Identificación de la naturaleza de las funciones

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Eduardo jose moreno bonilla
09/12/14
Identificación de la naturaleza de las
funciones
En matemáticas, una función algebraica es una función que satisface una ecuación polifónica
cuyos coeficientes son a su vez polinomios o monomios. Por ejemplo, una función algebraica de
una variable x es una solución y a la ecuación
a_n(x) y^n+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots+a_0(x)=0
Donde los coeficientes ai(x) son funciones polifónicas de x. Una función que no es algebraica es
denominada una función trascendente.
Función racional
Una función racional es una función que puede ser expresada de la forma:
f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}
Donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomio nulo. Las f
Función irracional [editar]
Las funciones irracionales son aquellas cuya expresión matemática f(x) presenta un radical,
Las características generales de estas funciones son:
a) Si el índice del radical es par, el dominio son los valores para los que el radicando es mayor o
igual que cero.
b) Si el índice del radical es impar, el dominio del radicando es negativo o menor que cero.
c) Es continua en su dominio y no tiene asíntotas.
Cuya f(x)= 0 la función irracional va desde los números algebraicos desde las coordenadas (x,y). su
dominio son los reales y su rango son los número tales de la forma x, todos son reales por tanto en
una función de raíz.
Función "valor absoluto"
En matemática, el valor absoluto o módulo1 de un número real es su valor numérico sin tener en
cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor absoluto de 3 y
de -3. El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en
diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real
puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos
ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.
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Dominio
En la función que tiene por expresión algebraica y = 2x +1 podemos dar a la variable x el valor que
queramos y con ello obtener un correspondiente valor de y. Decimos que en este caso dicha
función está definida en todo R (conjunto de los números reales) o bien que su dominio de
definición es R.
Sin embargo la función y = 1/x no permite calcular el correspondiente valor de y para todos los
valores de x. En este caso el valor x=0 no puede ser del dominio de la función.
Si la función es la que a cada alumno/a de 4ºA le asocia la nota del examen que hizo el día 14 de
Diciembre, el dominio de dicha función sería el conjunto de alumnos/as de 4ºA que hicieron ese
citado examen.
Ceros y signo
Hallar los ceros de la función consiste en resolver la ecuación f(x)=0.
En algunos casos esto no es sencillo, por lo cual puede utilizarse el método de Rolle o el método
de ábacos.
Para especificar el signo se colocan sobre un eje los ceros de la función y los puntos de
inexistencia, y se determina el signo (positivo o negativo) en cada uno de los intervalos que
quedan.
En el ejemplo:
f(x) = xe(x+1)/(x-1)
- 0 + E +
-------|-------|------->
0
4.
1
Asíntotas horizontales y oblicuas
En este punto, determinaremos qué asíntotas presenta la función cuando x tiende a +infinito y infinito (ver la página sobre asíntotas para revisar lo básico sobre el tema).
Para ello se debe hallar el límite de la función cuando x tiende a +infinito y -infinito.
•
Si limx->inf f(x) = b la función tiene asíntota horizontal de ecuación y=b (la función se
acerca a la recta horizontal y=b cuando x tiende a +infinito o -infinito).
•
Si lim x->inf f(x) = inf
Se debe estudiar el limx->inf f(x)/x
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•
Si da inf: no hay asíntota. Se dice que la función tiene dirección asintótica (DA) paralela al
eje oy.
•
0: No hay asíntota. Se dice que la función tiene dirección asintótica paralela al eje ox.
•
m ≠ 0.
Estudiar limx->inf f(x) - mx
•
m.
Si da inf: no hay asíntota. Se dice que la función tiene dirección asintótica de coeficiente
•
Si da n: Hay asíntota de ecuación y = mx + n.
En el ejemplo:
lim f(x) = lim xe(x+1)/(x-1) = +inf
x->+inf x->inf
f(x)
xe(x+1)/(x-1)
lim ---- = lim ------------ = e
x->+inf x x->+inf
x
Derivada primera
Se debe calcular la derivada primera, y luego hallar sus ceros y estudiar su signo. Por información
sobre derivación, ver derivada y reglas de derivación.
Extremos
+ + +
sg f'(x) ----------->
f es creciente
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- - sg f'(x) ----------->
f es decreciente
+ 0 -
sg f'(x) -----|----->
a
f presenta un máximo en (a,f(a)).
- 0 +
sg f'(x) -----|----->
a
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