1 Distribuciones conjuntas

Inferencia Estadı́stica II
Teorı́a, Handout 5
1
Distribuciones conjuntas
Vamos a extender las definiciones de las funciones de densidad y distribucion
de una variable aleatoria para representar estas funciones de varias variables
aleatorias.
1.1
Caso discreto
Definición 1 Si X1 , . . . , Xn son n variables aleatorias discretas, la distribución
de probabilidad conjunta de X1 , . . . , Xn , está determinada por
pX1 ,...,Xn (x1 , . . . , xn ) = P (X1 = x1 ; . . . ; Xn = xn )
. ∞ < x1 , . . . , xn < ∞
Igual que en el caso de una única variable, la función conjunta pX1 ,...,Xn
asigna probabilidades diferentes de zero a un número finito de combinaciones
de (x1 , . . . , xn ). Las probabilidades distintas de zero deben sumar 1.
Teorema 1 Si X1 , . . . , Xn son n variables aleatorias discretas, con función de
probabilidad conjunta pX1 ,...,Xn (x1 , . . . , xn ), entonces:
1. 0 ≤ pX1 ,...,Xn (x1 , . . . , xn ) ≤ 1 para todo (x1 , . . . , xn )
2.
P
todos
x1 ,...,xn
pX1 ,...,Xn (x1 , . . . , xn ) = 1
Teorema 2 Si X1 , . . . , Xn son n variables aleatorias discretas independientes,
entonces
n
Y
pX1 ,...,Xn (x1 , . . . , xn ) =
PXi (Xi = xi )
i=1
Definición 2 Sean X1 , X1 , . . . , Xn random variables con probabilidad conjunta
pX1 ,...,Xn (x1 , . . . , xn ) entonces la esperanza de una función g(·, . . . , ·) de la variable aleatoria de dimensión n es
X
E[g(x1 , . . . , xn )] =
todos los
g(x1 . . . xn )pX1 ,...,Xn (x1 , . . . , xn )
(x1 ,...,xn )
1
Definición 3 Sean X1 , X1 , . . . , Xn random variables con probabilidad conjunta
pX1 ,...,Xn (x1 , . . . , xn ) entonces la varianza de una función g(·, . . . , ·) de la variable aleatoria de dimensión n es
X
2
V ar[g(x1 , . . . , xn )] =
([g(x1 . . . xn ) − E[g(x1 , . . . , xn )]) pX1 ,...,Xn (x1 , . . . , xn )
todos los
(x1 ,...,xn )
= E[g 2 (x1 , . . . , xn )] − E 2 [g(x1 , . . . , xn )]
Ejemplo
La siguiente tabla contiene los valores de pX,Y (x, y) para dos variables discretas X y Y ,
y
1
2
3
0.10
0.10
0.00
0.10
0.10
0.20
0.05
0.15
0.00
0.10
0.05
0.05
x
-1
0
1
2
• Tenemos una función de probabilidad?
• Calcular E(X), E(Y), Var(X), Var(Y) y E(XY)
Solución
• E[X] = (−1)(0.2) + 0(0.4) + 1(0.1) + 2(0.3) = 0.5
• E[Y ] = 1.9
• V ar[X] = (−1)2 (0.2) + 02 (0.4) + 12 (0.1) + 22 (0.3) − 0.52 = 1.25
• V ar[Y ] = 0.49
• E[XY ] = (−1)(1)(0.1) + (−1)(2)(0.1) + 1(2)(0.05) + . . . (2)(3)(0.05) = 1.05
• E[X + Y ] = (−1 + 1)(0.1) + (−1 + 2)(0.1) + (0 + 1)(0.1) + (0 + 2)(0.2) +
(0 + 3)(0.1) + (1 + 2)(0.05) + (1 + 3)(0.05) + (2 + 1)(0.1) + (2 + 2)(0.15) +
(2 + 3)(0.05) = 2.6
• V ar[XY ] = E[X 2 Y 2 ] − E 2 [XY ] = 5.75 − 1.052 = 4.65
2