TEORIA DE CAMPO MAGNETICO FISICA II UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
(UNI-Norte)
TEORIA DE CAMPO MAGNETICO
FISICA II
CAMPO MAGNETICO
Muchos historiadores de la ciencia creen que la brújula, la cual usa una aguja
magnética, se utilizó en china por primera vez en el siglo XIII a.C., y que su
invención es de origen árabe o hindú. Los antiguos griegos tenían conocimiento del
magnetismo desde el año 800 a.C. Descubrieron que la magnetita (Fe3O4) atrae
pedazos de hierro. La leyenda atribuye el nombre de magnetita al pastor Magnes,
quién atraía trozos de magnetita con los clavos de sus zapatos y la punta de su báculo
mientras apacentaba su rebaño.
En 1269 un francés llamado Pierre de Maricourt trazó las direcciones que seguía una
aguja colocada en diversos
puntos sobre la superficie de un
imán natural esférico. Encontró
que las direcciones formaban
líneas que encerraban en un
círculo a la esfera y que pasaban
por dos puntos diametralmente
opuestos el uno del otro, a los
cuales llamó polos del imán.
Experimentos
subsecuentes
mostraron que todo imán, sin
importar su forma, tiene dos
polos, llamados polo norte y sur,
los cuales ejercen fuerzas sobre
otros polos magnéticos de
manera análoga a las fuerzas que
ejercen entre sí las cargas
eléctricas. Es decir, polos iguales
se repelen entre sí y polos
diferentes se atraen uno al otro.
Los polos recibieron sus nombres
debido al comportamiento de un
imán en la presencia del campo
magnético de la Tierra. Si un
imán de barra se suspende de su
punto medio y puede balancearse
libremente en n plano horizontal,
girará hasta que su polo norte
apunte al Polo Norte geográfico
de la tierra y su polo sur apunte
hacia el Polo Sur geográfico
terrestre. (La misma idea se utiliza para construir una brújula simple.)
En 1600 William Gilbert (1540-1608) amplió los experimentos de Maricourt a una
diversidad de materiales. A partir de que
la aguja de una brújula se orienta en
direcciones preferidas, sugirió que la
propia Tierra es un imán permanente. En
1750 los investigadores emplearon una
balanza de torsión para demostrar que
los polos magnéticos ejercen fuerzas
atractivas o repulsivas entre sí y que
estas fuerzas varían con el cuadrado
inverso de la distancia entre los polos
que interactúan. Aunque loa fuerza entre
dos polos es similar ala fuerza entre dos
cargas eléctricas, existe una importante
diferencia. Las cargas eléctricas pueden
aislarse (lo que corroboran el electrón y
el protón), en tanto que un polo
magnético individual nunca se ha
aislado. Es decir, los polos magnéticos
siempre se encuentran en pares. Todos
los intentos realizados hasta ahora para
detectar un polo magnético han sido
infructuosos. No importa cuantas veces
se corte en dos un imán permanente, cada pedazo siempre tendrá un polo norte y un
polo sur. (Hay algunos fundamentos teóricos para especular que los monopolos
magnético-polos norte o sur aislados - talvez existan en la naturaleza, y los intentos
para detectarlos en la actualidad conforman un activo campo de investigación
experimental.)
La relación entre magnetismo y electricidad fue descubierta en 1819 cuando, durante
una conferencia demostrativa, el científico danés Hans Christian Oersted encontró
que una corriente eléctrica en un alambre desviaba la aguja de una brújula cercana.
Poco tiempo después, André Ampére (1775-1836) formuló leyes cuantitativas para
calcular las leyes de la fuerza magnética ejercida sobre un conductor por otro
conductor eléctrico que porta corriente. También sugirió que, a nivel atómico, las
espiras de corriente eléctrica son responsables de todos los fenómenos magnéticos.
En la década de 1820 Faraday demostró conexiones adicionales entre la electricidad
y el magnetismo, y lo mismo hizo Joseph Henry (1797-1878) por su lado. Los Dos
demostraron que una corriente eléctrica puede producirse en un circuito, ya sea
moviendo una imagen cerca del circuito o cambiando la corriente en otro circuito
cercano. Estas observaciones demostraron que un campo que cambia produce un
campo eléctrico. Años después un trabajo teórico de Maxwell mostró que lo inverso
también es cierto: un campo eléctrico variable origina un campo magnético.
Una similitud entre los efectos eléctricos y magnéticos ha proporcionado métodos
para elaborar imágenes permanentes. En el capítulo 23 se aprendió que cuando
caucho y lana se frotan entre sí, ambos quedan cargados – uno positiva y el otro
negativamente -. De modo análogo, un pedazo de hierro desmagnetizado puede
desmagnetizarse golpeándolo con un imán. El magnetismo también se puede inducir
en el hierro (y otros materiales) por otros medios. Por ejemplo si un pedazo de hierro
desmagnetizado se coloca cerca de un imán intenso (sin tocarlo), conforme pase e
tiempo el pedazo de hierro se magnetizará.
Este capítulo examina las fuerzas que continúan en cargas móviles y en alambre que
conducen corrientes en presencia de un campo magnético.
El campo magnético.
En el estudio de la electricidad la interacción entre objetos cargados se ha descrito en
términos de campos eléctricos.
Recuerde que un campo eléctrico
rodea a cualquier carga eléctrica,
estacionaria o en movimiento.
Además de un campo eléctrico, la
región del espacio que rodea una
carga eléctrica móvil también
contiene un campo magnético,
como se verá en el capítulo 30. Un
campo
magnético
rodea
a
cualquier sustancia magnética.
Históricamente el símbolo B se ha
usado para representar un campo
magnético, y esta es la noticia que
se usa en este texto. La dirección
del campo magnético B en
cualquier ubicación está en la
dirección hacia la cual apunta la
aguja de una brújula en dicha
ubicación. LA figura 29.1 muestra
como trazar el campo magnético
de un imán de barra con ayuda de
una brújula. Advierta que las
líneas de campo magnético afuera
del imán apuntan alejándose de los polos nortes y acercándose a los polos sur. Los
patrones de campo magnético pueden visualizarse mediante pequeñas limaduras de
hierro, como se muestra en la figura 29.2.
Se puede definir un campo magnético B en algún punto en el espacio en término de
la fuerza magnética FB que el campo ejerce sobre un objeto de prueba, que en este
caso una partícula cargada que se mueve a una velocidad v. Por ahora, supongo que
no hay campo eléctrico o gravitacional en la región del objeto de prueba. Los
experimentos acerca de movimiento de diversas partículas cargadas en un campo
magnético dan los siguientes resultados:
La magnitud FB de la fuerza magnética ejercida sobre la partícula es proporcional a
la carga q y a la rapidez v de la partícula
FIGURA 29.1Campas que puede ser usado para trazar líneas de campo magnético de
una barra magnética.
Figura 29.2 a) patrón de campo magnético que rodea a un imán de barra como se ve
con limaduras de hierro. b) patrón de casco magnético entre pueblos distintos de los
imanes de barra. c) patrón de campo magnético entre pueblos iguales de los imanes
de barra. (Henry Leap y Jim Lehman)

la magnitud y dirección de
depende la velocidad de la partícula y de la
magnitud y dirección del campo magnético B.

cuando una partícula cargada se mueve paralela al vector del campo
magnético, la fuerza magnética que actúa sobre la partícula es cero.

Cuando el vector velocidad de la partícula forma un ángulo 0 con el campo
magnético, la fuerza magnética actúa en dirección perpendicular tanto a v
como a B; es decir,
3a).
es perpendicular al plano formado por v y B (figura 29.
Figura 29.3 la dirección de la
fuerza que actúa sobre una
partícula cargada que se
mueve a velocidad v ante la
presencia de un cuerpo
magnético B. A) la fuerza
magnética es perpendicular
tanto a v como a B. B) la
fuerza magnética
ejercida
sobre dos partículas cargadas
opuestamente y que se mueve
a la misma velocidad en un
cuerpo
magnético
están
dirigidas de manera opuesta.
El arco blanquiazul en esta fotografía indica la
trayectoria circular seguida por un haz de luz de
electrones que se mueve en un campo magnético. El
matraz contiene gas a muy baja presión, y el haz se
hace visible conforme los electrones chocan con los
átomos del gas, el cual emite la luz visible. El campo
magnético es producido por las dos bobinas (no
mostradas). El aparato se puede usar para medir la
relación 𝑒⁄𝑚𝑒 para el electrón. (Cortesía de central
Cientific Company)


la fuerza magnética ejercida sobre una carga
positiva está en la dirección opuesta a la
dirección de la fuerza magnética ejercida
sobre una carga negativa que se mueve en la
misma dirección (figura 29. 3b)
la magnitud de la fuerza magnética ejercida sobre la partícula en movimiento
es proporcional a sen donde  es el ángulo que el vector velocidad de la
partícula la forma con la dirección de B.
Estas observaciones pueden resumirse escribiendo la fuerza magnética en la forma
𝐹𝐵 = 𝑞𝑣 𝑥 𝐵
(29.1)
Donde la dirección de FB esta era dirección de V x B si q es positiva, la cual, por
definición del producto plus (véase la sección 11. 2), es perpendicular tanto a v como
a B. Se puede considerar esta ecuación como una definición operacional del campo
magnético en algún punto en el espacio. Esto vez, el campo magnético se define en
términos de la fuerza que actúa sobre una partícula cargada móvil.
La figura 29. Cuatro repasa la regla de la mano derecha para determinar la dirección
del producto cruz V x B. Usted dirige los cuatro dedos de su mano derecha a lo largo
de la dirección de v con la palma vuelta hacia B y luego la gira hacia B. El pulgar
extendido, que está en el ángulo recto con los dedos, apunta entonces en la dirección
de v x B. Puesto que 𝐹𝐵 = 𝑞𝑣 𝑥 𝐵 está en la dirección de v x B si q es positiva.
Figura 29. 4 la regla de la mano derecha
para determinar la dirección de la fuerza
magnética
= qv B que actúa sobre una
partícula con carga q moviéndose a
velocidad v en un campo magnético b. La
dirección de V x B es la dirección en la cual
apunta el pulgar. A) si q es positiva, está
hacia arriba.b) si q es negativa está hacia
abajo, anti paralela a la dirección en la cual
apunta el pulgar.
Figura 29.4a), y opuesta a la dirección de v x s si q es negativa (figura 29.4b). (Si
necesita más ayuda para entender el producto cruz, debería revisar las páginas
333 a 334, incluyendo la figura 11.8.)
La magnitud de la fuerza magnética es
FB = |q|vBsenθ
(29.2)
Donde 𝜃 es el ángulo más pequeño entre v y B. A partir de esta expresión se ve
que F es cero cuando v es paralela o anti paralela a B (𝜃 = 0 o 180°) y ( FBmaxima =
|q|vB ) cuando v es perpendicular a B (𝜃= 90°).
¿Cuál es el máximo trabajo que puede realizar un campo magnético constante B
sobre una carga q que se mueve a través del campo a velocidad v?
Hay varias diferencias importantes entre las fuerzas eléctrica y magnética:
 La fuerza eléctrica actúa en la dirección del campo eléctrico, en tanto que la fuerza magnética es perpendicular al campo magnético.
 La fuerza eléctrica actúa sobre una partícula cargada independientemente de si la
partícula está en movimiento, mientras que la fuerza magnética actúa sobre una
partícula cargada sólo cuando la partícula está en movimiento.
 La fuerza eléctrica efectúa trabajo al desplazar una partícula cargada, en tanto
que la fuerza magnética asociada con un campo magnético estable no trabaja
cuando se desplaza tina partícula.
A partir de esta última propiedad, y sobre la base del teorema del trabajo y la
energía cinética, se concluye que la energía cinética de una partícula cargada que
se mueve a través de un campo magnético no puede ser alterada por un campo
magnético aislado. En otras palabras,
Cuando una partícula cargada se mueve a una velocidad v a través de un campo
magnético, el campo puede alterar la dirección del vector velocidad pero no
puede cambiar la rapidez o la energía cinética de la partícula.
A partir de la ecuación 29.2 se ve que la unidad del SI del campo magnético es
El newton por coulomb-metro por segundo, el cual se llama tesla (T):
1𝑇 =
𝑁
𝐶𝑚/𝑠
Puesto que un coulomb por segundo se define como un ampere, se ve que
1𝑇 = 1
𝑁
𝐴. 𝑚
Una unidad del campo magnético que no es del SI pero se usa con frecuencia
es el gauss (G), el cual se relaciona con el tesla por medio de la conversión 1 T=
104G. La tabla 29.1 muestra algunos valores típicos de campos magnéticos.
El extremo polo norte de un imán de barra se sostiene cerca de una pieza de
plástico cargada positivamente. ¿El plástico es atraído, repelido o no es afectado
por el imán?
Campas magnético
Algunas magnitudes aproximadas de campo magnético
Fuente del campo
Magnitud del campo (T)
Imán de laboratorio de superconducción intensa
imán de laboratorio intenso
Unidad médica de IRM
imán de barra
Superficie del Sol
Superficie de la Tierra
Interior del cerebro humano
(debido a impulsos nerviosos)
30
2
1.5
10 -2
10-2
0.5 x 10-4
10-13
EJEMPLO 29.1
Un electrón que se muere en un campo magnética.
Un electrón en un cinescopio de televisión se mueve hacia el
Frente del tubo con una rapidez de 8.0 x 10-6 m/s a lo largo del eje x (Fig. 29.5).
Rodeando el cuello del tubo existen bobinas de alambre que crean un campo
magnético de 0.025 T de magnitud, dirigido a un ángulo de 60° con el eje x y que se
encuentra en el plano xy), Calcule, la fuerza magnética sobre el electrón y la
aceleración del mismo.
Solución Usando la ecuación 29.2 se puede encontrar la magnitud de la fuerza
magnética:
FB = |q|vBsenθ
= (1.6 x 10-19 C) (8.0 x 106 m/s) (0.025 T) (sen 60°)
= 2.8 x 10-14 N
Ya que v x B está en la dirección z positiva (regla de la mano derecha) y la carga es
negativa, FB está en la dirección z negativa.
La masa del electrón es 9.11 x 10-31 kg, por lo que su aceleración es en la dirección z
negativa.
Figura 29.5 La fuerza magnética FB que actúa sobre el electrón esta en la dirección z
negativa cuando v y B están en el plano xy.
FUERZA MAGNÉTICA SOBRE UN CONDUCTOR QUE LLEVA
CORRIENTE
Si se ejerce una fuerza magnética sobre una partícula cargada aislada cuando ésta se
mueve a través de un campo magnético, no debería sorprenderle que un alambre que
conduce una corriente experimente también una fuerza cuando se pone en un campo
magnético. Esto es resultado de que la corriente representa una colección de muchas
partículas cargadas en movimiento; por tanto, la fuerza resultante ejercida, por el
campo sobre el alambre es el vector suma de las fuerzas individuales ejercidas sobre
todas las partículas cargadas que forman la corriente.. La fuerza ejercida sobre las
partículas se transmite al alambre, las partículas chocan con los átomos que forman
el alambre.
Antes de continuar con el análisis vale la pena explicar la notación empleada en este
texto. Para indicar la dirección de B en las ilustraciones, en ocasiones se presentarán
vistas en perspectiva, como las que se muestran en las figuras 29.5, 29.6a y 29.7. En
las ilustraciones planas, como las mostradas en la figura 29.6b a d, se describe un.
Figura 29.6 a) Un alambre suspendido verticalmente entre los polos de un imán. b)
La configuración mostrada en la parte a) como se ve mirando hacia el polo sur del
imán, de modo que el campo magnético (cruces azules) esta dirigido hacia la
pagina. Cuando no hay corriente en el alambre, permanece vertical c) Cuando la
corriente es hacia arriba, el alambre se desvía hacia la izquierda d) Cuando la
corriente es hacia abajo, el alambre se desvía hacia la derecha.
Campo magnético dirigido hacia la página con cruces azules, las cuales
representan las colas de las flechas disparadas perpendicularmente y alejándose de
usted. En este caso el campo se llama, donde el sud índice “in” indica “interior de de
la página”. Si B es perpendicular y dirigido hacia afuera de la página, se usa una
serie de puntos azules, los cuales representan los puntos de las flechas que vienen
hacia usted (Véase en la fig. P29.56) En este caso el campo magnético se llama
𝐵𝑜𝑢𝑡 . Si B está en el plano de la página, se usa une serie de líneas azules con puntas
de flecha, como se muestra en la figura 29.7.
Fig. 92.7 segmento de un alambre que conduce corriente, ubicado en un campo
magnético B. La fuerza magnética ejercida sobre cada caga que conforma la
corriente 𝑞𝑣𝑑 × 𝐵, y la fuerza neta sobre el segmento de longitud L es IL× B.
La fuerza sobre un conductor que lleva corriente pueden demostrarse sosteniendo
entre los polos de un imán, como se muestra en la figura 29.6a. Para facilitar la
visualización se ha removido parte del imán de la herradura en la parta a) de
modo que se vea la cara extrema del polo sur en las pates b), c) y d) de la figura
29.6 El campo magnético esta dirigido hacia adentro de la página y cubre la región
interna de los círculos sombreados, cuando la corriente en el alambre es cero, el
alambre permanece vertical, como se muestra en la fig.29.6b. Sin embargo, cuándo
muna corriente dirigida hacia arriba fluye en el alambre, come se muestra en la
figura 29.6c, el alambre se desvía hacia la izquierda. Si se invierte la corriente,
como se ve en la figura 29.6d, el alambre se desviad hacia la derecha.
Cuantifique este análisis considerando un segmento de alambre recto de longitud L
y área de sección trasversal A, que conduce una corriente I, en un campo
magnético B, como se muestra en la figura 29.7. L a fuerza magnética ejercida
sobre una carga q que se mueve a una velocidad de arrastre 𝑉𝑑 𝑒𝑠 𝑞𝑣𝑑 × 𝐵. Para
determinar la fuerza total que actúa sobre el alambre multiplique la fuerza que se
ejerce sobre una carga 𝑞𝑣𝑑 × 𝐵. Por el número de cargas en el segmento. Puesto
que el volumen del segmento AL, el numero de cargas en el segmento nAL, donde n
es el numero de cargas por unidad de volumen. Por tanto, la fuerza magnética total
sobre el alambre de longitud L es
𝐹𝐵 = (𝑞𝑣𝑑 × 𝐵)𝑛𝐴𝐿
Esta expresión puede escribirse en una forma más conveniente observando que, de
acuerdo con la ecuación 27.4, la corriente en el alambre es 𝐼 = 𝑛𝑞𝑢𝑑 𝐴. por tanto,
𝐹𝐵 = 𝐼𝐿 × 𝐵
Donde L es un vector que apunta en la dirección de la corriente I y tiene una
magnitud igual a la longitud L del segmento. Observe que esta expresión se aplica
solo a un segmento de alambre recto de un campo magnético uniforme.
Considere ahora un segmento de alambre de forma arbitraria y de sección
transversal uniforme en un campo magnético, como se muestra en la figura 29.8.
Donde la ecuación 29.3 se deduce que la fuerza magnética sobre un pequeño
segmento de vector de longitud ds en presencia de un campo magnético B es
𝑑𝐹𝐵 = 𝐿 𝑑𝑠 × 𝐵
Fig. 29.8 Un segmento de alambre de forma arbitraria que conduce una corriente I
en un campo magnético B experimenta una fuerza magnética. La fuerza sobre
cualquier segmento ds es I ×B y esta dirigida hacia afuera de la pagina. Usted debe
emplear la regla de la mano derecha para confirmar la dirección de esta fuerza.
Donde 𝑑𝐹𝐵 esta dirigida hacia afuera de la pagina para las direcciones supuestas en
la Fig. 29.8. Se puede considerar la ecuación 29.4 como una definición alternativa
de B. Esto es, el campo magnético B puede definirse en términos de una fuerza
mensurable ejercida sobre un elemento de corriente, donde la fuerza es un máximo
cuando B es perpendicular al elemento y cero cuando B es paralela al elemento.
Para calcular la fuerza total 𝐹𝐵 que actúa sobre el alambre mostrado en la figura
29.8 integre la ecuación 29.4 sobre la longitud del alambre:
𝑏
𝐹𝐵 = 𝐼 ∫ 𝑑𝑠 × 𝐵
𝑎
Donde a y b representan los puntos extremos del alambre, cuando se realiza una
integración, la longitud del campo magnético y la dirección que el campo forma
con el vector ds (en palabras con, con la orientación del elemento) puede deferir en
diferentes puntos.
Considere a continuación dos casos que involucran la ecuación 29.5 en ambos
casos el campo magnético se considera constante en magnitud y dirección.
Caso 1 Un alambre curvo conduce una corriente I y esta ubicado en un campo
magnético uniforme B, como se muestra en la fig.29.9ª. Puesto que el campo es
uniforme, B puede sacarse de la integral en la ecuación 29.5 y se obtiene
𝑏
𝐹𝐵 = 𝐼 (∫ 𝑑𝑠 ) × 𝐵
𝑎
Fig. 29.9 a) Un alambre curvo que conduce una corriente I en un campo magnético
uniforme. La fuerza magnético total que actual sobre el alambre es equivalente a
la fuerza sobre el alambre recto de longitud L teniendo entre los extremos del
alambre curvo. b) Una espirad de forma arbitraria que conduce corriente en un
campo magnético uniforme. La fuerza magnética neta sobre la espira es cero.
𝑏
Pero la cantidad ∫𝑎 𝑑𝑠representa el vector suma de todos los elementos de longitud
de a a b. Partir de la ley de la duma es igual al vector 𝐿𝚤 , dirigido de a a b. Por tanto,
la ecuación 29.6 se reduce a
𝑭𝑩 = 𝑰𝐿𝚤 𝑥 𝐵
Caso 2 Una espira cerrada de forma arbitraria que se reduce una corriente I se
coloca en un campo magnético uniforme, como se ve en la figura 29.9b. También en
este caso se puede expresar la fuerza que actúa sobre sobre la espiral en la forma de
la ecuación 29.6 pero en esta ocasión se debe tomar la suma vectorial de los
elementos ds sobre toda la espira:
𝐹𝐵 = 𝐼 [∮ 𝑑𝑠] 𝑥 𝐵
Puesto que el conjunto de elementos de longitud forma un polígono cerrado, la suma
vectorial debe ser cero. Esto se desprende de el procedimiento grafico de la suma de
vectores por medio del método del polígono. Puesto que ∮ 𝑑𝑠 = 0, se concluye que
𝐹𝐵 = 0:
La fuerza magnética neta que actúa sobre cualquier espiral de corriente serrada en
un campo magnético.
EJEMPLO 29.2 Fuerza sobre un conductor semicircular
Un alambre doblado en forma de un semicírculo de radio R forma un circuito
cerrado y conduce una corriente 𝐼. El alambre se encuentra en el plano XY, y un
campo magnético uniforme esta presente a lo largo del eje Y positivo, como se
muestra en la figura 29.10encuentre la magnitud y dirección de la fuerza magnética
que actúa sobre la porción recta del alambre y sobre la porción curva.
Solución: La fuerza 𝐹1 que actúa sobre la porción recta del alambre tiene una
magnitud 𝐹1 = 𝐼𝐿𝐵 = 2 𝐼𝑅𝐵, puesto que 𝐿 = 2𝑅, y el alambre es perpendicularmente
a B. La dirección de 𝐹1 es hacia afuera de la pagina, pues 𝐿𝑥𝐵 esta a lo largo del eje Z
positivo (esto es, L esta hacia la derecha en la dirección de la corriente; por lo que, de
acuerdo con la regla de los producto cruz, 𝐿𝑥𝐵 es hacia fuera de la pagina figura
29.10).
Para encontrar la fuerza 𝐹2 que actúa sobre la curva debe escribir primero una
expresión para la fuerza 𝑑𝐹2 sobre el elemento de longitud dS mostrado en la figura
29.10. Si 𝜃 es el ángulo entre B y dS, entonces la magnitud de 𝑑𝐹2 es
𝑑𝐹2 = 1|𝑑𝑆𝑥𝐵| = 𝐼𝐵 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝑆
Con el fin de integrar esta expresión debe expresar dS en términos de 𝜃. Puesto que
𝑆 = 𝑅𝜃, se tiene 𝑑𝑆 = 𝑅 𝑑𝜃 y se puede realizar esta situación para 𝑑𝐹2 :
𝑑𝐹2 = 𝐼𝑅𝐵𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃
Para obtener la fuerza total 𝐹2 que actúa sobre la porción curva, se puede integrar
esta expresión para tomar en cuenta las contribuciones de todos los elementos dS.
Advierta que la dirección de la fuerza sobre todo elemento de la misma: hacia el
interior de la pagina (puesto que dS x B es hacia adentro). Por tanto, la fuerza
resultante 𝐹2 sobre el alambre curvo debe apuntar también hacia la página. La
integración de la expresión para 𝑑𝐹2 sobre los limites 𝜃 = 0 + 𝜃 = 𝜋 (esto es el
semicírculo completo) produce
𝜋
𝐹2 = 𝐼𝑅𝐵 − ∫0 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃 = 𝐼𝑅𝐵|−𝑐𝑜𝑠𝜃|𝜋0
= −𝐼𝑅𝐵(𝑐𝑜𝑠𝜋 − 𝑐𝑜𝑠0) = −𝐼𝑅𝐵(−1 − 1) = 2𝐼𝑅𝐵
En vista que 𝐹2 , con una magnitud de 2IRB, esta dirigida hacia la página y puesto
que 𝐹1 con una magnitud de 2IRB, es hacia afuera del papel la fuerza neta sobre la
espira serrada es 0. Este resultado es consistente con el caso 2 recién descrito.
Figura 29.10. La fuerza neta que actúa sobre una espira de corriente serrada en un
campo magnético uniforme es cero. En la configuración mostrada aquí la fuerza de la
porción recta de la espira es 2IRB y esta dirigida hacia afuera de la página, y la fuerza
sobre la porción curva es 2IRB dirigida al interior de la página.
PRECUNTA SOBRE 29.3
Los 4 alambres mostrado en la figura 29.11 conduce la misma corriente del punto A
al punto B atraves del mismo campo magnético. Clasifique los alambres de acuerdo
con la magnitud de la fuerza magnética que se ejerce sobre ellos, del mayor al menor.
FIGURA 29.11 ¿cual alambre experimenta la fuerza magnética mas grande?
1) Cual es la corriente en el circuito en la figura4 la fuerza electromotrices y los
resistores poseen los siguientes valores є1=2.1V є2=4.4V r1=1.8Ω, r2=2.3Ω R=5.5Ω
R𝑖𝑅 + 𝑖𝑟1 + 𝜀1 − 𝑖𝑟2 𝜀2 = 0
𝑖=
𝑖=
𝜀2 + 𝜀1
𝑅 + 𝑅1− 𝑟2
4.4𝑉 − 2.1𝑉
2.3𝑉
=
5.5 + 1.8 + 2.3 9.6Ω
𝑖 = 0.2𝐴
2) Cual es la diferencia de potencial entre los puntos A y B de la figura 4, cual ∆V entre
los punto AC en la figura 4 VAB=3.8V VAC=2.5V.
Punto b-a
𝑉𝑏 − 𝑖𝑟2 + 𝜀2 = 𝑉𝑎
𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 = 𝑖𝑟2 + 𝜀2
∆𝑎𝑏 = −(0.2)(2.3) + (4.4)
𝜀2 − 𝜀1
𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 = (
) 𝑟 + 𝜀2
𝑅 + 𝑟1 +𝑟2 1
𝑉𝑎 − 𝑉𝑏 = −(0.2)𝑟2 + 𝜀2
∆𝑎𝑏 = 3.848
𝑉𝑐 + 𝑖𝑟1 + 𝜀1 = 𝑉𝑎
𝑖𝑟1 + 𝜀1 = 𝑉𝑎 − 𝑉𝑐
(0.2)(1.8) + (2.1) = ∆𝑎𝑐
2.5𝑉 = ∆𝑎𝑐
3(En la figura 5 esta representa un circuito de dos mayas ¿encuentre la corriente del
circuito los elementos poseen los siguientes valores?
ε1=2.1 V, ε2=6.3 V, R1=1.7Ω R2=3.5 Ω, ε3=6.3V
2i1 R1  i 2 R2   1   2        (4)
i 2 R2  2i 3 R1  0      (5)
2i 3 R1  2i1 R1   1   2      (6)
Sust (1) en (4)
2( i1  i 2 ) R1  2i1 R1   2   1
4i1 R1  2i 2 R1   1   2         (7 )
desp( i 2 )en(4)
i2 
 1   2  2i1 R1
R2
   '     (8)
sut ( 8)en(7 )
    2  2i1 R1 
4i1 R1  2  1
 R1   1   2
R2


4i1 R1 R2 2( 1   2 ) R1  4i1 R12
 1   2
R2
4i1 R1 ( R2  R1 )  ( 1   2 )(2 R1  R2 )
i1 
( 1   2 )(2 R1  R2 )
4 R1 ( R2  R1 )
i1 
(6.3V  2.1V )(2(1.7 )  3.5 )
 0.82
4(1.7 )(1.7  3.5
 2( 0.82 A)(1.7 )  i 2 ( 3.5 )  2.1V  6.3V
4.2V  2.79V
 0.42 A
3.5
i 3  0.82 A  ( 0.040A)  0.42 A
i2 
3) Cual es la diferencia de ∆V entre los puntos Ay B en el circuito de la figura
Calcule la resistencia equivalente de la figura 6 utilizando para ellos los siguientes valores
R1=4.6 Ω R2=3.5 Ω R=2.8Ω
B) cual es le valor de la corriente que pasa por R1 cuando una batería de 12 V esta
conectada en los puntos A y B.
R1
1
1


R12 R1 R 2
1
1
1


 05
R12 4.5 3.5
R123  R12  R 3
R123  2  2.8  4.8
V
12V
I3 

 2.5
R123 2.8
V12  I 3 R12  ( 2.5 A)(2 )  5V
V1
5V

1.8 A
R1 4.5
I 1  I 2  7.5
I1 
(1.08)  I 2  7.5
I 2  7.5  1.08
I 2  6.42A
5) Calcule la resistencia equivalente del circuito que se muestra en la figura 1
5
6
4
3
2
R12=1+2=3Ω
1
𝑅123
1
1
= 3Ω + 6Ω = 2Ω
𝑅123=2+3=5Ω
1
1
+ 4Ω
5Ω
= 2.22
6) Calcule la resistencia equivalente del circuito que se muestra en la figura 1
𝑅12 = 𝑅1 + 𝑅2
𝑅12 = 2𝛺 + 1𝛺 = 3𝛺
1
1 1
= + = 𝑅126 = 2𝛺
𝑅126 6 3
𝑅126 = 𝑅126 + 𝑅3
𝑅126 = 2𝛺 + 3𝛺 = 5𝛺
1
1 1
= + = 𝑅12346 = 2.22𝛺
𝑅12346 4 5
7) Aplique la ley de Kirchhoff y resuelve las expresiones para calcular el valor de la
corriente en todo el circuito que muestra la figura 2
4Ω
5V
2Ω
4Ω
6Ω
1Ω
3Ω
3Ω
i 1 +i 2=i3 (1)
2Ωi1+4Ωi1-5v+6Ωi3+4v=0(2)
3Ωi2-3v+1Ωi2+6Ωi3+4v=0(3)
Resolvemos el sistema aplicando matrices y por el método de Gauss Jordán.
1 1 −1
[6 0 6 ] = (0-0-24)-(0+24+36)=|𝐴| = 12
0 4 6
Calculamos la determinante principal en la matriz.
0 6
A11= [
]=-24
4 6
6 6
A12= [
]=36
0 6
6 0
A13= [
]=24
0 4
1 −1
A21=[
]=10
4 6
1 −1
A22=[
]=6
0 6
1 1
A23=[
]=4
0 4
1 −1
A31=[
]=6
0 6
1 −1
A32=[
]=12
6 6
1 1
A33=[
]=6
6 0
Calculamos la adjunta:
−24 36 24
−24 10
|𝐴|=[ 10
6
4 ] = [ 36
6
6
12 6
24
4
1
-1
A = |𝐴|* adjunta
−24 10
1
A-1= |12|* [ 36
6
24
4
5
1
−2 6 2
1
A-1= 3
2
1
6
12]
6
6
12]
6
1
1
[ 2 3 2]
Representamos el cálculo de cada variable….
5 1
−2
6 2
𝑖1
0
1
[𝑖2] = 3 2 1 ∗ [ 1 ]
𝑖3
−1
1 1
2
[
3 2]
𝑖1
[𝑖2]=
𝑖3
0+
0
5
6
1
2
1
1
−2
−1
1
[0 + 3 − 2]
Si resolvemos la suma obtendríamos para cada una de las variables el valor de:
𝑖1
[𝑖2]=
𝑖3
1
3
1
−2
1
[− 6]
Luego realizamos una verificación rápida sobre los valores obtenidos en el sistema.
i 1 +i 2=i3
(1/3)+(-1/2)=(-1/6)
(-1/6)=(-1/6)
8) Aplique las leyes de Kirchoff para calcular los valores de la corriente en los
circuitos
𝑖1 = 𝑖2 + 𝑖3
𝑖2 𝑅3 + 𝜀2 + 𝑖1 𝑅2 + 𝑖1 𝑅1 − 𝜀1 = 0
𝑖2 𝑅3 + 𝜀2 − 𝑖3 𝑅4 − 𝜀3 − 𝑖3 𝑅5 = 0
𝜀2 − 𝜀1 = −𝑖1 (𝑅1 + 𝑅2 ) − 𝑖2 𝑅3
𝜀2 − 𝜀3 = −𝑖2 𝑅3 + 𝑖3 (𝑅4 + 𝑅5 )
4𝑣 − 5𝑣 = −𝑖1 (4𝛺 + 2𝛺) − 𝑖2 (6𝛺)
−1𝑣 = −6𝛺𝑖1 − 6𝛺𝑖2
6𝛺𝑖1 + 6𝛺𝑖2 = 1𝑣(2)
4𝑣 − 3𝑣 = −𝑖2 (6𝛺) + 𝑖3 (3𝛺 + 1𝛺)
1𝑣 = −6𝛺𝑖2 + 4𝛺𝑖3 (3)
𝑖1 = 𝑖2 + 𝑖3
6𝛺𝑖1 + 6𝛺𝑖2 = 1𝑣
−6𝛺𝑖2 + 4𝛺𝑖3 = 1𝑣
1 −1 −1
∆= 6 6
0
0 −6 4
= (24 + 36 + 0) − (0 + 0 − 24) = 84
0 −1 −1
∆𝑥 = 1 6
0
1 −6 4
= (0 + 6 + 0) − (−6 + 0 − 4) = 16
1 0 −1
∆𝑦 = 6 1 0
0 1 4
= (4 − 6 + 0) − (0 + 0 + 0) = −2
1 −1 0
∆𝑧 = 6 6 1
0 −6 1
= (6 + 0 + 0) − (0 − 6 − 6) = 18
16
4
𝑥=
=
84 21
−2
1
𝑦=
=−
84
42
18
3
𝑧=
=
84 14
4
𝑖1 =
𝐴
21
1
𝐴
42
3
𝑖3 =
𝐴
14
𝑖2 =