SEMEJANZA - Universidad de Bogotá Jorge Tadeo Lozano

SEMEJANZA
“Dicho de una figura: Que es distinta a otra solo por el tamaño y cuyas partes guardan
todas respectivamente la misma proporción”.
Para definir la semejanza en geometría nos referimos a las relaciones de los ángulos y
de los lados definiendo con claridad las invariantes.
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
1.1.1. Dos triángulos son congruentes si hay
una correspondencia entre sus vértices de
manera que cada par de ángulos y lados
correspondientes sean congruentes.
C'
A
C
B
B'
A'
1.1.2. Postulado de la congruencia LAL
Si dos lados y el ángulo comprendido de un
triángulo son respectivamente congruentes
con dos lados y el ángulo comprendido
dentro triángulo, entonces los dos triángulos
son congruentes.
1.1.3. Postulado de la congruencia ALA
Si dos ángulos y el lado comprendido de un
triángulo son respectivamente congruentes
con dos ángulos y el lado comprendido de
otro triángulo, entonces los dos triángulos
son congruentes.
1.1.4. Postulado de la congruencia LLL
Si los tres lados de un triángulo son
respectivamente congruentes con los tres
lados de otro triángulo, entonces los dos
triángulos son congruentes.
A'
C
B
C'
A
B'
C
B
B'
A
C'
C
A
A
B
B
C
ACTIVIDAD
Investigue sobre la congruencia LAA y la de la hipotenusa y el cateto.
Desarrolle la investigación con las normas técnicas de representación
NOTA: (Entregue el ejercicio en tamaño carta)
i
UNIVERSIDAD JORGE TADEO LOZANO
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA I
l
TEMA
Alumno
CONGRUENCIA
Profesor
J.C. O.
Fecha
Cáp.
II
Sección
01 - 01
HOMOLOGOS
Lados homólogos
Los lados homólogos son los
opuestos a los ángulos iguales.
Es decir en la distribución de
cada
polígono
semejante
ocupan el mismo lugar.
Lados homólogos
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
1.1.5.
Si los tres ángulos del triángulo ABC
son congruentes con los tres ángulos del
triángulo DEF, entonces los dos triángulos son
semejantes y los lados homólogos serán
proporcionales.
1.1.6.
Si los tres lados del triángulo ABC
son proporcionales con los tres lados
homólogos del triángulo DEF entonces los dos
triángulos son semejantes.
B'
A
C
A'
B
C'
C
A
A
B
C
B
1.1.7.
Si un ángulo del triángulo ABC es
congruente con un ángulo del triángulo DEF y los
lados correspondientes que incluyen al ángulo
son proporcionales entonces los triángulos son
semejantes.
E
C
D
A
B
F
ACTIVIDAD
Represente dos de estos postulados en Cabri.
Trace primero los elementos dados.
Termine la construcción completando el triángulo si es el caso.
Construya el segundo triángulo
Al mover el primero deben conservar las propiedades el segundo
NOTA: (Entregue el ejercicio impreso en tamaño carta y en un disquete todos los ejercicios
correspondientes al capítulo II)
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DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA I
TEMA
Alumno
SEMEJANZA
Profesor
J.C. O.
Fecha
Cáp.
Sección
II
01 - 02
SEMEJANZA DE POLÍGONOS
Dos polígonos son semejantes si hay una correspondencia entre los vértices tal que
los ángulos correspondientes sean congruentes y los lados homólogos sean
proporcionales.
La razón constante entre líneas homologas se llama razón de semejanza y se representa
con la letra K.
E
A
C
F
D
B
G
H
A
B
I
C
H
I
D
G
E
F
Número de lados iguales
AB
BC
CD
DE
EF
FA
=
=
=
=
=
=Κ
A' B' B' C ' C ' D' D' E ' E ' F ' F ' A'
p A = p A' , p B = p B' = p C =p C ' p D = D' p E = p E ' p F =p F '
Dos polígonos son semejantes si se pueden descomponer el mismo número de
polígonos semejantes y están dispuestos en forma semejante.
C
D'
C'
B
D
A
F
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GEOMETRÍA DESCRIPTIVA I
B
F'
A'
E
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E'
TEMA
Alumno
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Profesor
J.C. O.
Fecha
Cáp.
Sección
II
01 - 03
La razón entre los perímetros de dos polígonos semejantes es igual a la razón entre
las longitudes de cualquier par de lados correspondientes.
A
AB + BC + CD + DE + EF + FG + GH + HJ + JA = K P
C
B
D
E
F'
F
A' B'+ B' C '+C ' D'+ D' E '+ E ' F '+ F ' G '+G ' H '+ H ' J '+ J ' A' = K S
B'
KP
AB
CD
EF
=
=
=
= .....
KS
A' B' C ' D' E ' F '
E'
D'
G'
G
H
J
H'
C'
J'
A'
La razón entre las áreas de dos polígonos semejantes es igual al cuadrado de la
razón entre las longitudes de cualquier par de lados correspondientes.
ACTIVIDAD
Dibuje un polígono de 7 lados y establezca las relaciones entre sus lados.
Dibuje en cabri el polígono y triangúlelo.
Determine el valor de la constante K (cualquier valor entre 1.2 y 0.5)
Dibuje el segundo polígono que sea semejante al primero utilizando el valor K
(Homotecia).
Establezca las relaciones entre las áreas, del polígono y de los triángulos.
Establezca por escrito las relaciones con la herramienta de Texto
Nota:
(Entregue el ejercicio impreso en tamaño carta y en un disquete)
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TEMA
l
Alumno
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Fecha
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II
Sección
01 - 04
SEMEJANZA DE POLIEDROS
Dos poliedros son semejantes cuando:
El número de polígonos son iguales (Caras que forman el poliedro)
Los polígonos que conforman el poliedro son semejantes esto es:
Igual número de caras
Ángulos correspondientes iguales
Lados homólogos proporcionales (La relación de los lados siempre debe ser igual y se
designa con la letra
o más pequeño).
k, que es el factor que determina el nuevo tamaño del objeto, más grande
Los ángulos poliédricos son iguales
(Este ángulo es una figura formada por 3 o más planos que
concurren a un mismo vértice)
k
HOMOTECIA
La homotecia es la relación de dos objetos que mantienen invariantes su forma y sus
ángulos; la longitud, el perímetro y al área varían en una relación constante K, que
dependiendo de su valor lo hace más grande o más pequeño.
Tomemos la siguiente figura y analicemos el comportamiento del polígono ABCDEFE con
el polígono A’’’B’’’C’’’D’’’E’’’F’’’E’’’, donde su razón de decrecimiento es de -0.5.
AB
= 0,5 esto ocurre para todas la relaciones que se planteen con los lados
A' ' ' B' ' '
homólogos de los polígonos semejantes.
La homotecia de centro O y razón
B'
A'
el número real K ≠ 0 , es una
B
E*
A
transformación geométrica que
B''
E'''
A''
C
hace corresponder a cada punto
D*
O
G
G'
C ''
D'''
F*
del polígono ABCDEFG, otro
G''
F'''
F''
F
G'''
G*
C '''
D
punto de cualquiera de los
F'
D
C*
A'''
E''
B'''
polígonos
semejantes
como
D'
A*
E
resultado
de
multiplicar
su
B*
distancia con respecto al origen O
E'
por un factor K.
Para el caso del polígono ABCDEFG y el polígono A’’B’’C’’D’’E’’F’’G’’
la razón es
OB' '
= K1
OB
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Fecha
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01 - 05