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Elasticidad de la demanda.
El término p dx se representa por la letra griega η que representa
x dp
∆𝑥𝑥
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 100( 𝑥𝑥 ) 𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑑𝑑
=
=
= 𝜂𝜂
∆𝑝𝑝
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝
100( ) 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑝𝑝
Dependiendo del valor que toma η se tienen las definiciones siguientes:
1) Si η < – 1, se dice que la demanda es elástica.
2) Si – 1 < η < 0, se dice que la demanda es inelástica.
3) Si η = –1, se dice que la demanda es unitaria.
Los ingresos de los comerciantes se ven afectados por la demanda, y de acuerdo al tipo de elasticidad el
ingreso se ve afectado de la siguiente forma:
(1) Si la demanda es elástica, entre más unidades se vendan, el ingreso total del comerciante aumenta.
Además, si el precio disminuye, el ingreso total aumenta y si el precio aumenta, entonces, el ingreso total
disminuye.
(2) Si la demanda es inelástica, entre más unidades se vendan, el ingreso total del comerciante disminuye.
Además, si el precio disminuye, el ingreso total disminuye y si el precio aumenta, entonces, el ingreso total
aumenta.
(3) Para una demanda unitaria, un aumento o una disminución tanto del precio como de la cantidad no
modifican el ingreso total.
Consideraciones
En los temas vistos anteriormente hemos establecido a x como variable independiente y mide (representa)
unidades a producir o vender y la variable y como variable dependiente que mide (representa) unidades
monetarias, esto es así para las funciones de oferta, ingreso, costo y utilidad, sin embargo esto no es así en el
caso de la demanda ya que la demanda es en función del precio es decir la cantidad demandada depende de
el precio, para nuestro propósito de estudio diremos que en el caso especifico de la demanda la variable
dependiente es x y la independiente p , por lo cual estableceremos la notación a utilizar a fin de evitar
confusiones:
1.
Para la variable
x tendremos como derivada dx
dp
xn
2.
al derivar
3.
para la variable
4.
al derivar
obtendremos
nx n −1
dx
dp
p tendremos como derivada 1
p obtendremos np n −1
n
Ejemplo:
La ecuación de demanda p = 500 – 2x, verifique que la demanda es elástica y el ingreso total es creciente
para 0 < x < 125. Verifique también que la demanda es inelástica y el ingreso total es decreciente para 125 < x
< 250.
Procedimiento
=
p 500 − 2 x
1.
Obtener
dx
dp
derivada de
esto lo logramos derivando la relación de demanda
p
dx
dp
( la
es 1 la derivada de 500 es cero, -2 es una constante solo la copiamos y la
derivada de x es
dx
dp
luego despejamos para dx
1 = −2
dp
2.
1= 0 − 2
dx
dp
−
1 dx
=
2 dp
x y que es p , esto dependerá de cómo esta expresada la relación de
demanda y las variables que tenemos para sustituir, en este caso nos dan x = 100 para
sustituir, entonces para nuestra ecuación de elasticidad deberá contener variables x para poder
Determinar que es
sustituir el valor de 100.
Entonces
3.
a.
y sustituiremos
p
por 500 − 2x
Ahora construimos nuestra ecuación de elasticidad
=
η
4.
x será x
500 − 2 x
1
2 x − 500
× − y luego multiplicamos η =
x
2
2x
Ahora hacemos la sustitución y clasificamos la elasticidad
Por ejemplo, para x = 100,
2(100) − 500
= −1.5
2(100)
Es decir, en el intervalo 0 < x < 125 ⇒ η < – 1. Por tanto, la demanda es elástica y de acuerdo al
𝜂𝜂 =
b.
Por ejemplo, para x = 200,
2(200) − 500
= −0.25
2(200)
Es decir, en el intervalo 125 < x < 250 ⇒ -1<η<0. Por tanto, la demanda es inelástica.
𝜂𝜂 =
Ahora solo nos falta comprobar que el ingreso es creciente entre 0 y 125 y decreciente entre 125 y 250
Ahora para probar si la función es creciente o decreciente en los intervalos anteriores aplicaremos los
conocimientos adquiridos en la aplicación de las derivadas en la construcción de gráficos, primero
determinamos la función de ingreso multiplicando la relación de demanda por x .
R=
( x)
( 500 − 2 x ) x
R=
( x ) 500 x − 2 x 2
Ahora derivamos para determinar el número crítico
R ' (=
x ) 500 − 2 x
] − ∞, 125[
+
Intervalo
Signo de f ' ( x )
500 − 4 x =
0
500
=
x = 125
4
]125, +∞[
−
crece
Conclusión
decrece
Además podemos utilizar el criterio de la segunda derivada, siendo esta
−2 < 0
sabemos que la función
tiene un máximo absoluto en x = 125 y además que del lado izquierdo de un punto máximo la función es
creciente y del lado derecho es decreciente.
Ejemplos:
1)
Para la relación
=
p
12 − x halle la elasticidad de la demanda cuando:
a) x = 5
I.
b) x = 10
c) x = 8
Primero determinamos la derivada de la relación de demanda
1=
=
1
1
dx 
1
− 
(12 − x ) 2  − 
dp
2


1
2 (12 − x )
1
2
×−
dx
dp
1
dx
−
2 (12 − x ) 2 =
dp
1
dx
=
−2 (12 − x ) 2
dp
II.
Ahora determinamos que es
p
Como la variable a sustituir es
III.
y que es ,
x
1
entonces
x = x , luego =
p (12 − x ) 2
Ahora construimos nuestra ecuación de elasticidad
1
η=
IV.
p dx
⋅ =
x dp
p
⋅ (− 2 p )=
x
(12 − x ) 2
x
1
2
× − 2(12 − x)=
− 2(12 − x)
=
x
− 24 + 2 x
=
x
Ahora hacemos las sustituciones y clasificamos la elasticidad
a) x =
5 ⇒ η =
− 14 / 5 =
− 2.8 ⇒ la demanda es elástica.
Un aumento en el precio provoca una disminución en el ingreso.
b) x =
10 ⇒ η =
− 4 /10 =
− 0.4 ⇒ la demanda es inelástica.
Un aumento en el precio provoca un aumento en el ingreso.
c) x =
8 ⇒ η =
− 8/8 =
− 1 ⇒ la demanda tiene elasticidad unitaria.
Un aumento en el precio no causa cambio en el ingreso.
2 x − 24
x
2)
(cambio de precio y elasticidad). La ecuación de la demanda de cierto producto es
x = 4,100 − p 2 . ¿Un aumento en el precio, incrementará o disminuirá el ingreso
total en el nivel de demanda de:
a) p = L. 25.00?
b) p = L. 40.00?
dx
= −2 p
dp
p dx
x dp
p
η=
= ⋅
=
⋅ (− 2 p)
2
4,100 − p
− 2 p2
=
4,100 − p 2
2 p2
p 2 − 4,100
Se dividio el signo negativo
2 (25) 2
= − 0.3597 demanda inelástica.
(25) 2 − 4,100
Un aumento en el precio causa que el ingreso aumente.
a) η =
2 (40) 2
= − 1.28 demanda elástica.
(40) 2 − 4,100
Un aumento en el precio causa que el ingreso disminuya.
b) η =
La ecuación de demanda de cierto artículo se define por: x 2 + p 2 =
25, donde x
representa la cantidad y p el precio en lempiras. Determine la elasticidad de la
demanda e interprétela en términos del ingreso, cuando el precio es:
3)
a) p = 5
3
b) p =
Lempiras
5
2
Lempiras
p=
5
6
Lempiras
3
2
3
c)
x 2 = 25 − p 2 ⇒ x = (25 − p 2 ) 1/ 2
dx 1
p
= (25 − p 2 ) − 1/ 2 (− 2 p ) =−
dp 2
(25 − p 2 ) 1/ 2


p dx
p
p
p2
=
⋅−
 =−
x dp (25 − p 2 ) 1/ 2  (25 − p 2 ) 1/ 2 
25 − p 2
η= ⋅
25
5
3
a) p =
⇒η=
−
3
25 −
3
25
=
−
25
=
− 0.5
50
3
Demanda inelástica. Un incremento en el precio, provoca
una disminución en el ingreso
25
5
2
b) p =
⇒η=
−
2
25 −
2
25
=
−
25
=
−1
25
2
Demanda con elasticidad unitaria. Incrementos en el precio
no afectan al ingreso
50
5
6
c) p =
3
⇒η=
−
3
25 −
50
=
−
50
=
−2
25
3
Demanda elástica. Un incremento en el precio, provoca
un incremento en el ingreso
La ecuación de demanda de cierto artículo se define por: p 2 + x 2 =
100, donde x
representa la cantidad y p el precio en lempiras. Determine la elasticidad de la
demanda e interprétela en términos del ingreso, cuando el precio es:
4)
p2 + x2 =
100 ⇒ 2 p + 2 x
dx
dx
2p
dx
p
=
=
−
⇒
=
−
0 ⇒
dp
dp
dp
x
2x
p 2 + x 2 =100 ⇒ p 2 − 100 =− x 2 ⇒ − x 2 =p 2 − 100
p dx p  p 
p2
p2
p2
= −  =
− 2 = 2 =2
x dp x  x 
x
p − 100
−x
η =⋅
a)
p=
6
b) p = 5
c)
p=
2
10
3
5)
Lempiras ⇒
Lempiras ⇒
p2
p − 100



p2
=
η = 2
p − 100







 DEMANDA ELÁSTICA.
Lempiras ⇒
20
η =2
⇒
(






20
6
2
20
6
2

 − 100

400
=
6
400
400
=
− 100
400
− 600
=
400
− 200
= −2
6
Una disminución en el precio , incrementa el ingreso.
)
2

5 2
p2
50
50

=
=
=
=
= −1
η

2
.
−
50 − 100
50
p 2 − 100

− 100
5 2

 DEMANDA CON ELASTICIDAD UNITARIA. Cambios en el precio no afectan al ingreso
(
)
2

 10 
100





3 
100
100
p2
3


=
=
=
=
= −
η = 2
2
100
100 − 300
200
−
p − 100

 10 
− 100


 − 100
3
3 




 DEMANDA INELÁSTICA. Una disminución en el precio, disminuye el ingreso.
1
2
La ecuación de demanda de cierto artículo se define por: ( p − 9)2 + x 2 =
25, 9 ≤ p ≤ 14
donde x representa la cantidad y p el precio en lempiras. Si la cantidad demanda x es de
4 unidades, determine la elasticidad de la demanda clasificándola como elástica,
inelástica o de elasticidad unitaria e interprétela en términos del ingreso.
x = 4 ⇒ ( p − 9) 2 + 42 = 25 ⇒ ( p − 9) 2 + 16 = 25 ⇒ ( p − 9) 2 = 25 − 16 = 9
9± 3 ⇒ p =
12 ∨ p =
6
⇒ p−9=
±3 ⇒ p=
=
p 12 porque 6 no está en el intervalo : 9 ≤ p ≤ 14.
( p − 9) 2 + x 2 =
25 ⇒ 2( p − 9) + 2 x
dx
dx
2( p − 9)
dx 9 − p
=⇒
0
=
−
⇒
=
dp
dp
dp
x
2x
3(− 3)
9
p dx p  9 − p  p (9 − p )
12(9 − 12)
=
=
−
=
− 2.25 < − 2
= ⋅
=
=
x dp x  x 
4
4
x2
42
η= ⋅
La demanda es elástica. Una disminución en el precio incrementa el ingreso.
6)
La ecuación de demanda de cierto producto es:
p 2 + ( x=
− 40) 2 2, 500 (40 ≤ x ≤ 90)
donde p es el precio. Encuentre la elasticidad de la demanda cuando p = L.30 y use este valor
para calcular el cambio porcentual aproximado de la demanda si el precio de L.30 se baja a
L.28.50.
2 p + 2 ( x − 40 )
primero determinamos la derivada
dx
=
0
dp
dx
=
−2 p
dp
dx
−2 p
−p
= =
dp 2 ( x − 40 ) x − 40
2 ( x − 40 )
luego determinamos
x ya que conocemos el valor de p = 30
p 2 + ( x − 40) 2 = 900 + ( x − 40) 2 = 2, 500
despejamos para x
⇒ ( x − 40) 2 =
± 40
2, 500 − 900 =
1, 600 ⇒ x − 40 =
descarta ) ó x 80 ( se toma )
=
⇒ x 0 ( se =
−p
−30
30
30
900
=
×
=
−
=
− 0.28125
80 x − 40 80 80 − 40
3200
− 0.28125 ⇒ Demanda inelástica.
η=
×
η=
Sabemos que
η=
∆% x
= − 0.28125
∆% p
Luego podemos determinar la variación porcentual en el precio pues se establece que el
precio disminuye de
L.30 a L.28.50
p1 = 30
p2 = 28.50
p2 − p1 28.50 − 30
∆% p =
=
=
−0.05
p1
30
cuando trabajamos con variaciones el signo de estas es importante ya que como en este caso
el signo negativo implica una disminucion porcentual en el precio
ahora obtenemos la variacion porcentual en la cantidad demandada despejando de la sigueinte ecuacion
∆% x
-0.28125 =
−0.05
∆
=
% x ( -0.28125 )( −0.05
=
) 0.0140625 ≅ 1.41%
esto implica un aumento de 1.41% en la cantidad demandada