UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA AGRÍCOLA DEPTO. DE AGROINDUSTRIAS Juan Carlos Sandoval Avendaño PAUTA TEST Nº 3 CÁLCULO INTEGRAL + EDO INGENIERÍA AGROINDUSTRIAL INGENIERÍA AMBIENTAL INGENIERÍA EN ALIMENTOS NOMBRE :___________________________________________ PTOS. :________ TIEMPO MÁXIMO : 30 MINUTOS FECHA : Vi 04/04/14 1) Obtenga el valor medio de 0 ÐBÑ œ -9=Ð#BÑ =/8Ð$BÑ con B − ’!ß 1# “ (30 puntos). Solución: Recordemos que el valor medio Z Q de una función 0 ÐBÑ en el intervalo +ß ,‘ está dado por " Z Q œ ,+ '+, 0 ÐBÑ .B Luego el valor medio de 0 ÐBÑ œ -9=Ð#BÑ =/8Ð$BÑ con B − ’!ß 1# “ es ZQ œ " 1 ! # '! 1 # # -9=Ð#BÑ =/8Ð$BÑ .B œ 1# '! -9=Ð#BÑ =/8Ð$BÑ .B Calculemos ahora 1 ' -9=Ð#BÑ =/8Ð$BÑ .B Para resolver esta integral es necesario recordar la identidad trigonométrica À -9=Ð!Ñ =/8Ð" Ñ œ "# ’=/8Ð! " Ñ =/8Ð! " Ñ“ Luego con ! œ #B y " œ $Bß se tiene que À 1 " # ' =/8Ð&BÑ .B "# ' =/8ÐBÑ .B œ Š "# ‹Š "& ‹ -9=Ð&BÑ Š "# ‹-9=ÐBÑ - œ " "! -9=Ð&BÑ #" -9=ÐBÑ - Volviendo al valor medio se tiene que: ZQ œ # " 1 ’ "! # 1 '! 1 # -9=Ð#BÑ =/8Ð$BÑ .B œ # " " 1 ’ "! -9=Ð&BÑ # 1 # -9=ÐBÑ“ œ ! "# “ œ 1# ’ $& “ œ &'1 Finalmente el valor medio de ' Z Q œ &1 0 ÐBÑ œ -9=Ð#BÑ =/8Ð$BÑ con B − ’!ß 1# “ es ú 2) Muestre que À '! 1 % =/- $ Ð)Ñ . ) ! (30 puntos). ' =/-$ Ð)Ñ .) Solución: œ ' =/- # Ð)Ñ =/-Ð)Ñ . ) Usando integración por partes : w œ =/- # Ð)Ñ Ê : œ >1Ð)Ñ ; œ ? œ =/-Ð)Ñ Ê ; w œ =/-Ð)Ñ >1Ð)Ñ ' =/-$ Ð)Ñ .) œ =/-Ð)Ñ >1Ð)Ñ ' =/-Ð)Ñ >1Ð)Ñ >1Ð)Ñ .) œ =/-Ð)Ñ >1Ð)Ñ =/-Ð)Ñ >1Ð)Ñ =/-Ð)Ñ >1Ð)Ñ ' =/-Ð)Ñ >1# Ð)Ñ .) œ ' =/-Ð)Ñ’=/-# Ð)Ñ "“.) œ ' ’=/-$ Ð)Ñ =/- Ð)Ñ“.) œ 2 =/-Ð)Ñ >1Ð)Ñ ' =/-$ Ð)Ñ .) ' =/- Ð)Ñ .) Pero, usando la sustitución ? œ =/- Ð)Ñ >1Ð)Ñ se obtiene: Ð)Ñ >1Ð)Ñ ' =/- Ð)Ñ .) œ ' =/- Ð)Ñ’ =/' .?? œ 68Ð?Ñ œ 68’=/- Ð)Ñ >1Ð)Ñ“ =/- Ð)Ñ >1Ð)Ñ “ . ) œ Pues ? œ =/- Ð)Ñ >1Ð)Ñ Ê .? œ ’=/- Ð)Ñ>1Ð)Ñ =/- # Ð)Ñ“. ) .? œ ’>1Ð)Ñ =/- Ð)Ñ“=/- Ð)Ñ . ) Así ' =/-$ Ð)Ñ .) œ =/-Ð)Ñ >1Ð)Ñ ' =/-$ Ð)Ñ .) 68’=/- Ð)Ñ >1Ð)Ñ“ Ê #' =/- $ Ð)Ñ . ) œ =/-Ð)Ñ >1Ð)Ñ 68’=/- Ð)Ñ >1Ð)Ñ“ Ê ' =/-$ Ð)Ñ .) œ "# =/-Ð)Ñ >1Ð)Ñ "# 68’=/- Ð)Ñ >1Ð)Ñ“ Luego ' =/-$ Ð)Ñ .) œ "# =/-Ð)Ñ >1Ð)Ñ "# 68’=/- Ð)Ñ >1Ð)Ñ“ - , con - una constante real cualquiera. Calculemos ahora '! 1 % $ =/- Ð)Ñ . ) œ '! 1 % =/- $ Ð)Ñ . ) " # =/-Ð)Ñ >1Ð)Ñ " # 68’=/- Ð)Ñ >1Ð)Ñ“ º 1 % œ ! "È # # "# 68’È# "“ ! "# 68’"“ œ "# È# "# 68’È# "“ ! ! œ "È # # "# 68’È# "“ ¸ "Þ"%() ! ú 3