homomorfismos e isomorfismos

HOMOMORFISMOS E ISOMORFISMOS
HOMOMORFISMO DE GRUPOS
Sean (G, ∗) y (G0 , ◦) dos grupos. Un homomorfismo de grupos (o simplemente homomorfismo)
entre G y G0 es una aplicación:
f : G → G0
tal que, f (a ∗ b) = f (a) ◦ f (b), para todo a, b ∈ G.
Nota: En abstracto, normalmente, utilizaremos la siguiente notación simplificada: f (ab) = f (a)f (b).
Ejemplo 1: Consideremos los grupos (R, +) y (R∗ , ·) y la aplicación f : R → R∗ definida como
f (x) = 3x . Observemos que si x, y ∈ R, se tiene que
f (x + y) = 3x+y = 3x · 3y = f (x) · f (y)
es decir, que f es un homomorfismo de grupos entre R y R∗ .
Ejemplo 2: Consideremos cualquier grupo abeliano G y la aplicación f : G → G definida como
f (a) = a2 . Esta función es un homomorfismo de G en sı́ mismo. En efecto, si a, b ∈ G, se tiene que
f (ab) = (ab)2 = (ab)(ab) = (aa)(bb) = a2 b2 = f (a)f (b)
Ejemplo 3: Consideremos los grupos (Z4 , +) y (G, ·), donde G = {1, i, −1, −i}, y la aplicación
f : Z4 → G definida como f (n̄) = in . Observemos que si ā, b̄ ∈ Z4 , se tiene que
f (ā + b̄) = ia+b = ia · ib = f (ā) · f (b̄)
es decir, que f es un homomorfismo de grupos entre Z4 y G.
Ejemplo 4: Consideremos los grupos (Z2 , +) y (Q∗ , ·) y la aplicación f : Z2 → Q∗ definida como
f (x, y) = x2 + y 2 + 1. Observemos que (1, 0), (0, 1) ∈ Z2 y, además
f ((1, 0) + (0, 1)) = f (1, 1) = 12 + 12 + 1 = 3
f (1, 0) · f (0, 1) = (12 + 02 + 1) · (02 + 12 + 1) = 2 · 2 = 4
de donde se tiene que f ((1, 0) + (0, 1)) 6= f (1, 0) · f (0, 1), lo que nos lleva a concluir que f no es un
homomorfismo de grupos entre Z2 y Q∗ .
√
a 5b
0
: a, b ∈ Q .
Ejemplo 5: Consideremos los conjuntos G = {a+b 2 : a, b ∈ Q} y G =
0 a
Es claro que (G, +) (donde + es la adición usual en R) y (G0 , +) (donde + es la adición usual de
0
√
matrices) son grupos. Si definimos la aplicación f : G → G como f (a + b 2) =
√
√
a, b ∈ Q, podemos observar que si a + b 2, c + d 2 ∈ G, entonces
√ √ √
f (a + b 2) + (c + d 2) = f (a + c) + (b + d) 2
a + c 5(b + d)
=
0
a+c
a 5b
c 5d
=
+
0 a
0 c
√
√
= f (a + b 2) + f (c + d 2)
a 5b
, donde
0 a
lo que nos lleva a concluir que f es un homomorfismo de grupos entre G y G0 .
TIPOS DE HOMOMORFISMOS
• Un monomorfismo de grupos es un homomorfismo de grupos que es inyectivo.
• Un epimorfismo de grupos es un homomorfismo de grupos que es sobreyectivo.
• Un isomorfismo de grupos es un homomorfismo de grupos que es biyectivo.
• Un endomorfismo de grupos es un homomorfismo de un grupo en sı́ mismo.
• Un automorfismo de grupos es un isomorfismo de un grupo en sı́ mismo.
Ejemplo 6:
• El homomorfismo del Ejemplo 1 es monomorfismo ya que es inyectivo. En efecto, si x, y ∈ R
f (x) = f (y) ⇒ 3x = 3y ⇒ x = y
Sin embargo, no es un epimorfismo ya que no es sobreyectivo. Obsérvese que
Rgo(f ) = R+ 6= R∗
Y como f no es sobreyectiva, entonces no es biyectiva. Por tanto, f no es un isomorfismo.
• El homomorfismo del Ejemplo 2 es endomorfismo ya que es una aplicación de G en sı́ mismo.
• El homomorfismo del Ejemplo 3 es monomorfismo ya que es inyectivo. En efecto, si ā, b̄ ∈ Z4
f (ā) = f (b̄) ⇒ ia = ib ⇒ ia−b = 1 ⇒ 4|a − b ⇒ a ≡ b (mód 4) ⇒ ā = b̄
También f es un epimorfismo ya que es sobreyectivo. En efecto,
Rgo(f ) = G
Y como f es inyectiva y sobreyectiva, entonces es biyectiva. Por tanto, f es un isomorfismo.
2
• El homomorfismo
del Ejemplo 5 es monomorfismo ya que es inyectivo. En efecto, si
√
√
a + b 2, c + d 2 ∈ G, entonces
√
√
a 5b
c 5d
=
f (a + b 2) = f (c + d 2) ⇒
0 a
0 c
⇒ a = c ∧ 5b = 5d
= a=c ∧ b=d
√
√
= a+b 2=c+d 2
a 5b
También f es un epimorfismo ya que es sobreyectivo. En efecto, si
∈ G0 tenemos que
0
a
√
√
a 5b
a 5b
a, b ∈ Q, por lo que
= f (a+b 2) donde a+b 2 ∈ G. Por tanto,
∈ Rgo(f ).
0 a
0 a
Esto nos lleva a que Rgo(f ) = G0 .
Finalmente, como f es inyectiva y sobreyectiva, entonces es biyectiva. Por tanto, f es un
isomorfismo.
PROPIEDADES DE LOS HOMOMORFISMOS DE GRUPOS
Teorema 1: Sean f : G → G0 un homomorfismo de grupos y e, e0 los elementos neutros de G y
G , respectivamente. Entonces
0
(a) f (e) = e0 .
Demostración: Observemos que
f (e) = f (ee) = f (e)f (e) ⇒ f (e) = e0
(b) f (x−1 ) = [f (x)]−1 , para todo x ∈ G.
Demostración: Sea x ∈ G. Entonces
e0 = f (e) = f (xx−1 ) = f (x)f (x−1 ) ⇒ f (x−1 ) = [f (x)]−1
(c) f (xn ) = [f (x)]n , para todo x ∈ G y n ∈ Z+ .
(d) Si H 6 G, entonces f (H) 6 G0 .
Demostración: Como H 6 G, entonces H 6= ∅, por lo que f (H) 6= ∅.
Ahora, sean x, y ∈ f (H). Entonces x = f (a) y y = f (b), donde a, b ∈ H. Luego,
xy −1 = f (a)[f (b)]−1 = f (a)f (b−1 ) = f (ab−1 )
Como H 6 G, entonces ab−1 ∈ H. Por tanto, xy −1 ∈ f (H).
Queda ası́ demostrado que f (H) 6 G0 .
(e) Si f es un isomorfismo, o(x) = o(f (x)), para todo x ∈ G.
3
KERNEL E IMAGEN DE UN HOMOMORFISMO DE GRUPOS
Sea f : G → G0 un homomorfismo de grupos, entonces el kernel de f (o núcleo de f ) es el
conjunto de las preimagenes del elemento neutro e0 de G0 , es decir
Ker(f ) = {x ∈ G : f (x) = e0 }
La imagen de f es el conjunto de las imagenes del homomorfismo, es decir
Im(f ) = {f (x) : x ∈ G}
Nota: Es claro que la imagen de un homomorfismo es su rango.
Ejemplo 7: Considerando el homomorfismo del Ejemplo 1 tenemos que Ker(f ) = {0} ya que
si x ∈ Ker(f ) se tiene
f (x) = 1 ⇒ 3x = 1 ⇒ x = 0
Por otro lado, Im(f ) = Rgo(f ) = R+ .
Ejemplo 8: Considerando el homomorfismo del Ejemplo 3 tenemos que Ker(f ) = {0̄} ya que
si n̄ ∈ Ker(f ) se tiene que
f (n̄) = 1 ⇒ in = 1 ⇒ n̄ = 0̄
Por otro lado, Im(f ) = Rgo(f ) = G.
Ejemplo
9: Considerando el homomorfismo del Ejemplo 5 tenemos que Ker(f ) = {0} ya que
√
si a + b 2 ∈ Ker(f ) se tiene
√
0 0
a 5b
0 0
f (a + b 2) =
⇒
=
⇒ a = 0 ∧ 5b = 0 ⇒ a = b = 0
0 0
0 a
0 0
Por otro lado, Im(f ) = Rgo(f ) = G0 .
Ejemplo 10: Considerando el homomorfismo f : Z → Z2 definido como:
0̄
si n es par
f (n) =
1̄
si n es impar
tenemos que Ker(f ) = {n ∈ Z : n es par} y Im(f ) = Z2 .
Teorema 2: Sea f : G → G0 un homomorfismo de grupos y e, e0 los elementos neutros de G y
G , respectivamente. Entonces
0
(a) e ∈ Ker(f ).
Demostración: Como f (e) = e0 , entonces e ∈ Ker(f )
(b) e0 ∈ Im(f ).
Demostración: Como e0 = f (e), entonces e0 ∈ Im(f ).
4
(c) Ker(f ) 6 G (Más que eso, Ker(f ) C G).
Demostración: Acá solo nos limitaremos a demostrar que Ker(f ) 6 G. (Dejamos al lector
completar la demostración de que Ker(f ) C G)
Como e ∈ Ker(f ), entonces Ker(f ) 6= ∅.
Ahora, sean a, b ∈ Ker(f ). Esto significa que f (a) = f (b) = e0 . Luego,
f (ab−1 ) = f (a)f (b−1 ) = f (a)[f (b)]−1 = e0 (e0 )−1 = e0
lo que significa que ab−1 ∈ Ker(f ).
Ası́, concluimos que Ker(f ) 6 G.
(d) Im(f ) 6 G0 .
Demostración: Como e0 ∈ Im(f ), entonces Im(f ) 6= ∅.
Ahora, sean a, b ∈ Im(f ). Esto significa que a = f (p) y b = f (q), donde p, q ∈ G. Luego,
ab−1 = f (p)[f (q)]−1 = f (p)f (q −1 ) = f (pq −1 )
donde pq −1 ∈ G (por ser G un grupo), lo que significa que ab−1 ∈ Im(f ).
Ası́, concluimos que Im(f ) 6 G0 .
(e) f es inyectiva si y solo si Ker(f ) = {e}.
Demostración:
[⇒] Supongamos que f es inyectiva y sea x ∈ Ker(f ). Esto significa que
f (x) = e0 ⇒ f (x) = f (e) ⇒ x = e
(por ser f inyectiva)
Por tanto, Ker(f ) = {e}.
[⇐] Supongamos que Ker(f ) = {e} y sean x, y ∈ G. Entonces
f (x) = f (y) ⇒ f (x)[f (y)]−1 = e0 ⇒ f (x)f (y −1 ) = e0 ⇒ f (xy −1 ) = e0 ⇒ xy −1 = e ⇒ x = y
Por tanto, f es inyectiva.
(f) f es sobreyectiva si y solo si Im(f ) = G0 .
Demostración:
[⇒] Supongamos que f es sobreyectiva. Esto significa que Rgo(f ) = G0 y, como Im(f ) = Rgo(f ),
entonces Im(f ) = G0 .
[⇐] Supongamos que Im(f ) = G0 . Como Im(f ) = Rgo(f ), entonces Rgo(f ) = G0 y, por tanto,
f es sobreyectiva.
Ahora analicemos algunos ejemplos de aplicación de estas propiedades:
Ejemplo 11: Considerando el homomorfismo del Ejemplo 1 tenemos que Ker(f ) = {0}, lo
que implica que f es inyectiva (monomorfismo). Por otro lado, como Im(f ) = R+ 6= R, entonces f
no es sobreyectiva.
5
Ejemplo 12: Considerando el homomorfismo del Ejemplo 3 tenemos que Ker(f ) = {0̄},
lo que implica que f es inyectiva (monomorfismo). Por otro lado, como Im(f ) = G, entonces
f es sobreyectiva (epimorfismo). Y como f es inyectiva y sobreyectiva, entonces f es biyectiva
(isomorfismo).
Ejemplo 13: Considerando el homomorfismo del Ejemplo 5 tenemos que Ker(f ) = {0},
lo que implica que f es inyectiva (monomorfismo). Por otro lado, como Im(f ) = G0 , entonces
f es sobreyectiva (epimorfismo). Y como f es inyectiva y sobreyectiva, entonces f es biyectiva
(isomorfismo).
Ejemplo 14: Considerando el homomorfismo del Ejemplo 10 tenemos que
Ker(f ) = {n ∈ Z : n es par} =
6 {0}
lo que implica que f no es inyectiva. Sin embargo, como Im(f ) = Z2 , entonces f es sobreyectiva
(epimorfismo).
Ejemplo 15: Consideremos el homomorfismo f : R2 → R definido como:
f (x, y) = 2x − y
Determinemos Ker(f ).
Si (x, y) ∈ Ker(f ), entonces
f (x, y) = 0 ⇒ 2x − y = 0 ⇒ y = 2x
Esto significa que los elementos de Ker(f ) se pueden describir como sigue:
Ker(f ) = {(x, y) ∈ R2 : y = 2x} = {(x, 2x) : x ∈ R}
Esto significa que Ker(f ) 6= {(0, 0)} y, por tanto, f no es inyectiva.
Ahora, determinemos Im(f ).
Sea x ∈ R. Es fácil ver que x = 2 · 0 − (−x) = f (0, −x) y es claro que (0, −x) ∈ R2 . Por tanto,
x ∈ Im(f ), lo que significa que Im(f ) = R y, por tanto, f es sobreyectiva (epimorfismo).
GRUPOS ISOMORFOS
Dos grupos G y G0 son isomorfos (escribiremos G ∼
= G0 ) si existe algún isomorfismo f : G → G0 .
Ejemplo 16: Los grupos (Z4 , +) y (G, ·), donde G = {1, i, −1, −i} son isomorfos ya que la
función f : Z4 → G definida en el Ejemplo 3 es un isomorfismo.
√
a 5b
0
: a, b ∈ Q son isomorfos
Ejemplo 17: Los grupos G = {a + b 2 : a, b ∈ Q} y G =
0 a
ya que la función f : G → G0 definida en el Ejemplo 5 es un isomorfismo.
6
PROPIEDADES DE LOS GRUPOS ISOMORFOS
Teorema 3: Si G y G0 son grupos tales que G ∼
= G0 , entonces
(a) |G| = |G0 |.
(b) G es abeliano si y solo si G0 es abeliano.
(c) G es cı́clico si y solo si G0 es cı́clico.
Teorema 4: Sea G un grupo cı́clico.
(a) Si G es un conjunto infinito, entonces G es isomorfo a (Z, +).
Demostración (Esbozo): Si G es un grupo cı́clico, entonces G = {an : n ∈ Z}, para algún
a ∈ G. Dejamos al lector que demuestre que la función f : Z → G definida como f (n) = an ,
donde n ∈ Z, es un isomorfismo.
(b) Si G es un conjunto finito de orden n (donde n > 1), entonces G es isomorfo a (Zn , +).
Demostración (Esbozo): Si G es un grupo cı́clico, entonces existe a ∈ G tal que G = hai,
esto es, G = {a, a2 , . . . , an = e}. Dejamos al lector que demuestre que la función f : G → Zn
definida como f (ak ) = k, donde k ∈ {1, 2, . . . , n}, es un isomorfismo.
Estas propiedades resultan bastante útiles, entre otras cosas, para demostrar, en algunos casos,
que dos grupos no son isomorfos. Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo 18: Los grupos (Z6 , +) y (Z8 , +) no son isomorfos porque |Z6 | = 6 6= 8 = |Z8 |.
Ejemplo 19: Los grupos (Z4 , +) y el grupo de Klein no son isomorfos porque Z4 es cı́clico, pero
el grupo de Klein no lo es.
Ejemplo 20: Recordemos que el grupo simétrico S3 tiene 6 elementos y no es abeliano. Observemos, por ejemplo, que
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
=
6=
=
2 3 1
2 1 3
3 2 1
1 3 2
2 1 3
2 3 1
Luego, S3 no es isomorfo a Z6 ya que este último es abeliano.
Ejemplo 21: Los grupos (G, ∗) y (G0 , ◦), donde G = {e, a, b, c, d, f, g, h} y G0 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7},
cuyas tablas de Cayley se muestran a continuación:
7
no son isomorfos ya que, por ejemplo, G tiene solo un elemento de orden 2 (el elemento d), mientras
que G0 tiene tres elementos de orden 2 (los elementos 2, 4 y 6). Este hecho es respaldado por el
Teorema 1(e).
HOMOMORFISMO DE ANILLOS
Sean (A, +, ·) y (A0 , ⊕, ) dos anillos. Un homomorfismo de anillos entre A y A0 es una aplicación:
f : A → A0
que cumple las siguientes condiciones:
(a) f (a + b) = f (a) ⊕ f (b)
(b) f (a · b) = f (a) f (b)
para todo a, b ∈ A.
Observa que, de acuerdo a la condición (a), todo homomorfismo de anillos es un homomorfismo de
grupos y, por tanto, también son válidas las propiedades estudiadas para homomorfismo de grupos.
Esto nos conduce al siguiente teorema:
Teorema 5: Si f : A → A0 es un homomorfismo de anillos, entonces:
(a) f (0A ) = 0A0
(b) f (−a) = −f (a), para todo a ∈ A
(La demostración es análoga a la realizada con los grupos)
También definiremos el kernel y la imagen de un homomorfismo de anillos como se hizo con los
grupos:
KERNEL E IMAGEN DE UN HOMOMORFISMO DE ANILLOS
Sea f : A → A0 un homomorfismo de anillos, entonces el kernel de f (o núcleo de f ) es el conjunto
de las preimagenes del elemento neutro 0A0 de A0 , es decir
Ker(f ) = {x ∈ A : f (x) = 0A0 }
La imagen de f es el conjunto de las imagenes del homomorfismo, es decir
Im(f ) = {f (x) : x ∈ A}
ISOMORFISMO DE ANILLOS
Sea f : A → A0 un homomorfismo de anillos. Si f es inyectiva y sobreyectiva, entonces f es un
isomorfismo de anillos y diremos que A y A0 son isomorfos, es decir, A ∼
= A0 .
8