D - Canek

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Ley de Newton de cambio de temperaturas.
E: Un material cerámico se saca en cierto momento de un horno cuya temperatura es de 750 ı C,
para llevarlo a una segunda etapa de un proceso que requiere que el material se encuentre a una
temperatura de cuando mucho 200 ı C. Suponga que la temperatura de una sala de enfriamiento
donde se colocará este cerámico es de 5ı C y que, después de 15 min, la temperatura del material
es de 600 ı C. ¿En cuánto tiempo el material cerámico estará listo para entrar a la segunda etapa
de su proceso?
D: H La temperatura T .t/, en ı C, del material cerámico al cabo de t minutos, está dada por la
solución del PVI:
T 0 .t/ D kŒT .t/
Resolvemos la ED:
dT
D k.T
dt
5; con T .0/ D 750 y además T .15/ D 600:
Z
Z
dT
dT
5/ )
D k dt )
Dk
dt )
T 5
T 5
) ln.T 5/ D k t C C ) T 5 D e ktCC D e kt e C D e kt C )
) T
5 D C e kt ) T .t/ D 5 C C e kt :
Hemos encontrado la solución general de la ED. Considerando que
T .0/ D 750 ) 5 C C e 0 D 750 ) C D 745 ) T .t/ D 5 C 745e kt I
119
600 5
T .15/ D 600 ) 5 C 745e 15k D 600 ) e 15k D
D
)
745
149
1
119
119
) 15k D ln
) kD
D 0:015 ) T .t/ D 5 C 745e
ln
15
149
149
.0:015/t
:
La expresión anterior es la solución del PVI. El material cerámico estará listo para entrar a la
segunda etapa del proceso cuando T .t/ D 200 ı C, lo cual sucederá cuando:
T .t/ D 200 ) 5 C 745e
.0:015/t
D 200 )
200 5
39
39
.0:015/t
) e
D
D
) .0:015/t D ln
)
745
149
149
1
39
) tD
ln
D 89:36 min 1 h, 29 min, 22 s.
0:015
149
3. canek.azc.uam.mx: 29/ 11/ 2010