Plan de Nivelación

Módulo Nº 3
Plan de Nivelación
Matemática
2008
Ecuaciones de primer grado
y problemas de planteo
Matemática 2008
Plan de Nivelación
Ecuaciones de Primer Grado
Ecuación e Identidad
Una igualdad con un término desconocido puede ser una ecuación o una identidad.
Ejemplo:
1) La ecuación x – 4 = 18 es verdadera sólo si x es 22. Decimos entonces que 22 es la
solución de la ecuación, ya que 22 – 4 = 18.
2) La identidad x + 8 = 2 + 6 + x, es verdadera ya que posee en ambos costados de la igualdad
las mismas expresiones literales y numéricas.
Una identidad es una igualdad verdadera para cualquier valor del término desconocido.
Una ecuación es de primer grado si el término desconocido o incógnita tiene como
exponente a la unidad “1”, es decir: x = x1. Llamaremos solución de la ecuación al valor que
hace verdadera la igualdad.
Lenguaje algebraico
El lenguaje algebraico es una gran ayuda para generalizar situaciones y para plantear ecuaciones
que facilitan la resolución de problemas.
Observación: Si los enunciados o problemas tienen dos o más incógnitas, es indispensable
expresar una en términos de la otra antes de escribir la ecuación.
Ejemplos: Para cada una de las siguientes expresiones algebraicas observa su enunciado verbal
2
a) Un número disminuido en 5
x–5
b) Tres menos que un número
x–3
c) El sucesor de un número
x+1
d) El antecesor de un número
x–1
e) La quinta parte de un número
1
x
5
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f) Un número aumentado en
1
5
x+
1
5
g) Un número aumentado en
1
del número
8
x+
1
x
8
Ecuaciones equivalentes
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Matemática 2008
Las ecuaciones que se plantean para resolver distintos problemas pueden ser distintas, pero a
veces dentro de un mismo problema pueden llegar a entregar el mismo resultado. La observación
anterior nos permite establecer la existencia de ecuaciones equivalentes dentro del contexto
de un mismo problema. Gracias a esto los problemas que se resuelven a través de dichas
ecuaciones, no poseen una única forma de ser resueltos.
Por ejemplo: la ecuación 4x – 9 = 11 es equivalente a 4x – 11 = 9, ya que una se desprende de
la otra, es decir:
4x – 9 = 11
4x = 11 + 9
4x – 11 = 9
/+9
/ – 11
Ecuaciones y problemas de planteo
Para resolver problemas, sigue este esquema:
1) Identifica la incógnita o término desconocido y asígnale una letra.
2) Plantea la ecuación y luego resuélvela.
3) Verifica si la solución obtenida tiene sentido en el contexto del problema. Escribe la respuesta
completa.
Ejemplos:
1) Un carro del metro viaja con 52 pasajeros. Al llegar a una estación se bajan x pasajeros y
se suben 6. En la próxima parada se bajan 12 pasajeros, quedando en el carro 28 pasajeros.
Encuentra el valor de x.
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Una de las ecuaciones que resuelven este problema es:
52 – x + 6 – 12 = 28
(52 + 6 + –12) + –x = 28
46 + –x = 28
/ + (–46)
(–46 + 46) + –x = –46 + 28
0 + –x = –18
/ · (–1)
x = 18
En la primera estación, se bajaron 18 pasajeros.
2) La sexta parte de un curso va a visitar una fábrica de zapatos. Si fueron 8 alumnos, ¿cuántos
alumnos tiene el curso?
Una de las ecuaciones que permite resolver este problema se expresa por:
Sea “x” el números de alumnos, entonces
x
=8
6
x
=8
6
6·
/·6
x
= 8· 6
6
1 · x = 48
x = 48
El curso tiene 48 alumnos en total.
4
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Ejercicios Propuestos
1. Sustituye n por los valores indicados y luego determina si cada igualdad es verdadera.
•
a) 3n – 18 = –15
n = –1
b) 6 + 2n = 26
n=
c) 10 = 4 – 2n
n = –3
d) 4n – 7 = 2n + 1
n=
e) 4(8 – 3n) = 20
n = –1
10
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Resuelve las ecuaciones.Verifica que las soluciones estén en el siguiente conjunto:
{–140, –100, –1, 0, 16, 18, 19, 49, 104, 140}
a) c + 4 = 53
b) 3j = 48
c) 4s = –400
d) –10y = 1.400
e) 144 = 8c
f) –2s = 0
g) 61 = x – 43
h) 12 + x = 31
2. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 4x – 3 = 3x + 1
b) 12x + 17 = 14x + 1
c) 3x = 4 + 2 (x – 3)
d) 5 – x = 8 – 4x
e) 10x – 32 = 3 – (x + 2)
f) 7 – 3x = 21 – (x – 6)
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5
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•
Resuelve los siguientes problemas, planteando previamente la ecuación correspondiente:
a) La suma de 63 y 5 veces un número es 68. ¿Cuál es el número?
b) Si restas 54 al producto de seis y un número, obtienes –12. ¿Cuál es el número?
c) Manuel dice a su hermana: “Si le quitas 10 cm a mi estatura, ésta sería igual al doble de tu
estatura, disminuida en 60 cm”. ¿Cuál es la estatura de cada uno, considerando que sus
estaturas suman 2,5 m?
Actividades Propuestas
Ecuaciones de Primer Grado
1. Escribe una expresión algebraica para cada una de las siguientes oraciones:
a) 6 más que n.
b) 6 aumentado en n.
c) n disminuido en 6.
d) 6 disminuido en n.
e) La diferencia entre n y 6.
f) El producto entre 6 y n.
g) La sexta parte de n.
h) 6 veces n.
i) El cociente entre n y 6.
j) 6 veces el doble de n.
6
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2. Resuelve las ecuaciones.Verifica que las soluciones estén en el siguiente conjunto:
{–42, –25, –18, 25, 41, 44, 59, 61, 75, 138}
a) x – 31 = 28
b) a + 4 = –21
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c) 43 = m + 18
d) 21 = s – 40
e) 115 = u – 23
f) 42 + t = 0
g) 16 = 34 + v
h) 100 – 2 = 23 + w
i) x + 2 ∙ 3 = 50
j) 0 = z – 41
3. Resuelve las ecuaciones y verifica que las soluciones estén en el conjunto:
{–65, –54 –30, –28, –7, 1, 3, 7, 8, 10, 12, 15, 28, 72, 75}
a) 3t + 5 = 29
b) 6n – 19 = –1
c) 9y + 10 = 19
d) 8 – 2t = 64
m
e)
+ 21 = 3
3
f) 18 = 4k – 42
g) 5s – 60 = 0
h) 100 + 2t = 40
a
i) 14 +
=1
5
a
j) 1 –
=0
7
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7
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4. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) x + 2x = 39
b) 3x – x = –74
c) 10t – 16t = 12
d) 4a – 3 = 1
e) 12s – 6s = 0
f) 4m + 2m+ 8 = 26
g) 6 + 3a – a = 40
h) 3 – 8z + 5z = 0
i) 50 = 30y – 5y
j) 31 = 1 – 8v + 2v
•
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 5a = 2a + 6
b) 5 + x – 4x = –10
c) 2x = 80 – 8x
d) 30 = 8 – 2y
e) 0 = n – 15 – 4n
f) 4a + 5 = 6a + 7
g) 2a – 11a = –27
h) 2 (a – 6) = 3a
i) 7 (2 + y) = 5y
j) 5 (c – 2) = 5c – 10
k) 8m = 2m + 30
l) 12y = 34 – 5y
m) 5b – 9 = 2b + 12
n) 4 (x – 6) = 7x
ñ) z = 24 – 3z
o) 7 (x – 2) – 6 = 2x + 8 + x
p) 4x = 3x + 5
q) 2y – 1 = 3y
8
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5. Escribe una expresión algebraica para cada una de las siguientes situaciones:
a) Dos números suman 20 y uno de ellos es x, entonces el otro es...
b) La diferencia de edades de dos hermanos es 5 años. Si el mayor tiene n años, entonces
el otro tendrá...
c) Si Juan pesa p kilogramos y excede en 3 kg el peso de Pedro, entonces Pedro tendrá...
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d) Si Alejandra y Sofía juntas tienen 28 CD y Alejandra tiene x, entonces Sofía tendrá...
e) Si el menor de dos números pares consecutivos es x, entonces el mayor será...
f) La mochila de Raúl pesa la mitad de la de Cristóbal. Si la de Cristóbal pesa s, la de Raúl
pesará...
g) El envase grande de un aceite contiene el triple de aceite de lo que contiene el envase
chico. Si el grande contiene l litros, el chico contendrá...
•
Resuelve los siguientes problemas, planteando previamente la ecuación correspondiente:
a) Un día 6 de mayo, Daniel le dijo a una amiga: “Te daré una pista para que sepas cuándo
es mi cumpleaños: si sumas 8 al producto de tres y el número de días que faltan para mi
cumpleaños, obtienes 38”. ¿En qué fecha está de cumpleaños Daniel?
b) Carolina tiene 68 láminas pegadas en su álbum, y algunas repetidas. Si con el triple de
láminas repetidas que tiene y 22 láminas más, completa las 177 láminas del álbum, ¿cuántas
láminas repetidas tiene Carolina?
c) Mauricio fabrica llaveros a un costo de $ 930. Éstos se componen de una argolla metálica
y dos figuras de madera. Si la argolla metálica cuesta la mitad de lo que cuesta una figura
de madera, calcula el precio de la argolla.
d) Ignacio estudió Ciencias Sociales durante una hora. Organizó su tiempo de la siguiente
manera: 1º leyó la materia, 2º imaginó las costumbres y preocupaciones del hombre de
esa época y 3º volvió a leer la materia e hizo un resumen. En la última etapa demoró
20 minutos más que en la primera, y en la primera demoró el doble que en la segunda.
¿Cuánto demoró Ignacio en cada una de las etapas de su estudio?
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e) En un consultorio, un pediatra y un oftalmólogo atendieron, en total, 24 pacientes en
una tarde. Si el oftalmólogo hubiese atendido a dos personas más y el pediatra a dos
personas menos, el oftalmólogo habría atendido el doble de pacientes que el pediatra.
¿Cuántos pacientes atendió cada uno?
f) Luis, por motivos económicos, no quería salir a cenar con 5 de sus amigos. Éstos al saberlo
le dijeron: “Paga lo que puedas y nosotros nos dividimos el resto en partes iguales”. La
cuenta salió $ 22.800. ¿Cuánto dinero pagó cada uno de sus amigos, si Luis sólo pudo pagar
$ 1.800?
6. Escribe una ecuación para resolver cada uno de estos problemas y luego desarróllalos:
3
de un número es restado del número, se obtiene el doble del número, disminuido
5
en 8. ¿Cuál es el número?
a) Si
b) Macarena sacó de sus ahorros cierta cantidad de dinero, se gastó la tercera parte en
comprarse una polera y le regaló a su hermano la cuarta parte del dinero que le quedaba.
Si ella se quedó con $ 4.500, entonces:
• ¿Cuánto le costó la polera?
• ¿Cuánto dinero le regaló a su hermano?
c) Si a un número le resto
1
3
me resulta 2. ¿Cuál es el número?
y le sumo
2
4
d) ¿Cuántos octavos le faltan a la fracción 1 para obtener 5 como resultado?
2
e) Carolina arrendó un auto por el día. El valor del cargo fijo es de $ 16.000 más $ 610,5
por kilómetro. ¿Cuántos km recorrió en el auto si pagó $ 27.900?
f) El cociente de un número y cuatro es lo mismo que el número disminuido en 33. ¿Cuál
es el número?
10
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g) Al aumentar en 20 unidades un número se obtienen
número?
5
del número original. ¿Cuál es el
2
3
de una pieza de género quedan 20 metros. ¿Cuántos metros de
5
género tenía la pieza?
h) Después de vender
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i) Los ahorros de Claudia aumentados en la mitad de sus ahorros son $ 150.000.
¿Cuánto son sus ahorros?
2
de su capacidad con jugo. Si Juan se toma 2,5 litros, quedará con
j) Un jarro tiene los
3
5
los
de su capacidad. ¿Cuál es la capacidad del jarro?
12
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11
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Solucionario Plan de Nivelación
Solucionario
Actividades Propuestas
Ejercicios Propuestos
Ecuaciones de Primer Grado
Ecuaciones de Primer Grado
1.
1. a) Falsa
b) Verdadera
c) Verdadera
d) Verdadera
e) Falsa
•
2.
f) s = 0
g) x = 104
h) x = 19
2. a) x = 4
b) x = 8
c) x = –2
d) x = 1
e) x = 3
f) x = –10
•
a) 63 + 5x = 68, con x =1
b) 6x – 54 = –12, con x = 7
c) x – 10 = 2(250 – x) – 60, x = 150,
Manuel mide 1,5 m y su hermana 1 m.
12
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6+n
c)
n–6
d)
6–n
e)
n–6
f)
j)
6n
1
n
6
6n
n
6
6 ∙ 2n
a)
x
= 59
b)
a
= –25
c)
m = 25
d)
s
= 61
e)
u
= 138
f)
t
= –42
g)
v
= –18
h)
w = 75
i)
x
= 44
j)
z
= 41
a)
t
= 8
b)
n
= 3
c)
y
= 1
d)
t
= –28
e)
m = –54
f)
k
i)
c) s = –100
e) c = 18
b)
h)
16
d) y = –140
n+6
g)
a) c = 49
b) j =
a)
3.
=
15
g) s = 12
o) 7
h) t = –30
p) 5
i)
a = –65
q) –1
j)
a =
7
5.
4.
a) x = 13
b) n – 5
b) x = –37
c) t = –2
d) a =
1
e) s =
0
f)
3
m=
c) p – 3
d) 28 – x
e) x + 2
g) a = 17
•
h) z =
1
i)
y =
2
j)
v = –5
a) 2
b) 5
c) 8
d) –11
e) –5
f)
–1
g) 3
h) –12
i)
–7
j)
k) 5
l)
2
m) 7
n) –8
ñ) 6
a) 20 – x
•
f)
s
2
g)
l
3
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a) 8 + 3x = 38, con x = 10, Daniel está
de cumpleaños el 16 de mayo.
b) 3x + 22 + 68 = 177. Carolina tiene
29 láminas repetidas.
c) x + 2(2x)= 930. La argolla cuesta
$ 186.
d) 2x + x + 2x + 20 = 60
1º: 16 minutos
2º: 8 minutos
3º: 36 minutos
e) x = número pacientes oftalmólogo.
x + 2 = 2(24 – x – 2), el oftalmólogo
atendió 14 pacientes y el pediatra a
10.
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f)
1.800 + 5x = 22.800. Cada uno pagó
$ 4.200.
3
x = 2x – 8, con x = 5
5
x 1
x
b) x – – (x – )= 4.500
3 4
3
6. a) x –
• La polera le costó $3.000
• Le regaló a su hermano $1.500
c) x –
d)
7
1
3
+ = 2, con x =
4
2
4
x
1
+
= 5, con x = 36
8
2
e) 16.000 + 610,5x = 27.900, recorrió
19,5 km
x
= x – 33, con x = 44
4
40
5
g) x + 20 = x, con x =
3
2
3
h) x – 5 x = 20, con x = 50 metros.
x
i) x + 2 =150.000, con x =$ 100.000
f)
j)
14
5
2
x – 2,5 =
x, con x = 10 litros.
12
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