Teoria de Teletrafico

Teoría e Ingeniería de
Teletráfico
Dr. Ing. José Joskowicz
josej@fing.edu.uy
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
Introducción
Teoría e Ingeniería de
Teletráfico
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
¿Qué es la
“Teoría de Teletráfico”?
Es la aplicación de las teorías de probabilidades
a la solución de problemas de planificación,
evaluación de desempeño, operación y
mantenimiento de sistemas de
telecomunicaciones
Parte de esta presentación se basa en
ITU–D Study Group 2 Question 16/2
Handbook “TELETRAFFIC ENGINEERING”
June 2006
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
3
Principales funciones de la
Ingeniería de Teletráfico
Caracterización de la demanda de tráfico
Objetivos del grado de servicio (GoS)
Controles y dimensionamiento del tráfico
Vigilancia de la calidad de funcionamiento
Según Recomendación ITU-T E.490.1 (01/2003)
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
4
Principales funciones de la
Ingeniería de Teletráfico
Según Recomendación ITU-T E.490.1 (01/2003)
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
5
Intensidad Instantánea de Tráfico
(Traffic Intensity)
La intensidad instantánea de tráfico en un
conjunto de recursos es la cantidad de recursos
ocupados en un determinado instante de tiempo
Los
“recursos” pueden ser líneas urbanas,
servidores, o cualquier tipo de elemento que puede
ser compartido por varios usuarios
Instantánea
recurso ocupado
Conjunto de recursos
n recursos
recurso libre
ocupados
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6
Intensidad Promedio de Tráfico
(Traffic Intensity)
La ocupación de cada recurso puede variar con
el tiempo.
En
cada instante t, hay n recursos ocupados
n(t) recursos
ocupados
Evolución
en el
tiempo
Conjunto de recursos
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
7
Intensidad Promedio de Tráfico
(Traffic Intensity)
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
8
Intensidad Promedio de Tráfico
T
1
Y (T ) = ∫ n(t )dt
T 0
Donde n(t) es la cantidad de recursos ocupados
en cada instante t y T es un tiempo fijo
Y(T) es adimensionada (“tiempo” / “tiempo”)
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9
Erlang
Unidad de medida de tráfico
(definición de la CCIF* del 28 de
octubre de 1946):
*
Le Comité Consultatif International des Comunications Telephoniques a grande
distance
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10
Unidades de Tráfico
Erlang (E):
Un
Erlang corresponde a una intensidad promedio de
tráfico de una hora por hora
Equivalente a un recurso ocupado en forma
permanente
Cientos de segundos por hora o Hundred call
seconds per hour (CCS):
Un
CCS corresponde a una intensidad promedio de
tráfico de 100 segundos por hora (puede ser
asociado a la duración de una llamada típica)
36 CCS = 1 E
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11
Volumen de tráfico
Traffic Volume
Es el tráfico total cursado en un periodo de
tiempo T
Integral
en el tiempo de la intensidad de tráfico
Se mide en Eh (Erlang-horas) o Es (Erlangsegundos)
Es la suma de todos los tiempos de ocupación
en el periodo medido
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12
Intensidad de llamadas
Call Intensity
Promedio de llamadas por unidad de tiempo
llamadas
λ=
unidad de tiempo
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13
Intensidad de llamadas
Call Intensity
Promedio de llamadas por minuto, tomadas cada 15 minutos,
durante 10 días, de lunes a viernes
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2014
14
Intensidad de llamadas
Call Intensity
Distribución de Lllamadas
14%
12%
% de llamadas
10%
8%
02-Mar
03-Mar
04-Mar
05-Mar
06-Mar
09-Mar
10-Mar
11-Mar
12-Mar
13-Mar
16-Mar
17-Mar
18-Mar
19-Mar
20-Mar
23-Mar
6%
4%
2%
0%
17:30
17:00
16:30
16:00
15:30
15:00
14:30
14:00
13:30
13:00
12:30
12:00
11:30
11:00
10:30
10:00
09:30
09:00
08:30
08:00
07:30
07:00
Horario
Promedio de llamadas por minuto, tomadas cada 15 minutos,
cada día
© Dr. Ing. José Joskowicz,
2014
15
Intensidad de llamadas
Call Intensity
Llamadas por minuto, entre las 8:00 y las 13:00 de un día particular
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16
Intensidad de llamadas
Call Intensity
Llamadas por minuto
50
Cantidad
40
30
20
10
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
2014
17
Minuto (10:xx)
Llamadas por minuto, en una hora (entre las 10 y las 11),
en un día particular
© Dr. Ing. José Joskowicz,
Tiempo medio de ocupación
Mean Holding Time
Duración media del tiempo de ocupación
Por
ejemplo: Duración media de las llamadas
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18
Tráfico en función de intensidad
de llamadas y ocupación media
llamadas  1 
λ=
 
segundo  s 
d = duración media ( s)
1 −1
µ = (s )
d
d
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
19
Tráfico en función de intensidad
de llamadas y ocupación media
λ=
1
1/ µ
1s
µ
llamadas  1 
 
segundo  s 
= duración media( s )
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
20
Tráfico en función de intensidad
de llamadas y ocupación media
El tráfico A se puede calcular como
λ
A = λd =
µ
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
21
Hora pico
Busy Hour
Período de 60 minutos que tiene el máximo de
tráfico, tomado en intervalos de 15 minutos
Por
ejemplo: La hora pico puede ser de 9:15 a 10:15
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
22
Hora pico
Busy Hour
La relación entre el tráfico en la
hora pico y el tráfico diario total
es del orden del 12%
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
23
Tráfico Ofrecido
Offered Traffic
Es el tráfico que se cursaría si no existiera
rechazo dentro de la red
Se
podría cursar con “infinitos” recursos
Usuarios
Tráfico
Ofrecido
Red
Usuarios
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24
Tráfico Cursado
Carried Traffic
Es el tráfico que efectivamente cursado por la
red
Típicamente
Usuarios
“se puede medir”
Tráfico
Ofrecido
Red
Tráfico
Cursado
Usuarios
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25
Tráfico Perdido o Rechazado
Lost or Rejected Traffic
Es el tráfico que NO pudo ser cursado por la red
Usuarios
Tráfico
Ofrecido
Red
Tráfico
Cursado
Usuarios
Perdido
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26
Tráfico de Desborde
Overflow Traffic
Es el tráfico que no pudo ser cursado por un red
y es derivado a otra red
Usuarios
Tráfico
Ofrecido
Red 1
Tráfico
Cursado
Usuarios
Desborde
Red 2
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
27
Generación de tráfico
Reintentos
Probabilidad de
error del usuario
Probabilidad de
errores técnicos y
bloqueo
Probabilidad de
cada resultado
posible
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28
Reintentos cuando el destino
está ocupado
Histograma de los
reintentos en
función del tiempo
de reintento luego
del intento inicial,
cuando el destino
está ocupado
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
29
Modelos Matemáticos
Teoría e Ingeniería de
Teletráfico
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
Proceso de Arribos
Los procesos de arribo se pueden describir
matemáticamente como procesos estocásticos
puntuales
tiempo
arribos
Tiempo entre arribos:
- Variable aleatoria
- No se produce arribos múltiples
- En promedio, λ arribos por unidad de tiempo
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
31
Proceso de Arribos
Al asumir que cada “tiempo entre arribos” se
modela con la misma variable aleatoria, queda
implícito que la distribución de arribos es
independiente del tiempo
Puede
ser cierto durante períodos cortos de tiempo
Llamaremos A a la variable aleatoria que
modela el tiempo entre arribos
AAAA
T
A
(
)
T
= P( ≤ T ) = ∫ a(t )dt
0
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
32
Proceso de Arribos
El tiempo medio entre arribos (el valor
esperado) se puede calcular como
∞
1
= ∫ ta (t )dt
λ 0
¿Cómo definir A?
El “tiempo entre arribos” se puede modelar con
una distribución exponencial de parámetro λ
A(t ) = 1 − e − λt
a (t ) = λe −λt
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
33
Ejemplo: 360 llamadas por hora
llamadas
llamadas
λ = 360
= 0.1
hora
segundo
segundos
= 10
(tiempo promedio entre llamadas)
llamada
λ
1
A(t ) = 1 − e
a (t ) = λe − λt
− λt
1.2
0.12
1
0.1
0.8
0.08
0.6
0.06
0.4
0.04
0.2
0.02
0
0
ta (t ) = λte − λt
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0
20
40
t
60
0.1
0.05
0
0
20
40
t
60
0
20
40
60
t
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
34
Propiedades de la distribución
Exponencial de parámetro λ
Valor esperado
AAAA
E( ) =
1
λ
Varianza var A = E(A2) – E(A)2
AAAA
var
=
1
λ2
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35
Propiedades de la distribución
exponencial
P( > T + h |
AAAA
AAAA
“No tiene memoria”:
AAAA
≥ T ) = P ( > h)
AAAA
∞
∞
T
T
P( > T ) = ∫ a(t ) dt = ∫ λe −λt dt
∞
> T ) = T∞+ h
− λt
e
λ
∫ dt
∞
AAAA
AAAA
AAAA
P( > T + h
− λt
e
λ
∫ dt
e − λ (T + h )
= −λT = e −λh = ∫ λe −λt dt = P( > h)
e
h
T
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
36
Propiedades de la distribución
exponencial
La distribución de probabilidad del arribo de una
nueva llamada no depende de cuanto tiempo
haya pasado desde el arribo de la última
llamada
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
37
Relación entre la distribución
Exponencial y la de Poisson
Si los tiempos entre arribos son exponenciales
de parámetro λ , el número de arribos N que
ocurren en un lapso de tiempo T tiene un
distribución de Poisson de parámetro λT
0.18
λ = 0.1
0.16
N
( λT ) e
P( N ) =
N!
− λT
llamadas
segundo
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
N= cantidad de llamadas para T=60 seg
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
38
Duración de las llamadas
Duración de llamadas:
- Variable aleatoria
- En promedio, de duración
d=1/µ
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
39
Duración de las llamadas
Al asumir que la duración de las llamadas se
modela con la misma variable aleatoria, queda
implícito que la distribución de la duración es
independiente del tiempo
Puede
ser cierto durante períodos cortos de tiempo y
para un mismo tipo de llamadas
Llamaremos S a la variable aleatoria que
modela la duración de llamadas
T
S (T ) = P( S ≤ T ) = ∫ s(t )dt
0
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
40
Duración de las llamadas
La duración media de las llamadas (el valor
esperado) se puede calcular como
∞
1
d = = ∫ ts(t )dt
µ 0
La duración de las llamadas se puede modelar
con una distribución Exponencial de parámetro
µ=1/d
S (t ) = 1 − e
s (t ) = µe
− µt
− µt
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
41
Ejemplo: duración media de 3
minutos
d = 180 segundos
µ = 1 / 180 segundos −1
t
t
1 −d
s (t ) = e
d
1 −d
ts (t ) = te
d
0.006
0.4
0.35
0.005
0.3
0.004
0.25
0.003
0.2
0.002
0.15
0.1
0.001
0.05
0
0
0
200
400
t
600
0
100
200
300
t
400
500
600
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
42
Modelo con
“infinitos recursos”
Teoría e Ingeniería de
Teletráfico
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
Consideraciones
Consideramos un sistema con ∞ recursos
idénticos, trabajando en paralelo
“Grupo homogéneo” (homogeneous group)
Hay ∞ fuentes que pueden generar tráfico
Una llamada es aceptada en el sistema si existe
por lo menos un recurso disponible, y cada
llamada ocupa un único recurso
“Accesibilidad
completa” (full accessibility)
Dado que hay ∞ recursos, las llamadas son siempre
aceptadas
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
44
Consideraciones
El arribo de llamadas se puede modelar como
un proceso de Poisson de parámetro λ llamadas
por segundo
“Tráfico
de Chance Pura”
La duración de las llamadas tiene una
distribución exponencial de parámetro µ=1/d
segundos-1
El tráfico se puede modelar como un proceso de
“nacimiento y muerte”
Proceso
simple de Markov
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
45
Diagrama de transición de
estados
Definimos el estado del sistema [i] como la
cantidad de recursos ocupados i.
En un instante determinado, el sistema se
encuentra en el estado [i]
0
1
2
i -1
i
i +1
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
46
Diagrama de transición de
estados
Con el tiempo pueden existir transiciones entre
estados
Entre un tiempo t y t +dt, solo existen
transiciones simples
La
probabilidad de arribo o fin de más de 2 llamadas
en dt es despreciable
0
1
2
i -1
i
i +1
i +2
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
47
Diagrama de transición de
estados
Demostración para el caso de arribos:
Probabilidad de N arribos en un tiempo T:
( λ T ) N e − λT
P( N ) =
N!
T →0
P(1) = λTe
− λT
≈ λT
(λ T ) 2 e − λ T (λ T ) 2
P ( 2) =
≈
<< P(1)
2
2
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
48
Diagrama de transición de
estados
En una situación de equilibrio estadístico, el
sistema se encontrará en el estado [i] una
proporción de tiempo p(i)
p(i) es la probabilidad de encontrar al sistema en
el estado [i]
p(i) = probabilidad del estado i
0
1
2
i -1
i
i +1
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
49
Diagrama de transición de
estados
La probabilidad de pasar del estado [i] al [i+1]
en un intervalo de tiempo T, es la probabilidad
de que exista un arribo en ese intervalo de
tiempo.
Si T es muy pequeño, esa probabilidad es
P(1) = λTe −λT ≈ λT
0
1
2
λT
i -1
i
i +1
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
50
Diagrama de transición de
estados
La probabilidad de pasar del estado [i] al [i+1]
durante un tiempo corto T
Es
lineal con T
Solo depende de la tasa de arribos λ, pero no del
estado [i] en el que se encuentre el sistema
Hay “infinitas fuentes” generadoras de tráfico
λT
0
λT
1
λT
2
λT
i -1
λT
i
λT
i +1
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
51
Diagrama de transición de
estados
La probabilidad de pasar del estado [i] al [i-1] en
un intervalo de tiempo T, es la probabilidad de
que termine una llamada en t < T
La probabilidad de que termine 1 de las i
llamadas del estado [i] es
S (T ) = 1 − e − µT
( µT ) 2
S (T ) = 1 − (1 − µT +
− ...) ≈ µT ( para T → 0)
2
Como hay i llamadas p( [i] → [i-1] )=iµT
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
52
Diagrama de transición de
estados
Si T es muy pequeño, la probabilidad de pasar
del estado [i] al [i-1] en un intervalo de tiempo T
Es
lineal con T
Es inversamente proporcional a la duración media d
Es proporcional a µ=1/d
Es
proporcional a la cantidad de llamadas (recursos
ocupados) en el sistema
Es proporcional a i
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
53
Diagrama de transición de
estados
λT
0
λT
1
µT
λT
2
2 µT
λT
i -1
(i − 1) µT
λT
i
iµT
λT
i +1
(i + 1) µT
Válido para T muy pequeño
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
54
Ecuaciones de nodo
p(i) es la probabilidad de encontrar al sistema en
el estado [i]
La cantidad media de “saltos” del estado [0] al
estado [1] en el intervalo T es λTp(0)
La
cantidad de “saltos” del estado [0] al estado [1] por
unidad de tiempo es λTp(0)/T=λp(0)
La cantidad media de “saltos” del estado [1] al
estado [0] en el intervalo T es µTp(1)
La
cantidad de “saltos” del estado [1] al estado [0] por
unidad de tiempo es µTp(1)/T= µp(i+1)
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
55
Ecuaciones de nodo
λ
0
1
λp (0) = µp(1)
µ
Transiciones por unidad de tiempo
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
56
Ecuaciones de nodo
λ
λ
i>0
i -1
i
iµ
i +1
λp(i − 1) + (i + 1) µp (i + 1) = λp (i ) + iµp (i )
λp(i − 1) + (i + 1) µp (i + 1) = (λ + iµ ) p (i)
(i + 1) µ
Transiciones por unidad de tiempo
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
57
Ecuaciones de corte
En equilibro estadístico, la cantidad de
transiciones del estado [i-1] al [i] deben ser
iguales a las transiciones del estado [i] al [i-1]
λ
i -1
i
i>0
λp(i − 1) = iµp(i )
iµ
Transiciones por unidad de tiempo
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
58
Normalización
El sistema siempre estará en uno de los
posibles estados
La
suma de todas las probabilidades de los estados
debe ser 1
∞
∑ p(i) = 1
i =0
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
59
Deducción de las probabilidades
de estados
Aplicamos las ecuaciones de “corte”
λp (0) = µp (1)
λp (1) = 2 µp (2)
λp (2) = 3µp(3)
....
λp (i − 2) = (i − 1) µp(i − 1)
λp (i − 1) = (i ) µp(i )
λ
A = λd =
µ
λp (i ) = (i + 1) µp(i + 1)
....
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
60
Deducción de las probabilidades
de estados
∞
∑ p(i) = 1
p(1) = Ap(0)
2
A
A
p( 2) = p (1) =
p ( 0)
2
2
A
A3
p ( 0)
p(3) = p (2) =
3
3x2
....
A
Ai −1
p(i − 1) =
p (i − 2) =
p ( 0)
i −1
(i − 1)!
A
Ai
p(i ) = p (i − 1) =
p (0)
i
i!
....
i =0
Ai
p ( 0) = 1 ⇒
∑
i = 0 i!
1
p ( 0) = ∞ i = e − A
A
∑
i = 0 i!
∞
Ai − A
p (i ) = e
i!
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
61
Ejemplo
Usuarios que
generar
600 llamadas
por hora,
de 1 minuto de
duración
promedio
Sistema con
“Infinitos recursos”
de conmutación
¿Cuántos recursos de conmutación serán
utilizados?
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
62
Ejemplo
600 llamadas por hora = 600/3600 llamadas por
segundo
λ=1/6
seg-1
0.14
60 segundos
de duración
seg
µ=1/60 seg-1
d=60
p(i) para A=10
A = λ/µ= 10 Erlang
Ai − A
p(i ) = e
i!
0.12
0.1
0.08
p(i)
0.06
0.04
0.02
0
0
1
2
3
4
5
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
i - cantidad de recursos ocupados
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
63
Características del tráfico con
infinitos recursos
No hay “congestión”: Hay infinitos recursos y
todos son accesibles
El tráfico cursado Y es igual al tráfico ofrecido
∞
Ai − A
Ai −1
−A
Y = ∑ ip (i ) = ∑ i e = e ∑ A
= Ae − Ae A = A
i!
(i − 1)!
i =1
i =1
i =1
∞
∞
El tráfico perdido es 0
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
64
Recursos finitos:
Modelos de pérdida
Teoría e Ingeniería de
Teletráfico
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
Consideraciones
Consideramos un sistema con n recursos
idénticos, trabajando en paralelo
“Grupo homogéneo” (homogeneous group)
Una llamada es aceptada en el sistema si existe
por lo menos un recurso disponible, y cada
llamada ocupa un único recurso
“Accesibilidad
completa” (full accessibility)
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
66
Consideraciones
Si todos los recursos están ocupados el sistema
está “congestionado” y el intento de llamada es
bloqueado
El
intento de llamada en este caso “desaparece”, no
hay espera ni reintentos
Modelo de pérdida (Lost Calls Cleared)
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
67
Diagrama de transición de
estados
λ
0
λ
1
µ
λ
2
2µ
λ
i -1
(i − 1) µ
λ
i
iµ
λ
i +1
(i + 1) µ
λ
n
nµ
Transiciones por unidad de tiempo
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
68
Deducción de las probabilidades
de estados
n
∑ p(i) = 1
p(1) = Ap (0)
2
A
A
p(2) = p (1) =
p ( 0)
2
2
A
A3
p(3) = p( 2) =
p ( 0)
3
3x2
....
A
Ai
p(i ) = p(i − 1) =
p ( 0)
i
i!
....
A
An
p(n) = p (n − 1) =
p (0)
n
n!
i =0
Ai
p ( 0) = 1 ⇒
∑
i = 0 i!
1
p ( 0) = n i
A
∑
i = 0 i!
n
i
A
p(i ) =
i!
1
n
Aj
∑
j = 0 j!
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
69
Congestión
Hay “congestión” cuando todos los recursos
están ocupados, o sea cuando el sistema está
en el estado [n]
La probabilidad de que al llegar un “arribo”
encuentre al sistema en el estado [n] es igual a
la probabilidad estacionaria de que el sistema
se encuentra en el estado [n]
es conocido como propiedad “Poisson Arrivals
See Time Average” o PASTA, demostrada por
Ronald W. Wolff en 1982
Esto
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
70
Congestión
Hay “congestión” cuando todos los recursos
están ocupados, o sea cuando el sistema está
en el estado [n]
Por tanto, la probabilidad de que exista
n
congestión es
A
p ( n) =
n! = E (n, A)
B
n
Aj
∑
j = 0 j!
Conocida como Fórmula de Erlang-B (publicada en 1917)
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
71
Ejemplo
Usuarios que
generar
600 llamadas
por hora,
de 1 minuto de
duración
promedio
Sistema con
“10 recursos”
de conmutación
¿Qué probabilidad hay de que exista
congestión?
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
72
Ejemplo
λ=1/6 seg-1
µ=1/60 seg-1
A = λ/µ= 10 Erlang
10
10
EB (10,10) =
10!
1
= 0.21 = 21%
j
10
10
∑
j = 0 j!
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
73
Ejemplo
¿Cómo varía la probabilidad de bloqueo según
la cantidad de recursos disponibles?
EB(n,10)
1
1
n
Aj
∑
j = 0 j!
0.9
0.8
0.7
p(bloqueo)
An
EB (n, A) =
n!
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
n- cantidad de recursos disponibles
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
74
Ejemplo
Si queremos que la probabilidad de bloqueo sea
menor al 1%, ¿cuántos recursos necesitamos?
EB(n,10)
n (cantida de recursos)
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Zoom
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
p- probabilidad de bloqueo
0.7
0.8
0.9
1
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
75
Ejemplo
Si queremos que la probabilidad de bloqueo sea
menor al 1%, ¿cuántos recursos necesitamos?
EB(n,10)
21
20
19
n=18 18
n (cantida de recursos)
17
16
15
14
13
12
11
10
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
p- probabilidad de bloqueo
0.07
0.08
0.09
0.1
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
76
Tablas de Erlang-B
Probabilidad de bloqueo= En(A)
n
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
77
Características del tráfico con
modelo de pérdida
Hay “congestión” cuando todos los recursos
están ocupados
El tráfico cursado Y es menor al tráfico ofrecido
A
n
n
i =1
i =1
Y = ∑ ip (i ) = ∑ Ap (i − 1) = A(1 − p (n) )
Y = A(1 − EB (n, A) )
(usando las ecuaciones de corte)
El tráfico perdido es
Alost = A − Y = A − A(1 − EB (n, A) ) = AEB (n, A)
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
78
Resumen de las Hipótesis
utilizadas para Erlang-B
Chance pura
El
arribo de llamadas se modela según un proceso de
Poisson
El tiempo entre arribos de llamadas tiene una
distribución exponencial
Existen “infinitas” fuentes generadoras de tráfico
Duración de las llamadas
La
duración de las llamadas tiene una distribución
exponencial
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
79
Resumen de las Hipótesis
utilizadas para Erlang-B
Grupo homogéneo de recursos
Los
recursos son idénticos, trabajando en paralelo
Accesibilidad completa
Una
llamada es aceptada en el sistema si existe por
lo menos un recurso disponible, y cada llamada
ocupa un único recurso
Sistema de pérdida
Si
un intento de llamada no encuentra un recurso
libre, se pierde
No hay “reintentos”
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
80
Generalización
Duración de las llamadas
La
fórmula es valida para cualquier distribución de
duración de llamadas, y solo depende de la duración
media d
λ
De hecho, solo depende del tráfico A = λd =
µ
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
81
Fuentes finitas
¿Qué sucede si hay un número “finito” de
fuentes generadoras de tráfico?
A
medida que las “fuentes” obtienen un recurso,
quedan menos “fuentes” para generar tráfico
Por lo tanto, la probabilidad de transición del estado
[i] al [i-1] dependerá del estado [i]
π ( 0)
0
π (1)
1
π ( 2)
2
π (i − 1) π (i ) π (i + 1)
i -1
i
i +1
π (n − 1)
n
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
82
Fuentes finitas
Interesa en este caso la tasas de arribos por
cada “fuente”
En
promedio γ arribos por unidad de tiempo por cada
“fuente”
Si hay S fuentes, la tasa total de arribos es
λ = Sγ
Para
el caso de ∞ fuentes aplica
λ = lim S →∞ ,γ →0 ( Sγ )
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
83
Fuentes finitas
El tráfico por cada “fuente” se puede definir
como
γ
a=
µ
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
84
Diagrama de transición de
estados
( S − 1)γ
Sγ
0
1
µ
2µ
( S − 2)γ
( S − i )γ
( S − n − 1)γ
( S − i + 1)γ
( S − i − 1)γ
2
i -1
(i − 1) µ
i
iµ
i +1
(i + 1) µ
n
nµ
Transiciones por unidad de tiempo
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
85
Deducción de las probabilidades
de estados
Aplicamos las ecuaciones de “corte”
Sγp(0) = µp(1)
( S − 1)γp(1) = 2µp(2)
( S − 2)γp(2) = 3µp (3)
....
( S − i + 2)γp(i − 2) = (i − 1) µp (i − 1)
( S − i + 1)γp (i − 1) = (i ) µp(i )
( S − i )γp (i ) = (i + 1) µp(i + 1)
....
γ
a = γd =
µ
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
86
Deducción de las probabilidades
de estados
p(1) = Sap(0)
( S − 1)a
S ( S − 1)a 2
p (0)
p( 2) =
p (1) =
2
2
S ( S − 1)( S − 2)a 3
( S − 2) a
p(3) =
p (2) =
p ( 0)
3
3x 2
....
( S − i + 2) a
S ( S − 1)( S − 2)....( S − i + 2)a i −1
p(i − 1) =
p (i − 2) =
p (0)
i −1
(i − 1)!
( S − i + 1)a
S ( S − 1)( S − 2)....( S − i + 1)a i
p(i ) =
p (i − 1) =
p(0)
i
i!
....
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
87
Deducción de las probabilidades
de estados
S ( S − 1)( S − 2)....( S − i + 1)a i
p(i ) =
p ( 0)
i!
S! a i
p(i ) =
p (0)
( S − i )!i!
S!
= Cis Combinaciones de S tomadas de i
( S − i )!i!
p(i ) = Cis a i p (0)
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
88
Deducción de las probabilidades
de estados
Normalización
n
∑ p(i) = 1
i =1
p(i ) = Cis a i p (0)
n
s i
C
∑ i a p(0) = 1
i =1
p ( 0) =
1
n
s i
C
∑ ia
i =1
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
89
Congestión
Hay “congestión” cuando todos los recursos
están ocupados, o sea cuando el sistema está
en el estado [n]
Por tanto, la probabilidad de que exista
congestión es
p ( n) =
CnS a n
n
S i
C
∑ ia
i =0
= E Engset ( a, n, S )
Tore Olaus Engset
1865-1943
Conocida como Fórmula de Engset (publicada en 1918)
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
90
Características del tráfico de
pérdida y fuentes finitas
Hay “congestión” cuando todos los recursos
están ocupados
El tráfico cursado Y es
n
n
n −1
i =1
i =1
i =0
Y = ∑ ip (i ) = ∑ a( S − i + 1) p (i − 1) = ∑ a ( S − i ) p (i )
n
n
n
i =0
i =0
i =0
Y = ∑ a ( S − i ) p (i ) − a ( S − n) p(n) = a ∑ Sp (i ) − a ∑ ip (i ) − a( S − n) E
Y = aS − aY − a ( S − n) E
a
Y=
(S − (S − n) E )
1+ a
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
91
Resumen de las Hipótesis
utilizadas para Engset
Chance pura
El
arribo de llamadas se modela según un proceso de
Poisson
El tiempo entre arribos de llamadas tiene una
distribución exponencial
Existe un número finito S de “fuentes generadoras” de
tráfico, que es mayor a la cantidad de recursos n
(S>n)
Duración de las llamadas
La
duración de las llamadas tiene una distribución
exponencial
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
92
Resumen de las Hipótesis
utilizadas para Engset
Grupo homogéneo de recursos
Los
recursos son idénticos, trabajando en paralelo
Accesibilidad completa
Una
llamada es aceptada en el sistema si existe por
lo menos un recurso disponible, y cada llamada
ocupa un único recurso
Sistema de pérdida
Si
un intento de llamada no encuentra un recurso
libre, se pierde
No hay “reintentos”
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
93
Recursos finitos:
Modelos de demora
Teoría e Ingeniería de
Teletráfico
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
Consideraciones
Consideramos un sistema con n recursos
idénticos, trabajando en paralelo
“Grupo homogéneo” (homogeneous group)
Una llamada es aceptada en el sistema si existe
por lo menos un recurso disponible, y cada
llamada ocupa un único recurso
“Accesibilidad
completa” (full accessibility)
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
95
Consideraciones
Si todos los recursos están ocupados el sistema
está “congestionado” y la llamada se pone en
“cola de espera”
La
“cola de espera” no tiene límites
Pueden existir ∞ llamadas en espera
Cuando
una llamada ingresa a la “cola de espera”, se
mantiene hasta que llega su turno
NO hay “abandonos”
Modelo
de demora (Delay Systems)
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
96
Diagrama de transición de
estados
Recursos
λ
0
λ
1
µ
λ
λ
2
2µ
Cola de espera
i
iµ
λ
n
nµ
λ
n+1
nµ
nµ
Transiciones por unidad de tiempo
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
97
Deducción de las probabilidades
de estados
Aplicamos las ecuaciones de “corte”
λp (0) = µp (1)
....
λp (i ) = (i + 1) µp(i + 1)
....
λp (n − 1) = nµp (n)
λp (n) = nµp (n + 1)
....
λp (n + j ) = nµp (n + j + 1)
λ
A = λd =
µ
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
98
Deducción de las probabilidades
de estados
i≤n
i>n
p(1) = Ap (0)
A
Ai −n
p(i ) = p (i − 1) = i −n p (n)
n
n
A
A2
p(2) = p (1) =
p ( 0)
2
2
....
A
Ai −1
p(i − 1) =
p (i − 2) =
p ( 0)
i −1
(i − 1)!
i−n
n
 A A
p(i ) =  
p ( 0)
 n  n!
Ai
p(i ) = i −n p (0)
n n!
A
Ai
p(i ) = p(i − 1) =
p ( 0)
i
i!
....
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
99
Deducción de las probabilidades
de estados
∞
∑ p(i) = 1
i =0
∞
Ai
Ai
p ( 0) + ∑ i − n p ( 0) = 1
∑
n!
i = 0 i!
i =n n
n −1
 n−1 Ai An ∞ A j 
 =1
p (0) ∑ +
∑
j 
 i =0 i! n! j =0 n 
∞
Aj
1
=
,A<n
∑
j
A
j =0 n
1−
n
1
p (0) = n −1 i
,A<n
n
A A n
+
∑
n! n − A
i = 0 i!
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
100
Probabilidad de que exista
demora
La probabilidad de que una llamada ingrese a la
cola de espera (es decir, que no pueda ser
atendida inmediatamente) es la probabilidad de
que el sistema se encuentra en cualquiera de
los estados [i] mayores o iguales a [n]
∞
p(Wait > 0) = ∑ p (i )
i=n
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
101
Probabilidad de que exista
demora
∞
p (Wait > 0) = ∑ p (i)
i =n
An
p (Wait > 0) = ∑ i − n p (0) =
n!
n!
i =n n
∞
Ai
Aj
An n
p ( 0) =
p ( 0)
∑
j
n! n − A
j =0 n
∞
An n
p(Wait > 0) = n −1 ni ! n −n A
= EC (n, A),
A A n
+
∑
n! n − A
i = 0 i!
A<n
Conocida como Fórmula de Erlang-C
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
102
Probabilidad de que existan
llamadas en espera
La probabilidad de que existan llamadas en
espera es la probabilidad de que el sistema se
encuentra en cualquiera de los estados [i]
mayores estrictos a [n]
∞
A
p( L > 0) = ∑ p(i ) = EC (n, A)
n
i = n +1
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
103
Número promedio de llamadas
en espera
∞
L = 1 p(n + 1) + 2 p(n + 2) + 3 p (n + 3) + .... = ∑ kp(n + k )
k =1
∞
n
k
n
A A
A
=
p
(
0
)
p
(
0
)
k
n
!
n
n!
k =1
∂
k
( A n )k
k ( A n) = ( A n)
∂( A n )
L = ∑k
k
 A
 A
=
k
p
(
n
)
k
 
 
∑
∑
k =1  n 
k =1  n 
∞
∞
k
∞
∂
A ∞
A ∂
k
k
( A n ) = p ( n)
(
)
L = p ( n) ∑
A
n
∑
(
)
(
)
n k =1 ∂ A n
n ∂ A n k =1
(
A ∂  ( A n) 
A n)
L = p ( n)

 = p (n)
n ∂ ( A n ) 1 − ( A n ) 
(1 − ( A n ))2
L = p ( n)
n
A
A
=
EC (n, A)
n− A n− A n− A
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
104
Número promedio de llamadas
en espera cuando hay cola
¿Cuántas llamadas en promedio habrá en espera, si
sabemos que existe cola de espera?
∞
L L>0
An
kp(n + k ) p (n)
∑
2
(
1
A
n
)
−
= k =1 ∞
=
A
p (n)
p(k )
∑
n− A
k = n +1
L L>0
n
=
n− A
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
105
Tiempo promedio de espera
¿Cuánto tiempo en promedio deberá esperar
una llamada hasta ser atendida?
Teorema de Little (John Little, 1961):
La cantidad promedio de llamadas en
espera L es igual a la tasa de arribos
λ multiplicada por la demora media W
L = λW
John Dutton Little
1928-
Es
válido para cualquier sistema de encolamiento, sin
importar la distribución de arribos ni la distribución de
la duración del servicios o llamadas
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
106
Tiempo promedio de espera
L
1
A
W = =
EC (n, A)
λ λ n− A
λ
A = = λd
µ
d
W =
EC (n, A)
n− A
Esta es la demora promedio para TODAS las
llamadas
Algunas
demora
tuvieron demora, otras fueron atendidas sin
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
107
Tiempo promedio de espera para
las llamadas en cola
Si una llamada es encolada, ¿cuánto tiempo en
promedio deberá esperar para ser atendida?
W
W >0
W
d
=
=
p(Wait > 0) n − A
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
108
Generalizaciones
Teoría e Ingeniería de
Teletráfico
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
Notación de Kendall
David George Kendall fue un matemático
especializado en estadística
En 1953 Propuso una notación para
describir modelos de encolamiento
generales, según
La
distribución del proceso de arribos
La distribución de la duración del servicio
El número de “recursos”
David George Kendall
1918-2007
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
110
Notación de Kendall
Notación: A/B/n
A = Proceso de Arribos
B = Distribución del tiempo de servicio
n = número de recursos
Los valores de A y B pueden ser:
M
= Proceso “Markoviano” (Poisson, distribución
exponencial)
D = Determinística
G = General (Distribución arbitraria)
Otros…
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
111
Notación de Kendall - Ejemplo
M/M/n
Sistema
de “chance pura” con proceso de arribo de
Poisson, tiempos de servicios con distribución
exponencial y un número n finito de recursos
M/M/∞
Sistema
de “chance pura” con proceso de arribo de
Poisson, tiempos de servicios con distribución
exponencial y un número infinito de recursos
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
112
Notación de Kendall – Extensión
A/B/n/K/S/X
K = Capacidad total del sistema (K – n = número
de posiciones para la cola de espera)
S = Número de “fuentes” generadoras de tráfico
X = Comportamiento de la cola
FIFO,LIFO,…
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
113
Tráfico de desborde
Es el tráfico que no puedo ser cursado por una
red y es derivado a otra red
Usuarios
Tráfico
Ofrecido
Desborde
¿Se puede aplicar Erlang-B al tráfico
sobre la Red 2?
Red 1
Tráfico
Cursado
Usuarios
Red 2
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
114
Ejemplo
Red 1, n=16
Tráfico
Ofrecido
Perdido
A=10E
1
2
2.2%
8
9
15
16
Tráfico ofrecido: A = 10 Erlang
Red 1: n=16 recursos
EB(n,A)=0.022 = 2.2% de
probabilidad de bloqueo
Tráfico total perdido=10 E x 0.022
= 0.22 E =
2.2% del tráfico total ofrecido
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
115
Ejemplo
A=3.4E
Desborde
Red 1, n=8
Tráfico
Ofrecido
2
Perdido
A=10E
1
Red 2, n=8
8
9
15
16
Tráfico ofrecido Red 1: A = 10 E
Red 1: n=8 recursos
EB(n,A)= 0.34 = 34% probabilidad
de bloqueo
Tráfico perdido Red 1=10 x 0.34 =
3.4 E = Trafico ofrecido a Red 2
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
116
Ejemplo
A=3.4E
Desborde
Red 1, n=8
Tráfico
Ofrecido
Perdido
A=10E
1
2
0.49%
Pero el
valor real
es 2.2%!!
Red 2, n=8
8
9
15
16
Tráfico ofrecido Red 2: A = 3.4 E
Red 2: n=8 recursos
EB(n,A)= 0.0145 = 1.45% de
probabilidad de bloqueo
El tráfico perdido en la red 2 es
Alost=3.4 x 0.0145= 0.049 E
= 0.49% del tráfico total ofrecido
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
117
Tráfico de desborde
El tráfico de desborde no cumple las hipótesis
de Erlang-B
Es un tráfico que presenta características de
“ráfagas”, en los momentos en que la Red
anterior está completa.
Fue estudiado por Roger I. Wilkinson (en 1956)
y por G. Bretschneider (en el mismo año)
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
118
Ejemplos
Teoría e Ingeniería de
Teletráfico
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
Ejemplo 1
Una Empresa desea incorporar un sistema de
“correo de voz” en su red, para todos sus usuarios
Se sabe que
Hay 1000 usuarios que utilizarán el correo de voz
Cada comunicación con el correo de voz tiene una
duración media de 2 minutos
Por cada usuario, se espera que el correo de voz atienda
en promedio 1 llamada en la hora pico
Se acepta que de 100 intentos, 1 no consiga conectarse
¿Cuántos “canales” se requieren en el “correo de
voz”?
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
120
Ejemplo 1
Habrán 1.000 llamadas por hora, de 2 minutos
de duración
A=λd = 1000 . 120/3600 = 33.3 E
¿Qué modelo aplicamos?
Erlang-B
Engset
Erlang-C
…
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
121
Ejemplo 1
A=33.3
60
N=45
utilizando
Erlang B
n (cantida de recursos)
55
Erlang B
50
N=44
utilizando
Engset
45
Engset 1000 usuarios
40
35
30
0
0.1
p- probabilidad de bloqueo
0.2
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
122
Ejemplo 1
Utilizando las tablas de Erlang-B
© Dr. Ing. José Joskowicz, 2014
123
Engset vs Erlang-B
A=33.3
60
Erlang-B
n (cantida de recursos)
55
Engset 1000 usuarios
50
Engset 500 usuarios
Engset 200 usuarios
45
Engset 100 usuarios
40
Engset 50 usuarios
35
30
25
20
0
0.1
p- probabilidad de bloqueo
0.2
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Ejemplo 2
Una Empresa desea incorporar un sistema de
“correo de voz” en su red, para todos sus usuarios
Se sabe que
Hay 1000 usuarios que utilizarán el correo de voz
Cada comunicación con el correo de voz tiene una
duración media de 2 minutos
Por cada usuario, se espera que el correo de voz atienda
en promedio 1 llamada en la hora pico
Se acepta que de 100 intentos, 1 se vea demorada hasta
ser atendida
¿Cuántos “canales” se requieren en el “correo de
voz”?
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Ejemplo 2
Habrán 1.000 llamadas por hora, de 2 minutos
de duración
A=λd = 1000 . 120/3600 = 33.3 E
¿Qué modelo aplicamos?
Erlang-B
Engset
Erlang-C
…
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Ejemplo 2
A=33.3
60
N=48
utilizando
Erlang C
n (cantida de recursos)
55
50
Erlang C
45
40
35
30
0
0.1
A=33.3
implica
0.3
N>
34
0.2
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
p- probabilidad de que la llamada sea demorada
0.9
1
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Ejemplo 2
Utilizando las tablas de Erlang-C
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Ejemplo 2
¿Cuál será la demora promedio?
d
120s
W =
EC (n, A) =
0.01 = 0.08s
n− A
48 − 33.33
Si una llamada es demorada, ¿Cuál será su
demora esperada?
W
W >0
W
d
120
=
=
=
= 8.2 s
p(Wait > 0) n − A 48 − 33.3
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Muchas Gracias!
Teoría e Ingeniería de
Teletráfico
Dr. Ing. José Joskowicz
josej@fing.edu.uy
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