La posición y el momento de un sistema cuántico

Introducción a la Química Computacional
La posición y el momento de un sistema
cuántico (ejercitación)
Obtener la relación de conmutación entre los operadores de
posición y de momento sobre una coordenada en un sistema
cuántico:
[ pˆ x , xˆ ] = xˆpˆ x f ( x) − pˆ x xˆf ( x)
Solución:
El operador del momento lineal en mecánica cuántica sobre una
∂
coordenada cartesiana x es − i}
y la expresión de conmutación
∂x
cuando se actúa sobre una función f(x) puede expresarse como:
∂f ( x) 

xˆpˆ x f ( x) = xˆ  − i

∂
x


= p x xˆ
También:
∂f ( x) 
 ∂x
pˆ x xˆf ( x) = −i f ( x) +
x
∂x 
 ∂x
∂f ( x)
= −if ( x) − i
x
∂x
= −if ( x) + p x x
por lo que:
xˆpˆ x f ( x) − pˆ x xˆf ( x) = +if ( x)
que en términos de operadores queda:
[ pˆ x , xˆ ] = xˆpˆ x − pˆ x xˆ = +i
Esto quiere decir que el operador de posición x̂ y el de momento
lineal sobre esa coordenada p̂ x no conmutan, porque su
conmutador [ pˆ x , xˆ ] no es nulo.
© Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2003.