Introducción a los sistemas dinámicos Actividad 3 Hiperbolicidad Sea p un punto periódico de perı́odo primo n. El punto p se llama hiperbólico si |f ′ (p)| ̸= 1. El número f ′ (p) se llama el multiplicador del punto periódico. Proposición. 0.1. Sea p un punto fijo hiperbólico con |f ′ (p)| < 1. Entonces existe un intervalo abierto U alrededor de p tal que si x ∈ U , entonces lı́m f n (x) = p n→∞ Observación. 0.2. 1. Se sigue que U ⊂ W s (p). 2. Un resultado similar se cumple para puntos periódicos hiperbólicos de perı́odo n. En este caso, obtenemos un intervalo abierto U alrededor de p tal que f n (U ) ⊂ U . Por supuesto, la suposición en este caso es |(f n )′ (p)| < 1. Sea p un punto periódico hiperbólico de perı́odo n con |(f n )′ (p)| < 1. El punto p se llama un punto periódico atractor o un pozo. Los puntos periódicos atractores de perı́odo n tienen entonces vecindades que f n enviá dentro de sı́ mismas. Tal vecindad se s llama el conjunto estable local y se denota Wloc Ejercicios 1. Haga dibujos de retratos fase cerca de un punto fijo atractor p en los casos a) 0 < f ′ (p) < 1. b) f ′ (p) = 0. c) −1 < f ′ (p) < 0. 2. Sea p un punto fijo hiperbólico con |f ′ (p)| > 1. Demuestre que existe un intervalo abierto U alrededor de p tal que, si x ∈ U , x ̸= p, entonces existe k > 0 tal que f k (x) ∈ / U. Un punto fijo p con |f ′ (p)| > 1 se llama un punto fijo repulsor o una fuente. El conjunto descrito en el ejercicio 2 se llama el conjunto inestable local y se u . denota Wloc Ejercicios 1. Analizar el comportamiento cerca del 0 en las siguientes funciones: a) f (x) = x + x3 . b) f (x) = x − x3 . c) f (x) = x + x2 . 2. Sea Fµ (x) = µx(1 − x) con µ > 1. a) Pruebe que la función Fµ tiene dos puntos fijos: uno en 0 y otro en pµ = µ−1 µ . b) Demuestre que 0 es un repulsor para µ > 0 y pµ es un atractor para 1 < µ < 3. c) Bosqueje las gráficas para Fµ2 para valores de µ cerca de µ = 3. Observe que dos puntos fijos para Fµ2 aparecen cuando µ pasa de 3. Este es un ejemplo de lo que se conoce como bifurcación. 3. Suponga que f es un difeomorfismo. Pruebe que todos los puntos periódicos hiperbólicos son aislados. 4. Muestre con un ejemplo que los puntos periódicos hiperbólicos no son necesariamente aislados. 5. Encuentre un ejemplo de un difeomorfismo de clase C 1 con un punto fijo no hiperbólico que es punto de acumulación de puntos fijos hiperbólicos. 6. Discuta la dinámica de la familia fα (x) = x3 −αx para −∞ < α ≤ 1. Encuentre todos los valores del parámetro α donde ocurren bifurcaciones. Describa como los retratos fase de fα cambian en estos puntos.