Condensado de Bose

Condensado de Bose-Einstein
Una nueva forma de materia a las ms bajas temperaturas del universo
Universidad de Santiago de Chile.
Mecánica cuántica
Francisca R. Rojas Martı́nez
francisca.rojas@usach.cl
20 de enero 2014
Reseña
En 2001 el premio nobel de fı́sica fue recibido por 3 investigadores, Eric Cornell, Carl Wieman profesores de la
Universidad de Boulder, Colorado y Wolfgang Ketterle del instituto tecnológico de Massachusetts (MIT) por haber
logrado producir el Condesando de Bose-Einstein, que se conoce como el quinto estado de la materia donde gases
bosónicos en el estado de menor energı́a posible forman una sola entidad coherente, es decir, un gas de átomos se
comporta como un súper átomo. Sin embargo la historia parte muchos aos antes con los Fı́sicos Satyendra Nath Bose y
Albert Einstein.
I.Contexto Histórico
En 1924 la fı́sica Indú S. N. Bose estudiaba la hipótesis de que la luz estaba formada por paquetes discretos de energı́a
(cuantos o fotones) con la ayuda de la ecuación de Planck para la radiación de un cuerpo negro le surgió la idea de
considerar la luz como un gas de partı́culas idénticas, ası́ estudiando y realizando cálculos sobre las partı́culas Bose
asumió ciertas reglas para decidir cuando dos fotones deben ser contados como idénticos o diferentes, actualmente estas
reglas se llaman estadı́sticas de Bose (o la estadı́stica de Bose-Einstein). Dónde entra Einstein? Pues bien, Bose no poseı́a
el reconocimiento suficiente para publicar sus ideas en las revistas cientı́ficas de su tiempo, por lo tanto decidió escribir
una carta a Einstein con sus investigaciones y resultados con la esperanza de que él usara su influencia como uno de los
más importantes cientı́ficos de su época para publicarlos. Eintein notó la importancia de los descubrimientos realizados
por Bose y no solo los publicó sino que intuyó de que la teorı́a de Bose no era exclusiva de fotones, Einstein supuso que
estas mismas reglas pueden ser aplicadas en átomos. Se elaboró la teorı́a de cómo los átomo se comportarı́an en un gas
si estas nuevas reglas fueran aplicadas, las ecuaciones encontradas le dijeron que en condiciones de temperatura normal
la teorı́a no aplicarı́a ningún cambio apreciable sin embargo a temperaturas muy bajas, cercanas al cero absoluto esta
situacin cambiaba. Si los átomos estaban suficientemente frios algo inusual debı́a pasar, esto era tan extrao que Einstein
no estaba seguro de que sus resultados fueran correctos. Y ası́ fue, él estaba en una especie de medio correcto, en primer
lugar no todos los átomos siguen las reglas de la estadı́stica de Bose. No obstante existen algunos átomos que para los
cuales todas las predicciones de Einstein se cumplen, pero incluso para estos tipos de átomos él no se dio cuenta de la
importancia de los efectos de su predicción.
Las suposiciones de Einstein y la predicción de la existencia de condensados se verı́an confirmados 70 años más adelante
en la realización experimental pero con variaciones, solo pueden formar condensados ciertas partı́culas llamadas bosones,
que siguen la estadı́stica de Bose.
El hecho de gran importancia que Einstein ignoró fue que a muy bajas temperaturas los átomos están al mismo nivel
cuántico, es decir, los átomos del condensado descenderı́an al nivel del menor energı́a posible, estas caracterı́sticas hace
que los átomos sean indistinguibles y se comporten como un súper átomo o gota de ahı́ el nombre de condensado-. Estas
predicciones son las que Cornell, Wieman y Ketterle lograron hacer realidad en 1995 en una nube de átomos de rubidio
y sodio, los átomos de rubidio se lograron enfriar a una millonésima de grado sobre el cero absoluto con técnicas de enfriamiento mediante láser, trampas magnéticas, enfriamiento evaporativo y consiguieron que dichos átomos se fundiesen
y comportasen como BEC perdiendo su identidad individual durante 10 segundos. Este grupo logró un hito en la historia
de la fı́sica por lo que recibieron el Premio Nobel de Fı́sica en 2001.
II.Fundamentos Teóricos
II.1 Partı́culas elementales
Toda de lo que está hecho el universo se puede descomponer en docena de particulas denominadas partı́culas elementales.
Los fı́sicos han identificado 12 partı́culas elementales y 4 interacciones como los eleméntos básicos a partir de los cuales
está construido el universo. Las partı́culas elementales son los objetos más simples que se pueden concebir. Las partı́culas
de interés para la formación de un BEC son los fermiones, consituyentes básicos de la materia como electrones, protones,
quarks, y los bosones que son part”iculas que tienen estados simétricos en las funciones de onda. A los fermiones se
les prohı́be compartir un estado cuántico, son partı́culas indénticas mientras que los bosones no tienen restricciones con
respecto a la convivencia en un mismo estado cuántico. El fenómeno de condensado de Bose-Einstein se da en partćulas
bosónicas las que tienen las siguientes caracterı́sticas; poseen spin entero, no cumplen el principio de exclusión de Pauli,
siguen la estadı́stica de Bose-Einstein y la función de onda es simétrica respecto a la permutación de partı́culas.
II.2 Partı́culas idénticas
Sistema de dos partı́culas y estadı́stica de Bose-Einstein
Para una sola partı́cula la función de onda ψ(r, t) es una función que depende de la coordenada espacial r y el tiempo t.
La función de onda para un sistema de dos partı́culas es función de coordenadas de la partı́cula 1 r1 , de la coordenada
de la partı́cula 2 r2 y el tiempo:
ψ(r1 , r2 , t)
(1)
Donde la evolución con el tiempo está determinada por la Ecuación de Schrdinger.
ih̄
∂ψ
= Hψ
∂t
(2)
Donde H es el hamiltoniano para el sistema completo es
H=−
h̄2 2
h̄2 2
∇1 −
∇ + V (r1 , r2 , t)
2m1
2m2 2
(3)
Suponer que la partı́cula 1 se encuentra en el estado ψa (r) y la partı́cula 2 en ψb (r). En ese caso
ψ(r1 , r2 ) = ψa (r1 )ψb (r2 )
(4)
La mecánica cuántica acomoda prolijamente la existencia de partı́culas que no se distinguen en principio, simplemente se
contruye una función de onda que es indefinida en cuanto a que partı́cula está en qué estado. De hecho hay 2 fomas de
hacerlo. La teorı́a admite dos tipos de partı́culas idénticas, los bosones donde
ψ+ (r1 , r2 ) = A[ψa (r1 )ψb (r2 ) + ψb (r1 )ψa (r2 )]
(5)
ψ− (r1 , r2 ) = A[ψa (r1 )ψb (r2 ) − ψb (r1 )ψa (r2 )]
(6)
Y fermiones donde
. Por lo que las partı́culas se comportarán idénticamente bajo permutaciones de las funciones de onda asociadas a cada
una, por lo que sern indistinguibles. Ahora se define el concepto spin de una partı́cula para relacionar la simetrı́a con este
concepto. El spin es el movimiento rotacional intrı́nseco que poseer todas las partı́culas elementales, las partı́culas con spin
poseen un momento magnético cuantizado. Se asignan valores enteros y semienteros. Por el teorema de la conexión spinestadı́stica los sistemas de partı́culas con spin entero tienen una funciónd e onda simétrica, estas partı́culas obedecerán
a la estadı́stica de Bose-Einstein y serán llamados Bosones y también, las partı́culas con un numero de spin semi impar
deben tener una función de onda antisimétrica, atenderán a la estadı́stica de fermi-Dirac y se les denominará fermiones.
La ecuación para la distribución de Bose-Einstein para bosones idénticos es
n() =
1
e(−µ)/KB T
−1
(7)
Donde n es el número de partı́culas en un estado de energı́a, µ es el potencial quı́mico, K es la constante de Stefan
Boltzmann y T la temperatura en escala absoluta.
II.3 Temperatura y cero absoluto
Cuando sentimos que un objeto esta frio o caliente los átomos dentro de él están moviendose con diferentes velocidades en
direcciones al azar, se mueven rápido en los objetos calientes y lento en los objetos frios. Los fı́sicos a menudo utilizan una
escala de temperatura que se demonima escala absoluta y está relacionada con las velocidades de los átomos dentro de un
gas. En la escala absoluta un grado es el mismo que un grado centı́grado, la diferencia es la etiqueta del cero. A medida
que la temperatura de los átomos deciende la velocidad de los átomos disminuye, el cero absoluto es la temperatura a la
cual los átomos no se mueven, es lo más frio que se pueden encontrar. El lugar natural más helado que podemos encontrar
es el espacio, que se encuentra 3 grados sobre el cero absoluto. El calor heredado del Big-Bang que creó el universo está en
todas partes y matiene la temperatura del espacio (de hecho la temperatura del espacio es una evidencia de que ocurrió el
Big-Bang) sin embargo durante casi un siglo se ha sido capaz de construir refrigeradores que se interponen a los 3 grados
por sobre el cero absoluto e incluso se ha sido capaz de conseguir una milésima de grado por encima del cero absoluto.
Pero el gran logro fue cuando Cornell y Wieman enfriaron una pequea muestra de átomos a una millonésima de grado
por encima del cero absoluto, esto fue lo que hizo posible observar el Condensado de Bose-Einstein.
II.4 Condensados de Bose-Einstein
El BEC es un estado de agregación de la materia que se presenta a bajas temperaturas y densidad ultrabaja, la razón
de por qué los condensados se presentan a bajas temperaturas es es que el potencial quı́micoµ se hace equivalente a la
energı́a mı́nima del sistema. Los bosones se condensan en el mismo nivel cuántico, el estado base (la energı́a no es cero,
como se podrı́a pensar). La temperatura crı́tica para un volumen de partı́culas en un gas viene dada por
Tc =
n
ζ(3/2)
2/3
h2
n3/2
=> Tc α
2πmKB
m
(8)
Donde n es la densidad de la partı́cula, m la masa del bosón, h la constante de Planck, Kb la constante de Stefan
Boltzmann y ζ la funcion de Riemann. De la ecuación la densidad y la masa son importantes para elegir el gas en elq
ue se quiere obtener un condensado, también se deduce que las temperaturas crı́ticas son muy pequeñas. Si la separación
de las partı́culas es del orden de la longitud de onda de ellas entonces se producirá una transición y la mayorı́a de las
partı́culas se encontrará en el mismo estado fundamental. Esta ultima caracterı́stica es la que hace que los condensados
sean tan extraños y que sean solo observados en laboratorios, no obstante se están desarrollando teorı́as que predicen su
existencia en cuerpos celestes cuyos comportamientos se explican por los condensados.
En general los gases tienen densidades bajas y la interacción entre los átomos es pequeña a bajas temperaturas Este estado
corresponde a que las funciones de onda se solapan y las partı́culas muestran sus propiedades ondulatorias a temperaturas
bajas, además las partı́culas dejan de comportarse como puntos localizados y conviene pensar en términos del paquete de
ondas asociado a la partı́cula. A medida que se enfrı́a el tamaño del paquete aumenta y se entrecruza con la onda asociada
a la partı́cula vecina. Al descender la temperatura a cero la velocidad de las partı́culas también lo hace y la longitud de
onda será grande.
Figura 1. (a) Representación de una nube de átomos ultra frios, (b) átomos en un BEC
III Realización del Condensado de Bose-Einstein.
Una de los obstáculos con los que se toparon muchos cientı́ficos a la hora de querer generar el BEC fue la maquina para
enfriar los átomos, Cornell y Wieman usaron primero un láser para congelar y detener a los átomos y luego un método
llamado congelación por evaporación.
Figura 2. Montaje experimental para la reproducción del BEC hecho por los cientı́ficos Cornell y Wieman
Primero sedescribirá la trampa de láser, o trampa magneto óptica (MOT) necesaria para atrapar átomos y enfriarlos.
Esta técnica combina melazas ópticas y propiedades de los campos magnéticos. Básicamente consiste en 3 hazes de láser
propagándose en sentido opuesto con polarización circular (a) cuya intersección se encuentra en la fuente de átomos que se
desea enfriar (b). En la parte superior e inferior del equipo se encuentran 2 bobinas de Helmotz (c) con la particularidad
de que en cada una circula corriente en sentido puesto a la otra, el campo eléctrico resultante forma un cuadripolo eléctrico
que se anula en el centro de la trampa. La alta eficiencia del MOT se debe a la acción del enfriamiento Doppler, donde
su presencia permite la acción del efecto Zeemann.
Los átomos en la vecindad central del MOT interactúan con el campo y por el efecto Zeemann desdoblan sus niveles
energéticos lo que aumenta la probabilidad de que los láseres absorban fotones debido a su polarización cirular. La absorción inicial ocaciona que la velocidad de los átomos disminuya y a la vez se dirija hacia el centro de la trampa y por otro
lado, debido a la velocidad relativa de los fotones y átomos es necesario disminuir la frecuencia de los láseres para que los
átomos ”sientan”que poseen la energı́a necesaria para ser absorbidos, esta es una forma de efecto Doppler Óptico. y el
otro enfriamiento que hace efectivo el MOT es el enfriamiento evaporativo, que es el que más se observa en la naturaleza.
En la vida cotidiana se observa que si se deja agua hirviendo en el ambiente esta se enfriará hasta alcanzar la temperatura
del ambiente, esto ocurre debido a que hay moléculas de agua que poseen una energı́a sufuciente para romper la barrera
de energı́a de la superficie, abandonando la fuente y disminuyendo la energı́a de la misma, lo que genera un proceso
de enfriamiento. En la realización del BEC se usó el mismo principio, la trampa de átomos de rubidio es la fuente de
agua hirviendo y luego se deja escapar a los átomos más energéticos lo cual debe hacerse con cuidado para dejar átomos
suficientes para realizar el montaje.
IV. Herramienta para nuevos estudios
Desde su aparición en 1995, los condensados han sido estudiados en muchos laboratorios del mundo. La utilidad potencial
de estos avances varı́a desde la creación de un láser de átomos (fuente coherente de ondas de materia) debido a que en
los lésres de luz los fotones son exactamente iguales y en el BEC todos los átomos del condensado son exactamente los
mismos, lo que significa que se podrá tener mucho mejor control sobre los átomos, por ejemplo su posición o su velocidad
(con tanta exactitud como el principio de incertidumbre lo permita) lo que a su vez podrá generar elementos de medición
muy sensibles o estructuras electrónicas dimituas, también su descubrimiento (BEC) es útil para estudiar efectos fı́sicos
manipulando las propiedades de los átomos que forman el condensado para generar remolinos, vórtices, ondas de presion
y reproducir condiciones extremas que tienen lugar en procesos que se llevan a cabo en cuerpos celestes, estrellas enanas
o incluso la vecindad de agujeros negros. El BEC se ha convertido en una estupenda herramienta para estudiar nuevos
fenómenos de interés en veriadas áreas sin embargo se debe recordar que tomó 20 años después de su invención ala gente
tomar en cuenta la utilidad de los láseres y 40 años después se han llevado a las tiendas comerciales, por lo que es muy
probable que haya que esperar unos años para poder ver al BEC fuera del laboratorio, es decir, utilizado regularmente
en la vida cotidiana.
V. Bibliografı́a y Referencias
BEC homepage. 2000. http://www.colorado.edu/physics/2000/bec/index.html
G. Tubes, Physicists Create New State of Matter, Science, volume 269 (jul. 14, 1995), 152-153.
David Griffits, Introduction to quantum mechanics, 1995 by Prentice Hall. Inc. Chapter 5, identical Particles.
El quinto estado: el condensado de Bose-Einstein, artı́culo de divulgación, tecnociencia 2007, vol. 9, N 1.