Filtros Analógicos Introducción Amplitud f1 f2 f vi vo FILTRO v o (s) v i (s) f1 f2 Espectro de salida Espectro de entrada H(s) Amplitud vo vi s = j H(jω) H(jω) ω polos, raíces y orden f Clasificación tecnológica Pasivos Activos De capacidades conmutadas Digitales Funciones de transferencia Filtros pasivos RC paso baja y paso alta (orden 1) |H| (dB) R + 0 + C vi vo H(jω) 1 1 jω RC -20 dB/dec - - ω ωc 1 ωc = RC C |H| (dB) + R vi - 0 + vo - jωRC H(jω) 1 jω RC 20 dB/dec ωc ω Filtros activos de orden 1 Vi R1 + Vo - C1 R2 H (ω )= 1+ ( R2 / R3 ) 1+ jω R1 C 1 R3 paso de baja no inversor R2 C1 vi R1 + vo H (ω )= paso de alta inversor −R 2 / R1 1 1+ jω R1 C 1 Los filtros paso de alta se obtienen intercambiando C1 y R1. Filtro pasivo RCL paso de banda (orden 2) H ( ω )= R = jωRC 1 +jωRC−ω ² LC 1 +R+jωL jωC (R / L) S R H ( S)= = 1 +R+SL 1 / ( LC ) + ( R / L ) S+S ² SC El denominador de los filtros de orden 2 suele escribirse en la forma ω0 1 1 ω0= Q= √ L /C S ²+ S+ω 0 ² En este caso R Q √ LC Ganancia máxima en ω=ω0 (frecuencia natural/ de resonancia) ω0 es la media geométrica de las frecuencias de corte. La diferencia entre las frecuencias de corte es B=R/L (ancho de banda). Q=ω0/B (factor de calidad). Se define ζ=1/(2Q) (relación de amortiguamiento). Relación de amortiguamiento El módulo de S ²+ ω0 Q S+ω 0 ² =S ²+2 ζω 0 S+ω0 ² 1 tiene un mínimo local en cierta frecuencia si ζ⩽ √2 (su inversa tendrá un máximo local) Filtros activos paso baja orden 2 C2 R1 R2 C1 R2 + Vi Vo - C1 R4 Vi R3 R1 - C2 Vo + R3 Sallen-Key H ( S )= K R1 R 2 C 1 C 2 S ²+ [ C1 ( R1 +R 2 ) + ( 1− K ) R 1 C 2 ] S+1 K= 1+ Rauch/MFB K H ( S )= ( R 2 R3 C 1 C 2 S ² +C 1 R 2 + R 3 + R4 R3 K=− R2 R1 R2 R3 S+1 R1 ) Filtros activos paso alta orden 2 C2 R2 R1 C1 C2 + vi R1 C3 C1 vo - vi R2 - vo + RA RB Sallen-Key H ( S )= K 1 1 1 1 1 −1 −2 1+[ ( + )+(1−K ) ]S + S R1 C 1 C 2 C1 C 2 C1C2 R1 R2 K= 1+ RA RB Rauch/MFB K H ( S )= 1+ C1 1 1 1 1 ( + + ) S−1 + S−2 R1 C 2 C 3 C 2 C 3 R1 R2C2C3 K=− C1 C2 Filtros activos paso banda C1 R2 vi C2 R1 - v0 + R3 KS H ( S )= S²+ 1 1 1 1 1 1 + S+ + R2 C1 C2 C 1 C 2 R 2 R1 R 3 ( ) K=− ( R2C2 R1 ) Filtros activos rechazo de banda C1 R2 vi C2 R1 R3 - vi v0 + Ra Rb H ( S )= Rb R1 R 2 C1 C 2 S ²+ ( R1 C 1 +R 1 C 2 −R 2 C 2 Ra / Rb ) S+1 R a +Rb R1 R 2 C1 C 2 S ² + ( R 1 C1 +R 1 C2 ) S+1 Filtros de orden superior vi Filtro 1er orden vi Filtro 2º orden Filtro 2º orden Filtro 2º orden Filtro 2º orden Filtro 2º orden vo vo Elección de coeficientes en filtros paso baja y alta Supongamos se requiere un filtro paso de alta/baja de orden n de ganancia K y frecuencia de corte ωc ¿Como se determinan las frecuencias naturales ω 0 y las relaciones de amortiguamiento ζ de los subfiltros? ― Criterio de Butterworth: Se toman de forma que los polos tienen módulo unidad. ― Criterio de Bessel: Se toman de forma que el denominador de la función de transferencia sea un polinomio de Bessel. ― Otros criterios (Chebyshev, Legrende, Cauer, ..): Usan distintos polinomios para el denominador. Se usan tablas para determinar los coeficientes de acuerdo a estos criterios. Tabla de denominadores de orden n entre 1 y 8 para el criterio de Butterworth n 1 2 3 4 5 6 7 8 Polinomio normalizado X+1 X²+1.4142X+1 (X+1)(X²+X+1) (X²+0.7654X+1)(X²+1.8478X+1) (X+1)(X²+0.6180X+1)(X²+1.6180X+1) (X²+0.5176X+1)(X²+1.4142X+1)(X²+1.9319X+1) (X+1)(X²+0.4450X+1)(X²+1.2470X+1)(X²+1.8019X+1) (X²+0.3902X+1)(X²+1.1111X+1)(X²+1.6629X+1)(X²+1.9616X+1) X=S/ωc=jω/ωc en filtros paso de baja X=ωc/S=ωc/jω en filtros paso de alta Elección de componentes pasivos en filtros de orden 2 Supongamos se requiere un filtro paso de alta/baja de orden 2 de frecuencia natural ω0 y relación de amortiguamiento ζ. ¿Como se establecen los valores de las impedancias de los elementos pasivos? Se introducen restricciones para reducir el espacio de diseño. Por ejemplo exigir que todas las resistencias/condenadores sean iguales, exigir ganancia máxima unitaria, etc. Ejercicio Diseñe un filtro paso de baja siguiendo la estructura Sallen-Key y el criterio de Butterworth con las siguientes características: Tmax = 20 dB (ganancia máxima en la banda de paso) T = - 20 dB (ganancia máxima en la banda filtrada) min ω = 250 rad/seg (frecuencia de corte) c ω = 1500 rad/seg (inicio de la banda filtrada) min Nota: la función de transferencia en un filtro de Butterworth 2 de orden n paso de baja cumple T max |H ( ω )|2 = 1+ ( ω/ ω c )2 n Repita cambiando Tmax = 0 dB manteniendo la atenuación en la banda filtrada (Tmin = - 40 dB).