Práctico 1 Arquivo

Teoría Electromagnética. Curso 2016.
Profesor: Ariel Moreno. Asistente: Florencia Benítez.
Práctico 1: Herramientas Matemáticas. Potenciales.
Sean (u1 , u2 , u3 ) coordenadas generalizadas con coecientes métricos (h1 , h2 , h3 ). Determine el
gradiente, la divergencia y el rotor en coordenadas, cartesianas, cilíndricas y esféricas partiendo de las
siguientes deniciones generales:
(a) Gradiente de un escalar V (~r) :
es la derivada direccional de V en la dirección de variación máxima en el punto ~r.
~:
(b) Divergencia de un campo A
~ r) = lim4υ→0 ΦA donde 4υ es un volumen diferencial en torno a ~r y ΦA es el ujo de A
~ a través
∇ · A(~
4υ
de su supercie.
~:
(c) Rotor de un campo vectorial A
1.
~
~ r) = lim4S−→0 n̂Cmax (A) donde Cmax (A)
~ es la circulación de A
~ en un camino diferencial de
∇ × A(~
4S
área 4S en torno a ~r tal que la circulación es máxima. n̂ es la normal a dicha supercie.
´
. Deniendo la delta de Dirac mediante: R f (x)δ(x)dx = f (0) con f suave en R y f (x) −→ 0
sucientemente rápido cuando x −→ ∞ . Pruebe las siguiente propiedades:
´
(a) R f (x)δ(x − x0 )dx = f (x0 )
2
(b) δ(ax) =
δ(x)
|a| ,
con a constante.
i)
0
(c) δ(f (x)) = i δ(x−x
|f 0 (xi )| donde xi son las raíces de f (x) , siempre que f (xi ) 6= 0
Observación: Considere que la denición de la Delta se puede restringir a un intervalo menor, siempre
y cuando este contenga el cero de la función.
(d) δ(x2 − a2 ) = δ(x+a)+δ(x−a)
2|a|
P
´
(e) Con la generalización δ(~r) = δ(x)δ(y)δ(z) pruebe que: R f (~r)δ(~r − ~r0 )d3~r = f (~r0 )
(f) Considerando coordenadas esféricas, pruebe que −4πδ(~r) = ∇2 ~1r
(g) Demuestre que la transformada de Fourier de la función f (x) = eik0 x es 2πδ(k − k0 )
(a) Partiendo de δ(~r) en coordenadas cartesianas (x1 , x2 , x3 ) demuestre que su expresión en otro
0
0
−h03 )
2 )δ(h
i 3
sistema de coordenadas (h1 , h2 , h3 ) es δ(~r − ~r0 ) = δ(h1 −h1)δ(h2h−h
∂xi 3.
Det
∂hj
(b) Exprese las siguientes distribuciones de carga como densidades volumétricas:
i) Una carga puntual
ii) Una línea de carga innita de densidad uniforme λ
iii) Un anillo cargado de densidad uniforme λ
iii) Un disco cargado con densidad supercial uniforme σ
iv) Una esfera de densidad supercial uniforme σ
En todos los casos hágalo en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.
~ y φ caen sucientemente rápido a 0 en el innito. Demuestre
(a) Suponiendo que los campos A
que:
4.
1
~ = 0 ja por completo la libertad gauge del electromagnetismo (es
i) La condición de Coulomb ∇ · A
~
decir los campos A y φ ).
ii) Este gauge minimiza
´
R3
2
~ 3
A d x
~ + 12 ∂φ = 0 , no ja por completo la libertad
(b) Demuestre que el gauge de Lorenz, denido por ∇ · A
c ∂t
gauge (en ese caso decimos que es incompleto) . ¾Qué otra condición deberá agregarse para eliminar
esta libertad?
(c) Muestre que el Gauge temporal denido por φ = 0 es incompleto.
5. Si Φ1 y Φ2 son dos potenciales electrostáticos solución de la ecuación de Poisson en la misma
región limitada por conductores con la misma geometría, pero con densidades de carga volumétricas
y superciales diferentes, usar la segunda identidad de Green para relacionar las dos conguraciones.
El resultado se conoce como Teorema de Reciprocidad de Green.
El potencial promedio de un átomo de hidrógeno puede aproximarse como:
q e−αr
1 + αr
φ = 4πε
r
2 con α = 2/a0 y a0 el radio de Bohr.
0
Encuentre una distribución de cargas responsable de dicho potencial (distribuida y discreta) y discuta
su signicado físico.
6.
~ y φ generados
Sin realizar todos los cálculos, explique cómo se pueden obtener los potenciales A
por:
(a) Una esfera no conductora de radio R y carga uniforme ρ , pero que dentro contiene una burbuja
esférica (no cargada) y no concéntrica de radio a < R2 .
(b) Una esfera no conductora con densidad de carga ρ = c0 r cos(θ) , siendo c0 una constante, θ y r
coordenadas esféricas usuales. Restrinja el cálculo a un punto del eje z.
(c) Un conductor cilíndrico de radio a por el que circula una corriente uniforme I0 , excepto por tubo
también cilíndrico de radio b < a/2.
(d) Un cascarón esférico de radio R y carga uniforme Q que gira a velocidad angular constante ω .
7.
2