COORDENADAS ¿Cómo ubicar rectas y planos? 1. Introducción 5 2

Enrique R. Aznar
Dpto. de Álgebra
COORDENADAS
¿Cómo ubicar rectas y planos?
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1.
2.
Introducción
Goniometría plana
Ejemplo 1
Definición 1
Definición 2
3. Direcciones horizontales
3.1. Convenio Matemático
3.2. Referencia Magnética
3.3. Referencia Geográfica
3.4. Otras referencias
3.5. Azimut
Definición 3
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4
5
6
6
6
6
7
7
7
8
9
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10
11
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3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
Rumbo
Demora
Convenio de rumbos
Azimut inverso. Contrarumbo
Definición 4
3.10. Dirección geológica o Strike
Definición 5
3.11. Conversiones
4. Ángulos verticales
Definición 6
5. Coordenadas rectangulares
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
Ejemplo 8
5.1. Cálculo del buzamiento/dirección
5.1.1. Método alternativo
Ejemplo 9
Ejemplo 10
5.2. Determinación de un vector a partir de β/α
Definición 7
Teorema 1
Ejemplo 11
12
12
13
14
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15
15
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17
17
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18
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23
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5.3.
Rectas en 3D
Definición 8
Lema 1
Ejemplo 12
5.4. Determinación β/α de una recta
Definición 9
Ejemplo 13
Ejemplo 14
Ejemplo 15
5.5. Planos en 3D
Definición 10
Ejemplo 16
Definición 11
Ejemplo 17
5.6. Buzamiento/Dirección de un plano
Definición 12
Ejemplo 18
Lema 2
Definición 13
Teorema 2
Definición 14
Definición 15
Ejemplo 19
26
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6.
7.
Ejemplo 20
Ejercicios.
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
Ejercicio 4
Ejercicio 5
Ejercicio 6
Ejercicio 7
Ejercicio 8
Ejercicio 9
Ejercicio 10
Ejercicio 11
Ejercicio 12
Test de repaso.
36
38
38
38
38
39
39
39
39
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40
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1. I NTRODUCCIÓN
Enrique R. Aznar
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El espacio que nos rodea se puede modelar como un espacio de 3 dimensiones. Se reconoce así desde el s. XVII, aunque sus orígenes se pierden en
la antigüedad y su formalización, como el conjunto R3 , es del s.XIX.
Así para describir el tamaño de un objeto en nuestro mundo necesitamos 3
números reales positivos (ancho, alto, profundo). Para posicionarlo, necesitamos otros1 3, previamente elegido un origen y 3 direcciones de referencia.
Un punto sobre la superficie de la tierra, la vertical hacia el espacio (Cenit),
la dirección al polo Norte (Geográfico, Magnético o Cartográfico) y la dirección hacia la derecha (Este) mirando al norte, es un sist. de ref. local2.
El centro de la tierra y las direcciones hacia el polo norte3, hacia el punto
vernal4 y la perpendicular a ambas es un sist. de ref. geocéntrico.
El centro del sol, la dirección de su polo norte (PNS), la dirección del punto
vernal y la perpendicular a ambas es un sist. de ref. heliocéntrico5.
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1Pueden ser números positivos o negativos.
2Sus coordenadas se llaman horizontales cuando no importa la distancia al origen.
3Decimos polo norte terrestre, PNT, o celeste, PNC.
4Se llaman ecuatoriales y horarias cuando no importa la distancia al origen. Si en vez
del punto vernal, se elige la dirección a Greenwich, se llaman coordenadas geográficas.
5Sus coordenadas se llaman eclípticas cuando no importa la distancia al origen.
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2. G ONIOMETRÍA PLANA
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Dpto. de Álgebra
Un ángulo plano tiene 3 características. Su origen. Su medida positiva. Y su
sentido a derechas o izquierdas, desde la dirección de referencia, su signo.
Elegido el origen O y la línea de referencia, p.ej, ON u OX, para medir un
ángulo sólo necesitamos su vector OB de dirección desde el origen.
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N
B
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60◦
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30◦
O
X
Un vector OB da lugar a distintos ángulos y medidas al cambiar la referencia
y el sentido. Todas son equivalentes y miden la misma dirección de OB.
Ejemplo 1. En el dibujo, vemos que el vector OB da lugar, al menos, a dos
medidas distintas, α = 60◦ , θ = 30◦ , cuya relación es α + θ = 90◦ .
Definición 1. Dos medidas de una dirección se consideran equivalentes si
se diferencian en el convenio de medida. En el dibujo, α = 60◦ ' θ = 30◦ .
Definición 2. Dos medidas se consideran iguales si se diferencian en múltiplos de 360◦ (tienen las mismas razones). Por ej., α = 60◦ = 420◦ = −300◦ .
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3. D IRECCIONES HORIZONTALES
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Para medir direcciones, lo que se hace es elegir un convenio y por tanto un
ángulo medible. Se miden ángulos horizontales y verticales. Los horizontales se miden en un plano perpendicular a la vertical, horizonte del lugar,
y son una de las medidas más comunes en topografía, geología, etc.
Hay 3 tipos de convenios para medir ángulos horizontales, según su línea
de referencia y su sentido de rotación. El primero es el único que mide a
izquierdas como sentido positivo. Los otros 2 convenios comparten el sentido a derechas como sentido positivo y reflejan la práctica tradicional6.
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3.1. Convenio Matemático. 7 Los ángulos se miden desde el lado positivo del
eje de abscisas X (Este) y en sentido levógiro, antihorario o progrado. Esto
quiere decir que los ángulos son positivos cuando se miden a izquierdas.
Así, la dirección OB del dibujo habría que medirla como el ángulo, θ = 30◦ .
Una medida del mismo ángulo es, θ = 30 − 360 = −330◦ .
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3.2. Referencia Magnética. Nuestro planeta está rodeado por un campo magnético. Se cree que se origina en las corrientes de la región ígnea de la Tierra,
a consecuencia del movimiento de partículas cargadas eléctricamente.
6
7
Aunque, en navegación aérea y naval a veces se miden rumbos con distintos sentidos.
Este convenio se usa para el cálculo en todas calculadoras y ordenadores.
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El campo magnético de la Tierra hace que el planeta se comporte como un
gran imán cuyo polo sur se encuentra al Norte del planeta. Así, el polo
norte de una aguja imantada (brújula) señala hacia ese punto de la Tierra,
brindando una línea más o menos estable.
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Los Polos Magnéticos se definen como el punto en la superficie de la Tierra
donde las líneas del campo magnético son perpendiculares a la superficie.
La línea está determinada por el punto de observación (estación) y el Polo
Norte Magnético8 (NM). El sentido es a derechas, dextrógiro, horario o
retrógrado. La dirección OB, del dibujo, habría que medirla como el ángulo
de α = 60◦ . Una medida del mismo ángulo es, α = 60 − 360 = −300◦ .
El campo magnético de la Tierra está sujeto a variaciones seculares, a lo
largo de las eras geológicas, anuales, e incluso diarias. También, se producen
inversiones magnéticas que consisten en cambio diametral de la posición de
los polos magnéticos. En la actualidad no se usa en medidas de precisión.
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3.3. Referencia Geográfica. Los Polos Geográficos de la Tierra se definen como
los puntos en su superficie que se cortan con el eje de rotación del planeta.
El Norte Geográfico, verdadero o franco (NG) es más usado. No presenta
variaciones como los polos magnéticos, el inconveniente es que debe establecerse con levantamientos de precisión, o ser medido con GPS. El sentido es
8
La mayoría de brújulas señalan el Polo Norte Magnético, que actualmente se ubica sobre
territorio canadiense, cerca de 1 800 km al Sur del Polo Norte Geográfico.
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a derechas, dextrógiro, horario o retrógrado. Igual que antes, la dirección
OB del dibujo habría que medirla como el ángulo, α = 60◦ .
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A veces, se miden direcciones sobre un mapa. La línea de referencia la marca
el Norte cartográfico (NC) y el sentido es a derechas9.
3.4. Otras referencias. A veces, se opta por escoger un punto o una línea más
o menos estable cerca o en el interior de la zona de trabajo como referencia arbitraria. Puede ser la arista de una edificación, un detalle geológico.
Cualquiera que pueda ser fácilmente reconocible y utilizable.
Cuando se usa una referencia arbitraria debe anotarse en los registros de
campo, junto con su descripción y su sentido dextrógiro o levógiro.
3.5. Azimut. Como hay 3 nortes, el magnético que se mide con brújula, el geográfico con medidas astronómicas o GPS y el cartográfico, sobre un mapa. Se
usa uno de los 3, adoptando el sentido dextrógiro como positivo y midiendo
los ángulos en grados sexagesimales de 0◦ a 360◦ .
El ángulo que se obtiene se llama azimut o acimut10. Aunque cambie el
norte, siempre se mide sobre un plano horizontal.
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9
La numeración de los cuadrantes es diferente según el convenio. Así, es mejor, notarlos
geográficamente como NE, NW, SW y SE.
10Palabra que proviene del árabe clásico, assumut (dirección o cenit), plural de samt.
Así, se proyecta sobre él una dirección tridimensional y se obtiene un vector
desde el punto de observación o del mapa (origen), que tiene el Norte (N)
arriba, el Este (E) a la derecha, el Sur (S) abajo y el Oeste (W) a la izquierda.
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El sentido positivo es el horario. O sea, N-E-S-W. Además, la dirección Este,
desde el origen, siempre es el eje X matemático. Así, podemos transformar
ángulos matemáticos θ en azimutes α, y recíprocamente. La fórmula vista
en la sección anterior es α + θ = 90◦ , válida para cualesquiera valores.
Definición 3. Si se mide desde el NG, se llama Acimut verdadero (Azv) o
real. Desde el NM se llama Acimut magnético (Azm o Azc11). Si se calcula
sobre un mapa, a partir del NC, se llama Acimut cartográfico.
Con cualquier norte, las direcciones principales son:
Dirección Norte Nornoreste
Noreste Estenoreste
◦
◦
Azimut
0
22.5
45◦
77.5◦
Dirección Este
Estesureste
Sureste
Sursureste
Azimut
90◦
112.5◦
135◦
157.5◦
Dirección Sur
Sursuroeste Suroeste Oestesureste
Azimut
180◦
202.5◦
225◦
247.5◦
Dirección Oeste Oestenoroeste Noroeste Nornoroeste
Azimut
270◦
292.5◦
315◦
337.5◦
11En inglés, compass = brújula.
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Ejemplo 2. Si en un mapa, se conoce que la cuadrícula es de 1 km, y tenemos
N
B
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α
como en el dibujo. Su
dos puntos O y B, marcados O
azimut cartográfico vale, Azc = arctan(5/3) ' 59.04◦ .
Ejemplo 3. Si en el pie del mapa, se da la convergencia de cuadrícula,
ω = −0◦ 260 53" = −1613", podemos calcular su azimut verdadero que vale,
Azv = Azc + w = 59.04 ∗ 60 ∗ 60 − 1613 = 210931" ' 58.59◦ .
Análogamente, si se conoce por las indicaciones del mapa que la declinación
magnética es, δ = 1◦ 31.20 W = 91.20 W. Entonces, podemos calcular su azimut magnético, Azm = Azc + δ = 59.04 ∗ 60 + 91.2 = 3655.20 ' 60.92◦ .
Ejemplo 4. Si se calculan los 3 ángulos matemáticos, se obtiene
θc = 90 − 59.04 = 30.96◦ , θv = 90 − 58.59 = 31.41◦ , θm = 90 − 60.92 = 29.08◦
Los azimutes se suelen denotar indicando los puntos N y E.
Así, los 3 calculados son Azc = N59.04◦ E, Azv = N58.59◦ E, Azm = N60.92◦ E
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En astronomía, se usa el Azv. O sea, el ángulo o longitud de arco medido
sobre el horizonte que forman el Norte Geográfico (NG) y la proyección
vertical del astro sobre el horizonte del observador situado en alguna latitud.
Se mide en grados desde el NG en el sentido de las agujas del reloj, o sea
Norte-Este-Sur-Oeste. Por proyección vertical, entendemos el corte con el
horizonte que tiene el círculo máximo que pasa por el cenit y el astro.
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Es una de las dos coordenadas horizontales, siendo la otra la altura en grados sobre el horizonte. La altura y el acimut son coordenadas que dependen
de la posición del observador12. Dichas coordenadas son locales.
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3.6. Rumbo. En las cartas de navegación aéreas, se usa el Azm y se le llama
rumbo. Aunque, hay una pequeña diferencia de notación en su uso.
Para la conversión rumbo/acimut, es necesario conocer la declinación magnética, Dm o δ. El Acimut es el rumbo más la declinación magnética Az =
Rm + δ. Tomando la declinación magnética al Este positiva y al W negativa.
3.7. Demora. La toma de ángulos horizontales en el vocabulario marinero se denomina marcación. En los buques, se mide también el Azm o Azc, llamado
Demora de aguja (Da)13. Y se calcula el Azv o Demora verdadera (Dv).
La Dv es la Da corregida con la corrección total (Ct), Dv=Da+Ct. Como las
cartas náuticas usan la proyección Mercator, su NC = NG. Su convergencia
de cuadrícula es cero y sólo hay que tener en cuenta la declinación magnética
para poder trazarla en la carta náutica.
12
Un astro es visto bajo diferentes coordenadas, en puntos diferentes de la Tierra.
13Ángulo medido desde el NM, en sentido horario, hasta un objeto, faro, astro, etc.
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Así, la corrección total, Ct, es la suma de la declinación magnética Dm o
δ, diferencia entre los nortes geográfico y magnético, y el desvío de aguja,
desvío producido por las masas metálicas y aparatos del barco.
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3.8. Convenio de rumbos. En el uso práctico, el rumbo de una línea es el ángulo
horizontal agudo (<90°) que forma con un meridiano de referencia14.
Así, tenemos una línea Línea Norte-Sur centrada en el punto O (estación), y
una cruz que señala los cuatro puntos cardinales.
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N
C
45◦
A
Contenido
30◦
W
D
E
60
◦
30
II
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I
◦
B
S
Los 4 rumbos del dibujo, se escriben N30◦ E, S30◦ E, N45◦ W y S60◦ W. Como
se observa, los rumbos se miden desde el Norte (línea ON) o desde el Sur
(línea OS), en el sentido horario si el rumbo se encuentra sobre el cuadrante
NE o SW. O antihorario. si corresponde al cuadrante NW o SE.
14
JJ
Línea Norte-Sur que puede estar definida por uno de los 3 nortes. Suele ser el NM.
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La conversión rumbo/azimut se hace mirando el dibujo. En el primer cuadrante la notación es la misma. Pero cambia en los otros tres. Así, para las
direcciones anteriores se tiene la equivalencia Az-Rm :
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Dpto. de Álgebra
N150◦ E ' S30◦ E, N240◦ E ' S60◦ W y N315◦ E ' N45◦ W.
N
C
A
30◦
W
D
45◦
A
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30◦
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315◦
150◦
240
N
C
E
W
Contenido
◦
B
S
E
D
30◦
60◦
B
S
3.9. Azimut inverso. Contrarumbo. La notación abreviada de rumbo, sirve
también para calcular fácilmente contradirecciones
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Definición 4. Dada una dirección OA, llamamos dirección opuesta o contradirección a la del vector AO. Donde ahora, A es el origen.
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Análogamente, cuando se trata del rumbo del mismo segmento, pero observado desde el extremo opuesto se habla de rumbo inverso o contra-rumbo.
Cuando se trata con azimutes se dice azimut inverso (se suma o resta 180◦ ).
Convertir rumbos a sus contra-rumbos es muy sencillo, lo único que hay que
hacer es cambiar la letras que indica el cuadrante por su contraria, es decir N
por S (o viceversa) y E por W (o viceversa)15. Así, se tiene
Dirección
OA
OB
OD
OC
◦
◦
◦
Rumbo
N30 E S30 E S60 W N45◦ W
Cotradirección
AO
BO
DO
CO
◦
◦
◦
Contrarumbo S30 W N30 W N60 E E45◦ E
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Dpto. de Álgebra
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3.10. Dirección geológica o Strike. Un convenio usado en Geología, para denotar
direcciones planas es una mezcla entre azimut y rumbo.
Definición 5. Dada una dirección OA, llamamos strike o dirección al ángulo entre 0° y 180° que forma con un meridiano de referencia16.
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Se mide a derechas en los cuadrantes NE y SE y a izquierdas en NW y SW.
Así, no puede haber una dirección geológica mayor de 180◦ . De nuevo, se
especifica el sentido con las letras de los puntos cardinales. P. ej., N120◦ W.
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Así, para las 4 direcciones anteriores se tiene la equivalencia Az-Strike:
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15Ya que los ángulos son iguales, por ser opuestos por el vértice.
16Línea Norte-Sur que puede estar definida por uno de los 3 nortes. Suele ser el NM.
N
C
A
30◦
W
45◦
315◦
D
N
C
150◦
E
240◦
W
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Dpto. de Álgebra
30◦
120◦
150◦
D
B
A
E
B
S
S
N30◦ E, N150◦ E, N240◦ E ' N120◦ W y N315◦ E ' N45◦ W.
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3.11. Conversiones. A veces, por el método de cálculo, obtenemos una dirección
en formato no convencional. Por ej., γ = S120◦ W. Es necesario, entonces,
saber transformar la dirección a los formatos tradicionales
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N
A
W
γ = 120
N
A
θ = 150◦
E
◦
S
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60◦
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Az = 300
W
◦
E
S
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Dpto. de Álgebra
4. Á NGULOS VERTICALES
Para medir ángulos verticales el convenio natural es medir el ángulo de la
dirección dada con un plano horizontal. No puede haber ángulos mayores de
90°, pero según la disciplina cambia en signo del ángulo. Así, en Geología,
dada una dirección OA, donde O es el punto de observación y A el observado.
Definición 6. Se llama ángulo de buzamiento (β), al que forma con la horizontal si la dirección es descendente. O ese valor negativo, si es ascendente.
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En Astronomía, donde A suele ser un astro por encima del horizonte. Se
llama altura (h), al valor positivo del ángulo que forma con la horizontal si
A está por encima del horizonte y negativo al contrario. O sea,
Cenit
Cenit
B
β = −30◦
A
h = 45◦
β = 30◦
A
Nadir
h = −45◦
B
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JJ
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Nadir
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Para el cálculo de ángulos entre dos vectores, u = OA, v = O’A’, usaremos el
c
producto escalar con al fórmula u • v = kukkvk cos(uv))
5. C OORDENADAS RECTANGULARES
Enrique R. Aznar
Dpto. de Álgebra
Para hallar los azimutes de cualquier dirección en un mapa, necesitamos
hallar las tres coordenadas de los puntos que definen la dirección OA. Así,
se halla el vector restando las coordenadas de ambos puntos. Se tiene un
vector con origen O, y un sistema de referencia local centrado en O.
Por definición, la dirección del norte (NC) es la del vector OY = (0, 1, 0). El
Este, la del vector OX = (1, 0, 0). Mientras que la del cenit es OZ = (0, 0, 1).
z = C eni t
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O
y = Nor t e
A
x = E st e
El vector OA es de 3 dimensiones. Pero como la diferencia de alturas de dos
puntos cercanos en un mapa es pequeña, Las dos coordenadas x, y, que se
calculan usando la cuadrícula del mapa, son mucho mayores que la tercera
coordenada, que es la diferencia de cotas y sale un vector casi horizontal.
JJ
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Ejemplo 5. Para hallar la dirección OA entre Cerro Longo y el pico de
San Pedro, y el sist. de ref. local. Usamos un trozo del mapa, 1:50 000
Torrelaguna del IGN. La retícula UTM, para esta escala, es de 1 km.
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Enrique R. Aznar
Dpto. de Álgebra
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Tomamos las coordenadas del punto origen (Cerro Longo), O = (0,0,0).
Medimos horizontalmente sobre el mapa la diferencia de coordenadas entre
los puntos y obtenemos 0.7 km, que es la 1ª coordenada del punto A. También, medimos verticalmente la diferencia, 2.7 km, que es la 2ª coordenada
de A. Finalmente, restando las cotas de ambos, obtenemos la 3ª coordenada
Enrique R. Aznar
Dpto. de Álgebra
1425 − 1044 = 381 m = 0.381 km
Luego, las coordenadas rectangulares de A en km, son (.7, 2.7, .381). Que
coinciden con las del vector de dirección
v= OA = A - O = (.7, 2.7, .381) − (0, 0, 0) = (.7, 2.7, .381)
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Ejemplo 6. Para hallar el Azc de la dirección entre Cerro Longo y el pico
de San Pedro. Usamos la dirección norte cartográfico del mapa de Torrelaguna, que por el sist. de ref. local, es la del vector n = OY = (0, 1, 0).
También, la proyección horizontal de nuestra dirección OA, que es el vector
con las 2 primeras coordenadas iguales y cero la tercera. w = (.7, 2.7, 0)
Contenido
Podemos resolver un triángulo rectángulo para hallar el Azimut cartográfico
µ
¶
.7
= 14.5345◦
Azc = Ar cTan
2.7
También podemos usar la fórmulapdel producto escalar:
.72 + 2.72 + 02 cos(Azc) = 2.78927 cos(Azc)
¶
µ
2.7
Azc = Ar cC os
= 14.5345◦
2.78927
2.7 = n•w = knkkwk cos(Azc) =
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Ejemplo 7. Para hallar el Azv de la dirección entre Cerro Longo y el pico
de San Pedro. Usamos la convergencia de cuadrícula del pie del mapa de
Torrelavega, ω = −0◦ 260 53" = −1613". O sea, el NG está al Este. Así,
Azv = Azc + ω = 14.5345 ∗ 60 ∗ 60 − 1613 = 50711.2" ' 14.1◦ .
Análogamente, si se conoce por las indicaciones del mapa que la declinación
magnética es, δ = 1◦ 31.20 W = 91.20 W. Entonces, podemos calcular su azimut magnético, Azm = Azc + δ = 14.5345 ∗ 60 + 91.2 = 963.270 ' 16.06◦ .
Ejemplo 8. Si se calculan los 3 ángulos matemáticos, se obtiene
θc = 90 − 14.54 = 75.46◦ , θv = 90 − 14.1 = 75.9◦ , θm = 90 − 16.06 = 73.94◦
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y el ángulo matemático más grande corresponde al NG o verdadero.
Buzamiento es el ángulo βO A formado entre el vector tridimensional v =
(.7, 2.7, .381) y su proyección horizontal w = (.7, 2.7, 0). Lo podemos calcular
de 2 formas. O bien, resolviendo un triángulo rectángulo
¶
µ
.381
= 7.778◦
Azc = Ar cTan p
2
2
.7 + 2.7
O bien, por la fórmula
del producto
p
p escalar, despejando el coseno
7.78 = v • w =
.72 + 2.72 + .3812 .72 + 2.72 cos(β) = 7.85 cos(β)
µ
¶
7.78
Ar cC os
' 7.778◦ =⇒ βO A = −7.778◦ 17
7.85
17Lo tomamos negativo porque A está por encima del O. Buza hacia arriba.
Contenido
JJ
II
J
I
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5.1. Cálculo del buzamiento/dirección. Resumiendo lo que hemos hecho en los
ejemplos anteriores, suponemos que tenemos las coordenadas rectangulares
de dos puntos, O = (o 1 , o2 , o3 ) y A = (a1 , a2 , a3 ). Entonces,
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Para el cálculo del Azimut y/o Strike, se siguen los siguientes pasos :
1) Calculamos las coordenadas del vector de dirección v = OA = A - O =
(v 1 , v 2 , v 3 ) y las de su proyección horizontal, w = (v 1 , v 2 , 0).
2) Tomamos la dirección norte, n = OY = (0, 1, 0) y calculamos n • w .
3) Azimut: Usamos ese producto escalar, para despejar el ángulo horizontal
n•w
knk · kwk
4) Si 0 ≤ v 1 , entonces Azimut = Strike = NαE es la dirección geológica.
En caso contrario, v 1 < 0, el Strike = NαW y el Azimut = N(360 − α)◦ E18.
α = AzO A = Ar cC os
µ
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¶
5) Con el vector v y su proyección w , calculamos su producto escalar v • w .
6) Buzamiento: Usamos ese producto escalar, para despejar el ángulo vertical
µ
¶
β = Ar cC os
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v •w
kvk · kwk
7) Convenio geológico Si la tercera coordenada de v = OA es negativa, v 3 <
0. Entonces, βO A = β es el buzamiento. En caso contrario, es βO A = −β.
18Se puede tomar tanto el Azimut como el Strike, como la dirección de v = OA.
Contenido
JJ
II
J
I
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5.1.1. Método alternativo. También se puede calcular el azimut resolviendo un
triángulo rectángulo, de forma que se obtiene una fórmula que sustituye a
los pasos 2), 3) y 4) cuando el vector cae en el primer cuadrante.
v1
α = Ar cTan
v2
µ
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¶
Para el cálculo del buzamiento, en lugar del producto escalar, también se
puede resolver otro triángulo rectángulo, de forma que se obtiene la fórmula


v3


β = −Ar cTan  q

v 12 + v 22
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Contenido
que sustituye los pasos 5), 6) y 7).
JJ
II
Ejemplo 9. Para el vector v = (1, 2, −3), su proyección w = (1, 2, 0) cae en el
primer cuadrante, calculando los productos escalares, se obtienen
J
I
¶
µ
¶
n•w
2
= Ar cC os p
Azimut = α = Ar cC os
= 26.5651◦
2
2
knk · kwk
1 +2
µ
¶
¶
µ
v •w
5
Buzamiento = β = Ar cC os
= 53.3008◦
= Ar cC os p p
kvk · kwk
5 14
µ
Con el método alternativo, se obtiene lo mismo
µ ¶
µ
¶
1
−3
◦
α = Ar cTan
= 26.5651 , β = −Ar cTan p
= 53.3008◦
2
12 + 22
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5.2. Determinación de un vector a partir de β/α. Como hemos visto en el
apartado anterior, un vector v determina un buzamiento/strike, β/α. El
recíproco es cierto, la semirecta del vector v se determina por β/α.
Como el coseno de dos vectores es independiente de múltiplos escalares19, y
el cálculo tanto de α como de β depende de un signo de una coordenada. Se
deduce que cualquier múltiplo positivo λ · v (con 0 < λ ∈ R) tiene el mismo
buzamiento buzamiento/strike (β/α)20 que v.
Definición 7. Al conjunto {λ · v : λ ∈ R } se le llama la semirecta de v.
Al conjunto opuesto, {λ · v : λ ∈ R− }, se le llama la semirecta opuesta de v.
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+
Dado un vector v = (v 1 , v 2 , v 3 ), si lo multiplicamos por λ =
q 1
v 12 +v 22
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Contenido
que es
un escalar positivo, obtenemos otro vector λv = (λv 1 , λv 2 , λv 3 ) que satisface
JJ
II
(λv 1 )2 +(λv 2 )2 = λ2 (v 12 +v 22 ) =
J
I
v 12 +v 22
v 12 +v 22
= 1 y tiene el mismo buzamiento/strike.
Supongamos ahora, dos vectores v = (v 1 , v 2 , v 3 ), u = (u 1 , u 2 , u 3 ) con el mismo
buzamiento/strike, β/α, y que u 12 + u 22 = 1 = v 12 + v 22 . Así, sus proyecciones
horizontales, w = (v 1 , v 2 , 0), w 0 = (u 1 , u 2 , 0) tienen norma 1 y por tanto
¶
µ
¶
n•w
n • w0
Ar cC os(v 2 ) = Ar cC os
= α = Ar cC os
= Ar cC os(u 2 )
knk · kwk
knk · kw 0 k
µ
19
En el cociente, aparece arriba un vector y abajo su norma. Además, cos(θ) = cos(−θ).
20En cambio, el vector opuesto -v, o cualquier múltiplo negativo suyo, cambia el signo
del buzamiento (−β) y cambia el azimut α por α + 180◦ .
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O sea, se tiene la igualdad v 2 = cos(α) = u 2 , de donde v 1 = ± sin(α) = u 1 .
Como además, v 1 y u 1 tienen el mismo signo (por tener el mismo α).
Se deducen las igualdades u 1 = sin(α) = v 1 , u 2 = cos(α) = v 2 y se tiene que
v = (sin(α), cos(α), v 3 ),
u = (sin(α), cos(α), u 3 )
w = (sin(α), cos(α), 0) = w 0 =⇒ v • w = 1 = u • w 0
Como además, ambos vectores tienen el mismo buzamiento β
µ
Ar cC os
0
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1
v •w
u•w
1
= Ar cC os
= β = Ar cC os
= Ar cC os
0
kvk
kvk · kwk
kuk · kw k
kuk
¶
µ
¶
µ
¶
1
1
= cos(β) = kuk
=⇒ kvk = cos(β)
= kuk. Ahora, como
q
q
1
= kvk = sin(α)2 + cos(α)2 + v 32 = 1 + v 32 =⇒
cos(β)
se tiene que
v 32 =
µ
¶
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Contenido
1
kvk
2
JJ
II
J
I
2
1
1 − cos (β) sin (β)
−1 =
=
= tan2 (β) =⇒ v 3 = ± tan(β)
2
cos (β)
cos(β)
cos2 (β)
Análogamente, se tiene que u 3 = ± tan(β). Finalmente, como v 3 y u 3 tienen
el mismo signo (por tener el mismo β) y el convenio del signo del buzamiento
es el contrario del matemático, hemos demostrado el
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Teorema 1. [ del vector β/α] El vector v = u = (sin(α), cos(α), − tan(β))
es único en la semirecta β/α, con la condición u 12 + u 22 = 1 = v 12 + v 22 .
Ejemplo 10. Para la dirección entre Cerro Longo y el pico de San Pedro,
v = O A = (.7, 2.7, .381) habíamos calculado su Azimut cartográfico,
α = N14.54◦ E (coincide con su strike), y su buzamiento β = −7.778◦ .
Así, (sin(α), cos(α), − tan(β)) = (sin(14.54◦ ), cos(14.54◦ ), − tan(−7.778◦ )) =
= (0.250963, 0.967997, 0.136595) coincide con el vector
normalizado en la
p
2
semirecta definida por v , ya que si tomamos λ = .7 + 2.72 = 2.78927 y
multiplicamos λ1 v = (0.250962, 0.967997, 0.136595)
5.3. Rectas en 3D. Si se conocen las coordenadas de dos puntos O y A, se puede
dar la ecuación de la recta que se apoya en ambos. Así, se dice que
Definición 8. v = O A = A − O es un vector director de la recta. La recta
definida por ambos, es el conjunto de puntos r O A = {X = O + λ · v : λ ∈ R}
Si O A = A − O = (a1 − o 1 , a2 − o2 , a3 − o3 ), un punto arbitrario de la recta es
X = (x 1 , x 2 , x 3 ) = (o 1 , o 2 , o 3 ) + λ · (a 1 − o 1 , a 2 − o 2 , a 3 − o 3 )
De donde se obtienen las llamadas ecuaciones paramétricas de la recta

x 1 = o 1 + λ(a 1 − o 1 ) 
x 2 = o 2 + λ(a 2 − o 2 )

x 3 = o 3 + λ(a 3 − o 3 )
Despejando λ e igualando, se obtienen las ec. continuas
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Contenido
JJ
II
J
I
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x 1 −o 1
a 1 −o 1
=
x 2 −o 2
a 2 −o 2
=
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x 3 −o 3
a 3 −o 3
Y escribiendo por separado dos de estas igualdades se obtiene la misma recta
como intersección de dos planos. O sea, sus ecuaciones cartesianas.
Si se restan dos puntos cualesquiera de la recta, obtenemos un múltiplo de v
X − X 0 = O + λ · v − (O + λ0 · v) = (λ − λ0 ) · v Así,
Lema 1. Cualquier múltiplo de v es un vector director de la recta. Los múltiplos positivos definen una dirección y los negativos la dirección opuesta.
Ejemplo 11. Para los puntos del mapa anteriores, Cerro Longo O = (0,0,0),
pico de San Pedro A = (.7, 2.7, .381), un vector director es OA = (.7, 2.7, .381).
La recta pasa por el origen de coordenadas local y sus ecuaciones son

x = 0.7λ 
y = 2.7λ
,

z = 0.381λ
x
0.7
=
y
2.7
=
z
0.3813 ,
2.7x − 0.7y
= 0
0.3813x − 0.7z = 0
¾
respectivamente, paramétricas, continuas y cartesianas21. Además, como
vector director de esta recta sirve cualquier múltiplo de v = (.7, 2.7, .381).
Sin embargo, v = (.7, 2.7, .381)22 tiene β = −7.778◦ /α = N14.54◦ E.
Mientras que −v = (−.7, −2.7, −.381) tiene −β = 7.778◦ /α = N194.54◦ E.
21Donde hemos escrito sus coordenadas x, y, z como es costumbre.
22O cualquier múltiplo positivo suyo.
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Contenido
JJ
II
J
I
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5.4. Determinación β/α de una recta. Como una recta tiene dos direcciones
opuestas, en 3D y salvo que sea horizontal, una de ellas será descendente.
Enrique R. Aznar
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Conociendo un punto de apoyo, cualquiera de las dos determina un vector
β/α y con el punto se escriben sus ecuaciones. Pero su dirección descendente
tendrá un buzamiento, 0 < β, y un azimut NαE. Así, llamamos
Definición 9. Dirección de la recta, al β/α de su dirección descendente.
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De esta forma, salen únicos y positivos los ángulos. No es necesario escribir
ningún símbolo de puntos geográficos ni tampoco el símbolo de grados23.
Ejemplo 12. Para la recta del mapa que pasa por Cerro Longo y el pico
de San Pedro, su dirección la hemos calculado en el ejemplo anterior y es
7.778/194.54. O redondeando los decimales de grado, 08/195.
Si una recta en 3D, es horizontal su buzamiento es β = 0 .
Entonces, de sus 2 direcciones se elige la que tiene azimut más chico. Por ej.
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Contenido
JJ
II
J
I
◦
¾
x−y = 0
Ejemplo 13. La recta definida por la intersección
tiene por
z
= 0

x = λ 
ec. paramétricas y = λ , un vector de dirección es u = (1, 1, 0) y su

z = 0
23Por convenio, a veces también, se redondea a los enteros más cercanos.
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p
opuesto es v = (−1, −1, 0). Ambos, son horizontales y tienen norma 2.
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Como la dirección del norte es n = (0, 1, 0) y los productos escalares son
u • n = 1, v • n = −1. Los ángulos que forman con el norte, son24
µ
¶
µ
¶
1
1
◦
αu = Ar cC os p = 45 , αv = Ar cC os − p = 225◦
2
2
Por el convenio anterior, la dirección de la recta horizontal es 00/045.
Ejemplo 14. Para determinar la recta que tiene de dirección 30/225, primero
se escribe su vector β/α, v = (sin(225◦ ), cos(225◦ ), − tan(30◦ )) =
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p
p
p
2
2
3
= (−
,−
,−
) ' (−0, 71, −0.71, −0, 58)
2
2
3
JJ
II
Como no nos dicen ningún punto de apoyo, suponemos el origen O = (0,0,0).
Así respectivamente, sus ec. parámetricas, continuas y cartesianas son
J
I

x = −0.71λ 
y = −0.71λ ,

z = −0.58λ
Contenido
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x
0.71
=
y
0.71
=
z
0.58 ,
x−y
= 0
0.58x + 0.71z = 0
¾
Las ec. paramétricas no son únicas, ya que como vector podemos tomar
cualquier múltiplo escalar de v. Las llamadas implícitas o cartesianas tampoco, porque dependen de como hagamos la eliminación de λ.
24Ya que u está en el 1º cuadrante y v en el 3º.
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5.5. Planos en 3D. Si se conocen las coordenadas de 3 puntos O, A y B en el
espacio, se puede dar la ecuación del plano que se apoya en ellos. Para eso,
lo que hacemos es hallar dos vectores del plano, restando coordenadas
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u = O A = A − O = (a 1 − o 1 , a 2 − o 2 , a 3 − o 3 ) = (u 1 , u 2 , u 3 )
v = OB = B − O = (b 1 − o 1 , b 2 − o 2 , b 3 − o 3 ) = (v 1 , v 2 , v 3 )
Así, se dice que
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Definición 10. u, v son vectores del plano. El plano definido por ellos, es
el conjunto de puntos π = {X = O + λ · u + µ · v : λ, µ ∈ R}
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Contenido
Un punto del plano es X = (x 1 , x 2 , x 3 ) = (o1 , o2 , o3 )+λ·(u 1 , u 2 , u 3 )+µ·(v 1 , v 2 , v 3 )
De donde se obtienen las llamadas ecuaciones paramétricas del plano

x 1 = o 1 + λu 1 + µv 1 
x 2 = o 2 + λu 2 + µv 2

x 3 = o 3 + λu 3 + µv 3
JJ
II
J
I
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Eliminando λ y µ, se obtiene la ecuación cartesiana o implícita del plano
a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + a4 = 0
El vector (a1 , a2 , a3 ) se llama un vector director del plano y se obtiene
calculando el llamado producto vectorial de u , v . O bien, eliminando λ, µ.
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Ejemplo 15. Dados los puntos, O = (0,0,0), A = (1,1,1), B = (1,0,1), los
vectores son, u = O A = (1,
 1, 1), v = OB = (1, 0, 1). Las ec. paramétricas son
¾
x = 0+λ+µ = λ+µ 
x = y +µ
y = 0+λ = λ
de donde
se elimina µ restando y
z = y +µ

z = 0+λ+µ = λ+µ
se obtiene la ec. cartesiana del plano x − z = 0.
Sus coeficientes nos dan un vector director del plano, que es (1, 0, −1).
Observamos que es perpendicular al u y al v , ya que sus productos escalares
(1, 1, 1) • (1, 0, −1) = 1 − 1 = 0,
(1, 0, 1) • (1, 0, −1) = 1 − 1 = 0
En realidad, un vector director del plano es perpendicular a todos los del
plano. Los vectores u , v son del plano pero no son únicos, ya que
Definición 11. Un vector w se dice que pertenece o es un vector del plano,
si existen dos puntos X, X’ del plano tal que w = X 0 − X 25.
Enrique R. Aznar
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Contenido
JJ
II
J
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Ahora, si tenemos 2 puntos del plano X = (x, y, z) ¾y X’ = (x 0 , y 0 , z 0 ), verifi-
ax + b y + c z + d = 0
, y restando miembro a
ax 0 + b y 0 + c z 0 + d = 0
miembro a(x − x 0 ) + b(y − y 0 ) + c(z − z 0 ) = 0, sale cero el producto escalar,
(a, b, c) • (x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 ) = 0, del vector director del plano y un vector
arbitrario, w = X − X 0 , del plano. Por tanto, son perpendiculares.
Atrás
carán su ecuación. O sea,
25Como hay infinitos puntos, hay infinitos vectores del plano.
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0
Se deduce que todo vector w = (w 1 , w 2 , w 3 ) = X − X de un plano satisface
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la ecuación aw 1 + bw 2 + c w 3 = 0 que es la misma ecuación cartesiana (de
los puntos) del plano, ax +b y +c z +d = 0, pero sin el término independiente.
Resumiendo, un plano tiene infinitos puntos e infinitos vectores, que son
diferencia de dos puntos. También, tiene un vector director26 que es perpendicular a todos los vectores del plano.
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Ejemplo 16. El plano definido por la ec. x +2y −z +3 = 0, tiene como vector
director al (1, 2, −1) (o cualquier múltiplo suyo, p.ej. (2, 4, −2)). La ec. de
sus vectores, x + 2y − z = 0, da todos los perpendiculares al vector director.
5.6. Buzamiento/Dirección de un plano. Entre todos los infinitos vectores de
un plano, hay algunos especiales. Así, un vector, v = (v 1 , v 2 , v 3 )
Definición 12. Se dice que es un vector de buzamiento27 si v 3 < 0.
Y se dice que es un vector de nivel del plano si v 3 = 0.
Ejemplo 17. Para el plano anterior, x + 2y − z + 3 = 0, un vector de nivel
debe satisfacer z = 0. Además de la ec. de sus vectores x + 2y − z = 0.
Sustituyendo,
x + 2y = 0 =⇒ x = −2y
Para el valor, y = 1, se obtiene x = −2. Y un vector de nivel es el (−2, 1, 0).
26
No es único, porque sirve también cualquier múltiplo escalar suyo.
27El nombre viene de buzar, inclinar o sumergir. Indica hacia el interior de la tierra.
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Contenido
JJ
II
J
I
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Lo que hemos calculado no es casual. Si ax + b y + c z + d = 0 es la ec. de un
plano, la de su vectores es ax + b y + c z = 0. Si hacemos la intersección con
z = 0, se tiene ax + b y = 0. De donde sale el vector de nivel (−b, a, 0).
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Cualquier otro vector de nivel, tiene que ser solución de ax + b y = 0. Por
tanto, y = − ax
b y eligiendo x = −λb , sale y = λa . O sea,
Lema 2. Todo vector de nivel del plano ax + b y + c z + d = 0 es de la forma
(−λb, λa, 0) = λ(−b, a, 0), un múltiplo escalar de (−b, a, 0).
En consecuencia, un plano tiene dos direcciones de nivel28, la del vector
(−b, a, 0) y la de su opuesto (b, −a, 0). Y sus rectas de nivel son paralelas.
Estas direcciones sirven además para distinguir un vector de buzamiento
Definición 13. Un vector v = (v 1 , v 2 , v 3 ) del plano es de de buzamiento
real, si además de v 3 < 0, es perpendicular a las direcciones de nivel.
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II
J
I
O sea, un vector de buzamiento real tiene que satisfacer la ec. de los vectores
del plano, av 1 + bv 2 + c v 3 = 0 y además u • (−b, a, 0) = −v 1 b + v 2 a = 0, de
donde v 1 b = v 2 a . Luego, si v 2 = λb , se tiene v 1 = λa . Y sustituyendo
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λa 2 + λb 2 + c v 3 = 0 =⇒ c v 3 = −λa 2 − λb 2
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Si tomamos λ = µc obtenemos
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v = (v 1 , v 2 , v 3 ) = (µc a, µcb, −µa − µb ) = µ(c a, cb, −a − b )
2
2
2
2
28Por 7, una recta define dos direcciones opuestas, separadas por 180◦ .
2
2
Ahora, si queremos que su tercera coordenada, v 3 = −µ(a + b ), sea negativa, debe ser 0 < µ ∈ R. Así, para un plano arbitrario, ax + b y + c z + d = 0,
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Teorema 2. El vector de buzamiento real, es único salvo múltiplos positivos.
Definición 14. Al ángulo de buzamiento de v = (c a, cb, −a 2 − b 2 ) se le
llama buzamiento real del plano. Al resto, buzamientos aparentes.
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También, el buzamiento real de ax + b y + c z + d = 0, nos permite definir
Definición 15. [Convenio de la mano derecha]
La dirección del plano es el azimut de uno de los dos vectores (−b, a, 0) y
(b, −a, 0). El que sea menor (en 90◦ ) que el de buzamiento real.
Ejemplo 18. Para el plano anterior, x + 2y − z + 3 = 0, un vector de nivel
era (−2, 1, 0) y el otro su opuesto (2, −1, 0). Su vector de buzamiento real es
v = (ca, cb, −a 2 − b 2 ) = (−1, −2, −12 − 22 ) = (−1, −2, −5).
Como su proyección horizontal es w = (−1, −2, 0). Su buzamiento se calcula
¶
µ
¶
v •w
5
β = Ar cC os
= Ar cC os p
p = Ar cC os(0, 408248) ' 65.9◦
kvk · kwk
30 · 5
µ
Dibujando los dos vectores de nivel y el w en un plano horizontal (XY), se ve
que el está 90◦ antes que el w, es el u = (2, −1, 0). Por tanto, éste es el vector
de dirección del plano y su azimut será el del plano.
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JJ
II
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I
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Como la dirección norte es n = (0, 1, 0). Su azimut se calcula
Enrique R. Aznar
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¶
µ
¶
−1
n •u
= Ar cC os p = Ar cC os(−0, 44721) ' 116.6◦
α = Ar cC os
knk · kuk
5
µ
Y la dirección del plano es N116.6◦ E ' N117◦ E. Como el buzamiento real
era 65.9◦ ' 66◦ , se puede describir el plano con esos dos números 66/117.
N
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(−2, 1)
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α = 117◦
W
(−1, −2)
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E
S
(2, −1)
Si nos dan un plano de la forma β/α, donde β es el buzamiento real del
plano y α es el azimut o dirección del mismo. Se puede escribir el vector de
dirección del plano u = (sin(α), cos(α), 0) y el de buzamiento real
v = (sin(α + 90), cos(α + 90), − tan(β))
Con estos dos vectores del plano y suponiendo que pasa por un punto O =
(o 1 , o 2 , o 3 ), se escriben las ec. paramétricas X = (x 1 , x 2 , x 3 ) = (o 1 , o 2 , o 3 ) + λ ·
(u 1 , u 2 , u 3 ) + µ · (v 1 , v 2 , v 3 ) y después eliminando los parámetros λ, µ se saca
la ec. cartesiana.
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Ejemplo 19. En un mapa geológico, es frecuente indicar algunos planos con
una notación β/α gráfica. Se dibuja una pequeña línea de nivel del plano
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con su
29
azimut correcto .
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29O sea, hay que sacar el azimut del plano midiendo el ángulo con el norte del mapa.
El buzamiento real del plano se escribe con su número cerca de una pequeña
perpendicular en la dirección del buzamiento.
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En este ejemplo, el azimut medido en el dibujo vale N45◦ W = N315◦ E. Como
el buzamiento es de 30◦ SW. Todos los planos son 30/315. Para hallar las
ecuaciones de un plano de este tipo, pcalculamos
el vector de dirección del
p
2
2
◦
◦
plano u = (sin(315 ), cos(315 ), 0) = ( 2 , − 2 , 0) = (0.7, −0.7, 0) y el de buzamiento real
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v = (sin(315 + 90), cos(315 + 90), − tan(30◦ )) = (0.7, 0.7, −0.58)
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Suponiendo que el plano
se apoya en el origen, sus ec. paramétricas son

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¾
x = 0.7λ + 0.7µ 
x + y = 1.4µ
y = −0.7λ + 0.7µ
de donde
y dividiendo ambas ec. y
z = −0.58µ

z = −0.58µ
multiplicando en cruz, se obtiene 0.58x + 0.58z = −1.4z y finalmente la ec.
cartesiana 0.58x + 0.58z + 1.4z = 0 da la dirección de todos los planos.
Si se necesita calcular alguna intersección concreta entre varios planos o
plano/recta, hay que usar las coordenadas de un punto de apoyo.
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6. E JERCICIOS .
Ejercicio 1. ¿Cuáles son los ángulos matemáticos que definen los siguientes
rumbos N31E, N32W, N304E, S25W y S56E ? ¿y sus azimutes y/o strikes?.
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Ejercicio 2. Dos puntos de un mapa, C de cota 150 y B (-400), perteneciente
a una linea de nivel que indica 400 metros bajo el nivel del mar, distan en el
mapa 0.8 km. Calcula la distancia real y el buzamiento de AB.
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Ejercicio 3. En un mapa de escala 1:10 000, se localizan dos puntos, el A1
(100) y el A2 (200) tales que el A2 está 1 cm al este y 2 cm al sur del A1.
Calcula las coordenadas rectangulares (3D) de A2 respecto a A1.
Ejercicio 4. En un mapa 1:10 000, se localizan A1 (100) y A2 (200), con A2
1 cm al E y 2 cm al S del A1. ¿ Cuál es el azimut de A1A2 y de A2A1?
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Ejercicio 5. En un mapa 1:10 000, se localizan A1 (100) y A3 (300), con A3
3.4 cm al E y 5.6 cm al N del A1. ¿ Cuál es el azimut de A1A3 y de A3A1?
Ejercicio 6. Con los puntos de los ejercicios 3 y 5, calcula el azimut directo
e inverso de la dirección A2A3.
Ejercicio 7. Por un punto de un mapa, el C de cota 500, pasa una recta de
dirección 30/225. Determina un punto de dicha recta a cota 250 metros.
Ejercicio 8. En un mapa 1:10 000, se localizan dos puntos, el C (500) y el
B(400) que se encuentra a 2.5 cm a la derecha y 3.1 cm hacia abajo del C.
Determina unas ec. de la recta AB. ¿Cuál es la β/α de esa recta?.
Ejercicio 9. En un mapa 1:10 000, se localizan C (1300) y otro punto B del
que no se conoce la cota pero que buza 35◦ al NE y se encuentra a 3 cm a la
derecha y 2.1 cm hacia arriba del C. Halla la cota del punto B.
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Ejercicio 10. Con los datos del ejercicio anterior, halla las ecuaciones y
dirección de la recta CB.
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Ejercicio 11. Con los puntos de los ejercicios 3 y 5, halla las ecuaciones del
plano que pasa por A1, A2 y A3.
Ejercicio 12. Con los puntos de los ejercicios 3 y 5, calcula la β/α del plano
que pasa por A1, A2 y A3.
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7. T EST DE REPASO .
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Para comenzar el cuestionario pulsa el botón de inicio.
Cuando termines pulsa el botón de finalizar.
Para marcar una respuesta coloca el ratón en la letra correspondiente y pulsa
el botón de la izquierda (del ratón).
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1. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es la correcta?.
(a) Un vector puede tener muchas direcciones.
(b) Dos medidas angulares siempre son equivalentes en algún convenio.
(c) Un vector puede tener muchas medidas angulares.
(d) Una dirección determina dos vectores.
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2. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.
(a) Un ángulo siempre se mide a izquierdas.
(b) Un ángulo siempre se mide a derechas.
(c) Un ángulo matemático se mide a derechas .
(d) Un ángulo matemático se mide a izquierdas.
3. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.
(a) Hay un sólo norte y un azimut.
(b) Hay 3 nortes y un único azimut.
(c) Hay 3 nortes y 3 azimutes.
(d) El azimut siempre se mide respecto al norte cartográfico.
4. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.
(a) Un rumbo siempre coincide con un azimut.
(b) Un rumbo siempre coincide con un strike.
(c) Un rumbo nunca coincide con un azimut.
(d) Un rumbo puede coincidir con un strike.
5. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.
(a) Una recta determina dos direcciones opuestas y una única β/α.
(b) Una recta tiene dos β/α y una única dirección.
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(c) Una recta determina un vector salvo múltiplos positivos.
(d) Una recta tiene dos β/α.
6. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.
(a) Un vector, una semirecta y una dirección son equivalentes.
(b) Una semirecta determina un vector salvo múltiplos positivos.
(c) Una recta equivale a un β/α.
(d) Una semirecta equivale a un β/α.
7. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.
(a) Una recta tiene una única ec. cartesiana.
(b) Una recta tiene ec. paramátricas, continuas y cartesianas únicas.
(c) Una recta tiene tres o cuatro ecuaciones y una única β/α.
(d) Una recta tiene muchas ecuaciones.
8. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.
(a) Un plano tiene una única ec. cartesiana.
(b) Un plano tiene dos ec. cartesianas.
(c) Un plano tiene ec. paramétricas y cartesiana.
(d) Un plano tiene ec. paramétricas únicas.
Enrique R. Aznar
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9. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.
(a) Un plano tiene dos β/α.
(b) Un plano tiene sólo dos vectores directores.
(c) Un plano se define con sólo dos vectores directores.
(d) Un plano se define con 1 punto y dos vectores directores.
10. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?.
(a) Un plano tiene un único buzamiento.
(b) Un plano se define con un buzamiento y un azimut.
(c) Un plano se define con un único buzamiento real.
(d) Un plano se define con un único azimut.
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