1 Principio de Casillas

Universidad Autónoma de Zacatecas
Olimpiada Mexicana de Matemáticas
1. Técnicas de resolución de problemas
Unidad de Matemáticas
Coordinadora : Nancy Calvillo Guevara
José Ibrahim Villanueva Gutiérrez
La combinatoria es el arte de las matemáticas que responde a preguntas como :
– De cuántas maneras se puede... ?
– Cuántos ... hay ?
– Para cuántos ... ?
Es decir, la combinatoria se encarga de contar, numerar y ordenar estructuras. Esta tarea
puede ser tan sencilla como tratar de saber cuántas monedas hay en una alcancía ; o un poco
menos sencillo como saber de cuántas formas puedo recorrer todos los caminos de la siguiente
figura con la condición de partir de un punto y regresar a ese mismo punto sin pasar dos
veces por el mismo camino. 1
En estas notas, haremos un estudio de dos técnicas para resolver cierta clase de problemas
que involucran combinatoria.
1
Principio de Casillas
El Prinicipio de Casillas dice que si tenemos m casillas para acomodar n objetos y n > m,
entonces en al menos una casilla habrá 2 objetos.
Por ejemplo, usted pasea con su hermano menor que ha llorado todo el día. Saliendo
de una tienda ven una máquina (como la de la figura) de dulces y para que deje de llorar
1. Este problema duró muchos años sin resolverse hasta que el príncipe de las matemáticas Leonhard Euler
(1707-1783) dio una solución general. Para más información ver en Wikipedia : Los puentes de Königsberg.
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usted decide comprarle un dulce. En la máquina hay dulces de 7 colores diferentes, pero su
hermanito no dejará de llorar si usted no se come un dulce del mismo color. Cuántos dulces
tendrá que sacar para que su hermanito deje de llorar ?...Si usted está teniendo realmente un
mal día, entonces en los primeros 7 intentos han salido siete dulces de colores diferentes, en
su octavo intento garantiza que salga un dulce de los colores que ya han salido para calmar
las lágrimas de su hermanito.
Ejercicio : En un papel cuadriculado de 6 × 9 cuadrados se consideran 25 triángulos
arbitrarios y diferentes que tienen sus vértices en los puntos de intersección de las líneas de
la cuadrícula. Mostrar que no importa cómo se elijan los triángulos, forzosamente habrá (al
menos) dos triángulos con (al menos) un vértice en común.
Ejercicio : Probar que en cualquier conjunto de 6 personas forzosamente hay 3 que se
conocen todas entre sí o 3 tales que ninguna conoce a las otras 2.
El conjunto de los números reales R se divide en dos subconjuntos ajenos (es decir, sin
elementos en común), los números racionales Q y los números irracionales I. En lenguaje de
la teoría de conjuntos
R = Q ∪ I con Q ∩ I = ∅.
Los números racionales son todos aquellos números que se pueden escribir como cocientes de
enteros, ejemplo
1
45
, 0, , 1, etc.
−576, −
256
7
Los números racionales son aquellos que no se pueden escribir como cocientes de enteros,
ejemplo
√ √
2, p con p primo , π, etc.
√
√
√
Demostremos que 2 es irracional : Supongamos que 2 es racional, es decir 2 = ab , para
2
a, b enteros y primos relativos (es decir, mcd(a, b)=1). Tenemos ab2 = 2, luego a2 = 2b2 , esto
implica que 2 divide a a ó lo que es lo mismo a es par. Digamos que a = 2k para algún
k entero. Sustituyendo tenemos 4k 2 = 2b2 , luego 2k 2 = b2 , √
por lo tanto b es par, lo cual
contradice que a, b son primos relativos. Esto demuestra que 2 es irracional.
En general demostrar que un número es irracional puede tornarse difícil, por ahora nos
interesaremos en los números racionales.
La expansión decimal de un número real, es la escritura conocida con cifras. Se llama
expansión decimal porque dependiendo de la posición en que se encuentra una cifra, es el
número de veces que debe tomarse la potencia de diez que corresponde a la posición. Ejemplo,
125.735 = 1 × 102 + 2 × 101 + 5 × 100 + 7 × 10−1 + 3 × 10−2 + 5 × 10−3
1
1
1
+ 3 × 2 + 5 × 3.
10
10
10
33
Las expansiones decimales pueden ser finitas como en el caso de 4 o infinitas como en el
caso de 13 o de π. Si un número tiene una expansión infinita de cifras, pero hay una cadena
de estas cifras que se repite, decimos que su expansión es periódica y llamamos periodo a la
= 1 × 102 + 2 × 10 + 5 + 7 ×
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cadena que se repite y le ponemos una barrita arriba para distinguirlo. Por ejemplo, 13 = .3
tiene expansión periódica de periodo 25. Así
tiene expansión periódica de periodo 3 y 3787
990
mismo, podemos decir que las expansiones finitas, son periódicas de periodo 0. El siguiente
teorema que vamos a probar haciendo uso del álgebra y del Principio de Casillas, es una
correspondencia entre los números con expansión decimal periódica y los números racionales.
Teorema : Sea x un número real, x tiene expansión periódica si y sólo si es un número
racional.
Demostración : (⇒) Sea x un número con expansión decimal periódica, entonces existe un
periodo digamos p1 p2 p3 ...pk , sea 10−n la potencia de 10 que corresponde a la primera cifra
del primer periodo. Entonces
10n+k x − 10n x es un entero, digamos a
por lo tanto
a
∈ Q.
− 10n
(⇐) Ahora demostramos el otro lado, supongamos que x es un número racional. Entonces
x = ab con a, b enteros b 6= 0. Al hacer a ÷ b por el algoritmo usual, tenemos que los posibles
residuos son 0, 1, 2, ..., b − 1, es decir, los residuos son finitos y al repetir un residuo, los cocientes y los residuos van formando un periodo de repetición, por lo tanto x tiene expansión
periódica.♣
x=
10n+k
Ejercicios :
1. Probar que si cada punto del plano se colorea de rojo o azul, forzosamente habrá un
segmento de longitud 1 cuyos extremos tengan el mismo color.
2. Sea p un número primo distinto de 2 y de 5. Probar que hay una infinidad de términos
en la sucesión
1, 11, 111, 1111, 11111, ....
que son múltiplos de p.
3. Considere 109 enteros con 0 < a1 < ... < a109 < 1999. Muestre que entre los valores
di = ai+1 − ai , i = 1, ..., 108 hay un valor que se repite 4 o más veces. Encuentre un
ejemplo de enteros 0 < a1 < ... < a109 ≤ 1999 donde ninguna diferencia di = ai+1 − ai
se repita más de 3 veces.
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Separadores
Empezaremos con un breve ejemplo para describir esta técnica. Un domingo por la
mañana lo mandan a comprar 15 piezas de pan a la tienda de Don Lalo. Don Lalo vende
conchas, bisquets, semas y bolillo. Si Don Lalo tiene al menos 15 piezas de cada una, de
cuántas maneras puede comprar las quince piezas que le encargaron ?
Imagine que usted compra 4 conchas, 1 bisquet, 10 semas y ningún bolillo, graficamente
lo podemos representar como
− − − − | − | − − − − − − − − − −|,
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si usted no compra conchas, compra 7 bisquets, no compra semas y compra 8 bolillos, podemos representar la compra como
| − − − − − − − || − − − − − − − −;
es decir, la cantidad de líneas antes de la primera barrita simboliza el número de conchas
que compró, la cantidad de líneas entre la primera y la segunda barrita simboliza el número
de bisquets que compró, la cantidad de líneas entre la segunda y la tercera barrita simboliza
el número de semas que compró y finalmente la cantidad de líneas después de la tercera
barrita simboliza el número de bolillos que compró. Observemos que las posibles compras las
palabras
de
18 letras que podemos formar con quince − y tres |, es decir se pueden formar
18
18
= 15 palabras. Por lo tanto hay 816 compras posibles.
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En general dados dos números naturales r y N la técnica de los separadores permite
encontrar cuántas r-adas (a1 , a2 ..., ar ) de enteros no negativos
a1 , a2 , ..., ar hay de tal manera
N +r−1
que a1 + ... + ar = N . Cómo vimos, la respuesta es r−1 .
Ejercicio : Decir cuántos términos tiene la expansión (a + b + c)5 y de qué forma son ?
Siguiendo con el ejemplo, ahora suponga que su abuelito ha pedido un bisquet, su abuela
y su madre semas y usted quiere comerse al menos una torta de los deliciosos frijoles que
hace su abuela. Esto quiere decir que en el segundo separador usted al menos tiene que tener
una línea, en el tercero dos rayitas y en el cuarto una línea. Entonces nuestro problema pasó
sencillamente a ser de cuantas maneras puedo escoger 15 piezas de pan a sólo escoger 11
piezas.
Es decir, el número de compras que puede hacer dadas las piezas encargadas es de
14
, o sea 364 compras posibles.
3
En general, dados dos números naturales r y N , el número de r-adas (a1 , a2 ..., ar ) de
enteros a1 , a2 , ..., ar que satisfacen a1 + ... + ar = N sujetos a la restricción : a1 ≥ k1 , a2 ≥
k2 , ..., ar ≥ kr , donde k1 , k2 , ..., kr son enteros dados, es
!
N − (k1 + k2 + ... + kr ) + r − 1
r−1
.
Ejercicio : De cuántas maneras pueden escogerse 8 enteros a1 , a2 , ..., a8 , no necesariamente distintos, tales que 1 ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ a8 ≤ 8.
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Ejercicios generales de combinatoria
F Nivel Principiante
1. Sea n un número impar mayor que 1. Pruebe que la sucesión
!
!
n
n
,
, ...,
1
2
n
n−1
2
!
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contiene un número impar de números impares.
2. Cuántos enteros positivos menores iguales que 2001 son múltiplos de 3 o 4 pero no de
5?
3. 25 olímpicos y 25 olímpicas se sientan en una mesa circular. Prueba que siempre es
posible encontrar una persona que está entre dos olímpicas.
4. Una araña tiene un calcetín y un zapato para cada pie. En cuántos diferentes órdenes
puede ponerse los calcetines y los zapatos en sus patas ? Y qué pasaría con el cien-pies ?
5. Sea ab un número racional positivo tal que mcd(a, b) = 1. Considere el producto ab,
para cuántos números racionales entre 0 y 1, ab = 20! ?
FF Nivel Intermedio
1. Sea n un impar mayor que 1. Encuentre el número de permutaciones p del conjunto
{1, 2, ..., n} para los cuales
|p(1) − 1| + |p(2) − 2| + ... + |p(n) − n| =
n2 − 1
.
2
2. En una secuencia de volados, podemos hacer un record de cuándo un Sol es seguido
por Cara, un Sol por Sol, una Cara por Sol y una Cara por Cara. A estos eventos los
denotamos : SC, SS, CS, CC. Por ejemplo en la secuencia
CCSSCCCCSCCSSSS,
de 15 volados observamos que hay 5 CC, 3 CS, 2 SC y 4 SS. Cuántas secuencias de
15 volados tendrán exactamente 2 CC, 3 CS, 4 SC y 5 SS ?
3. Encuentre el número de subconjuntos de {1, ..., 2000} tales que la suma de sus elementos
es divisible por 5.