Riesgo de tipos de interés Componentes principales

Componentes principales
Riesgo de tipos de interés
Componentes principales
Gerardo Oleaga
16 de mayo de 2006
Gerardo Oleaga
Riesgo de tipos de interés Componentes principales
Componentes principales
Breve introducción matemática
Reducción de la dimensión
Uso de componentes
Reversión a la media
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Componentes principales
Breve introducción matemática
Reducción de la dimensión
Uso de componentes
Reversión a la media
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Breve introducción matemática
Reducción de la dimensión
Uso de componentes
Reversión a la media
Generalidades
Controlar el comportamiento de la curva de tipos a través de un
solo factor es, a menudo, escaso.
En el otro extremo, utilizar una muestra de todos los factores y de
sus evoluciones diarias (por ejemplo), puede ser excesivo.
La técnica de componentes principales nos puede asistir para
seleccionar una combinación adecuada de tipos, y de esta manera
controlar a través de unos pocos factores los movimientos más
relevantes de la curva.
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Reversión a la media
Si tenemos una muestra de N variables aleatorias distintas, cada
una de tamaño n (N podrı́a ser el número de tipos de interés que
podemos estimar en el mercado y n la cantidad de dı́as que hemos
observado, con n grande). Vamos a llamar x(j) al vector que indica
la muestra j-ésima normalizada alrededor de la media. La longitud
del vector x(j) es N para 1 ≤ j ≤ n. Si disponemos a los datos en
una matriz X , donde las columnas indican la variable (los tipos
centrados) y las filas nos indican la muestra seleccionada, tenemos
que
(i) (i)
(i)
fila i := x(i) = (x1 , x2 , . . . , xN )
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
(1)
x1
(1)
x2
 (2)
(2)
 x
x2
1
X := 
 ..
..
 .
.
(n)
(n)
x1
x2
···
..
.
..
.
···
(1)

(2)





xN
xN
..
.
(n)
xN
La matriz de covarianzas Cov de estos datos puede escribirse como:
Covij =
1 T 1
< ci , cj >=
X X
n
n
ij
de N × N.
donde aquı́ < ci , cj > representa el producto escalar entre vectores
de dimensión n y cj representa el vector columna de la posición j
(es decir, sus coordenadas son las n muestras de la variable fija xj ).
Los vectores fila x(i) representan un punto en el espacio de
dimensión N.
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Podemos plantearnos ahora el problema siguiente: ¿cuál es la
dirección, en el espacio de dimensión N, para la cual la variabilidad
de la muestra es máxima?
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Por ejemplo, si tenemos n muestras para 2 tipos (cada vector x(i)
tiene dos componentes), podemos pintar los puntos en el plano. Si
centramos los datos en el origen (restando las medias), la dirección
que buscamos corresponde a la que define la recta de regresión.
Una forma de calcularla es la siguiente: denotemos por e al vector
de norma 1 que nos da la dirección que queremos hallar. Ahora
proyectamos los puntos sobre la recta en la dirección de e. La
suma de las proyecciones elevadas al cuadrado vienen dadas por
P(e) =
n
X
(< x(i) , e >)2
i=1
donde < ·, · > denota el producto escalar, en este caso en R2 .
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Podemos escribir directamente al vector e en términos de un
ángulo θ
n
X
(i)
(i)
P(θ) =
(x1 cos(θ) + x2 sen(θ))2
i=1
Si derivamos respecto de θ e igualamos a cero nos queda
0
P (θ) = 2
n
X
(i)
(i)
(i)
(i)
(x1 cos(θ)+x2 sen(θ))(−x1 sen(θ)+x2 cos(θ)) = 0
i=1
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Desarrollando los cálculos y teniendo en cuenta que
n
X
(i) (i)
xk xl
=< ck , cl >= 2Covkl
i=1
nos queda la condición
< Cov · e, e⊥ >= 0 ⇒ Cov · e = λe
donde e⊥ es el vector ortogonal a e girando en el sentido positivo
del ángulo, y para algún número λ. De este modo, λ debe ser un
autovalor de la matriz de covarianzas y e un autovector
correspondiente.
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Si consideramos la base
{e1 , e2 } := {e, e⊥ }
tenemos que
Cov · (e1 e2 ) = (e1 e2 )
λ1 0
0 λ2
con λ1 ≥ λ2 donde la máxima variabilidad se da en la dirección del
autovector correspondiente al primer autovalor.
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Esto se puede generalizar a más dimensiones utilizando
multiplicadores de Lagrange.
Obsérvese que la matriz de covarianzas en cualquier dimensión
(número de variables) es simétrica y (semi) definida positiva.
Podemos ver esto fácilmente a partir de la definición
Covij =
1
1
< ci , cj >= < cj , ci >= Cji .
n
n
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Para ver que es definida positiva:
P
1 PN
< Cov · v, v >= N
i,j=1 < ci , cj > vi vj
i,j=1 Covij vi vj = n
P
P
(k)
(k)
= n1 nk=1 N
i,j=1 xi xj vi vj
P
P
P
(k)
(k)
N
N
= n1 nk=1
x
v
x
v
i
j
i=1 i
j=1 j
2
P
PN (k)
≥0
= n1 nk=1
i=1 xi vi
Obsérvese que si los datos caen sobre un subespacio de menor
dimensión, podemos encontrar un v que sea ortogonal a todos ellos
y por lo tanto la matriz de covarianzas no serı́a estrictamente
definida positiva (serı́a semidefinida).
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Después de calcular la matriz de covarianzas Cov y de obtener la
base de autovectores correspondientes en las columnas de una
matriz A podemos escribir
Cov = ADAT
donde D contiene los autovalores de C ov (≥ 0) ordenados de
mayor a menor. Llamemos a estos autovectores ei , como en el
ejemplo, ahora para 1 ≤ i ≤ N.
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La matriz C := AD 1/2 se llama la matriz de componentes.
Contiene las direcciones multiplicadas por la desviación estándar de
los datos en esa dirección. Tiene la propiedad
T
Cov = AD 1/2 AD 1/2
= CC T
Ilustración: Cálculo de la matriz de componentes para un conjunto
de datos de tipos de interés.
Ejercicio: Realizar el mismo cálculo para otros conjuntos de
tipos de interés.
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La idea de una componente principal es la de mirar los datos en las
direcciones de los vectores ei , especialmente considerando a los
primeros vectores de la lista, ya que nos aportarán las direcciones
más importantes en cuanto a variabilidad de los datos.
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Volviendo al ejemplo en dos variables, si todos los puntos cayeran
sobre una recta nos bastarı́a con el vector e1 para dar cuenta de
todo lo que le sucede a los datos, ya que en la dirección de e2 no
habrı́a ninguna variación (digamos que la varianza en la dirección
de e2 serı́a nula). ¿Cómo podemos aprovechar esta información?
Es evidente que en este caso extremo sólo necesitarı́amos
considerar a las proyecciones de los datos en la dirección de e1 . Sin
embargo, si no es el caso que los datos estén sobre una recta, pero
la variación en la dirección de e2 es muy pequeña, esto nos indica
que los datos serı́an muy planos, es decir que estarı́an casi sobre
una recta y podrı́amos reducir la dimensión de nuestro problema.
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Teniendo en mente estas reflexiones, definamos unas nuevas
variables que sean las proyecciones de los datos x(i) sobre las
direcciones principales. Por ejemplo
(i)
(i)
(i)
p1 =< x(i) , e1 >, p2 =< x(i) , e2 >, . . . , pN =< x(i) , eN >
Escrito de forma más compacta esto es
p(i) = x(i) A
donde ahora disponemos en el vector fila p(i) a las proyecciones de
los datos x(i) sobre los autovectores, dispuestos en forma de
columna en la matriz A.
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¿Cuál serı́a ahora la matriz de covarianzas de los “datos” p(i) ?
Calculemos
1 T
1 T T
P P =
A X XA
n
n
= AT Cov A
= D
de modo que las proyecciones son independientes y sus varianzas
son idénticas a los autovalores!
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Esto nos muestra que si los autovalores son muy pequeños entonces
las proyecciones sobre el autovector correspondiente son también
pequeñas. Si dejamos de lado deliberadamente los autovalores más
pequeños, y sus correspondientes direcciones, podemos “explicar”
aproximadamente el comportamiento de todos los datos con un
número más reducido de variables de proyección, cuyas direcciones
serán las más importantes de todas las componentes principales.
Ilustracion: Comprobar que si eliminamos los autovalores
pequeños obtenemos una matriz de covarianzas similar al hacer
ADAT .
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e que tiene ceros
Si reemplazamos a la matriz P por una matriz P
en un número determinado de las últimas columnas, la matriz de
e será ahora una diagonal D
e donde desaparecerán
covarianzas de P
el número indicado de autovalores (que suponemos pequeños).
Esto nos lleva a una nueva matriz de covarianzas y a una matriz de
e al reemplazar a los vectores originales por sus
datos aproximados X
proyecciones sobre las direcciones principales.
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Podemos estimar el error cuadrático medio que se cometerá al
reemplazar los datos X por los datos proyectados
(i)
(i)
(i)
T
T
x(i) = p1 eT
1 + · · · + pN−1 eN−1 + pN eN
(i)
(i) T
T
T
e
e1 eT
x(i) = p
1 + · · · + pk ek + 0 ek+1 · · · + 0 eN
(los vectores ej son columna), escrito en forma compacta
e(i) AT
x(i) = p(i) AT ⇒ e
x(i) = p
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n
ECM =
T
1 X (i)
x −e
x(i) x(i) − e
x(i)
n
i=1
=
n
1 X
n
T
e(i) AT A p(i) − p
e(i)
p(i) − p
i=1
n
por ser A ortogonal =
T
1 X (i)
e(i) p(i) − p
e(i)
p −p
n
i=1
=
N
n
N
X
X
1 X (i) 2
pj
=
λi .
n
j=k+1
i=1
i=k+1
donde k es el número de autovalores que hemos retenido. Si esta
suma es menor que una tolerancia ε, entonces tendremos
controlado el error cometido sobre los datos.
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Esto nos muestra que la elección de las componentes principales
nos permite reducir la dimensión de nuestro problema,
reemplazándolo por uno en el que tendremos menos variables. Por
otra parte, si queremos obtener un histograma de valores de una
cartera por simulación, podemos generar escenarios para las dos o
tres primeras componentes en las correspondientes direcciones
principales, obteniendo de esta manera una descripción simplificada
de las variables originales.
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Las variables que retenemos van a explicar en cierta proporción al
comportamiento de todos los datos originales. Una forma de medir
la relevancia de cada variable retenida es mediante el pocentaje
que representa en la varianza total. En fórmula
Porcentaje explicado por componente i :=
λi
λ1 + λ2 + . . . λ N
De este modo, si queremos saber cuál va a ser el porcentaje
explicado por las dos primeras componentes deberemos calcular
λ1 + λ 2
λ1 + λ 2 + · · · + λN
ya que las proyecciones son independientes entre sı́.
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Cuando las variables que consideramos provienen de datos de
distinta naturaleza podemos usar la matriz de correlaciones en
lugar de la de covarianzas (esto normaliza las escalas con las que
vemos a cada dato).
ρij = √
Covij
p
Covii Covjj
De este modo, la matriz de correlaciones tiene unos en la diagonal,
y a ésta podemos aplicarle la misma reducción de variables que le
aplicamos a la de covarianzas.
Importante: Nótese que trabajar con la matriz de correlaciones es
equivalente a calcular la de covarianzas a las variables
normalizadas, esto es, divididos por su desviación tı́pica.
Asumiremos a partir de ahora que los datos están normalizados de
esta manera y que además se hallan centrados alrededor de la
media
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Variaciones del valor de una cartera
Dadas las curvas de tipos para tiempo t:
(t) (t)
(t)
r(t) = r1 , r2 , . . . , rN ,
donde t es la fecha que corresponde a cada muestra, calculamos
las variaciones en un plazo de tiempo ∆t (un dı́a o una semana)
dadas por
s(t) = r(t+∆t) − r(t) .
Nótese que si el número de muestras es muy grande, la media de
cada diferencia es aproximadamente cero. Sean (σ1 , . . . , σN ) sus
desviaciones tı́picas. Suponemos de ahora en más que hemos
normalizado a las s(t) .
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Los datos s son los que utilizaremos para hacer el análisis de
componentes principales. Como antes, denotaremos por ei a cada
autovector unitario de la matriz de autovectores. Nos quedaremos
con las proyecciones de los datos en las tres primeras direcciones:
(t)
(t)
(t)
s(t) ≈ p1 e1 + p2 e2 + p3 e3
y rescalamos los vectores para tener componentes de varianza 1:
(t)
(t)
(t)
s(t) ≈ a1 c1 + a2 c2 + a3 c3
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1/2
ci := λi
ei
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(t)
Recordemos que las variables pi son independientes y tienen
varianza λi .
Podemos escribir las variaciones del valor de una cartera de bonos
a partir del dı́a de hoy (0) para el dı́a ∆t del siguiente modo:
Vcartera r(∆t) − Vcartera r(0)
donde
r(∆t) = (a1 , a2 , a3 ) C T
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Sensibilidad a componentes
Si tenemos en cuenta las variaciones de los valores de la cartera
cuando cambiamos alguna de las componentes ai , tenemos una
forma de calcular la exposición de la inversión ante cambios en
estos parámetros.
Concretamente, podemos definir sensibilidades en el precio a partir
de las componentes del siguiente modo. Para calcular la
sensibilidad respecto de la primera componente basta con
considerar un movimiento pequeño que solo tenga en cuenta la
primera dirección
(a1 , a2 , a3 ) = (h, 0, 0)
La sensibilidad primera viene dada por
h
sensibilidad primera ≈
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Vcartera (h,0,0)−Vcartera (0,0,0)
h
i
Vcartera (0, 0, 0)
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Nótese que, al ser la primera componente un movimiento paralelo
de los tipos, esta cantidad es (salvo el signo) prácticamente la
duración de Fisher-Weil.
Ilustración: Determinación de las sensibilidades de una cartera
formada por un bono con cupón del 4 % pagado anualmente a 5
años y un bono del 3 % anual a 10 años. Nominal 1, curva inicial
dada por la fila del 30 dic 2005 en la hoja de datos.
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Cobertura con componentes
Queremos cubrir el riesgo de variación de valor de una cartera de
bonos ante el efecto de las componentes principales. Vamos a
comprar o vender una cantidad determinada de esos bonos de
modo que el valor de hoy sea equivalente a la cartera original y que
sea insensible respecto de las tres componentes. Esto nos impone
cuatro condiciones y por lo tanto debemos contar (mı́nimo) con
cuatro bonos. Supongamos que el valor inicial de nuestra cartera es
100.
Sean B1 , B2 , B3 y B4 , queremos hallar (β1 , β2 , β3 , β4 ) tales que
X
100 =
βi Bi r(0)
i
y además
X
X
βi Bi r(∆t) =
βi Bi r(0)
i
i
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donde r(∆t) lo obtenemos con

 (h, 0, 0)
(0, h, 0)
(a1 , a2 , a3 ) =

(0, 0, h)
para una pequeña variación h de cada componente.
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Inversión en una componente
Podemos diseñar una inversión en bonos, que por ejemplo sea
neutral respecto de dos de las componentes y que suponga una
exposición directa a la componente restante. Supongamos, por
ejemplo, que sea neutral a las variaciones de las dos primeras.
Necesitaremos 3 bonos, B1 ,B2 ,B3 . Buscamos (β1 , β2 , β3 ) tales que
Valor inicial =
3
X
βi Bi r(0)
i=1
y además
3
X
3
X
βi Bi r(∆t) =
βi Bi r(0)
i=1
i=1
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Componentes principales
cuando el r(∆t) lo imponemos usando
(a1 , a2 , a3 ) = (h, 0, 0)
y
(a1 , a2 , a3 ) = (0, h, 0) .
Esto se aplicarı́a en particular si una componente tiene reversión a
la media, y está alejada de esa media.
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¿Cómo determinamos la cercanı́a a la media?
Podemos definir una cantidad llamada Z-score del factor, que
determina lo “alto” o lo “bajo” que está (respecto del nivel medio).
Z=
factor − min
max − min
donde
max :=percentil 95
min :=percentil 5
Para una curva determinada s(t) , podemos calcular la primera
proyección (el primer factor) del siguiente modo
p1 =< s(t) , e1 >
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Un Z -score próximo a 100 % significa factor relativamente alto,
mientras que Z -score próximo a 0 % significa factor relativamente
bajo.
Si creemos que los factores tienen tendencia a situarse en su nivel
medio, un Z -score alto debe interpretarse como una señal para
entrar en una estrategia que aproveche la potencial bajada de ese
factor.
Ilustración: Determinación de la cobertura de una cartera.
Bonos a 2,5,7 y 10 años en una cartera de valor inicial 100.
Cupones del 5 % anual. Ilustración: Cálculo de inversiones en
componentes dada una curva inicial (hoy) dada por
r = (2.75,2.9,3.02,3.13,3.23,3.31,3.38,3.44,3.49,3.54)
Todos los datos son porcentuales y asumimos que hoy es el dı́a
posterior al último dato que tenemos.
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Simulación con componentes
Sea ahora una muestra de N variables independientes con media
cero y varianza 1. Las disponemos en una matriz Z donde
indicamos con z(i) al vector que tiene la fila i, del mismo modo
que hicimos para las x(i) . Si multiplicamos a la matriz Z por D 1/2
generamos nuevas variables aleatorias que tienen las mismas
varianzas que las proyecciones p(i) .
p(i) = z(i) D 1/2
Entonces generamos las x(i) por medio de
T
x(i) = p(i) AT = z(i) D 1/2 AT = z(i) A D 1/2 ,
donde A D 1/2 = C es la matriz de componentes y nos queda
X = Z CT
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La matriz de covarianzas de las x generadas de esta manera viene
dada por
Cov = CZ T ZC T = C ZZ T C T = CC T
De este modo vamos a poder replicar el comportamiento de las
variables x con muestras de variables independientes z asociadas a
cada componente principal.
Si aprovechamos la capacidad de reducción de la dimensión que
nos aportan las componentes principales, sólo debemos considerar
dos o tres variables para hacer una simulación.
Ejercicio: cálculo de Var y Tail-Var de una cartera de bonos
usando simulación Montecarlo basada en componentes principales.
Ejercicio: Simular los precios a un dı́a de la cartera obtenida con
un factor descubierto. Estimar rendimiento/Var.
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Reversión a la media
Los tipos de interés muestran tendencias a largo plazo que suponen
un regreso a ciertos niveles, que acaban siendo unas medias a largo
plazo.
Vamos a ver cómo se modeliza este tipo de comportamiento.
Tenemos un proceso evolutivo de comportamiento local con meta
a largo plazo y componente aleatoria.
El tiempo da saltos de tamaño fijo ∆t.
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Las variables que tenemos son:
1. Sn denota un nivel o rendimiento en tiempo n∆t.
2. La variación entre tiempo (n − 1)∆t y tiempo n∆t se denota
por
∆Sn = Sn − Sn−1 .
La regla estocástica de evolución viene dada por:
√
∆Sn = a (µ − Sn−1 ) ∆t + σ ∆tZn
Esta es la versión discreta del proceso conocido por
Ornstein-Uhlenbeck. Este proceso es la base de los modelos
continuos (Vasicek y Hull-White):
dSt = a (µ − St ) dt + σdWt
donde Wt es el movimiento Browniano.
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Deriva y aleatoriedad
I
El primer sumando del salto ∆Sn :
a (µ − Sn−1 ) ∆t
I
recoge la deriva determinista.
El segundo sumando
√
σ ∆tZn
recoge toda la aleatoriedad del salto ∆Sn .
Parámetros
I
I
I
µ es la media a largo plazo, es decir, el nivel al que se revierte.
a (a > 0) es la tasa de reversión, mide la velocidad con la que
se revierte al nivel µ.
σ es la volatilidad, el nivel de incertidumbre con el que se va
evolucionando.
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Variables aleatorias
I
Las Zn son variables aleatorias normales estándar
independientes.
I
Dado el nivel Sn−1 , cada ∆Sn es una variable normal con
media
a (µ − Sn−1 ) ∆t
varianza σ 2 ∆t
I
Cada Sn es una variable normal con
media
varianza
= µ + (1 − a∆t)n (S0 − µ) ≈ µ + e −an∆t (S0 − µ)
σ2 ≈
1 − e −2an∆t
2a
Ilustración: Simulación de un proceso de reversión. Variar a y σ.
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Situación determinista
El caso σ = 0 es un proceso de reversión a la media puramente
determinista:
∆Sn = a (µ − Sn−1 ) ∆t
La posición en tiempo n∆t queda completamente determinada por
la posición inicial S0 (y los parámetros a y µ).
Aproximadamente:
Sn − µ
= (1 − a∆t)n ≈ e −an∆t .
S0 − µ
Esto significa que la distancia de Sn a µ se reduce
exponencialmente, con velocidad dada por la tasa de reversión a.
Ilustración: Gráficas.
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Tiempo a reversión
En el caso σ = 0, para llegar a un tiempo N∆t en el que
SN − µ
1
=
S0 − µ
2
se precisa que
ln2
a
Es decir, el tiempo necesario para reducir la distancia al nivel de
reversión a la mitad es inversamente proporcional a la tasa a.
N∆t =
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Breve introducción matemática
Reducción de la dimensión
Uso de componentes
Reversión a la media
En el caso general σ 6= 0 , hay algunas fórmulas explı́citas del
tiempo de llegada al nivel de reversión.
Pero el cálculo más importante desde el punto de vista estratégico
es el tiempo a reversión a un nivel próximo a la media a largo
plazo. En este caso, que involucra strikes K , topes T (stop loss) y
horizonte temporal H, no disponemos de tales fórmulas y es
necesario recurrir a la simulación.
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Ilustración
I
Simulación del tiempo de llegada a un strike K partiendo de
un nivel inicial S0 . Tiempo medio de llegada. Usar: a = 100 %,
µ = 20, σ = 500 %, ∆t = 0,05, strike (K )=15, tope (T )=0,
S0 = 8. Hacer la gráfica del porcentaje de llegadas contra el
tiempo en años.
I
Dado un horizonte temporal H = N∆t, determinar el strike K
que se alcanza (antes de llegar a un tope, y dentro del
horizonte temporal) con un nivel de confianza de 80 %.
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Estrategia de inversión
Si S0 está por debajo de µ, fijamos strike K , tope T y horizonte
temporal H.
La estrategia es comprar S (estar “largo”) y vender al llegar al
nivel K . La ganancia viene dada por S − S0 .
Ilustración: Simular pérdidas y ganancias de la estrategia.
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Calibración de la reversión
Supongamos que tenemos una serie de valores históricos de Sn .
Podemos hacer una regresión de la serie Yn = ∆Sn contra los
valores de Xn = Sn y deducir los valores de a y de µ:
∆Sn = mSn−1 + b + residuo
Una vez calculados a y µ podemos estimar σ del siguiente modo:
r
X
√
1
∆tσ =
(∆Sn − a∆t (µ − Sn−1 ))2
num datos
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Ejercicio: Estimar los parámetros de la curva de los tipos a un
año.
Estimar a continuación los de la primera componente principal,
comparar los parámetros. Simular y comparar con los datos reales.
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Guı́a para hacerlo en Matlab
I
I
Definimos el vector y con las diferencias diarias de los tipos a
un año.
Si en el vector x tenemos los datos correspondientes a los
tipos a un año, queremos estimar por cuadrados mı́nimos:
yi = a(µ − xi )∆t = −a∆t xi + a∆tµ = k1 xi + k2
De este modo, tenemos que resolver el sistema
k1
k1
M
=y ⇒
= M\y
k2
k2
donde


x1 1


M =  ... ... 
xn 1
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