadı́stica
Curso 08/09
1. Resuelve aplicando programación dinámica el problema siguiente: Se trata de asignar dı́as de estudio
para preparar los exámenes de cuatro asignaturas. Se dispone de 10 dı́as para todas ellas, y estos
dı́as han de repartirse de manera que se optimice la mejora prevista en las calificaciones totales de
las mismas.
Se ha estimado que para un cierto número de dı́as asignado a cada asignatura se pueden conseguir
las mejoras en las notas que se indican en la tabla siguiente:
Dı́as
1
2
3
4
Asignatura
1 2 3 4
1 3 1 2
3 4 2 4
4 4 4 5
5 5 4 5
A ninguna asignatura se le asignarán más de cuatro dı́as, y a cada una de ellas se le asignará al
menos un dı́a.
Sugerencia: Define como etapas la asignación de dı́as de estudio a cada una de las asignaturas.
2. Un operador turı́stico organiza viajes de vacaciones, que incluyen el alquiler de coches. Durante las
próximas cinco semanas, y en función de los viajes que ha vendido, esta empresa prevee que debe
tener disponibles 8, 6, 10, 7 y 8 coches respectivamente.
El alquiler de los coches se subcontrata a una empresa local, que cobra una cantidad fija de 50 euros
por automóvil por cada nuevo alquiler de un coche, más 150 euros por cada semana de alquiler de
dicho coche.
El operador puede por tanto alquilar coches y asignarlos a los viajes organizados, o mantenerlos sin
usar, o bien devolverlos cuando ya no quiera usarlos (aunque quizás tenga que volver a alquilarlos
más tarde pagando la cantidad fija). ¿Cuál es el número óptimo de automóviles a alquilar y/o
devolver en cada semana de las próximas cinco?
3. Estás encargado de la gestión de un desarrollo de software, que requiere que se completen tres
tareas en etapas sucesivas. Dispones de un presupuesto de 45.000 euros que puedes emplear para
mejorar tus recursos (personal, equipos, medios) en cada una de las etapas. En función del dinero
que inviertas, esperas reducir el tiempo necesario para llevar a cabo cada etapa, de acuerdo con las
expresiones siguientes:
t1 (x1 ) = 16 − x1 /3,
t2 (x2 ) = 12 − x2 /5,
t3 (x3 ) = 14 − x3 /3,
0 ≤ x1 ≤ 30
0 ≤ x2 ≤ 15
0 ≤ x3 ≤ 30
donde ti denota el tiempo en semanas necesario para completar cada tarea, i = 1, 2, 3, y xi es la
cantidad invertida en cada etapa, medida en miles de euros. Las cantidades no invertidas al final
del proceso no tienen valor para el desarrollo.
Formula las relaciones de recurrencia y los elementos del problema de programación dinámica
correspondientes.
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Resuelve el problema de programación dinámica para el caso en que el dinero disponible
deba gastarse en múltiplos de 15.000 euros, esto es, los valores aceptables para el gasto en la
primera etapa serı́an 0, 15 ó 30 miles de euros, por ejemplo. Obtén a partir de ellas la polı́tica
que permita un tiempo de desarrollo mı́nimo y el plan de gasto óptimo. ¿Existe más de una
solución? ¿Cuáles son las soluciones alternativas?
Repite el apartado anterior suponiendo que las cantidades a invertir en cada etapa fuesen
valores cualesquiera entre 0 y los máximos indicados anteriormente.
4. Una empresa de alquiler de automóviles se propone planificar su polı́tica de reemplazamientos para
los próximos 3 años. La adquisición de un coche nuevo le cuesta a la empresa 9.000 euros. Durante
su vida útil, los coches incurren costes de mantenimiento que aumentan con su antigüedad, mientras
que su valor de venta como coches usados disminuye con su edad. Un coche nuevo no incurre costes
de mantenimiento. Para cada coche, la empresa toma decisiones el dı́a 1 de enero de cada año: vender
el coche por su valor como coche usado y adquirir uno nuevo, o continuar utilizándolo durante un
año más, incurriendo los costes de mantenimiento correspondientes. Los gastos de mantenimiento
y el valor de venta de un coche usado, en función de su antigüedad en años, se muestran en la
siguiente tabla:
antigüedad (años)
1
2
3
4
coste de mantenimiento (euros)
1.800
2.100
2.400
2.700
valor de venta (euros)
6.000
4.000
3.000
2.250
a) Formula como un programa dinámico el problema de planificación óptima para los próximos
3 años.
b) Formula las relaciones de recurrencia y los elementos del problema de programación dinámica
correspondientes.
c) Resuelve el problema. dinámica, y describe la polı́tica óptima obtenida.
d ) ¿Debe la empresa reemplazar un coche que tiene inicialmente 4 años? ¿Y uno que tiene 3?
5. Tienes que decidir cuándo y cuánto producir de un determinado producto, para hacer frente a la
demanda con coste mı́nimo. La demanda prevista para los próximos 4 meses se indica en la tabla
siguiente:
Mes
Demanda
1
2
2
1
3
2
4
1
El coste de almacenamiento es de 600 Pta./unidad.mes, y el coste de producción está compuesto
por un coste fijo de 3500 Pta. cada vez que se fabrica (independiente de la cantidad fabricada), y
un coste variable de 1500 Pta./unidad.
Aplica Programación Dinámica para obtener el plan de producción (cantidades y meses) óptimo,
suponiendo que al comienzo del primer mes no dispones de ninguna unidad de producto en inventario, y que no dispones de espacio para llevar un inventario de más de dos unidades en ningún
periodo. El valor de las unidades que estén en inventario al final del último periodo es de 2000
Pta./unidad.
¿Cuál hubiera sido la polı́tica óptima si el inventario inicial hubiese sido de dos unidades?
6. Un dispositivo consta de 3 etapas conectadas en serie. En cada etapa podemos tener un número de
componentes variable mi , y la probabilidad de fallo en cada una de las etapas en función de dicho
número de componentes viene dada por las expresiones siguientes:
p1 = 0,5m1 ,
p2 = 0,75m2 ,
p3 = 0,6m3 .
Los ingresos que se obtienen de la operación del sistema dependen de que los equipos estén funcionando correctamente o estén averiados. Dichos ingresos se dan en la tabla siguiente:
2
Estado
F
A
1
1500
−5000
Etapa
2
3000
−8000
3
2500
−6000
Por último, el coste de cada componente es de:
Etapa
Coste
1
100
2
150
3
75
Si se dispone de un presupuesto de 750 u.m., encontrar la manera de invertir este presupuesto en
componentes de forma que se maximicen los ingresos esperados.
Sugerencia: Incluye en el estado información sobre el dinero que no te has gastado todavı́a, y define
las etapas de programación dinámica como decisiones de gasto en componentes de cada etapa.
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EJEMPLO
Figura 1: EJEMPLO: La diligencia
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