( ) dT k TA dt = ( 5) dT k T dt - CiberEsquina

.
Universidad Nacional Abierta
Ecuaciones Diferencial (767-755-729)
Vicerrectorado Académico
Área de Matemática
Fecha: 18-06-2011
Cód. Carreras: 126-508
MODELO DE RESPUESTA
ECUACIONES DIFERENCIALES (755-767)
SEGUNADA INTEGRAL (18-06-2011)
2
2
OBJ 1 PTA 1 Verifique si la expresión y = e − x ∫ e t dt
solución de la ecuación diferencial y´+ 2xy +1= 0.
−
+Ce x
2
es una
SOLUCION Si es solución, basta con derivar y ,sustituir y obtener la igualdad 0=0.
OBJ 2 PTA 2 Un termómetro que esta en el interior de una
habitación se lleva al exterior , donde la temperatura del aire es de 5ºC
.Después de un minuto el termómetro marca 55ºC, y después de 5
minutos marca 30º.¿Cuál es la temperatura inicial de la habitación?
SOLUCION
Este es un problema sobre la Ley de enfriamiento de Newton, de acuerdo a esta
ley , la razón de cambio de la temperatura en el tiempo T(t) de un cuerpo inmerso
en un medio de temperatura constante A es proporcional a la diferencia A-T .Esto
es
dT
= k (T − A) ,donde k es una constante positiva.
dt
En este problema A=5ºC,debemos resolver el problema con valores iniciales
dT
= k (T − 5) ,
dt
la solución de la ecuación es
T (t ) = 5+Ce
kt
, (C una
constante).Cuando t=0 , T(0) = temperatura de la habitación que es nuestra
incógnita. Tenemos T(0)=5+C; T(1)=55=5+ Cek , T(5)=30=5+ Ce5k.
Luego :
(1) 50= Cek,
(2) 25= Ce5k
(3) T(0)=5+C
Resolviendo las ecuaciones anteriores obtenemos nuestra temperatura T(0).
OBJ 3 PTA 3 Determine una función M(x,y) de modo que la ecuación
M(x,y)dx+(xexy+2xy+1/x)dy =0 sea exacta
SOLUCION
Criterio para una diferencial exacta
Sean M(x,y) y N(x,y) continuas y que tienen primeras derivadas
parciales continuas en una región rectangular R definida por a<x<b ,
c<y<d.Entonces una condición necesaria y suficiente para que
M(,y)dx+N(x,y) sea una diferencial exacta es:
∂M ∂N
=
.Entonces
∂y
∂x
∂
M ( x, y ) = P ( x) + ∫ N ( x, y )dy ,donde P(x) es una función
∂x
que depende solo de x.
OBJ 4 PTA 4 Aplique el método de Euler para aproximar la solución del problema de
valor inicial
dy
y
= x + ; y(0) = -3 con tamaño de paso h=1 en el intervalo [0,5].
dx
5
SOLUCION
x
0
Aprox. x
-3
1
-3,6
2
-3,32
3
-1,984
4
0,6912
5
4,7430
OBJ 5 PTA 5 Resuelva la ecuación diferencial dada sujeta a las
condiciones iniciales indicadas y´´+16y =0, y(0)=2 , y´(0)=-2.
SOLUCION
1
y = 2 cos 4 x − sen 4 x
2
OBJ 6 PTA 6 Encuentre una solución de la ecuación 4y´´+ 36y
=csc3x.
SOLUCION Las raíces de la ecuación auxiliar m2+9=0 son m1=3i ,m2=-3i.La función
complementaria yc= Acos3x+Bsen3x.
La solución particular es
y
p
=
1
1
x cos 3 x + ( sen3 x) ln sen3 x .La solución general es
2
36
y = yc+yp= Acos3x+Bsen3x+
1
1
x cos 3 x + ( sen3 x) ln sen3 x .
2
36
OBJ 7 PTA 7 Resuelva el problema de valores iniciales: y´+ 4y = e-4t ; que
esta sujeta a y(0)= 2 , mediante el método de la transformada de Laplace.
SOLUCION
y=
1 4t 19 −6t
+ e
e
10
10
OBJ 8 PTA 8 Resuelva la ecuación: y´´+xy=0 usando serie de potencias.
SOLUCION Como no hay puntos singulares finitos, existen dos soluciones en forma
de series de potencias , centradas en 0, convergentes para
¥
y= ∑ c n x
x <∞.Al sustituir
n
en la ecuación diferencial, operando obtenemos :
n=0
y
y
1
2
= 1−
1 3
1
1
6
9
+
−
+ ......
x
x
x
2.3
2.3.5.6
2.3.5.6.8.9
= x−
1 4
1
1
7
10
+
−
+ ......
x
x
x
3.4
3.4.6.7
3.4.6.7.9.10
FIN DE PRUEBA