Funciones exponencial y logaritmo.

Derivada de FUNCIONES LOGARÍTMICAS
F. logaritmo Neperiano f  x=ln u
;
F. logaritmo base a f  x= log a u=
lnu
ln a
f '  x= u' ·
;
1 u'
=
------ f  x=ln x
u
u
f '  x =
;
f ' x =
u'
ln x
----- f  x= log a x=
u· lna
ln a
;
1
x
f '  x =
1
x · ln a
EJEMPLOS
a) f(x)= ln (2x+1)
f ' ( x)=
b) f(x) =ln ( sen x + cos x)
4
2
2x+1
f '(x)=
c) f(x)= log3 (3x5 –2x+3)
cos x−sen x
sen x+cos x
15 x −2
(3x −2x+3 )· ln 3
y'=
d) f(x) =log (1+arctg x);
y'=
5
1
(1+x2 )· (1+arctg x) · ln 10
EJERCICIOS
1. y= ln ( x3 – 4x2 + 3)
4. y= log3 (ex)
7. y= ln (x2 + 1) – ln ( x2 – 1)
2. y= ln ( tg x)
5. y= log5 (2·arc sen x)
3. y= ln (3x – 2 sen x)
6. y= log2 (x2 – 3x) – 3· ln (1 – 2x2)
8. y= log
3
x4
y=log ( sen √ x)
9.
2
10. y= ln ( x+ √ x +1)
NOTA: En ocasiones conviene aplicar las propiedades de logaritmos que ya hemos estudiado.
•
ln a · b=ln aln b
•
ln
a
= ln a−ln b
b
•
p
ln a = p · ln a
EJEMPLOS
a) f(x)= ln
3x+ 2
2
= ln (3x+ 2)−ln ( x − x)
x 2−2x
3
b) f(x)= ln ( sen3x)= 3·ln (sen x)
4
3
3
1
2
4
c) f(x) = ln ( √ x · √ x)= · ln x+ · ln x=
2
2x−2
−3x −4x+4
f '(x)= 3x+2 − 2
=
( x − x)
(3x+2 )( x2 − x)
f '(x)=
11
· ln x
6
f '(x) =
3
cos x
=3· cotg x
sen x
11
6x
EJERCICIOS
11. f(x)= ln
12.f(x)=
ln
(
3x +1
2x −3
)
5
√ x9
5
13. f(x) = log [(2x+1) · tg x ]
14. f(x) =
log 2
√
( )
ex
e +1
16. f(x)= 2·ln (x·arcsen x)
x
15. f(x)= ln 1−cos x
1+cos x
17. f(x)= log 3
2
4
√ (3x²+1 )3
18. f(x) = ln (3·sen4 x)
Soluciones
2
1. y'=
2x
3 x −8 x
x 3−4 x 2+3
2x
−4x
7. y= x 2+1 − x 2−1 = x 4 −1
2
−4
x · ln 10
tg x+1
=tg x+cotg x
2. y'=
tg x
8. y=
3−2cos x
3x−2
sen x
3. y'=
9. y'= ln 10 · 2 √ x
(
1
2
1+tg 2 x
+
ln 10 2x+1
tg x
13.y'=
1
1
14.y'= ln 2 · e x +1
cotg √ x
1
15.y'= sen x
1
√ x 2 +1
4. y'=
1
ln 3
10.y'=
5. y'=
2
2
ln 5· arc sen x· √ 1− x
11. y'= (3x+1)(2x −3)
17.y'= ln 3 · 2
6 x +2
12.y'= −9
18.y'=4·cotg x
2x−3
2
12x
2
16.y'= x +
√ 1− x2 · arcsen x
−11
6. y'= ln 2 · ( x2 −3x) + 1−2 x 2
)
1
5x
−9x
Derivada de FUNCIONES EXPONENCIALES
F. exponencial base e
f (x )=e
u
;
f ' ( x)= u ' · e
F. exponencial base a
f (x )=a u
;
f ' ( x)= u ' · a u · ln a ----- f (x )=a x
Nota: las funciones tipo y=
u
f (x )=e
------
x
;
f ' (x )= e
x
f ' (x )= a x · ln a
;
1
, conviene derivarlas haciendo y= a −u
au
EJEMPLOS
a) f(x)= e 2x+1
2
f '(x)= 2·e 2x+1
2+ x
2+ x
4 · ln 3 2− x
·3
f '(x)=
(2−x )2
2− x
b) f(x)= 3
2
c) f(x) = e 3x +cos x
d) f(x)=
f '(x)= (6x−sen x )· e3x +cos x
√5x+3
()
2
5
f '(x)= ln
()
EJERCICIOS
1. y= 10√ x+1
2. y=
e
e x +e−x
2
3. y=
1
2
3− x
4. y= 3
5. y=
3x+1
2
sen x
6. y=
e
1.
2.
2x
y'=
e 3−x
2 2
(3−x )
2x
2
3−x
9. y=
3.
y'=
4.
y'= 2 ln 3 · sen x · cos x ·3 sen
6.
6+2x 2 x −3
y'= − 2
·e
( x −3)2
7.
x
y'= −12
5 ·e
8.
y'= − sen √ x · a cos √ x · ln a
9.
y'= − 1+
2
1
5.
y'=
e x −e−x
2
−11 · ln2
·2
( 5x−2)2
3x+1
5x−2
2
x
3
4
x
2√x
(
)
x
· 5−( x+ √ x +1)
√ x 2+1
2
4
a cos√ x
8.
2x
2
ex
1
Soluciones
ln 10
10 √ x+1
y'=
2 √ x+1
3
7. y=
2 5x −2
√ 5x+3
()
2
5
2
·
5 2 · √5x+3 5
1
5 x+√ x +1
2