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Hinojosa
1.-Juegos cooperativos n-personales TU
La teoría de juegos se ha convertido en una poderosa herramienta para analizar
situaciones económicas, políticas y sociales. De hecho, se ha mejorado la descripción
mecánica inspirada en las ciencias físicas incorporando a los modelos la conducta
estratégica de los agentes, que cooperan o compiten para lograr sus objetivos.
Son muchos los modelos que pueden representarse mediante la teoría de juegos.
Según que el problema presente conflictos entre dos decisores o entre más de dos
decisores distinguiremos entre juegos bipersonales y juegos n-personales ( n ≥ 3 ). Según
que se permita la colaboración entre los jugadores o no se permita, distinguiremos entre
juegos no cooperativos y juegos cooperativos. Según que la modelización del juego se
utilice distinguiremos entre juegos en forma normal o estragégica y juegos en forma de
función característica.
En los juegos bipersonales suele usarse la forma normal o estratégica del juego
debido a que ello permite el estudio de las estrategias mixtas que son la base del
concepto de solución de este tipo de juegos, al no existir la posibilidad de coaliciones.
Los juegos n-personales, aunque también pueden estudiarse en forma estratégica, tienen
un tratamiento mas apropiado a través de la función característica, sobre todo en el caso
en que exista posibilidad de acuerdo entre los jugadores.
Si en un juego cooperativo n-personal se forman coaliciones que permanecen
por un cierto tiempo es porque los diferentes miembros de la coalición alcanzan un
cierto equilibrio o estabilidad. Esta idea de estabilidad es la que se analiza en cualquier
teoría encaminada a la definición del concepto de solución de un juego.
Vamos a centrarnos en los juegos que permiten que la utilidad obtenida por una
coalición cualquiera pueda ser dividida de cualquier manera entre los miembros de la
coalición. De esta forma estaremos interesados exclusivamente en la utilidad total que
puede alcanzar cada coalición. Este tipo de juegos se llaman de utilidad transferible o
juegos TU. En otro caso los juegos se llaman de utilidad no transferible o juegos NTU.
Definición: (Juego cooperativo n-personal en forma de función característica)
Un juego cooperativo n-personal en forma de función característica viene dado por el
conjunto N = {1,2, ... , n} , denominado conjunto de los jugadores y por una función, v,
definida en los subconjuntos de N que asigna a cada coalición S ⊆ N un número real
v(S) no negativo y que cumple:
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VII Jornadas de ASEPUMA
1) v(φ) = 0
2) v(S) ≥ 0 ∀ S ⊂ N
v(N ) > 0 .
v(S) representa la utilidad total o pago que puede obtener la coalición S
independientemente de la actuación del resto de los jugadores.
Representaremos por g v a la familia de todos los juegos cooperativos npersonales en forma de función característica. Un elemento de dicha familia se
representara por (N, v ) .
Definición:(Juego superaditivo)
Un juego
(N, v ) ∈ g v se
dice que tiene la propiedad de superaditividad
superaditivo si se verifica v(S ∪ T ) ≥ v(S) + v(T )
si
o que es
S∩T = φ
Definición: (Colección equilibrada)
Sea β = {S1 , S 2 , ... , Sl } una colección de subconjuntos no vacíos de N. Diremos que la
colección β es equilibrada si existen α S1 , α S2 , ... , α Sl reales y positivos tales que:
∑α
Sj
= 1 ∀i ∈ N
j
i∈S j
Definición: (Juego equilibrado)
Un juego (N, v ) ∈ g v se dice equilibrado si para cualquier colección equilibrada de
coaliciones β con pesos de equilibrio (α S )S∈β se verifica que
∑ α v(S) ≤ v(N )
S∈β
S
En el espacio n-dimensinal R n designaremos por R ≥n al conjunto de vectores
{
(
)
siguiente: R ≥n = u = u 1 , u 2 , ... , u n ∈ R n / u i ∈ R + ∀ i = 1,2, ... , n
}
Dado un vector u ∈ R ≥n y dada una coalición S ⊆ N , denotaremos por u S a la
siguiente suma: u S = ∑ u i
i∈S
Dadas las valoraciones de las coaliciones que se forman en la realización de un
juego cooperativo, nos gustaría saber cuales serán los posibles vectores de pagos que
obtendrán los jugadores. Este análisis se basa en suponer que los jugadores tendrán una
cooperación total, formarán la gran coalición N y se repartirán su vector de pagos v(N ) .
El problema se centra en cómo dividir los beneficios totales entre los jugadores que
participan en el juego de una manera justa.
365
Hinojosa
En un juego (N, v ) ∈ g v , una preimputación es un vector u ∈ R ≥n que reparte
entre los jugadores v(N ) , es decir, u N = v(N ) . El conjunto de las preimputaciones del
juego se representa por I* (N, v ) . Si la preimputación es tal que cada jugador consigue
en el reparto mas o igual que por si mismo, u i ≥ v({ i}) ∀i ∈ N , el vector u ∈ R ≥n se
denomina imputación. El conjunto de las imputaciones del juego se representa por
I (N, v ) . De entre todas las imputaciones del juego estamos interesados en los repartos
de v(N ) que sean estables en el sentido de que ninguna coalición tenga motivos para
estar en desacuerdo con el reparto. El conjunto de estas imputaciones estables se
denomina núcleo del juego.
Definición: (Núcleo del juego)
Dado el juego cooperativo n-personal (N, v ) ∈ g v se define el núcleo del juego y se
representa por C(N, v ) , como el siguiente conjunto:
{
}
C(N, v ) = u ∈ I * (N, v ) / u S ≥ v(S) ∀S ⊆ N
El núcleo del juego puede tener mas de un punto, lo que significa que hay mas
de un reparto estable. Sin embargo no tiene por qué existir algún reparto estable, decir,
el núcleo puede ser vacío. Para que el juego tenga núcleo no vacío tendrá que ocurrir
que el problema:
n
∑x
min
i =1
∑x
s.a :
i∈S
i
i
≥ v(S) ∀S ⊆ N
tenga solución z * ≤ v(N ) .
Consideremos el problema dual:
n
max
∑ α v(S)
S
S⊆ N
s.a :
∑α
S⊆ N
i∈S ⊆ N
S
= 1 ∀i ∈ N
α S ≥ 0 ∀ S ∈ N.
Si el problema es factible, sabemos que ambos problemas son factibles y el óptimo del
problema dual será q * = z * . Por tanto C(N, v ) ≠ φ ⇔ q * ≤ v(N ) . Esto es el teorema de
Bondareva que establece que el juego tiene núcleo no vacío si y solo si es equilibrado.
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VII Jornadas de ASEPUMA
2.- El juego de la producción
El problema económico de la producción puede formularse como un juego
cooperativo en el cual los jugadores proporcionan al proceso de producción una
determinada cantidad de recurso con el fin de producir unos productos que pueden
venderse a un determinado precio de mercado (véase Owen (1975)). El proceso de
producción se supone lineal de forma que la función característica del juego puede
obtenerse resolviendo un problema de programación lineal. Veremos que puede
utilizarse la teoría de la dualidad en programación lineal para obtener un vector de
precios de equilibrio y probar que el núcleo del juego es no vacío.
Consideremos el juego de producción lineal con n jugadores que disponen cada
(
)
uno de un vector q-dimensional de recursos b i = b1i , b i2 , ... , b iq ,
i = 1,2, ... , n . No
hay una demanda primaria de los recursos, pero si hay una demanda secundaria de ellos
porque los recursos se usan para obtener unos productos que se venden a un precio de
mercado dado.
La coalición S ⊆ N dispone de una cantidad total del recurso h-ésimo
(h = 1,2, ... , q )
igual a b Sh = ∑ b ih . Supondremos que el modelo de producción es
i∈S
lineal, pero que para obtener una unidad del j-ésimo producto ( j = 1,2, ... , p ) se requiere
una cantidad del h-ésimo recurso a hj (S) , que depende de la coalición. Usando todos sus
recursos, los miembros de la coalición S obtienen unas cantidades de producto que
denotaremos por x Sj
j = 1,2, ... , p que se venderán a un precio de mercado dado que
denotaremos por c j
j = 1,2, ... , p . Si la coalición S quiere maximizar sus ingresos,
(
)
buscará un vector X S = x 1S , x S2 , ... , x Sp que maximice el precio total de su producción:
v(S) = max c1 x 1S + c 2 x S2 + L + c p x Sp
s.a : a 11 (S) x 1S + a 12 (S) x S2 + L + a 1 j (S) x Sj + L + a 1p (S) x Sp ≤ b1S
a 21 (S) x 1S + a 22 (S) x S2 + L + a 2 j (S) x Sj + L + a 2 p (S) x Sp ≤ b S2
M
M
M
M
M
a h1 (S) x 1S + a h 2 (S) x S2 + L + a hj (S) x Sj + L + a hp (S) x Sp ≤ b Sh
M
M
M
M
M
a q1 (S) x + a q 2 (S) x + L + a qj (S) x + L + a qp (S) x ≤ b Sq
S
1
S
2
S
j
x 1S , x S2 , L , x Sp ≥ 0
367
S
p
Hinojosa
Si denotamos por C = (c1 , c 2 , ... , c p ) al vector de precios y por A(S) y BS a la matriz
tecnológica y vector de recursos respectivamente:
 a 11 (S) a 12 (S) L a 1 j (S) L a 1p (S) 


 a 21 (S) a 22 (S) L a 2 j (S) L a 2 p (S) 


M
M
O M O M


A(S) =
 a h1 (S) a h 2 (S) L a hj (S) L a hp (S) 


M
O M O M

 M

 ( )
 a m1 S a m 2 (S) L a mj (S) L a mp (S)
 b 1S 
 
 b S2 
 
 M
S
B = S 
b
 h
 M
 S 
 bq 
el problema anterior se puede escribir abreviadamente de la siguiente forma:
v(S) = max C t X S
s.a : A (S) X S ≤ B S
(P(S))
X ≥0
S
Consideramos la función v como la función característica de un juego
cooperativo n-personal que puede probarse que es superaditivo.
Teorema: Si la matriz tecnológica cumple que A(S) ≥ A(T ) ∀ S ⊆ T ⊆ N , el juego de
la producción es un juego equilibrado.
Demostración: Sea β una colección equilibrada con pesos de equilibrio (α S )S∈β . Para
cada h, h = 1,2, L , q , tenemos:




α S b = ∑ α S ∑ b = ∑  ∑ α S  b ih = ∑ b ih = b hN
∑
S∈β
S∈β
i∈S
i∈N  S∈β
i∈N

 i∈S

S
h
i
h
Para cada coalición S ∈ β , consideremos v(S) = C t X
S
donde X
S
es una solución
óptima del problema (P(S)) . Entonces:
(
)
p
p


S
S
S
t


 ∑ α S x j  = C t X̂
(
)
α
v
S
=
α
C
X
=
α
c
x
=
c
j
∑
∑
∑
∑
∑
S
j
j
S
S

 j=1
 j=1  S∈β
S∈β
S∈β 
S∈β



donde X̂ = (x̂ 1 , x̂ 2 , L , x̂ p ) es el vector definido por x̂ j = ∑ α S x j .
S
S∈β
Si el vector X̂ fuera factible para el problema lineal de la coalición completa (P(N )) ,
tendríamos que C t X̂ ≤ v(N ) , pues v(N ) es el máximo de (P(N )) , y por lo tanto se
verificaría que
∑ α v(S) ≤ v(N ) y el juego sería equilibrado.
S∈β
S
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VII Jornadas de ASEPUMA
Vamos a ver que efectivamente X̂ es una solución factible del problema (P(N )) :
1) x̂ j ≥ 0 ∀ j = 1, 2, L , p
p
p

S
S


a
N
x̂
=
a
N
α
x
(
)
(
)
=
α
j
∑
∑
hj
j
hj
 ∑ S  ∑ S ∑ a hj (N ) x j ≤
j=1
j=1
j=1
 S∈β
 S∈β
p
2)
p
≤ ∑ α S ∑ a hj (S)x j ≤ ∑ α S b Sh = b hN
S∈β
S
j=1
∀ h = 1, 2, L , q
S∈β
y por lo tanto A(N ) X̂ ≤ B N .
Corolario: El núcleo del juego de la producción con coeficientes tecnológicos
cumpliendo A(S) ≥ A(T ) ∀ S ⊆ T ⊆ N es no vacío.
Para encontrar elementos del núcleo del juego de la producción construimos el
dual del problema (P(S)) :
min b1S y1S + b S2 y S2 + L + b Sh y Sh + L + b Sq y Sq
s.a : a 11 (S) y1S + a 21 (S)y S2 + L + a h1 (S) y Sh + L + a q1 (S)y Sq ≥ c1
a 12 (S) y1S + a 22 (S)y S2 + L + a h 2 (S) y Sh + L + a q 2 (S)y Sq ≥ c 2
M
M
M
M
M
a 1 j (S) y1S + a 2 j (S)y S2 + L + a hj (S) y Sh + L + a qj (S)y Sq ≥ c j
M
M
M
M
(D(S))
M
a 1p (S) y1S + a 2 p (S)y S2 + L + a hp (S) y Sh + L + a qp (S)y Sq ≥ c p
y1S , y S2 , L , y Sp ≥ 0
que abreviadamente sería:
t
min BS Y S
t
s.a : A S Y S ≥ C
(D(S))
Y ≥0
S
(
Sea Y * = y1* , y *2 , L , y *q
)
una solución óptima del problema dual para la
coalición formada por todos los jugadores, (D(N )) . Entonces v(N ) = B N Y * . Ahora
t
bien, Y * es factible para el problema planteado para cualquier coalición S ⊆ N pues:
369
Hinojosa
A(S) Y * ≥ A (N ) Y * ≥ C .
t
t
Por tanto v(S) ≤ B S Y * porque v(S) es el mínimo del problema (D(S)) .
t
(
Consideremos el vector de pagos u = u 1 , u 2 , L , u n
)
definido de la siguiente
forma: u i = b1i y1* + b i2 y *2 + L + b iq y *q . Se verifica:
1) u N = v(N )
q
q
2) u S = ∑ ∑ b ih y *h = ∑∑ b ih y *h = B S Y * ≥ v(S)
i∈S h =1
t
h =1 i∈S
(
)
Por tanto u = u 1 , u 2 , L , u n es un elemento del núcleo del juego.
3.-Juegos cooperativos vectoriales
Sea m un entero positivo y fijo y sea K = {1, 2, L , m}. Un elemento k ∈ K se
denominará un objetivo. En el espacio m-dimensinal R m designaremos por R >m al
=
{
}
conjunto: R m> = u = (u 1 , u 2 , ... , u m ) ∈ R m / u k ∈ R + ∀ k = 1, 2, ... , m
=
Al conjunto de las matrices reales no negativas de orden mxn lo denotaremos por
Μ mxn
. Dada una matriz U ∈ Μ mxn
y dada una coalición S ⊆ N , denotaremos por U S a
>
>
=
=
la siguiente suma: U S = ∑ U i , donde con U i denotamos el vector columna i-ésimo de
i∈S
la matriz U.
Un juego cooperativo vectorial es un par formado por el conjunto de los
jugadores, N, y una correspondencia, V, denominada función característica, que nos da
la fuerza de cada coalición, medida en términos los m objetivos que se intentan
optimizar. V asocia a cada coalición S ⊆ N el conjunto característico VS ⊂ R m> .
=
Definición: (Juego cooperativo vectorial)
Se define un juego cooperativo vectorial como el par (N, V ) donde:
1)
Vφ = {θ}
2)
VS es no vacío y compacto ∀ S ⊆ N
3)
Si x ∈ VS , entonces y ∈ VS ∀ y ∈ R m> / y < x
=
370
=
VII Jornadas de ASEPUMA
Representaremos por G V a la familia de todos los juegos cooperativos
vectoriales n-personales en forma de función característica.
Definición:(Juego vectorial superaditivo)
Un juego (N, V ) ∈ G V se dice que tiene la propiedad de superaditividad
superaditivo si se verifica VS + VT ⊆ VS∪T
si
o que es
S∩T = φ
Definición: (Juego vectorial equilibrado)
Un juego (N, V ) ∈ G V se dice equilibrado si para cualquier colección equilibrada de
coaliciones β con pesos de equilibrio (α S )S∈β se verifica que
∑α V
S∈β
S
S
⊆ VN
En un juego cooperativo vectorial (N, V ) ∈ G V , si todos los jugadores cooperan
tendrán ahora el problema de repartir sus posibles vectores de pagos. Nos van a
interesar, por lo tanto, los vectores no dominados de VN , que denotamos por ND(VN ) .
Para cada punto z ∈ ND(VN ) , un reparto vendrá dado por la matriz:
 u 11 u 12 L u 1i L u 1n 


 u 12 u 22 L u i2 L u n2 


M M O MO M 

U (z ) = 1 2
∈ Μ mxn
>
u u L ui L un 
=
k
k
k
k


M M O M O M 
 1 2
i
n 
um um L um L um 
U (z ) representa por columnas los pagos que recibe un jugador en cada criterio, es decir,
(
U i (z ) = u 1i , u i2 , L , u im
)
t
son los pagos del jugador i en cada uno de los m criterios, y
por filas la distribución de cada componente del vector z entre los jugadores, es decir,
(
)
U k (z ) = u ik , u 2k , L , u nk son los pagos en el criterio k que recibe cada jugador.
Definición: (Preimputación del juego)
Para cada z ∈ ND(VN ) definimos matriz de distribición eficiente o preimputación
respecto de z como una matriz no negativa U (z ) ∈ Μ >mxn
que verifica que
=
U Nj (z ) = z j ∀ j ∈ K , es decir, X N (z ) = z . Al conjunto de preimputaciones respecto de z
del juego lo representamos por I* (N, V; z ) . Se define el conjunto de las preimputaciones
del juego y se representa por I* (N, V ) al siguiente conjunto:
371
Hinojosa
I * (N , V ) =
U I * (N, V; z )
z∈ND ( VN )
Definición: Una preimputación U ∈ I* (N, V ) diremos que es una imputación del juego
si U i ∉ V{i } \ ND(V{i} ) ∀ i ∈ N . El conjunto de las imputaciones del juego se denota por
I(N, V ) .
Definición: (Núcleo)
Una imputación U ∈ I(N, V ) diremos que es estable o que está en el núcleo del juego si
ND(V
verifica U ∉ V
)
∀
N
Supongamos ahora que en nuestro modelo de producción lineal se intentan
simultaneamente m objetivos distintos. El problema de la producción
multiobjetivo sería:
max C X S
s.a :
A(S) X S ≤ B S
(PV (S))
X ≥0
S
donde ahora C es una matriz de orden mxp. Si denotamos por TS al siguiente conjunto:
{
}
V = (Max T \ R ) I R
TS = Z ∈ R m> / Z = C X S , ∀ X S tal que A(S) X S ≤ B S , X S ≥ 0 ,
=
se puede construir el juego
(N , V ) ∈ G V
donde
S
S
m
>
=
m
>
, que
=
denominaremos el juego de la producción lineal multiobjetivo y del que puede probarse
que tiene la propiedad de superaditividad.
Teorema: Si la matriz tecnológica cumple que A(S) ≥ A(T ) ∀ S ⊆ T ⊆ N , el juego de
la producción lineal multiobjetivo es un juego equilibrado.
Demostración: Sea β una colección equilibrada con pesos de equilibrio (α S )S∈β . Para




cada h, h = 1,2, L , q , tenemos ∑ α S b = ∑ α S ∑ b = ∑  ∑ α S  b ih = ∑ b ih = b hN
S∈β
S∈β
i∈S
i∈N  S∈β
i∈N

 i∈S

S
h
i
h
Sea Z = C X donde X es una solución óptima del problema (PV (S)) . Entonces:
S
S
S
∑α
S∈β
(
)
Z = ∑ α S CX = C∑ α S X = CX̂ = Ẑ
S
S
S∈β
S
donde X̂ = ∑ α S X .
S
S∈β
372
S
S∈β
VII Jornadas de ASEPUMA
Como vimos en la demostración del teorema anterior, el vector X̂ es factible para el
problema lineal de la coalición completa (P(N )) . Entonces Ẑ es un punto de TN y por
lo tanto Ẑ está en VN . Como Z
verificaría que
∑α
S∈β
S
S
es un punto no dominado cualquiera de VS , se
v ∈ VN ∀ v ∈ VS , es decir,
∑α V
S∈β
S
S
⊆ VN y el juego es
equilibrado.
Corolario: El núcleo del juego de la producción lineal multiobjetivo con coeficientes
tecnológicos cumpliendo A(S) ≥ A(T ) ∀ S ⊆ T ⊆ N es no vacío.
De forma análoga a como se ha hecho en el caso uniobjetivo se aplica la teoría
de la dualidad al problema lineal de la producción multiobjetivo para obtener elementos
del núcleo del juego asociado.
Bibliografía:
Lind, M. (1996): “Cooperative game theory”. Tesis doctoral. Department of
Econometrics, Tilburg University.
Nishizaki I., Sakawa M. (1998): “Multiobjetive linear production programming games”.
Paper presented to the at the 14 th International Conference on Multiple Criteria
Decision Making. Virginia USA.
Nouweland, A. van den, Aarts, H. and Borm, P (1989): “Multicommodity games”.
Methods of Operation Research 63 329-338.
Owen, G. (1975): “On the core of linear production games”. Mathematical
Programming 9 358-370.
Owen, G (1995): Game theory. Academic Press.
373