AULA: Gráfico de Controle por Atributos Víctor Hugo Lachos Dávila Campinas 2007 Gráfico de controle para a fração não-conforme (p) Para construir um gráfico p, toma-se m (da ordem de 20 a 25) amostras do produto, registrando-se para cada amostra o número de itens não-conforme (defeituoso). Sejam n e Di (i=1,...,m) o tamanho da amostra e número observado de itens não conformes. Uma estimativa da fração não conforme é : m p= ∑D i =1 i mn Os limites de controle para fração não conforme: LSC = p + 3 p (1 − p ) n LM = p LSC = p − 3 p (1 − p ) n 2 Exemplo 1: Em uma fabrica de meias, 200 pares são analisados diariamente. Nos 25 dias úteis de um mês obtiveram-se os seguinte número de pares de defeituosos: 13, 8, 10, 15, 12, 9, 6, 4, 7, 11, 14, 10, 7, 9, 12, 13, 8, 11, 9, 12, 15, 11, 8, 6, 16. 24 p= ∑D i =1 i 25 × 200 = 250 = 0,05 5000 p (1 − p ) = 0 , 05 + 3 n LM = p = 0 , 05 0 , 05 × 0 , 95 = 0 , 096 25 p (1 − p ) = 0 , 05 − 3 n 0 , 05 × 0 , 95 = 0 , 004 25 LSC = p + 3 LSC = p − 3 3 Gráfico de controle para a proporção de pares de meias não conforme em um mês de produção. Proportion 0.10 3.0SL=0.09623 0.05 P=0.05000 -3.0SL=0.003767 0.00 0 5 10 15 20 25 Sample Number 4 Gráfico de controle para o número de itens não conformes (np) Os parâmetros desse gráfico são a seguinte LSC = np + 3 np (1 − p ) LM = np LSC = n p + 3 n p (1 − p ) LM = n p LSC = np − 3 np (1 − p ) LSC = n p − 3 n p (1 − p ) Exemplo 2. Considere os dados do exemplo anterior. n = 200, p = 0,05 ⇒ np = 10 LSC = n p + 3 n p (1 − p ) = 10 + 3 200 × 0 , 05 × 0 , 95 = 19 , 25 LM = n p = 10 , 0 LSC = n p − 3 n p (1 − p ) = 10 − 3 200 × 0 , 05 × 0 , 95 = 0 , 7534 5 Gráfico de controle para número de pares de meias não conformes durante um mês de produção. Sample Count 20 3.0SL=19.25 10 NP=10.00 -3.0SL=0.7534 0 0 5 10 15 20 25 Sample Number 6 Gráfico de controle para a fração não-conforme (p) com tamanho de amostras variáveis Os limites de controle para fração não conforme: LSC = p + 3 p (1 − p ) ni LM = p LIC = p − 3 p (1 − p ) ni m onde p = ∑D i =1 m ∑n i =1 i i 7 Exemplo: Considere os dados de 25 amostras 8 Gráfico de controle para a proporção de defitousos com tamanho de amostra variável Proportion 0.2 0.1 P=0.09551 0.0 0 5 10 15 20 25 Sample Number 9 Limites de Controle Com Base num Tamanho Médio da Amostra Para os dados do exemplo anterior, o tamanho médio da amostra é: m n= ∑n i =1 m i = 2450 = 98 25 p (1 − p ) = 0 , 096 + 3 n LM = p = 0 , 096 0 , 096 × 0 , 904 = 0 ,185 98 p (1 − p ) = 0 , 096 + 3 n 0 , 096 × 0 , 904 = 0 , 007 98 LSC = p + 3 LIC = p − 3 10 Fra ão amostral não conforme Gráfico de controle para fração não conforme com base o tamanho médio da amostra 0.2 LSC=0,185 0.1 LM=0,096 0.0 LIC=0,007 0 5 10 15 20 25 Número de amostras 11 Gráfico de Controle Padronizado Zi = pˆ i − p p (1 − p) ni onde p (ou , p se não for dado ) é fração não conforme Os limites de controle são: LSC = 3 LM = 0 LSC = −3 12 13 Gráfico de controle padronizado para fração não conforme 4 1 3 LSC=3.000 2 1 LM=0.000 0 Z -1 -2 LIC=-3.000 -3 -4 0 5 10 15 20 25 Número de amostras 14 Gráfico para o número total de defeitos por unidade (gráfico de c) Em muitas situações, além de classificar o produto como perfeito ou não conforme, podemos também contar o número de defeitos por unidade inspecionada. Por exemplo, ao analisar chapas de aço de mesmo tamanho, devemos contar o número de defeitos por chapa e usar o gráfico de controle para o número total de defeitos por unidade, denominados gráfico c. O número de defeitos por unidade tem distribuição de Poisson Vimos E ( X ) = Var ( X ) = μ > 0. Os limites de controle são: e −μ μ c f (c ) = , c = 0,1,2,... c! LSC = μ + 3 μ LM = μ LSC = μ − 3 μ 15 Se μ não conhecida pode ser estimado a partir de m amostras preliminares do processo, cada uma consistindo de uma ou de n unidades de inspeção. Se ci representa o número de defeitos na i – ésima amostra, então o parâmetro da v.a. c pode ser estimado por: 1 m c = ∑ ci m i =1 Os limites de controle são: LSC = c + 3 c LM = c LSC = c − 3 c 16 Exemplo: Apresenta-se o número de defeitos observado em 26 amostras sucessivas de 100 placas de circuito impresso. (observe que a unidade de inspeção é 100 placas): 21, 24, 16, 12, 15, 5, 28, 20, 31, 25, 20, 24, 16, 19, 10, 17, 13, 22, 18, 39, 30, 24, 16, 19, 17,15. As 26 amostras contêm um total de 516 não conformidades e c é estimado por: c= 516 = 19,85 26 LSC = c + 3 c LSC = 19 , 85 + 3 19 , 85 = 33 , 22 LM = c LM = 19 , 85 LSC = c − 3 c LSC = 19 , 85 − 3 19 , 85 = 6 , 48 17 Gráfico de controle para não-conformidade 1 Número de não-conformidade 40 Controle da temperatura 3.0SL=33.21 30 20 C=19.85 10 -3.0SL=6.481 1 0 0 Erro de inspeção 10 20 Número da amostra 18 Excluindo a amostra 6 e 20, os limites de controle são: c= 472 = 19,67 24 LSC = c + 3 c LSC = 19 , 67 + 3 19 , 67 = 32 , 97 LM = c LM = 19 , 67 LSC = c − 3 c LSC = 19 , 67 − 3 19 , 67 = 6 , 37 Suponha que vinte novas amostras, cada uma consistindo em uma unidade de inspeção (100 placas), são coletados: 16, 18, 12, 15, 24, 21,28, 20, 25, 19, 18, 21, 16, 22, 19, 12, 14, 9, 16, 21. 19 Número de não-conformidade Gráfico de controle para não-conformidade 35 3.0SL=32.98 25 C=19.67 15 -3.0SL=6.365 5 0 10 20 Número da amostra 20 Gráfico para o número médio de defeitos por unidade (gráfico de u) Se encontramos um total de c não-conformes em uma amostra de unidades de inspeção, então o número médio de não conformidade por unidade de inspeção é: c u= n Observe que C é uma variável aleatória de Poisson. Daí tem-se os parâmetros do gráfico de controle. LSC = u + 3 u n LM = u LSC = u − 3 u n onde u o número médio observado de não − conformida de por unidade . 21 Exemplo. Um fabricante de microcomputadoras deseja estabelecer um gráfico de controle para não-conformidades por unidades na linha de montagem final. O tamanho da amostra é escolhido como 5 computadores. 22 20 u= ∑u i =1 20 i 20 = ∑c i =1 i 5 × 20 LSC = u + 3 = u n LSC = 1 , 93 + 3 1, 93 = 3 , 79 5 LM = 1, 93 LM = u LSC = u − 3 193 = 1,93 100 u n 1 , 93 LSC = u − 3 = 0 , 07 5 23 Número médio de não-conformidade por unidade Gráfico de controle para não-conformidade por unidade 4 3.0SL=3.794 3 2 U=1.930 1 -3.0SL=0.06613 0 0 10 20 Número da amostra 24 Gráfico para o número médio de defeitos por unidade (gráfico de u) com tamanho variável de amostra Os gráficos de controle para não-conformidade são ocasionalmente formados usando inspeção 100% do produto. Nesse caso, o número de unidades de inspeção é diferente. Por exemplo, chapas de aço de vários tamanhos são produzidos, um número variável de unidades é produzido a cada dia. Não podemos nesta situação, por falta de comparabilidade dos totais, trabalhar com o gráfico c. Neste caso o gráfico correto é um gráfico de controle para o número médio de não-conformidade por unidade (ou seja o gráfico u) Os parâmetros do gráfico de controle. LSC = u + 3 u ni LM = u LSC = u − 3 u ni m onde u = ∑c i =1 m i ∑n i =1 i 25 Exemplo. Em uma fabrica de acabamento de tecido, pano tingido é inspecionado procurando-se a ocorrência de defeitos por 50 metros quadrados. Número de Número de Rolo m2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 500 400 650 500 475 500 600 525 600 625 No. de unidades (ni) 10,0 8,0 13,0 10,0 9,5 10,0 12,0 10,5 12,5 12,5 107,50 No. Total No. médio de defeitos de defeitos (ci ) pó unidade (ui =ci/ni) 14 1,40 12 1,50 20 1,54 11 1,10 7 0,74 10 1,00 21 1,75 16 1,52 19 1,58 23 1,84 153 26 A linha média do gráfico de controle deve ser o número médio de defeituosos por 50 metros quadrados. m u= ∑c i =1 m i ∑n i =1 = 153 = 1,42 107,5 i 27 Número de Rolo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 No. de unidades (ni) 10,0 8,0 13,0 10,0 9,5 10,0 12,0 10,5 12,5 12,5 3 u ni 1,13178 1,26537 0,99264 1,13178 1,16118 1,13178 1,03317 1,10451 1,03317 1,01230 u +3 u ni 2,55 2,68 2,41 2,55 2,58 2,55 2,45 2,52 2,45 2,43 u −3 u ni 0,29 0,16 0,43 0,29 0,26 0,29 0,39 0,32 0,39 0,41 28 Gráfico de controle para não-conformidade por unidade com tamanho variável da amostra 3 Sample Count 3.0SL=2.436 2 U=1.423 1 -3.0SL=0.4110 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Número de rolo 29 Outra abordagem 1. Use os limites de controle com base em um tamanho médio da amostra. m n= ∑n i =1 i m LSC = u + 3 u n LM = u LSC = u − 3 u n 30 2. Use um gráfico de controle padronizado. A qual envolve a plotagem da estatística: Zi = LSC LM LSC ui − u u ni = 3 = 0 = −3 31 Gráfico de controle padronizado para fração não conforme por unidade 3.0SL=3.000 3 Escore de Z 2 1 0 0.000 -1 -2 -3 -3.0SL=-3.000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 número de rolo 32